动量和能量的综合应用 

一．子弹咑木块模型： 

1. 木块的质量为M放在光滑的水平面上。子弹的质量为m,以水平速度v击中木块并停留在木块中设子弹和木块间的作用力恒为f求1、子弹对木块所做的功W  2、过程中产生的内能  3、子弹射入木块的深度  4、摩擦力对子弹做的功 

2. 质量为m的子弹以初速度v射静止在光滑水平面上的質量为M的木块，并留在木块中不在射出子弹射入木块的深度为d,求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。 

二．滑块和朩板模型 1.   质量为M长度为L的木板静止在光滑水平面上，质量为m的滑块以初速

度v0从左端滑上木板由于滑块和木板间的摩擦作用，木板也开始右滑动滑块滑到木板右端时二者恰好相对静止，试求：1、摩擦力对滑块及木板各做多少功2、该过程中有多少热生成3、滑块和木板间的動摩擦因数 2.木块的质量为M放在光滑的水平面上，质量为m的滑块放在木板右端滑块和木板间的动摩擦因数为μ,它们均处于静止状态。木板突然受到一个水平右的I的瞬时冲量作用开始运动最终物块刚好运动到木板最左端，求： (1)瞬时冲量作用结束时木板的速度(2)木板的长度 

3.质量为m的物块放在质量为M长度L的小车上，且位于车的最左端一起以速度V0在光滑水平面上右运动，右面有一固定的竖直墙壁车与墙壁碰撞时间极短，碰后车以原速率返回由于车与物块间有摩擦力，最后物块恰停在车的最右端求: （1）两物体最终的共同速度（2）两物体间嘚动摩擦因数 （3）整个过程中，木块离墙壁的最小距离 

4.光滑水平面上静置有质量均为m的木板和滑块木板长为L,滑块以某一初速度滑上木板，若木板固定,则滑块恰好停在木板另一侧此过程产生的内能为Q1, 若木板不固定，滑块以相同的初速度滑上木板直到相对静止产生的内能為Q2,则Q2是 Q1的多少倍？ 三．带有弹簧的问题 

1.质量为m1和m2的木块用轻质弹簧连接放在光滑水平面上一质量为m0的子弹，以水平初速度v0射入m1中不穿出求：(1)  弹簧的最大弹性势能 （2）打击过程中产生的内能  

2、质量为M带有弹簧的小车静置于光滑的水平面上，质量为m的滑块以初速度V0自小车右端滑上小车最后滑块恰好停在小车右端，求：弹簧的最大弹性势能  

23．（18分）在光滑的水平面上有一质量M=2kg的木板A其右端挡板上固定

一根輕质弹簧在靠近木板左端的P处有一大小忽略不计，质量m=2kg的滑块B木板上Q处的左侧粗糙，右侧光滑且PQ间距离L=2m，如图14所示某时刻木板A以vA=1m/s的速度左滑行，同时滑块B以vB=5m/s

3的速度右滑行当滑块B与P处相距时，二者刚好处于相对静止状态

24．（20分）如图所示，固定在地面上的光滑圆弧軌道AB、EF他们的圆心角均为90°，半径均为R。一质量为m 、上表面长也为R的小车静止在光滑水平面CD上小车上表面与轨道AB、EF的末端B、E相切。一質量为m的物体（大小不计）从轨道AB的A点由静止下滑由末端B滑上小车，小车在摩擦力的作用下右运动当小车右端与壁DE刚接触时，物体m恰恏滑动到小车右端相对于小车静止同时小车与DE相碰后立即停止运动但不粘连，物体则继续滑上圆弧轨道EF以后又滑下来冲上小车。求：（1）物体从A点滑到B点时的速率和滑上EF前的瞬时速率；（2）水平面CD的长度；（3）当物体再从轨道EF滑下并滑上小车后如果小车与壁BC相碰后速喥也立即变为零，最后物体m停在小车上的Q点则Q点距小车右端的距离。    

23．（18分） 如图所示光滑水平面上有一质量M＝4.0 kg的带有圆弧轨道的小車，车的上表面是一段长L＝1.0m的粗糙水平轨道水平轨道左侧连一半径R＝0.25m的1光滑圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在O' 点相切．车右端固定一

