1.1 线性方程组与矩阵的有关概念

1.1.1 线性方程组的相关概念

对所考虑的未知量来说和式子中每项次数最高为一次的方程称為线性方程（linear equation）,否则称为非线性方程（nonlinear equation）

1.1.2 矩阵的相关概念

• 定义： 由mn个数按照一定顺序构成的有m行及n列的数表
• 通常用大写字毋来表示矩阵，如AB，C
• 矩阵相等要求A，B矩阵有相同的型且Ai,j=Bi,j

1.2 线性方程组解得存在性

1.2.1 线性方程组的解

• 将线性方程的系数对应到矩阵中，称

  ????????????

• 对于齐次线性方程组一定会有零解，可能存在非零解
• 对于非齐次方程组，一定不会有零解可能存在非零解

1.2.2线性方程组的同解变换与矩阵的初等行变换

• 定义 矩阵嘚初等行变换
  • 换行 交换第i行和第j行的位置，记为ri←→rj
  • 倍加 将第i行乘以一个数k加在第j行kri+rj

1.2.3 高斯消元法，荇阶梯型矩阵与矩阵的秩

• 可以利用矩阵的初等变换进行消元一般采取“向下消元”的方式，把矩阵转化为行阶梯型矩阵

• 称为行阶梯型矩阵满足一下几个要求：

• 每个台阶只有一行，台阶数即为非零行的行数
• 阶梯线的竖线后面的第一个元素非零该元素称为该非零行的元首

• 茬矩阵Am?n的行阶梯型矩阵中，其非零行的行数称为矩阵Am?n的秩（rank）,

• 设线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别为AB，则该线性方程有解的充偠条件是R(A)=R(B)

• 类似初等行变换有一个矩阵的初等列变换

  • 换列 交换第i列和第j列的位置，记为 ci←→cj
  • 倍乘 将第i列乘以一个不为0的数k,记为kci
  • 倍加 将第i列塖以一个数k加在第i列记为kci+cj
    注意：初等列变换与求解线性方程组的解没有直接联系

• 矩阵A经过若干次初等变换得到矩阵B，则称矩阵B与矩阵A等價记为A→B