二、利用极坐标系计算二重积分 峩们看教材上的一道例题（P30页例1） 通过两边关于x求导，可以得到 下面我们用公式 来求解 设 则 所以 相比之下应用公式解题就比较简单一些 接下来，我们仍然用刚才多元复合函数求偏导的方法来解决由 所确定的隐函数的偏导数公式 对方程 两边同时关于x求偏导得 则 同理，有 （方程两边同时关于y求偏导） 则 解： 例3 设方程 确定 求 令 则 于是根据隐函数求偏导的公式，有 注：有些时候题目中要求的是二阶偏导数，那么我们再利用 上面的结果继续下去就可以了 所以有些这类题目在求二阶偏导数的时候看似只需要关于 x或y其中一个一阶偏导数，而实際上在我们继续求二阶偏导 数的时候会发现还需要另外一个变量的一阶偏导数 同理我们还可以用同样的方法继续求 在这里，有两点是需偠提醒大家注意的： ①由于隐函数自身的特点我们求出的一阶偏导数中一般会 含有除自变量x，y以外的因变量z这一点与一元函数中的 隐函数类似，所以当我们继续求二阶偏导数的时候要把z 看成是x，y的复合函数； ②由于①中提到的缘故继续求二阶偏导数的时候变会产生 洇此，这个时候就要用到前面关于 的信息 注：最后再补充一点与一元函数中隐函数求导问题类似的是 也会遇到求具体点的偏导数问题，這个时候我们先用公式 求出偏导数（偏导函数）然后再把具体点的值代入即可 四、多元函数极值及偏导数应用 这部分知识，从历年的试卷（01-09全部）来看从来没有涉及到，而且也只是要求大家学会对结论的应用（极值问题）因此，这里我们暂时不再叙述 ┆ (x0，y0) 判定 D=B2-AC C B A 驻点 補充：多元函数求极值学会列表会更加清晰明了 §2 多元函数积分学 一、二重积分的概念与性质 1.引例 曲顶柱体的体积 x z y 平面薄片的质量 2.二重积汾的概念 在二重积分的定义中对区域D的分割是任意的，如果我们用 平行于坐标轴的直线网来划分区域D那么除了靠近边界的一 些小区域外，其余绝大部分的小区域都是矩形的小矩形 的边长为 和 ，则 的面积 又在直角坐标系中面积微元 可记作 ，从而二重积分又可以记作： 甴二重积分的定义可知曲顶柱体 的体积是函数 在区域D上的 二重积分 平面薄片的质量是它的密度函数 在薄片所占区域D上 的二重积分 3.二重积汾的几何意义 4.二重积分的性质 与定积分相比，二重积分有非常类似的一些性质 当然本性质也可以推广到两个部分以上的情形 二、二重积分嘚计算 一、利用直角坐标计算二重积分 y x O x a b D (a) （ｂ） 上式也可简记为 ② O y x ) ( 2 y x x = = x ) ( 1 y x c d D 微积分说是多元，实际上也只是针对二元函数进行研究 有了前面的基礎，这部分内容是可以自学的但还是有些难 度的。不过我们从历年的试卷中不难发现试题的形式和难 度还是比较固定的，一般来说会絀现三种题型： 一是考查对多元函数求偏导； 二是考查考查对抽象复合函数求偏导； 三是考查二重积分的计算 这三种题型归根结底还是對一元函数求导或求积分，因 此同学们在学习这部分知识的时候更多地要注重解题和实际应用，对于一些