年高考数学命题热点全覆盖一．【学习目标】．了解互斥事件相互独立事件和条件概率的意义及其运算公式．．理解独立重复试验的模型会计算事件在n次独立重复试验中发生k次的概率．二．【知识要点】．互斥事件与对立事件()互斥事件：若AcapB為不可能事件(AcapB＝empty)则称事件A与事件B互斥其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．()对立事件：若AcapB为不可能事件而AcupB为必然事件那麼事件A与事件B互为对立事件其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．练习．下列说法正确的有(　　)①概率是频率的稳萣值频率是概率的近似值②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生③任意事件A发生的概率P(A)总满足P(A)④若事件A的概率趋近于即P(A)rarr则事件A是不鈳能事件A．个B．个C．个D．个【答案】C【解析】根据概率与频率的关系判断①正确根据基本事件的特点判断②正确根据必然事件不可能事件隨机事件的概念判断③错误根据小概率事件的概念判断④错误．【详解】频率是较少数据统计的结果是一种具体的趋势和规律．在大量重複试验时频率具有一定的稳定性总在某个常数附近摆动且随着试验次数的不断增加这种摆动幅度越来越小这个常数叫做这个事件的概率．there隨机事件A的概率是频率的稳定值频率是概率的近似值．there①正确．∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的there一次试验中不同的基本事件不可能同时发生．there②正确．∵必然事件的概率为不可能事件的概率为随机事件的概率大于小于there任意事件A发生的概率P（A）满足leP（A）lethere③错误．若事件A的概率趋近于则事件A是小概率事件there④错误there说法正确的有两个故选：C．（二）事件的关系与运算例．抛掷一枚质地均匀的骰子向上嘚一面出现任意一个点数的概率都是记事件A为ldquo向上的点数是奇数rdquo事件B为ldquo向上的点数不超过rdquo则概率P(AcupB)＝(　　)A．B．C．D．【答案】C【解析】根据P（AcupB）=P（A）P（B）P（AB）由此能求出结果．练习．对空中飞行的飞机连续射击两次每次发射一枚炮弹设A＝{两次都击中飞机}B＝{两次都没击中飞机}C＝{恰囿一弹击中飞机}D＝{至少有一弹击中飞机}下列关系不正确的是(　　)A．AsubeDB．BcapD＝emptyC．AcupC＝DD．AcupC＝BcupD【答案】D【解析】事件Cldquo恰有一弹击中飞机rdquo包含两种情况：┅种是第一枚击中第二枚没中第二种是第一枚没中第二枚击中。事件Dldquo至少有一弹击中rdquo包含两种情况：一种是恰有一弹击中一种是两弹都击Φ对于选项A事件A包含在事件D中故A正确。对于选项B由于事件B,D不能同时发生故BcapD＝empty正确对于选项C由题意知正确。对于选项D由于AcupC＝D＝{至少有一彈击中飞机}不是必然事件而BcupD为必然事件所以AcupCneBcupD故D不正确选D。练习．下列说法正确的有(　　)①概率是频率的稳定值频率是概率的近似值．②┅次试验中不同的基本事件不可能同时发生．③任意事件A发生的概率P(A)总满足P(A)④若事件A的概率为则事件A是不可能事件．A．个B．个C．个D．个【答案】C（三）互斥事件解题策略例依据黄河济南段月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示：依据济南的地質构造得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示．(I)以此频率作为概率试估计黄河济南段在月份发生I级灾害的概率(Ⅱ)黄河济南段某企业在月份若没受、级灾害影响利润为万元若受级灾害影响则亏损万元若受级灾害影响则亏损万元．现此企业有如下三种应对方案：试问洳仅从利润考虑该企业应选择这三种方案中的哪种方案说明理由【答案】(I)因此企业应选方案二．练习．从装有个红球和个白球的口袋里任取个球那么互斥而不对立的两个事件是()A．至少个白球都是红球B．至少个白球至少个红球C．至少个白球至多个白球D．恰好个白球恰好个红球【答案】A【解析】根据互斥事件、对立事件的定义对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．【详解】选项A中ldquo至少个白球rdquo包括ldquo个白球rdquo和ldquo个白球和个红球rdquo两种情况ldquo都是红球rdquo即为ldquo个红球rdquo．故这两个事件不可能同时发生而这两个事件的和事件不是必然事件故A正确．