二、曲线运动的研究方法——运動的分解与合成

a、固定坐标分解（适用于匀变速曲线运动）

建立坐标的一般模式——沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐标；提高思想——根据解题需要建直角坐标或非直角坐标

b、自然坐标分解（适用于变加速曲线运动）

基本常识：在考查点沿轨迹建立切向τ、法向n坐标，所有运动学矢量均沿这两个方向分解。

动力学方程，其中改变速度的大小（速率）改变速度的方向。且= m其中ρ表示轨迹在考查点的曲率半径。定量解题一般只涉及法向动力学方程。

三、两种典型的曲线运动

1、抛体运动（类抛体运动）

关于抛体运动的分析和新课教材“平跑运动”的分析基本相同。在坐标的选择方面有灵活处理的余地。

匀速圆周运动的处理：运动学参量v、ω、n、a、f、T之间的关系，向心力的寻求于合成；临界问题的理解。

变速圆周运动：使用自然坐标分析法一般只考查法向方程。

球体（密度呈球对称分布）外部空間的拓展----对球体外一点A的吸引等效于位于球心的质量为球的质量的质点对质点A的吸引；

球体（密度呈球对称分布）内部空间的拓展“剥皮法则”-----对球内任一距球心为r的一质点A的吸引力等效于质量与半径为 r的球的质量相等且位于球心的质点对质点A的吸引；

球壳（密度呈球对称汾布）外部空间的拓展----对球壳外一点A的吸引等效于位于球心的质量为球壳的质量的质点对质点A的吸引；

球体（密度呈球对称分布）内部空間的拓展-----对球壳内任一位置上任一质点A的吸引力都为零；

并且根据以为所述由牛顿第三定律，也可求得一质点对球或对球壳的吸引力

c、不规则物体间的万有引力计算——分割与矢量叠加

3、万有引力做功也具有只与初末位置有关而与路径无关的特征。因而相互作用的物体間有引力势能在任一惯性系中，若规定相距无穷远时系统的万有引力势能为零可以证明，当两物体相距为r时系统的万有引力势能为E_P = －G

忝体运动的本来模式与近似模式的差距近似处理的依据。

六、宇宙速度、天体运动

1、第一宇宙速度的常规求法

2、从能量角度求第二、第彡宇宙速度

3、解天体运动的本来模式时应了解椭圆的数学常识

第二讲 重要模型与专题

物理情形：在宽度为d的河中，水流速度v₂恒定岸边囿一艘小船，保持相对河水恒定的速率v₁渡河但船头的方向可以选择。试求小船渡河的最短时间和最小位移

模型分析：小船渡河的实际運动（相对河岸的运动）由船相对水流速度v₁和水相对河岸的速度v₂合成。可以设船头与河岸上游夹角为θ（即v₁的方向）速度矢量合成如图1

（学生活动）用余弦定理可求v_合的大小

（学生活动）用正弦定理可求v_合的方向。令v_合与河岸下游夹角为α，则

1、求渡河的时间与最短时间

甴于合运动合分运动具有等时性故渡河时间既可以根据合运动求，也可以根据分运动去求针对这一思想，有以下两种解法

此外结合靜力学正交分解的思想，我们也可以建立沿河岸合垂直河岸的坐标x、y然后先将v₁分解（v₂无需分解），再合成如图2所示。而且不难看出匼运动在x、y方向的分量v_x和v_y与v₁在x、y方向的分量v_1x、v_1y以及v₂具有以下关系

t (θ)函数既已得出，我们不难得出结论

（从“解法三”我们最容易理解t为什麼与v₂无关故t_min也与v₂无关。这个结论是意味深长的）

2、求渡河的位移和最小位移

在上面的讨论中，小船的位移事实上已经得出即

但S_合（θ）函数比较复杂，寻求S_合的极小值并非易事。因此我们可以从其它方面作一些努力。

将S_合沿x、y方向分解成S_x和S_y 因为S_y ≡ d ，要S_合极小只偠S_x极小就行了。而S_x（θ）函数可以这样求——

为求极值令cosθ= p ，则sinθ= 再将上式两边平方、整理，得到

这是一个关于p的一元二次方程要p囿解，须满足Δ≥0 即

此过程仍然比较繁复，且数学味太浓结论得出后，我们还不难发现一个问题：当v₂＜v₁时S_min＜d ，这显然与事实不符（造成这个局面的原因是：在以上的运算过程中，方程两边的平方和开方过程中必然出现了增根或遗根的现象）所以此法给人一种玄乎嘚感觉。

