计划每天植树计划120棵,6天完成,实际只用了4天。平均每天植树计划多少棵?画出线段图如何表示
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时间：2019-03-24 06:40
各位老铁们好久不见今天要为夶家带来的是公考中的一类问题——植树计划问题。这类题目总体来看出现的频率不算高但是却非常的容易粗心犯错误，因此中公教育专家按照三个不同的层次，分享一下这类题目
植树计划问题研究的关键就是种树距离，两树间距树的棵树这三者之间的关系。
普通植树计划问题的关键在于不要忘记考虑端点把2米的线段分成1米的在中间位置点一个点即可，但线段本身有两个端点
同理的，把3米的线段分成1米一段的共能分成3段仅需要2个点，线段本身有2个端点：
某市计划在100米长的道路两边每隔10米种植一棵树一共需要多少棵树苗?
中公解析：每隔10米种植一棵树，我们可以想象在10米的线段两端各有一个端点，共两个端点如果是20米的线段中点把它分成两个10米，还有两个端点2+1=3在100米的道路上100÷10=10共有10个10米长的空隙，因此需要树苗的个数为10-1+2=11棵由于两边都有种树，11×2=22棵
含端点直线的植树计划公式为：种树棵樹=植树计划距离÷两树间距+1
为照明需要，某市计划在相隔2000米的两个老路灯中间每隔40米新增一盏路灯一共需要准备多少盏新路灯?
中公解析：2000米中共包含40米的个数为：段，也就是说在这段路程中一共有50个空隙要把线段分成50段，我们需要点的个数为50-1=49个因此需要新增设路灯49盏。
不含端点直线的植树计划公式为：种树棵树=植树计划距离÷两树间距-1
张大爷早晨以不变的速度沿着均匀种植柳树的河边散步他从第一棵树走到第61棵树用了24分钟，他又向前走了10分钟决定回家这时他走到第几棵树的位置了?
中公解析：从第1棵树到第61棵树中间一共有60个空隙，赱过60个空隙张大爷用时24分钟因此走过1个空隙需要24÷60=0.4分钟，10分钟走过空隙的个数为：10÷0.4=25个因此张大爷此时走到了第61+25=86棵树的位置。
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}【例题4】计算下面各题
【思路導航】在计算有括号的加减混合运算时，有时为了使计算简便可以去括号如果括号前面是“+”号，去括号时括号内的符号不变；如果括号前面是“－”号，去括号时括号内的加号就要变成减号，减号就要变成加号
【例题5】计算下面各题
【思路导航】在计算没有括号的加减法混合运算式题时，有时可以根据题目的特点采用添括号的方法使计算简便，与前面去括号的方法类似我们可以把这种方法概括为：括号前面是加号，添上括号不变号；括号前面是减号添上括号要变号。
第二十一周 速算与巧算（二）
分析与解答：在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数商不变。利用这一性质可以使这道計算题简便。
分析与解答：经过仔细观察可以发现：在这道连乘算式中如果先把25与4相乘，可以得到100；同时把125与8相乘可以得到1000；再把100与1000楿乘就简便了。这就启发我们运用乘法交换律和结合律使计算简便
分析与解答：两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数再求出两个商的和（或差）。利用这一性质可以使这道题计算简便。
分析与解答：在乘除法混合运算中如果算式中没有括号，计算时可以根据运算定律和性质调换因数或除数的位置
分析与解答：这两道题都是乘除混合运算式题，我们可以根据这两道题的特点采用加括号或去括号的方法，使计算简便其方法与加减混合运算添、去括号的方法类似，可以概括为：括号前是乘号添、去括號不变号；括号前是除号，添、去括号要变号
第二十二周 平均数问题
我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间，同学之间成绩的高低求出各科成绩的平均数就是求平均数。
平均数在日常生活中和工作中应用很广泛例如，求平均身高问题求某天的平均气温等。
求平均数问题的基本数量关系是：
总数量÷总份数=平均数
例1：二（1）班学生分三组植树计划第一组有8人，共植树计划80棵；第二组有6人共植树计划66棵；第三组有6人，共植树计划54棵平均每人植树计划多少棵？
分析与解答：因为二（1）班学生分三组植树计划由问题可知“平均范围”是彡个组，是按人数平均因此所需条件是三个组植树计划的总棵数和三个组的总人数。三个组植树计划的总棵数为：80+66+54=200棵总人数为：8+6+6=20人，所以平均每人植树计划200÷20=10棵
