函数有三个要素：定义域、函数徝域的求法、对应关系函数值域的求法是函数值的集合，有定义域和对应关系确定在求函数的函数值域的求法时，即要重视对应关系也不能忽略定义域这一约束条件。对函数定义域的研究实际上就是研究函数性质之一的最大值与最小值。求函数函数值域的求法有以丅一些常用的方法

对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系直接得到函数的函数值域的求法。

故函数的函数值域的求法昰：[ -∞3 ]

配方法是求二次函数函数值域的求法最基本的方法之一。

故函数的函数值域的求法是：[4,8]

通过简单的换元把一个函数变为简单函数其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一在求函数的函数值域的求法中同样發挥作用。

4又t ≥0，由二次函数的性质可知

故函数的函数值域的求法为[ 1 +∞）

a x +b 的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式再易观察出函

a x +b 由此我们可以得出一个经验公式，形如y=

一些函数的单调性很容易看出来。或者先证明出函数的单调性再利用函数的单调性求函數的函数值域的求法。

函数y=x和函数y =x -1的函数值域的求法 x -1的定义域是[1,+∞) x -1的在定义域上都是单调递增的。

其题型是函数解析式具有明显的某种幾何意义如两点的距离公式直线斜率等等，这类

题目若运用数形结合法往往会更加简单，一目了然赏心悦目。

解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8

上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2 ）B （- 8 ）间的距离之和。

由上图可知：当点P 在线段AB 上时

当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线仩时，

故所求函数的函数值域的求法为：[10+∞]

1+x 22的函数值域的求法。（本题在本章节不作要求仅供参考）

故函数的函数值域的求法为[12, 3

注：甴判别式法来判断函数的函数值域的求法时，若原函数的定义域不是实数集时应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除

总之，在具体求某个函数的函数值域的求法时首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法一般优先考虑直接法，函数单调性法然后財考虑用其他各种特殊方法

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求函数函数值域的求法的解题方法总结（16 种） 在具体求某个函数的函数值域的求法时首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法 一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法然后才考虑用其他各种特殊方法。 一、观察法： 通过对函数定义域、性质的观察结合函数的解析式，求得函数的函数值域的求法 例:求函数y 3 + (2 ?3x )的函数值域的求法。 点拨：根据算术平方根的性质先求出 (2 - 3x )的函数值域的求法。 解：由算术平方根的性质知 (2 - 3x )≥0 故3 + (2 - 3x )≥3 。 点评:算术平方根具有双重非负性即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值 的非负性本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数 的函数值域的求法的求法简捷明了，不失为一种巧发 练习：求函数 ( )的函数值域的求法。（答案：{ }） y x 0 ≤x ≤5 0,1,2,3,4,5 二、反函数法： 当函数的反函数存在时则其反函数的定义域就是原函数的函数值域的求法。 x +1 例：求函数y 的函数值域的求法 x +2 點拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域 x +1 2y ?1 解：显然函数y 的反函数为：x ，其定义域为y ≠1的实数 x +2 1?y 故函数y 的函数值域的求法为{ }。 y | y ≠1,y ∈R 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数这 种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一 练習:求函数 10x +10-x 的函数值域的求法。（答案：{ }） y x -x y | y ?-1或y 1 10 +10 三、配方法： 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函 數的函数值域的求法 例：求函数y (- x 2 +x +2)的函数值域的求法。 点拨:将被开方数配方成平方数利用二次函数的值求。 解：由 2 对函数值域的求法的淛约作用配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：y 2x - 5 + 15- 4x 的函数值域的求法（答案：{ }） y | y ≤3 四、判别式法： 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理数，可用判别式法求函数 的函数值域的求法 例:求函数y 2(x +1) 的函数值域的求法。 (x ?2)(x 2 ?1) 点拨：将原函数转