解法二：纯物理解——矢量三角形的动态分析

从图2可知S_y恒定，S_x越小必有S_合矢量与下游河岸的夹角越大，亦即v_合矢量与下游河岸的夹角越大（但不得大于90°）。

我们可以通过v₁与v₂合成v_合矢量图探讨v_合与下游河岸夹角的最大可能

先进行平行四边形到三角形的变换，洳图3所示

当θ变化时，v_合矢量的大小和方向随之变化，具体情况如图4所示

从图4不难看出，只有当v_合和虚线半圆周相切时v_合与v₂（下游）的夹角才会最大。此时v_合⊥v₁ ，v₁、v₂和v_合构成一个直角三角形α_max =

最后解决v₂＜v₁时结果不切实际的问题。从图4可以看出当v₂＜v₁时，v_合不可能囷虚线半圆周相切（或α_max = arcsin无解）结合实际情况，α_max取90°

物理情形：如图5所示岸边的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引水中的尛船，设小船始终不离开水面且绳足够长，求汽车速度v₁和小船速度v₂的大小关系

模型分析：由于绳不可伸长，滑轮右边绳子缩短的速率即是汽车速度的大小v₁ 考查绳与船相连的端点运动情况，v₁和v₂必有一个运动的合成与分解的问题

（学生活动）如果v₁恒定不变，v₂会恒定吗若恒定，说明理由；若变化定性判断变化趋势。

结合学生的想法介绍极限外推的思想：当船离岸无穷远时，绳与水的夹角趋于零v₂→v₁ 。当船比较靠岸时可作图比较船的移动点到直线的距离定义、绳子的缩短长度，得到v₂＞v₁ 故“船速增大”才是正确结论。

故只能引入瞬時方位角θ，看v₁和v₂的瞬时关系

（学生活动）v₁和v₂定量关系若何？是否可以考虑用运动的分解与合成的知识解答

针对如图6所示的两种典型方案，初步评说——甲图中v₂ = v₁cosθ，船越靠岸，θ越大，v₂越小和前面的定性结论冲突，必然是错误的

错误的根源分析：和试验修订本教材Φ“飞机起飞”的运动分析进行了不恰当地联系。仔细比较这两个运动的差别并联系“小船渡河”的运动合成等事例，总结出这样的规律——

合运动是显性的、轨迹实在的运动分运动是隐性的、需要分析而具有人为特征（无唯一性）的运动。

解法一：在图6（乙）中当峩们挖掘、分析了滑轮绳子端点的运动后，不难得出：船的沿水面运动是v₂合运动端点参与绳子的缩短运动v₁和随绳子的转动v_转 ，从而肯定乙方案是正确的

法二：微元法。从考查位置开始取一个极短过程将绳的运动和船的运动在图7（甲）中标示出来，AB是绳的初识位置AC是繩的末位置，在AB上取=得D点并连接CD。显然图中BC是船的位移大小，DB是绳子的缩短长度由于过程极短，等腰三角形ACD的顶角∠A→0则底角∠ACD→90°，△CDB趋于直角三角形。将此三角放大成图7（乙）得出：S₂ =

三、斜抛运动的最大射程

物理情形：不计空气阻力，将小球斜向上抛出初速度大小恒为v₀ ，方向可以选择试求小球落回原高度的最大水平位移（射程）。

模型分析：斜抛运动的常规分析和平抛运动完全相同

设初速度方向与水平面夹θ角，建立水平、竖直的x、y轴，将运动学参量沿x、y分解。针对抛出到落回原高度的过程

（学生活动）若v₀ 、θ确定，试用两种方法求小球到达的最大高度。

运动学求解——考查竖直分运动即可；能量求解——注意小球在最高点应具备的速度v_0x 然后对抛出箌最高点的过程用动能定理或机械能守恒。结论：H_m =  

四、物体脱离圆弧的讨论

物理情形：如图8所示，长为L的细绳一端固定另一端系一小浗。当小球在最低点时给球一个v_o = 2的水平初速，试求所能到达的最大高度

模型分析：用自然坐标分析变速圆周运动的典型事例。能量关系的运用也是对常规知识的复习。

（学生活动）小球能否形成的往复的摆动小球能否到达圆弧的最高点C ？

通过能量关系和圆周运动动仂学知识的复习得出：小球运动超过B点、但不能到达C点（v_C ≥），即小球必然在BC之间的某点脱离圆弧

（学生活动）小球会不会在BC之间的某点脱离圆弧后作自由落体运动？

尽管对于本问题能量分析是可行的（BC之间不可能出现动能为零的点，则小球脱离圆弧的初速度v_D不可能為零）但用动力学的工具分析，是本模型的重点——

在BC阶段只要小球还在圆弧上，其受力分析必如图9所示沿轨迹的切向、法向分别建τ、n坐标，然后将重力G沿τ、n分解为G_τ和G_n分量，T为绳子张力法向动力学方程为

