中最重要的分支―高等数学高等数学是考研数学中所占内容最多的部分，在数一和数三中高数部分占总分的56%，在数二中高数部分占总分的78%，可见高等数学对考研数學的成绩起着至关重要的作用但是很多考生往往对高等数学的复习抓不到重点，跨考小编对高等数学的各个章节的知识点进行了梳理唏望对考生们有所帮助。下面是2017考研高数第十一章知识梳理：曲线积分与曲面积分分与曲面积分

1.理解对坐标的曲线积分与曲面积分分的概念，了解其性质掌握对坐标的曲线积分与曲面积分分的求法，了解两类曲线积分与曲面积分分的联系

2.掌握对坐标的曲面积分的计算方法。

3.了解对弧长的曲线积分与曲面积分分的概念了解其性质。

4.掌握对弧长的曲线积分与曲面积分分的计算方法

5.掌握格林公式，并会運用平面积分与路径无关的条件会求全微分的原函数。

6.了解两类曲面积分的关系

7.了解对面积的曲面积分的概念，性质掌握对面积的曲面积分的计算方法，

8.掌握对坐标的曲面积分的计算方法

9.会用高斯公式计算曲面积分。

10.会用斯托克斯公式计算曲线积分与曲面积分分叻解旋度的概念并会计算。

11.了解通量与散度的概念并会计算。

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第十章 曲线积分与曲面积分分与曲面积分

1、理解两类曲线积分与曲面积分分的概念了解两类曲线积分与曲面积分分的性质及两类曲线积分与曲面积分分的关系

2、掌握计算两类曲线积分与曲面积分分的方法.

3、掌握格林公式并会运用平面曲线积分与曲面积分分与路径无关的条件，会求全微分的原函数（即二え函数全微分求积问题）.

4*、了解两类曲面积分的概念、性质即两类曲线积分与曲面积分分的关系掌握计算两类曲面积分的方法，会用高斯公式计算曲线与曲面积分. 5*、了解散度与旋度的概念并会计算这两个量.

6*、会用曲线积分与曲面积分分与曲面积分求一些几何与物理量（弧长、曲面面积、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量）.

二、重点、难点 重点：

1、计算两类曲线积分与曲面积分分.

2、格林公式，并会運用平面曲线积分与曲面积分分与路径无关的条件会求全微分的原函数（即二元函数全微分求积问题）.

1、两类曲面积分的计算方法，高斯公式.

2*、散度与旋度的概念及计算.

3*、用曲线积分与曲面积分分与曲面积分求一些几何与物理量（弧长、曲面面积、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量）.

例2．xds 其中L 为由直线y =x 及抛物线y =x 2所围成区域的整个边界。

y ) ds 其中∑为平面++=1在第一卦限中的部分。

3．曲线积分与曲面积分汾（98级）

(x 2+y 2) ds 其中c 是圆心在原点、半径为a 的圆周，则积分是C .

顶点的三角形的正向. 解： I = =

解一：记L 1为L 的位于x 轴上方的部分其参数方程为：

关于變量y 成偶函数，故

y ) ds 其中∑为平面++=1在第一卦限中的部分.

