设平面EDF的法空间向量建系为n=(xy，z) 則 所以 从而二面角E-DF-C的余弦值为 答案： 2.建立如图所示的空间直角坐标系 则由已知可得 设CF=λ，则F(0，4λ)， (0<λ≤4)平面AEF的法空间向量建系为m=(x，yz)， 易得 由 可得 即 取 又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法空间向量建系为 n=(1,0,0)于是由θ为锐角可得 所以 由0<λ≤4，得 即 故当λ=4即点F与点C1重匼时，tan θ取得最小值 【拓展提升】与空间角有关的翻折问题与最值问题的解法. (1)翻折问题：要找准翻折前后的图形中的不变量及变化的量. (2)最值問题：关于最值问题关键是构造与最值有关的函数或不等式再利用函数的方法或不等式的方法求最值. 【易错误区】混淆平面法空间向量建系的夹角与二面角的关系致误 【典例】(2013·衡水高二检测)如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中二面角A-BD1-C的大小为______. 【解析】连接DA1，DC1以D为原点，建立如图所示的空间直 角坐标系设正方体的棱长为1，则 是平面ABD1的 一个法空间向量建系 是平面BCD1的一个法空间向量建系，所以 又二面角A-BD1-C为钝角① 所以二面角A-BD1-C的大小为120°. 【误区警示】 【防范措施】 几何图形的利用 用空间向量建系法求二面角的大小时，要注意〈n1n2〉与二面角的平面角嘚关系是相等的还是互补的，在求出〈n1n2〉后，一定要观察分析图形看所求二面角是与〈n1，n2〉相等的还是互补的，如本例中所求二面角A-BD1-C为钝角而空间向量建系法所求得的为锐角，故结论应为120°. 【类题试解】在长方体ABCD-A1B1C1D1中AD=AA1=1,AB=2, 点E在AB上，且 则二面角D1-CE-D的大小为____. 【解析】以D为坐标原点分别以直线DA，DCDD1为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系则 设平面D1EC的法空间向量建系为n=(x,y,z)， 由于 所以 不妨令 是平面DEC的一个法 空间向量建系且由圖示知二面角D1-CE-D的平面角为锐角，令其为 θ，所以 所以所求二面角D1-CE-D的大小为 答案： 1.如果平面的一条斜线和它在平面上的射影的方向空间向量建系分 别是 那么这条斜线与平面的夹角 是( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 【解析】选D. 因此a与b的夹角是30°， 则直线与平面的夹角为30°. 2.已知两个平面的一个法空间向量建系分别是m=(12，-1) n=(1，-10)，则这两个平面所成的二面角的平面角 的余弦值为( ) 【解析】选C. 故二面角的平面角的余弦值为 3.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AA1=2AB，E為AA1的中点 则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( ) 【解析】选C.如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系 设AB=1，则 ∴BE与CD1所成角的余弦值为 4.设ab是直線，α，β是平面，a⊥α，b⊥β，空间向量建系a1在 a上空间向量建系b1在b上，a1=(11，1)b1=(-3，40)，则α， β所成二面角中较小的一个的余弦值为______. 【解析】由题意 答案： 5.在底面为正方形的四棱锥V-ABCD中，侧棱VA垂直于底面 ABCD且VA=AB,点M为VA的中点，则直线VC与平面MBC所成 角的正弦值是_______. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系设VA=AB=2,