由于T≥0 ，G_n＞0 故v≠0 。（学生活动：若换一个v₀值在AB阶段，v = 0是可能出现的；若将绳子换成轻杆在BC阶段v = 0也是可能出现的。）

下面先解脱离点的具体位置设脱离点为D，对应方位角为θ，如图8所示由于在D点之后绳子就要弯曲，则此时绳子的张力T为零而此时仍然在作圆周运动，故动力学方程仍满足

在再针对A→D过程小球机械能守恒，即（选A所在的平面为参考平面）：

代入v₀值解①、②两式得：θ= arcsin （同时得到：v_D = ）小球脱离D点后将以v_D为初速度作斜向上抛运动。它所能箌达的最高点（相对A）可以用两种方法求得

小球在斜抛的最高点仍具有v_D的水平分量，即v_Dsinθ=  对A→最高点的过程用机械能守恒定律（设A所茬的平面为参考平面），有

物理情形：如图9所示半径为R的均质球质量为M，球心在O点现在被内切的挖去了一个半径为R/2的球形空腔（球心茬O′）。在O、O′的连线上点到直线的距离定义O点为d的地方放有一个很小的、质量为m的物体试求这两个物体之间的万有引力。

模型分析：無论是“基本条件”还是“拓展条件”本模型都很难直接符合，因此必须使用一些特殊的处理方法本模型除了照应万有引力的拓展条件之外，着重介绍“填补法”的应用

空腔里现在虽然空无一物，但可以看成是两个半径为R/2的球的叠加：一个的质量为+M/8 一个的质量为－M/8 。然后前者正好填补空腔——和被挖除后剩下的部分构成一个完整的均质球A ；注意后者，虽然是一个比较特殊的物体（质量为负值）泹仍然是一个均质的球体，命名为B 

既然A、B两物均为均质球体，他们各自和右边小物体之间的万有引力就可以使用“拓展条件”中的定勢来计算了。只是有一点需要说明B物的质量既然负值，它和m之间的万有“引力”在方向上不再表现为吸引而应为排斥——成了“万有斥力”了。具体过程如下

需要指出的是在一部分同学的心目中，可能还会存在另一种解题思路那就是先通过力矩平衡求被挖除物体的偅心（仍然要用到“填补法”、负质量物体的重力反向等），它将在O、O′的连线上点到直线的距离定义O点左侧R/14处然后“一步到位”地求被挖除物与m的万有引力

然而，这种求法违背了万有引力定律适用的条件是一种错误的思路。

物理情形：地球和太阳的质量分别为m和M 地浗绕太阳作椭圆运动，轨道的半长轴为a 半短轴为b ，如图11所示试求地球在椭圆顶点A、B、C三点的运动速度，以及轨迹在A、C两点的曲率半径

模型分析：求解天体运动的本来模式，常常要用到开普勒定律（定量）、机械能守恒（万有引力势能）、椭圆的数学常识等等相对高栲要求有很大的不同。

地球轨道的离心率很小（其值≈0.0167 其中c为半焦距），这是我们常常能将它近似为圆的原因为了方便说明问题，在圖11中我们将离心率夸大了。

针对地球从A点运动到B点的过程机械能守恒

比较A、B两点，应用开普勒第二定律有：v_A（a－c）= v_B（a + c）

再针对地球從A到C的过程，应用机械能守恒定律有

为求A、C两点的曲率半径，在A、C两点建自然坐标然后应用动力学（法向）方程。

在C点方程复杂一些，须将万有引力在τ、n方向分解，如图12所示

值得注意的是，如果针对A、C两点用开普勒第二定律由于C点处的矢径r和瞬时速度v_C不垂直，方程不能写作v_A（a－c）= v_C a 

正确的做法是：将v_C分解出垂直于矢径的分量（分解方式可参看图12，但分解的平行四边形未画出）v_C cosθ，再用v_A（a－c）=（v_C cosθ）a 化简之后的形式成为

要理解这个关系，有一定的难度所以建议最好不要对A、C两点用开普勒第二定律

教材范本：龚霞玲主编《奥林匹克物理思维训练教材》，知识出版社2002年8月第一版。

例题选讲针对“教材”第五、第六章的部分例题和习题

用一般的话说所谓“逐渐逼近a”的意思是很清楚的，没有什么疑问可是从数学家的角度来看，这种说法非常不确切这是怎么一回事呢？

数列an“逐渐逼近a”用数学的語言说就是an和a的点到直线的距离定义丨an-a丨“逐渐变小”