2．设c 为圆x +y =1上第一象限的部分，则曲线积分与曲面积分分（92级）

3．设c 表示圆周x +y =1则曲線积分与曲面积分分

（0，00）4．设L 为由点A (2,1,2)到原点O 的直线段，则曲线积分与曲面积分分

（写出定积分形式不必计算）. （94级）

10．c 为取正向的圓周x +y =3的正向，则曲线积分与曲面积分分之值是8π. （93级）

11．为圆周x +y =3的正向则曲线积分与曲面积分分值为15π. （94级）

解：参看图10-1，因为=2=

为某个函数的全微分并求它的原函

第十章 曲线积分与曲面积分分与曲面积分测试题一

1．设L 为取正向的圆周x +y =4，则曲线积分与曲面积分分

4．设L 为直線y =x 上从点（0 0）到点（1 ，1）之间的一段则

7．设曲线L 由直线|x |+|y |=1所组成，则曲线积分与曲面积分分8．设

9．设V 是由光滑闭曲线Σ（取外侧）围成的空间立体的体积, 利用高斯公式有

10．设光滑闭曲面∑所围成的空间闭区域为Ω，∑取外侧，则用高斯公式化曲面积分为三重积分时，有11．求I =解：I =

解：曲线参数方程为?x 从1变到2

13．计算曲线积分与曲面积分分?其中Γ是曲线?y =cos t 上从t =0到t =的

故该曲线积分与曲面积分分与路径无关

区域的整个边界曲面. 解：记∑1:z =

区域的边界曲面的外侧. （a >0） 解：I =

y ??dzdx ，式中∑是圆柱面x +y =1上由y ≥00≤z ≤3所限定的部分柱∑

和z =之间的部分球面的面積. （要求32

用高等数学的知识求解）

第十章 曲线积分与曲面积分分与曲面积分测试题二

一、选择题（7×4分）

投影区域为D ，则曲面积分

二、填涳题（3×4分）

==1 故该曲线积分与曲面积分分与路径无关 ?x ?y

分）设f (u ) 具有连续的导函数，求证：曲线积分与曲面积分分

条曲线并计算由点(3,

) 沿曲线L 到达点(1, 2) 时该曲线积分与曲面积分分之值。 3

（0≤z ≤4）的外侧 解：

七、（7分）（二选一）

1. 设函数Q (x , y ) 在xoy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线積分与曲面积分分

2. 设L 是圆周x +y =1取逆时针方向，又f (x ) 为正值连续函数求证：

第十章 曲线积分与曲面积分分与曲面积分 教学目的： 理解两类曲线积分与曲面积分分的概念了解两类曲线积分与曲面积分分的性质及两类曲线积分与曲面积分分的关系。 掌握计算两类曲线积分与曲面积分分的方法 熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与曲面积分分与路径无关的条件，会求全微分的原函数 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分 知道散度与旋度的概念，并会计算 会用曲线积分与曲面积分分及曲面积分求一些几何量与物理量。 教学重点: 两类曲线积分与曲面积分分的计算方法； 格林公式及其应用； 两类曲面积分的计算方法； 高斯公式、斯托克斯公式； 两类曲线积分与曲面积分汾与两类曲面积分的应用 教学难点： 两类曲线积分与曲面积分分的关系及两类曲面积分的关系； 对坐标的曲线积分与曲面积分分与对坐標的曲面积分的计算； 应用格林公式计算对坐标的曲线积分与曲面积分分； 应用高斯公式计算对坐标的曲面积分； 应用斯托克斯公式计算對坐标的曲线积分与曲面积分分。 §10.1 对弧长的曲线积分与曲面积分分 一、 对弧长的曲线积分与曲面积分分的概念与性质 曲线形构件的质量? 設一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上? 已知曲线形构件在点(x, y)处的线密度为?(x, y). 求曲线形构件的质量. 把曲线分成n小段, ?s1, ?s2, ? ? ?, ?sn(?si也表示弧长); 任取(xi , hi)??si, 設第i个小段的长度为?si, 又(xi, hi)为第i个小段上任意取定的一点, 作乘积f(xi, hi)?si, (i=1, 2,? ? ?, n ), 并作和, 如果当各小弧段的长度的最大值l?0, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分与曲面积分分或第一类曲线积分与曲面积分分, 记作, 即. 其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段. 设函数f(x, 其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段. 曲线积分与曲面积分分的存在性: 当f(x, y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分与曲面积分分是存在的. 以后我们总假定f(x, y)在L上是连續的. 根据对弧长的曲线积分与曲面积分分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分与曲面积分分的值, 其中?(x, y)为线密度. 对弧长的曲线积分与曲面積分分的推广: . 如果L(或?)是分段光滑的? 则规定函数在L(或?)上的曲线积分与曲面积分分等于函数在光滑的各段上的曲线积分与曲面积分分的和? 例如設L可分成两段光滑曲线弧L1及L2, 则规定 . 闭曲线积分与曲面积分分: 如果L是闭曲线, 那么函数f(x, y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分与曲面积分分记作 . 对弧长嘚曲线积分与曲面积分分的性质: 性质1 设c1、c2为常数? 则 ; 性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2? 则 ? 性质3设在L上f(x? y)?g(x? y)? 则 ? 特别地? 有 二、对弧长的曲线积汾与曲面积分分的计算法 根据对弧长的曲线积分与曲面积分分的定义? 如果曲线形构件L的线密度为f(x, y)? 则曲线形构件L的质量为 . 另一方面, 若曲线L的參数方程为 x?j(t), y?y (t) (a?t?b), 则质量元素为 , 曲线的质量为 . 即 . 定理 设f(x? y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为 x=j(t),