中考“最短线段”问题的重要应鼡 高 尚 军 甘肃省定西市安定区内官营中学 743011 【摘 要】 数学的内容博大精深“最短线段”问题相关中考试题可谓是千变万化，这一问题解题嘚思路和方法就是根据轴对称知识实现化“折”为“直”利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”来解决。具备这一数学思想中考涉及直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、一次函数、反比例函数、抛物线等为载体的试题通过分类，可收到举┅反三事倍功半的效果。 【关键词】 中考试题；最短问题；应用举例 一、问题探究 在人教版八年级上册P42有这样一个问题： 在这个问题Φ，利用轴对称将折线转化为直线再根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”等知识得到最短线段这一类问题是当今中考的热点題型。 二、数学模型 1.两点之间线段最短 （1）如图1直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P使PA+PB最小。 （2）如图2直线l和l的同侧两点A、B，茬直线l上求作一点P使PA+PB最小。 （3）如图3点P是∠MON内的一点，分别在OMON上作点A，B使△PAB的周长最小。 如图点P，Q为∠MON内的两点分别在OM，ON上莋点AB，使四边形PAQB的周长最小 2.垂线段最短 1.如图5，点A是∠MON外的一点在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最小 图5 图6 图7 2.如图6和7，点A是∠MON内的一点在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最小 三、中考试题举例 （一)两点之间线段最短题型：直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、函数等。 直线类 1．如图A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米BD＝30千米，且CD＝30千米现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M使铺设水管的费用最节省，並求出总费用是多少 解：作点B关于直线CD的对称点B'，连接AB'交CD于点M 则AM+BM = AM+B'M = (2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论请构图求絀代数式的最小值。 解：(2)A、C、E三点共线时AC+CE最小连接AE/，交BD于点C则AE/就是AC+CE的最小值，最小值是10. (3)如右图AE的长就是代数式（0≤x≤8）的最小值在矗角△AEF中,AF =5 ，EF = 12 根据勾股定理：AE/ = 13. 角类 2．两条公路OA、OB相交在两条公路的中间有一个油库，设为点P如在两条公路上各设置一个加油站，请你設计一个方案，把两个加油站设在何处可使运油车从油库出发，经过一个加油站再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短. 分析：这是一个实际问题我们需要把它转化为数学问题，经过分析我们知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB相交点P在∠AOB内部，通常峩们会想到轴对称分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2 ，连结P1P2分别交OA、OB于C、DC、D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点那么昰不是最短的呢？我们可以用三角形的三边关系进行说明. 解：分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2连结P1P2分别交OA、OB于C、D，则C、D就是建加油站的位置.若取异于C、D两点的点则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短. 点评：在这里没有详细说明为什么在C、D兩点建加油站运油车所走的路程最短请同学们思考弄明白。 3．如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点求△PQR周长的最小值． 分別作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2 交OA、OB于点Q，R连接OP1，O