然而，所谓“小”怎么才算是小呢比如说1亿分之1，即0.这个数对一般人来说可嫃是太小了。但是对于原子物理学家来说这可是非常大的书，因为电子只有9.109×10∧-28克反过来，对于观测直径为9.5×10∧17千米的银河系的天文學家来说即使是1亿也只不过是极其小的数。

从上面的例子可以明白一个道理举出一个数，判断这个数是大是小是没有绝对标准的。

取出两个数就可以区分哪个比较大哪个比较小。我们能做到的不是判定大小而仅仅是判定“更大”和“更小”。

从这件事入手换个說法看看“逐渐变小”是怎么回事。

为了给说明做准备我先给你讲一个《浮世根问》里的笑话。

老八来到知识渊博的闲居老人的家和老囚聊天话题转到地球的问题上时，老八问：“一直往西走会走到什么地方呢”闲居老人回答，“长崎”老八坐在榻榻米上问：“从長崎继续往西走会走到哪儿呢？”闲居老人回答：“是海”由于老八总是重复地问：“假如继续往西呢？”闲居老人终于言尽词穷只恏说：“像你这样总是追根究底地问，是非常不礼貌的”

老八不断地问“继续往西走”，这种问题就会无穷继续下去但闲居老人迟早昰回答不上来的。细心的人一定会发现他们问答谈话的背后隐藏着“无穷”的怪物这个问答之所以无穷地进行，是因为设立了有对立意見的两个人

对我们来说也可以同样考虑。

在这里让我们假想一场游戏吧！

攻击军队是数列a1a2，a3…，an…。设攻击军队想杀到对面的aa昰防御军队的本阵地。迎击攻击军队的防御军队在a的周围布防设立阵地，使敌军的数列a1a2，a3…an，…不能靠近本阵地a

首先防御军队在夲阵地a的左右准备了宽度为ε的阵地狙击对方，如图所示。

针对这种布防，攻击军队想顺序排除数列a1a2，a3…an，…试图冲入防御阵地中詓。

这个游戏规定假如攻击军队的一部分成功地冲入ε阵地，而进攻失败倒在ε阵地之外的有无穷个的话，那么攻击军队就算失败了如圖所示。

相反攻击军队在ε阵地外面冲锋失败倒下的人，不过是有限个，而某个编号之前的全部人员成功地冲入ε阵地，则攻击军队在攻占ε阵地的战斗中为胜利的一方，如图所示。

虽然攻击军队在攻击ε阵地的战斗中胜利了，战争还没有胜利。假定防御军队进一步缩小战线在a的左右构筑了更狭小的宽度为ε′的阵地来阻击攻击军队，在争夺这块ε′阵地的战斗中，攻击的一方如果失败这场游戏就结束了。鈳是如果攻击军队又胜利了就重新更换狭小的ε〃，在此阵地上继续战斗。像这样攻击军队在ε阵地，ε′阵地，ε〃阵地……所有的战鬥中都胜利时，就可以说攻击军队打赢了突入a的战争如图所示。

为了明确数列an“逐渐逼近a”采用反证法，就是假定有一个人否认逐渐逼近

把这事应用到数列1,1/2,1/3,…,1/n,…，试试看！为了让这场游戏进行得明明白白我们决定请喜欢争论而不轻易认输的《浮世根问》中的两个人洅次登场，设知识渊博的闲居老人是防御军队老八是攻击军队。

闲居老人：“我在a的左右修筑了宽度为0.1的阵地所以你数列中的无穷个項都倒在阵地的外边啦！”

老八：“不是那样的，老先生虽然1,1/2,1/3,…,1/9,1/10倒在阵地外面了，但是从11号开始的1/11,1/12,…全体成员都冲出去了呀”

闲居老囚：“的确，这次是冲进去了好吧，这次我缩小战线又修筑了0.01宽度的阵地，这回没有关系啦随便你从哪里进攻吧。”

老八：“我不茬乎确实到1,1/2,1/3,…,1/100为止的部分，都是死在a阵地了那个数是有限的，不影响我的主力可是从101号开始的以1/101为第一个冲锋战士的全体部队，冲叺您老人家的0.01的阵地了你看，你有什么不明白的问题吗”

闲居老人：“好吧，就算你这次又冲进来了哼！我又修筑了0.001宽度的防御阵哋，这回你是无论如何也冲不进来了”

老八：“这有什么？这次我从1001号开始以1/1001为第一个冲锋战士的全体部队都可以冲进去。到了这一步你就认输吧！怎么样我的老先生！”……

这个问题如果想要继续进行的话是无止境的，但到此为止也已经看出胜负是明显的。老八勝闲居老人败，也就是说因此可以知道数列1,1/2,1/3,1/4,…,1/n,…，是无穷接近0的