4个呎寸可以忽略、处于锁定状态的压缩弹簧一质量m＝1.0 kg的小物块紧靠弹簧放置，小物块与水平轨道间的动摩擦因数?= 

物块被弹出恰能到达圆弧轨道的最高点A．取g ＝10m/s2  , 求：（1）解除锁定前弹簧的弹性势能；(2)小

23．如图所示，一轻质弹簧竖直固定在地面上自然长度l0=0.50m，上面连接一个质量m1=1.0kg的物体A平衡时物体距地面h1=0.40m，此时弹簧的弹性势能EP=0.50J在距物体A正上方高为h=0.45m处有一个质量

h 相同的速度运动，已知两物体不粘连且可视为質点。g=10m/s2求：（1）碰撞结束瞬间两物体的速度大小；（2）两物体一起运动第 A 一次具有竖直上最大速度时弹簧的长度； （3）两物体第一次分

  24．（20分）如图所示，A、B两个小物体（可看成质点）的质量分别为2m、m

它们栓接在跨过定滑轮的细绳两端，细绳不可伸长且能承受足够大嘚拉力。B物体悬吊着静止时A也静止在地面上，A、B与定滑轮轮轴之间的竖直距离分别为2l、l现将B物体竖直上提高距离l，再将其从静止释放每次细绳被拉直时A、B速度的大小立即变成相等，且速度方相反由于细绳被拉直的时间极短，此过程中重力的作用可以忽略不计物体與地面接触时，速度立即

l 变为0直到再次被细绳拉起。细绳始终在滑轮上且不

B 计一切摩擦。重力加速度为g求 2l （1）细绳第一次被拉直瞬間绳对A冲量的大小； （2）A第一次上升过程距离地面的最大高度； 

 (3) 设物体从EF滑下后与车达到相对静止，共同速度为v2相对车滑行的距离为S1，車停后物体做匀减速运动相对车滑行距离为S2 

23．（18分） 如图所示，光滑水平面上有一质量M＝4.0 kg的带有圆弧轨道的

小车车的上表面是一段长L＝1.0m的粗糙水平轨道，水平轨道左侧连一半径R

1＝0.25m的光滑圆弧轨道圆弧轨道与水平轨道在O' 点相切．车右端固定一

4个尺寸可以忽略、处于锁定狀态的压缩弹簧，一质量m＝1.0 kg的小物块紧靠弹簧放置小物块与水平轨道间的动摩擦因数?= 0.50．整个装置处于静止状态, 现将弹簧解除锁定，小物塊被弹出恰能到达圆弧轨道的最高点A．取g ＝10m/s2  , 求： 

（1）解除锁定前弹簧的弹性势能； 

答案（1）设弹簧解除锁定前的弹性势能为EP ，上述过程Φ由动量

 (2)设小物块第二次经过O' 时的速度大小为vm 此时平板车的速度大小为vM ， 研究小物块在圆弧面上下滑过程由系统动量守恒和机械能守恒， 定水平右为正方有 

 (3)最终平板车和小物块相对静止时二者的共同速度为0．设小物块相对平板车滑动的总路程为s，对系统由功能关系有EP??mgs  ???????????⑥（2分） 

24． 如图所示光滑的圆弧轨道AB、EF，半径AO、O?F均为R且水平质

4量为m、长度也为R的小车静止在光滑水平面CD上，小车上表面与轨道AB、EF的末端B、E相切一质量为m的物体（可视为质点）从轨道AB的A点由静止下滑，由末端B滑上小车小车立即右运动。当小车右端与壁DE刚接触时物体m恰好滑动到小车右端且相对于小车静止，同时小车与壁DE相碰后立即停止运动但不粘连物体继续运动滑上圆弧轨道EF，以后又滑下来冲上小車求：（1）水平面CD的长度和物体m滑上轨道EF的最高点相对于E点的高度h； 

（2）当物体再从轨道EF滑下并滑上小车后，小车立即左运动如果小車与壁BC相碰后速度也立即变为零，最后物体m停在小车上的Q点则Q点距小车右端多远？ 

答案（1）（9分）设物体从A滑至B点时速度为v0根据机械能守恒有： 

mgR?由已知，m与小车相互作用过程中系统动量守恒 

4fm车停止后，物体将做匀减速运动相对车滑行距离s2  

38物体最后距车右端： 

23．如图所示，一轻质弹簧竖直固定在地面上自然长度l0=0.50m，上面连接一个质量m1=1.0kg的物体A平衡时物体距地面h1=0.40m，此时弹簧的弹性势能EP=0.50J在距物体A正上方高为h=0.45m处有一个质量m2=1.0kg的物体B自由下落后，与弹簧上面的物体A碰撞并立即以相同的速度运动已知两物体不粘连，且可视为质点g=10m/s2。求： （1）碰撞结束瞬间两物体的速度大小； （2）两物体一起运动第一次具有竖直上最大速度时弹簧的长度；  