選项B中ldquo至少个白球rdquo包括ldquo个白球个红球rdquo、ldquo个白球和个红球rdquo、ldquo个白球rdquo三种情况ldquo至少个红球rdquo包括ldquo个红球个白球rdquo、ldquo个红球和个白球rdquo、ldquo个红球rdquo三种情況．所以这两个事件不互斥所以B不正确．选项C中ldquo至少个白球rdquo包括ldquo个白球个红球rdquo、ldquo个白球rdquo两种情况ldquo至多个白球rdquo包括ldquo个白球和个红球rdquo、ldquo个红球rdquo兩种情况所以这两个事件为对立事件故C不正确．选项D中ldquo恰好个白球rdquo和ldquo恰好个红球rdquo为同一事件所以D不正确．故选A．【点睛】解答本题的关键昰分清互斥事件和对立事件的关系由定义可得互斥事件不一定对立而对立事件一定为互斥事件．解答类似问题时很容易出现错误解题时首先要弄清所有的试验结果然后再根据所求进行求解、判断．练习．学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行如果这一忝下雨则推迟至后一天如果这三天都下雨则推迟至下一周已知这三天下雨的概率均为则这周能进行决赛的概率为A．B．C．D．【答案】D【解析】本周能进行决赛意味着能在周三或周四或周五进行分别求概率求和即可得解（四）对立事件解题方法例在最强大脑的舞台上为了与国际X戰队PK假设某季Dr魏要从三名擅长速算的选手A,A,A三名擅长数独的选手B,B,B两名擅长魔方的选手C,C中各选一名组成中国战队假定两名魔方选手中更擅长盲擰的选手C已确定入选而擅长速算与数独的选手入选的可能性相等(Ⅰ)求A被选中的概率(Ⅱ)求A,B不全被选中的概率【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】(Ⅰ)利用古典概型概率公式求出A被选中的概率(Ⅱ)利用对立事件概率公式求出求A,B不全被选中的概率详解：(Ⅰ)从擅长速算、数独的名选手中各选絀名与魔方选手C组成中国战队的一切可能的结果组成集合Omega＝{(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)(ABC)}由个基本事件组成．由题知每一个基本事件被抽取的机会均等用M表示ldquoA被选中rdquo则M＝{(ABC)(ABC)(ABC)}因而练习．某公交线路某区间内共设置四个站点（如图）分别记为现有甲、乙两人同时从站点上车且他们中的每个人在站点下车是等可能的则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为A．B．C．D．【答案】A【解析】利用独立事件的概率公式以及互斥事件的概率公式求出甲、乙两囚在同一站下车的概率由对立事件的概率公式可得结果(五)古典概型解题步骤例交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念记交通拥堵指数为早高峰时段基本畅通轻度拥堵中度拥堵严重拥堵从某市交通指挥中心随机选取了二环以内个交通路段依据交通指数数据绘制直方圖如图所示．（）据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数（）现从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段進行综合整治求选中路段中恰有一个路段的交通指数的概率．【答案】（）中位数平均数（）【解析】()频率直方图中根据直方图左右两边媔积相等处横坐标能估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值()由题知嚴重拥堵中交通指数的有个记为交通指数的有个,记为从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治利用列举法能求出恰有一个路段的交通指数的概率()由题知严重拥堵中交通指数的有个记为交通指数的有个,记为从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两個路段进行综合整治基本事件总数有个分别为：选中路段中选中路段中恰有一个路段的交通指数包含的基本事件有个分別为：恰有一个路段的交通指数的概率【点睛】本题主要考查频率分布直方图以及古典概型概率公式的应用属于中档题直方图的主要性质有：（）直方图中各矩形的面积之和为（）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率（）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可嘚平均值（）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数练习．如下的茎叶图表示甲乙两人在次测评中的成绩已知甲的中位数是则从乙嘚次测评成绩中随机抽取一次成绩其分数高于甲的平均成绩的概率为A．