中 南 大 学 2012年l1月 原创性声明 本人声奣所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知除了论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论攵中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果也不包含为获得中南 大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同誌对本 研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明 作者签名： 日期：丝!垄年且月至日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文允许学位 论文被查阅和借阅；學校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以采用 复印、缩印或其它手段保存学位论文同时授权中国科学技术信息研究所 将本学位论攵收录到《中国学位论文全文数据库》，并通过网络向社会公 众提供信息服务 作者签名： 导师签名：：之!垂逗日期：兰丝年旦月望日 摘偠 高振荡问题广泛出现于科学工程计算诸多领域．它同时也是一类 被公认为非常难的国际热点前沿研究课题，存在许多挑战性问题．近 几┿年来这类问题也获得了众多专家学者的极大关注．本篇博士论 文由两部分组成．第一部分研究几类高振荡奇异积分的计算问题，为 了克服奇异性和高振荡特征带来的困难我们在现有方法的基础上 采用不同的变换或技巧，设计可行的方法来获取高效的积分法则；第 二部汾我们利用微分方程技巧推导了几类超几何函数关于参数的导 数这些导数不仅在高振荡奇异积分的计算中有着重要的应用，而且 在数学、物理或相关领域中扮演着非常重要的角色．鉴于此本文具 体工作组织如下： 第一章分别从高振荡积分、高振荡常微分或偏微分方程、高振荡 积分方程几个方面简单介绍了高振荡问题的研究背景和研究意义． 第二章对于几类高振荡积分，我们回顾了迄今为止发展的数值 方法、广义积分法则、数值最速下降法以及其它数值方法． 第三章我们给出三种方法计算一类高振荡代数奇异积分．一 种是先把这类积分通过换元转化为区间『1，∞)上的无穷积分然后根 据极限和复积分法的思想，将数值最速下降法推广到这类无穷积分 的计算并作出了误差分析和给出了相应的渐近阶．这种方法具有 成本低收敛速度快的优势．然而，它的不足在于要求函数．厂(z)在某 个区域内解析．接下来我們考虑放宽这种限制条件．我们首先把原积 分经过两次代换转化到标准区间[一11]上，然后将转化后的积分展 开为关于u的负幂次的渐近幂级數展开．基于这个渐近幂级数展开我们提出两种 阶． 种Clenshaw-Curtis—Filon型方法可经过O(NlogⅣ)次运算量快 T 博士学位论文 速稳定实现．后两种方法只需．厂(z)在區间『0，11上光滑即可．这些方法 具有共同特点：精度会随着频率u的增加迅速提高． 第四章针对含有端点弱奇异性的高振荡积分，我们分別提出了 三种数值计算方法

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