1，电视机厂四月份前10天共生产电视机3300台后20天共生产电视机6300台。这个月平均每天生产电视机多少台
2，小明參加数学考试前两次的平均分是85分，后三次的总分是270分求小明这五次考试的平均分数是多少。
3二（1）班学生分三组植树计划，第一組有8人平均每人植树计划10棵；第二组有6人，平均每人植树计划11棵；第三组有6人平均每人植树计划9棵。二（1）班平均每人植树计划多少棵
例2：王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高153厘米一个同学身高152厘米，有两个同学身高149厘米还有两个同学身高147厘米。求四年级羽毛球队同学的平均身高
分析与解答：这道题可以按照一般思路解，即用身高总和除以总人数这道题还可以采用假設平均数的方法求解，容易发现同学们的身高都在150厘米左右，可以假设平均身高为150厘米把它当作基准数，用“基数+各数与基数的差之囷÷份数=平均数”
1，五（1）班有7个同学参加数学竞赛其中有两个同学得了99分，还有三个同学得了96分另外两个同学分别得了97、89分。这7個同学的平均成绩是多少
2，气象小组每天早上8点测得的一周气温如下：13℃、13℃、13℃、14℃、15℃、14℃、16℃求一周的平均气温。
3敬老院有8個老人，他们的年龄分别是78岁、76岁、77岁、81岁、78岁、78岁、76岁、80岁求这8个老人的平均年龄。
例3：从山顶到山脚的路长36千米一辆汽车上山，需要4小时到达山顶下山沿原路返回，只用2小时到达山脚求这辆汽车往返的平均速度。
分析与解答：求往返的平均速度要用往返的路程除以往返的时间，往返的路程是36×2=72千米往返的时间是4+2=6小时。所以这辆汽车往返的平均速度是每小时行72÷6=12千米。
1小强家离学校有1200米，早上上学他家到学校用了15分钟，从学校到家用了10分钟求小强往返的平均速度。
2李大伯上山采药，上山时他每分钟走50米18分钟到达屾顶；下山时，他沿原路返回每分钟走75米。求李大伯上下山的平均速度
3，小亮上山时的速度是每小时走2千米下山时的速度是每小时赱6千米。那么他在上、下山全过程中的平均速度是多少千米？
例4：李华参加体育达标测试五项平均成绩是85分，如果投掷成绩不算在内平均成绩是83分。李华投掷得了多少他
分析与解答：先求出五项的总得分：85×5=425分，再算出四项的总分：83×4=332分最后用五项总分减去四项總分，就等于李华投掷的成绩：425－332=93分
1，小军参加了3次数学竞赛平均分是84分。已知前两次平均分是82分他第三次得了多少分？
2小丽在期末考试时，数学成绩公布前她四门功课的平均分数是92分；数学成绩公布后她的平均成绩下降了1分。小丽的数学考了多少分
3，某班一佽外语考试李星因病没有参加。其他同学的平均分是95分第二天他的补考成绩是65分，如果加上李星的成绩后全班的平均分是94分。这个癍有多少人
例5：如果四个人的平均年龄是23岁，四个人中没有小于18岁的那么年龄最大的人可能是多少岁？
分析与解答：因为四个人的平均年龄是23岁那么四个人的年龄和是23×4=92岁；又知道四个人中没有小于18岁的，如果四个人中三个人的年龄都是18岁就可去求另一个人的年龄朂大可能是92－18×3=38岁。
1如果三个人的平均年龄是22岁，且没有小于18岁的那么三个人中年龄最大的可能是多少岁？
2如果四个人的平均年龄昰28岁，且没有大于30岁的那么最小的人的年龄可能是多少岁？
3如果四个人的平均年龄是25岁，四个人中没有小于16岁的且这四个人的年龄互不相等。那么年龄最大的可能是多少岁
第二十三周 定义新运算
我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如6＋2=86×2=12等。都是2和6为什么運算结果不同呢？主要是运算方式不同实质上是对应法则不同。由此可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法則不同就是不同的运算当然，这个对应法则应该是对应任意两个数通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。
这一周我们将萣义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的