（3）两物体第一次分离时物体B的速度大尛 答案 

（1）设物体B自由下落与物体A相碰时的速度为v0，则 

设弹簧劲度系数为k根据胡克定律有 

两物体上运动过程中，弹簧弹力等于两物体總重力时具有最大速度??1分 设此时弹簧的压缩量为x2，则 

从碰后到分离的过程物体和弹簧组成的系统机械能守恒， 

24．（20分）如图所示A、B兩个小物体（可看成质点）的质量分别为2m、m，它们栓接在跨过定滑轮的细绳两端细绳不可伸长，且能承受足够大的拉力B物体悬吊着静圵时，A也静止在地面上A、B与定滑轮轮轴之间的竖直距离分别为2l、l。现将B物体竖直上提高距离l再将其从静止释放。每次细绳被拉直时A、B速度的大小立即变成相等且速度方相反，由于细绳被拉直的时间极短此过程中重力的作用可以忽略不计。物体与地面接触时速度立即变为0，直到再次被细绳拉起细绳始终在滑轮上，且不计一切摩擦重力加速度为g。求 

（1）细绳第一次被拉直瞬间绳对A冲量的大小； （2）A第一次上升过程距离地面的最大高度； 

2g3（3）从A离开地面到A再次回到地面的过程中A、B组成的系统机械能守恒，所以A再次回到

地面时速喥的大小依然为v1，即B再次回到距离地面高度为l时速度的大小也为v1此后B做竖直上抛运动，落回距离地面高度为（1分） 

根据（1）求解可得A第②次离开地面时速度的大小v2=

同理可求A第二次离开地面上升的最大高度为x2??? 

A第n次离开地面时速度的大小vn=

424．把一个质量为m、带正电荷且电量为q的尛物块m放在一个水平轨道的P点上在轨道的O点有一

面与轨道垂直的固定墙壁。轨道处于匀强电场中电场强度的大小为E，其方与轨道（ox轴）平行且方左若把小物块m从静止状态开始释放，它能够沿着轨道滑动已知小物块m与轨道之间的动摩擦因数μ，P点到墙壁的距离为x0，若m與墙壁发生碰撞时其电荷q保持不变，而且碰撞为完全弹性碰撞（不损失机械能）求： 

   （1）如果在P点把小物块从静止状态开始释放，那麼它第1次撞墙后瞬时速度为零的位置坐标x1、第

2次撞墙之后速度为零的位置坐标x2的表达式分别是什么 

   （2）如果在P点把小物块从静止状态开始释放，那么它最终会停留在什么位置从开始到最后它一共．．．．

走了多少路程（s）？ 

   （3）如果在P点瞬间给小物块一个沿着x轴右的初始冲量其大小设为I，那么它第一次又回到P

点时的速度（v1）大小为多少它最终会停留在什么位置？从开始到最后它一共走了多少路程．．．．

答案由题意分析知小物块m沿着轨道滑动时，水平方上受到二力： 

   （1）设第一次速度为零的位置坐标为x1,取墙面为零电势面则在这┅运动过程中应用功能关系有： 

取墙面为零电势面，则在第二次运动过程中应用功能关系有： 

对从开始到最终的整个运动过程应用功能关系有： ?mgs?qEx0 

?mg   （3）由动量定理知小物块获得一个右的初始冲量I，那么右运动的初速度： 

设第一次瞬时速度为零的位置坐标为x1, 

取墙面为零电势面则在这一运动中应用功能关系有： 

qE??mg同上道理，对从开始互第一次又回到P点这一过程应用功能关系有： 

小物块最终人会停留在O点 

1设从开始到最后一共走的路程为s'，全过程应用功能关系有： 

为了研究过山车的原理物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方夹角为37°、长为L=2.0m的粗糙的倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，洳图所示一个小物块以初速度

v0?4.0m/s，从某一高处水平抛出到A点时速度方恰沿AB方，并沿倾斜轨道滑下已知物

   （1）要使小物块不离开轨道，並从水平轨道DE滑出求竖直圆弧轨道的半径应该满足什么条件?    （2）a.为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道AB则竖直圆轨道的半徑应该满足什么条件? 

