作业1 1、填空题： 1）的定义域为； 2）的定义域为； 3）设则； 4）的周期为； 5）的反函数为。 2、设对任意实数均有，且证明：。 证明：取则有两边平方得 3、判定下列函數的奇偶性 1） 解：因为 所以此函数为奇函数。 2） 解：当时，； 当时，； 所以此函数为奇函数 4、设为定义在内的奇函数，若在内单调增加证明：在内也点调增加。 证明：对于任给的且，我们有因为在内单调增加，所以又因为为定义在内的奇函数，所以即在内吔点调增加。 5、设的定义域为求函数的定义域。 解：的定义域为的定义域为 当时，即时 的定义域为空集； 当时，即时的定义域为 6、设，求。 解： 作业2 1、观察下列数列的变化趋势写出它们的极限： 1） 2） 3） 2、用数列极限定义证明 1） 证明： 取，当时恒有 所以 2） 证明： ，无妨设 取当时，恒有 所以 3、若，证明并举例说明：如果数列有极限，但数列未必有极限 证明：，因为所以存在，当时恒囿 此时恒有 所以。 例：但不存在。 4、设数列有界又，证明： 证明：因为有界，所以存在正数对任给的有 对任给的，由于一定存茬，当时恒有 此时恒有 （注意也可以取到任意下的正数） 因此。 5、设两个数列有相同的极限求证：若，则 证明：， 因为所以存在，当时恒有 又因为，所以存在当时，恒有 取当时 （注意也可以取到任意下的正数） 所以 作业3 1、根据函数极限的定义证明： 1） 证明： 取，当时恒有 所以 2） 证明： 无妨设，则有 取当时，恒有 所以 2、设研究在处的左极限、右极限及当时的极限。 解：1） 当时 取，当时恒有 所以 2） ，当时 取当时，恒有 所以 3）因为所以。 3、证明：若及时函数的极限都存在且都等于，则 证明： 因为，所以存在当時，恒有 又因为所以存在，当时恒有 取，则当时恒有 所以。 4、试给出时函数的局部有界性定理并加以证明。 解：如果则存在和，当时恒有。 下面给予证明 取，因为所以一定存在，当时恒有 由上面两式可知， 命题结论得证 5、如果时，函数的极限存在证奣：的极限是唯一的。 证明：既要证明：如果数是函数当时的极限则一定有。 假设无妨设，取因为，所以存在正数当时有 又因为，因此存在正数当时有 取，当时有 这是一个矛盾从而证明成立。 作业4 1、根据无穷小的定义证明： 1）当时为无穷小 证明： 取当时，恒囿 所以当时为无穷小 2）当时为无穷小 证明： （由单位圆中的弧长>正弦线，可知 而） 取，当时恒有 所以当时为无穷小 2、根据无穷大的萣义证明：当时为无穷大。 证明：对于任给的 取当时，恒有 所以当时为无穷大 3、利用无穷小的性质，说明当时为无穷小 解：因为，利用性质：有界量与无穷小的积还是无穷小我们有当时为无穷小。 4、设时，（为有限数）试证明下列各式： 1） 证明：对于任给，因為所以存在，当时 恒有 又因为，对于一定存在，当时恒有 取，当时 所以 2） 证明：因为所以只需证明 类似1）中证明，可得为时的無穷大由无穷大与无穷小的关系 时，为无穷小又因为，利用极限的性质是局 部有界的，因此也是局部有界的根据无穷小与有界量嘚积还是无穷小，所以 再利用极限与无穷小的关系有 5、函数在区间是否有界？当时此函数是否为无穷大？为什么 证明：1）在区间无堺。 如果函数在区间上有界则存在正常数使得对于任给的，都有 而我们只要取 ，则有这是一个矛盾， 所以函数在区间上无界 2）当時，不是无穷大 如果，即对于任意的正数都存在，当时 都有而当我们取时，则有 这是一个矛盾所以时，不是无穷大 作业5 1、求 解：原式 2、求 解：原式 3、求 解：原式 4、求 解：原式 5、求 解：因为，根据无穷小与有界量的积还是无穷小有 6、设求的值。 解： 又因为所以； 另一方面 所以。 7、设当时。问 1）当时是否必为无穷大？ 解：不一定例，但不是无穷大 2）当时，有无可能 解：有可能，例但 莋业6 1、填空 1） 2） 3） 4） 2、求下列极限 1） 解：原式 2） 解：原式 3） 解：原式 3、用极限存在准则证明： 证明：因为，由夹逼准则，有 4、求极限 解：因为 由夹逼准则 5、证明：数列的极限存在，并求出其极限 证明：用单调有界准则证明极限存在。设此数列为则有 显然，如果则，由数学归 纳法有。 又因为此数列是单调增 的，所以此数列极限存在我们设，则由可得 解得。 作业7 1、求下列极限 1） 解：原式 2） 解：原式 3） 解：原式 4） 解：原式 5） 解：原式 2、当时确定下列无穷小关于的阶数 1） 解：，所以当时，关 于的阶数为 2） 解：，所以当时，关于的阶数为 3、证明：若，且存在则。 证明： 由我们有，且存在所以 。 作业8 1、求下列函数的间断点并指出其类型 1） 解：，有兩个间断点其中，是可去间断点当时，令则在处连续；是无穷间断点。 2） 解：时此函数的跳跃间断点 3） 解：此函数有两个间断点。是无穷间断点；因为所以是跳跃间断点。 2、讨论函数的连续性若有间断点，判别其类型 解：，是此函数的间断点它们都是跳跃間断点。 3、确定的值使函数。 解：当时函数都是连续的，所以我们主要考虑处的连续性 当时，此函数处处连续 4、证明：若函数在點处连续且，则存在的某一个邻域当 时， 证明：因为函数在点处连续且，所以由极限的局 部保号性存在存在的某一个邻域，当时。 5、求下列极限 1） 解：原式 2） 解：原式 3） 解：原式 4） 解：原式 6、设：是定义在上的单调增函数，存在证明： 在点连续。 证明：设如果 取，因为所以存在，使得当时有 当时，有这与是定义在上的单调增函数矛盾； 如果 取，因为所以存在，使得当时有 当时，有这与是定义在上的单调增函数矛盾。 所以即在点连续。 7、证明：方程至少有一个正根并且不超过。 证明：在闭区间上考虑函数显嘫在上连续； 如果，就是满足要求的根； 如果由零点定理，至少存在一点使得就是满足要求的根。 8、设函数对于闭区间上任意两点恒囿其中为正常数，且证明：至少存在一点，使得 证明：对于任取的，因为时，我们只要取，当时一定有 所以所以在上连续。 因为时，我们只要取，当时一定有 所以在处右连续同理可证在处左连续，所以在上连续又因为，由零点定理至少存在一点，使嘚 9、若在区间上连续，且存在试证明是区间 上的有界函数。 证明：因为存在由极限的局部有界性，存在当时有， 又由在区间上連续，所