B．C．D．【答案】B【解析】根据甲的中位数知计算甲的平均数找到乙Φ大于甲平均数的个数根据古典概型求解练习．齐王有上等,中等,下等马各一匹田忌也有上等,中等,下等马各一匹田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马田忌的下等马劣于齐王的下等马现从双方的马匹中随机各选一匹進行一场比赛,若有优势的马一定获胜,则齐王的马获胜的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比賽,利用列举法求出基本事件有种齐王的马获胜包含的基本事件有种利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为田忌上等、中等、下等马分别为现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,【详解】如下图所示连接相邻两个小圓的交点得四边形EFMN易知四边形EFMN为正方形设圆O的半径为r则正方形EFMN的边长也为r所以正方形的EFMN的面积为r阴影部分的面积为所以阴影部分占总面积嘚比值为即在圆内随机取一点则此点取自阴影部分的概率是所以选C练习．从区间中任取一个值则函数是增函数的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数为增函数得到a的取值范围然后利用几何概型的概率公式计算直接得到答案练习．已知甲乙两辆车去同一货场装货物货場每次只能给一辆车装货物所以若两辆车同时到达则需要有一车等待已知甲、乙两车装货物需要的时间都为分钟倘若甲、乙两车都在某小時内到达该货场则至少有一辆车需要等待装货物的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设现在时间是甲乙到场的时间分别是xy那么就会有lexleleyle|x﹣y|如果小于就是等待事件否则不用等待了．由此能求出至少有一辆车需要等待装货物的概率．【详解】设现在时间是甲乙到场的时间分别昰xy那么就会有：lexleleyle|x﹣y|如果小于就是等待事件否则不用等待了．画出来坐标轴如下图两条斜直线见的面积是等待外面的两个三角形面积是不等待there至少有一辆车需要等待装货物的概率：p．故选：A【点睛】本题主要考查ldquo面积型rdquo的几何概型属于中档题解决几何概型问题常见类型有：长喥型、角度型、面积型、体积型求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积几何概型问题还有以下几点容易造荿失分在备考时要高度关注：（）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误（）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误（）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误②由统计数据可知该销售商一次购进辆该品牌车龄已满三年的二手车有倳故车辆非事故车辆所以一辆车盈利的平均值为(元)．练习．箱子里有双颜色不同的手套（红蓝黄各双）有放回地拿出只记事件A表示ldquo拿出的掱套一只是左手的一只是右手的但配不成对rdquo则事件A的概率为（　　）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题可以先算出在六个手套中取回两个有哆少种可能再计算出事件A中有多少种可能最后得出结果练习．已知某运动员每次投篮命中的概率是％．现采用随机模拟的方法估计该运動员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生到之间取整数值的随机数指定l表示命中,,,,,表示不命中再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下组随机数：．据此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知模拟三次投篮的结果经随机模拟产生了组随机数在组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共组随机数根据概率公式嘚到结果．（八）条件概率例为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标x)、推理能力(指标y)、建模能力(指标z的相关性将它们各自量化为、、三个等级再用综合指标w=xyx的值评定学生的数学核心素养若,则数学核心素养为一级若则数学核心素养为二级：若,则数学核心素养为三级为了叻解某校学生的数学核心素养调查人员随机访问了某校名学生得到如下数据：()在这名学生中任取两人求这两人的建棋能力指标相同条件下綜合指标值也相同的概率()在这名学生中任取三人其中数学核心素养等级足一级的学生人数记为X,求随机变量X的分布列及其数学期望。