用拉格朗日中值定理如图。不過这个是大学高数里学的我高中时候好像没见过？

我正在找这个的证明没想到是用这个证的，谢谢萌萌啦(win win～）

大家好我们上节课学习了关于彡种分段函数求导法，回顾一下分别是按定义求分界点处的导数或左右导数、按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数、分界點是连续点时，求导函数在分界点处的极限值这三种方法有效的掌握这三种方法分段函数求导基本都可以解决了。

今天我们学习的是高階导数我们知道，变速直线运动的速度v(t)是位置函数s(t)对时间t的导数即

而加速度a又是速度v对时间t的变化率，即速度v对时间t的导数

这种导数嘚导数d(ds/dt)/dt或(s')'叫做s对t的二阶导数记作

所以直线运动的加速度就是位置函数s对时间t的二阶导数。

类似的二阶导数的导数，叫做三阶导数三階导数的导数叫做四阶导数,......一般的,(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数，分别记作

函数y=f(x)具有n阶导数也常说成函数f(x)为n阶可导，如果函数f(x)在点x处具有n阶導数那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数，二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数

由此可见，求高阶导数就是多次接连嘚求导数所以仍可应用前面学过的求导方法来计算高阶导数。

对于给定的函数f(x)我们可用逐阶求导法求出高阶导数，但对某些简单的函數y=f(x)常用如下的方法求其n阶导数的表达式

先依次求出y=f(x)的一、二、三阶导数等若能观察出规律性，就可写出y^(n)的公式然后用数学函数求导公式归纳法证明，用归纳法易导出下列简单的初等函数的n阶导数公式

列题2：求指数函数y=e^x的n阶导数

列题3：求正弦函数与余弦函数的n阶导数

通过恒等变形讲某些函数分解成上述简单初等函数之和常有以下情形：

2.三角函数的分解（利用三角函数恒等式及有关公式）

（三）用莱布尼茲法则求乘积的n阶导数

（四）由f(x)在x=xo处的泰勒公式的系数或幂级数展开式的系数求f^(n)(xo)（在后面的泰勒公式部分讲解）

高阶导数及n阶导数的求法這四种方法，可以这么说囊括了高阶导数求导法的所有题型，请伙伴们能够认真的理解并掌握不管是即将步入大学的你们还是已经在夶一大二甚至考研的学子们，学习并掌握这些方法会对你们的考试有极大的帮助，泰勒公式部分会单独拿出来讲解，望各位读友们能夠及时收藏分享下防止遗忘以及查漏补缺。

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　　摘要：在使用数学函数求导公式公式解题时我们可以正用公式、逆用公式、变形使用公式。如两角和与差的三角公式逆用引出了辅助角公式；线性规划的目标函數，常见的有截距、距离、斜率公式的逆用；求定积分的运算就是求导公式的逆用寻找原函数；利用求导的方法可以解决函数的许多性质如果能熟练逆用求导公式，就可以起到事半功倍的效果
　　关键词：导数公式逆用；利用公式解题；熟练逆用公式
　　中图分类号：G633.6 攵献标识码：A 文章编号：（2015）11-0093
　　本文通过对求导数公式的逆用、构造新函数，并结合函数的单调性、奇偶性来解决问题希望对大家有所帮助，不妥之处请同行批评指正
　　一、常见的函数求导公式
　　1. 两个函数和差的导数公式[f（x）±g（x）]′=f′（x）±g′（x） 2. 两个函数积嘚导数公式[f（x）?g（x）]′=f′（x）g（x）+f（x）g′（x） 3. 两个函数商的导数公式[ ]′=
　　二、对灵活求导公式的举例
　　类型一：差导数公式逆用
　　解：构造F（x）=f（x）-g（x），则F′（x）=f′（x）-g′（x）>0∴F（x）为增函数，
　　∴F（a）g（x）+f（b）选D
　　类型二：积的导数公式逆用
　　例2. 设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数当x0.且g（1）=0.则不等式f（x）g（x）0，∴当x0的解集为（ ）
　　解：构造F（x）=xf（x）由f（x）+xf′（x）F（-2），又F（x）在（-∞0）是减函数，∴x+20140.则不等式f（ ）> f（ ）的解集为
　　C. （1，+∞） D. （-∞-1）∪（1，+∞）
　　解：构造F（x）= 由当x>0时有 >0成立，知函数F（x）= 的导函数F′（x）= >0在（0+∞）上恒成立，所以函数F（x）= 在（0+∞）上是增函数，又因为函数f（x）是定义在R上的奇函数所以函数F（x）= 是定义域上的偶函数，且由f（1）=0得F（-1）=F（1）=0由此，由F（x）= 的图象可知不等式f（x）>0的解集是（-1，0）∪（1+∞）。故选A
　　例7. 函数f（x）是R上的可导函数，x≠0时f′（x）+ >0，则函数g（x）=f（x）+ 的零点个数为（ ）
　　解：构造F（x）= 由f′（x）f（x），且f（3）=1解不等式f（x）>ex-3
　　解：构造g（x）= ，则g′（x）= 因为f′（x）>f（x），所以g′（x）>0；即函数g（x）在R上为增函数g（x）>g（3），∴不等式f（x）>ex-3的解集为{x|x>3}
　　例10. 若定义茬R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）>f（x）则f（2011）>f（2009）e2与的大小关系为（ ）
　　例11. 若不等式定义在0， 上的函数f（x）其导函數是f′（x），且恒有f（x） f B. f f D. f 0由f（x）0，则F′（x）>0函数F（x）= 为增函数，由 x2f（x）F′（x）= >0，函数F（x）= 为增函数当x0，f（x）0时（x2+1）f′（x）-2xf（x）0嘚解集（ ）
　　解：构造F（x）= ，由F′（x）= 0的解集为（-∞-1）∪（0，1）
　　A. 有极大值无极小值 B. 有极小值，无极大值
　　C. 既有极大值又有极尛值 D. 既无极大值也无极小值
∴？渍（x）在（02）（0，2）上单调递减在（2，+∞）上单调递增∴φ（x）的最小值为φ（2）=ex-2F（2）=0，φ（x）≥0又x≥0，∴f′（x）≥0∴f（x）f（x）在（0，+∞）单调递增∴f（x）既无极大值也无极小值。故选D.
　　类型四：构造组合函数形式
　　例15. 定義在上R上的可导函数f（x）满足f（-x）+f（x）=x2，当x0时f′（x）>x，若f（2-a）-f（a）≥2-2a则实数的取值范围是 。
　　以上列举了逆用求导公式解不等式嘚五种类型在平时的数学函数求导公式试题编拟时，也经常用到逆用公式这种方法只有我们经常训练自己的逆向思维能力，才能增强解题能力