b．按照“a”的要求，小物块进入轨道后可以有多少次通过圆轨道上距水平轨道高为0.01m的某一点 

答案24．解析：（1）小物塊做平抛运动，经时间t到达A处时令下落的高度为h，水平分速度为v

12h?gt物体落在斜面上后，受到斜面的摩擦力 

设物块进入圆轨道最高点时有朂小速度v1此时物块受到的重力恰好提供心力，令此时半径为R0 

mg?mv12物块从抛出到圆轨道最高点的过程中 

    b．物块冲上圆轨道H1=1.65m高度时速度变为0然後返回斜轨道h1高处再滑下，然后再次进入圆轨

如图所示质量为M的长方形木板静止在光滑水平面上，木板的左侧固定一劲度系数为k的轻质彈簧木板的右侧用一根伸直的并且不可伸长的轻绳水平地连接在竖直墙上。绳所能承受的最大拉力为T一质量为m的小滑块以一定的速度茬木板上无摩擦地左运动，而后压缩弹簧弹簧被压缩后所获得的弹性势能可用公式EP?12kx2计算，k为劲度系数x为弹簧的形变量。 

（1）若在小滑塊压缩弹簧过程中轻绳始终未断并且弹簧的形变量最大时，弹簧对木板的弹力大小恰好为T求此情况下小滑块压缩弹簧前的速度v0； 

（2）若小滑块压缩弹簧前的速度v0'为已知量，并且大于（1）中所求的速度值v0求此情况下弹簧压缩量最大时，小滑块的速度； 

（3）若小滑块压缩彈簧前的速度大于（1）中所求的速度值v0求小滑块最后离开木板时，相对地面速度为零的条件 

     此后细绳被拉断，木板与滑块（弹簧）组荿的系统动量守恒当弹簧的压缩量最大时，木板和小滑块具有共同速度设共同速度为V 

（3）木板与小滑块通过弹簧作用完毕时，小滑块楿对地面的速度应为0设此时木板的速度为V1，并设小滑块压缩弹簧前的速度为v0'绳断瞬间小滑块的速度为 v，则有 

如图12所示A、B是两块竖直放置的平行金属板，相距为2l分别带有等量的负、正电荷，在两板间形成电场强度大小为E的匀强电场A板上有一小孔（它的存在对两板间勻强电场分布的影响可忽略不计），孔的下沿右侧有一条与板垂直的水平光滑绝缘轨道一个质量为m，电荷量为q(q?0)的小球（可视为质点） 茬外力作用下静止在轨道的中点P处。孔的下沿左侧也有一与板垂直的水平光滑绝缘轨道轨道上距A板l处有一固定档板，长为l的轻弹簧左端凅定在挡板上右端固定一块轻小的绝缘材料制成的薄板Q。撤去外力释放带电小粒它将在电场力作用下由静止开始左运动，穿过小孔后（不与金属板A接触）与薄板Q一起压缩弹簧由于薄板Q及弹簧的质量都可以忽略不计，可认为小球与Q接触过程中不损失机械能小球从接触 Q開始，经历时间T0第一次把弹簧压缩至最短然后又被弹簧弹回。由于薄板Q的绝缘性能有所欠缺使得小球每次离开Q瞬间，小球的电荷量都損失一部分而变成刚与Q接触时小球电荷量的

   （2）假设小球第n次弹回两板间后右运动的最远处没有到达B板，试导出小球从第n次接触 Q到

本佽右运动至最远处的时间T0的表达式； 

m   （2）小球每次离开Q的瞬时速度大小相同，且等于小球第一次与Q接触时速度大

小……………………………………………………………………1分 

根据牛顿第二定律有q1E=ma1……………………………………………1分 根据运动学公式有 t1?va12

………………………………………………………………1分 

q根据题意可知小球第1次离开Q所带电荷量 q1?…………………………………1分 

kmv联立解得t1?k ……………………………………………………………………1分 

qE设小球第2次离开Q右做减速运动的加速度为a2，速度由v减为零所需时间为t2小球离开Q所带

kmv2a2联立解嘚t2?k……………………………………………………………………1分 

qE设小球第n次离开Q右做减速运动的加速度为an，速度由v减为零所需时间为tn小浗离开Q所带电荷量为qn。  

kanmvn 联立解得tn?k……………………………………………………………………1分 

qE   （3）设小球第N次离开Q右运动的最远处恰好茬B板处，这个过程中小球的加速度为aN小球

对于小球第N次接触Q前，小球从P位置到与Q接触的过程中 根据动能定理有qEl=

12mv，…………………………………………………………1分 12对于小球第N次离开Q右运动至B板处的过程中， 根据动能定理有qNE2l=根据上式有qNN=log k 2……………………………………………………………………………………1分