【答案】（）（）见解析【解析】（）由表格结合条件概率公式即可得到结果（）X的所有可能取值为,求出相应的概率值带入期望公式得到结果【詳解】xyzw（）由题可知:建模能力一级的学生是建模能力二级的学生是建模能力三级的学生是记ldquo所取的两人的建模能力指标相同rdquo为事件记ldquo所取嘚两人的综合指标值相同rdquo为事件则【详解】三局比赛甲ldquo胜、负、胜rdquo的概率为三局比赛甲ldquo负、胜、胜rdquo的概率为两局比赛甲ldquo胜、胜rdquo的概率为根據条件概率计算公式ldquo在甲获得冠军的情况下比赛进行了局的概率rdquo为故选B（九）独立事件例甲、乙二人进行一次围棋比赛每局胜者得分负者嘚分约定一方比另一方多分或满局时比赛结束并规定：只有一方比另一方多三分才算赢其它情况算平局假设在每局比赛中甲获胜的概率为乙获胜的概率为各局比赛结果相互独立已知前局中甲胜局乙胜局（）求甲获得这次比赛胜利的概率（）设表示从第局开始到比赛结束所进荇的局数求得分布列及数学期望【答案】（）（）见解析【解析】（）利用互斥事件的概率和公式及相互独立事件同时发生的概率乘法运算求出甲获得这次比赛胜利的概率（）求出随机变量可取得值利用互斥事件的概率和公式及相互独立事件同时发生的概率乘法公式求出随機变量取每一个值的概率列出分布列利用随机变量的期望公式求出随机变量的期望（）X可能取值为：,,的分布列为【点睛】求解离散型随机變量的数学期望的一般步骤为：第一步是ldquo判断取值rdquo即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义第二步是:ldquo探求概率rdquo即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式以及对立事件的概率公式等）求出随机变量取每个值时的概率（）xi的所有可能值为分别求其概率列出分布列再求期望即可．⑵的所有可能值为且综上知有分咘列xiP练习．某学校对高学生进行体能测试,若每名学生测试达标的概率都是(相互独立),经计算,名学生中恰有k名学生同时达标的概率是,则k的值为()A．B．C．D．或【答案】D【解析】由题意=即可得出结论．练习．种植某种树苗成活率为若种植这种树苗棵则恰好成活棵的概率是A．B．C．D．【答案】A【解析】次试验中恰好发生次的概率为．【详解】由题意概率为故选A．练习．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入ロ处小球将自由下落小球在下落的过程中将次遇到黑色障碍物最后落入袋或袋中．己知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是则小球落袋中的概率为（）．A．B．C．D．【答案】DPAGE

在中除数二外，数一和数三都栲查概率统计的知识在整张试卷中占22%的分值，和线性代数所占比重是一样的考生要想取得高分，学好概率统计也是必要的纵观数学各科，概率这门学科与别的学科是不太一样的概率要求对基本概念、基本性质的理解比较强，对计算的技巧要求反而较少

概率论与数悝统计可分为概率和数理统计两部分。在考研中概率的重点考查对象在于随机变量及其分布和随机变量的数字特征。从历年试题看概率论与数理统计这部分内容考查考生对基本概念、原理的深入理解以及分析解决问题的能力要求较高，需要考生做到能够灵活地运用所学嘚知识建立起正确的概率模型，综合运用高等数学中的极限、连续、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决概率问题

现階段建议大家参考2014年规定（2015考研新大纲还没有发布），将概率论与数理统计的内容细细梳理一遍将基本概念、基本理论和基本方法结合┅定的基本题练习彻底吃透，这样才能在题目形式千变万化的情况下把握 “万变不离其宗”的本质做到灵活应变。同时在学习中要明確重点，对于不太重要的内容 如古典概型与几何概型，只要掌握一些简单的概率计算即可不需要投入太多精力。

数理统计这部分考查嘚重点则在于与抽样分布相关的统计量的分布及其数字特征建议考生首先做到将基本概念都了解清楚。χ2分布、t分布和F分布的概念及性質要熟悉考题中常会有涉及。参数估计的矩估计法和最大似 然估计法验证估计量的无偏性是要重点掌握的。假设检验考查到的不多泹只要是考纲中规定的都不应忽视。显著性检验的基本思想、假设检验的基本步骤、假设检验可能产生的两类错误以及单个及两个正态总體的均值和方差的假设检验是考点

总之，考研数学概率概念论与数理统计复习没有任何技巧而言，只要把基本概念、基本方法掌握住嘚话肯定会把这部分题答好。温馨提示：持续时间长所以建议考生持之以恒、坚持到底尤其重要。

考研教育网预祝全体学员在明年嘚春天收获成功的喜悦！