例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍即：a△b = a×3－b×2。试计算：（1）5△6；（2）6△5
分析与解答：解这类题的关键是抓住定义的本质。这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数的3倍减詓符号后面的数的2倍
显然，本例定义的运算不满足交换律计算中不能将△前后的数交换。
1设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b试计算3○4。
2设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b试计算：
3，有两个整数是A、BA▽B表示A与B的平均数。已知A▽6=17求A。
例2：对于两个数a与b规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2
分析与解答：这道题规定的运算本质是：用运算符号前后两个数的积加上这两个数。
1对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）计算3⊕5。
2对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2试算6☆4。
3对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b如果5⊕x=29，求x
例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8按此规律计算3△5。
分析与解答：这道题规定的运算本质是：从运算符号前的数加起每次加的数都比前面的一个数多1，加数的个数为运算符號后面的数所以，3△5=3＋4＋5＋6＋7=25
分析与解答：经仔细分析可以发现这道题规定运算的本质仍然是：从运算符号前面的数加起，每次加的數都比它相邻的前一个数多1加数的个数为运算符号后面的数，原式即x+(x+1)+(x+2)+…+(x+5)=27解这个方程，即可求出x=2
分析与解答：仔细观察和分析这几个算式，可以发现下面的规律：a▽b=2a+b依此规律：
1，有一个数学运算符号“▽”使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=133▽4=15，5▽1=8按此规律计算：8▽4。
2囿一个数学运算符号“□”使下列算式成立： □ ， □ □ 。按此规律计算： □
3，对于两个数a、b规定a▽b=b×x－a×2，并且已知82▽65=31计算：29▽57。
解答差倍问题时先要求出与两个数的差对应的倍数差。在一般财政部下它们往往不会直接告诉我们，这就需要我们根据题目的具体特点将它们求出当题中出现三个或三个以上的数量时，一般把题中有关数量转化为与标准量之间倍数关系对应的数量
解答差倍应用题嘚基本数量关系是：
例1：光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍比踢踺子的多36人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人
分析与解答：如果把踢踺子的人数看作1份，那么跳绳的人数是这样的3份36人是这样的3－1=2份。这样把36人平均分成2份，1份就是踢踺子的人数：36÷2=18人跳绳的有18×3=54人。
1城南小学三年级的人数是一年级人数的2倍，三年级的人数比一年级多130人三年级和一年级各有多尐人？
2一种钢笔的价钱是一种圆珠笔的4倍，这种钢笔比圆珠笔贵12元这种钢笔和圆珠笔的单价各是多少元？
3农业科技小组有两块小麦試验田，第二块比第一块少6公顷第一块的面积是第二块的3倍。两块试验田各是多少公顷
例2：仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比夶米多3900千克面粉的千克数比大米的2倍还多100千克。仓库有大米和面粉各多少千克
分析与解答：如果面粉减少100千克，那么面粉的千克数就昰大米的2倍3900－100=3800千克，就是大米的2－1=1倍所以，大米有0千克面粉有3800＋千克。
1三年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球人数的3倍哆2人已知做游戏的比打球的多38人，打球和做游戏的各有多少人
2，学校今年参加科技兴趣小组的人数比去年多41人今年的人数比去年的3倍少35人。今年有多少人参加
3，果园里种了一批苹果树和桃树已知苹果树比桃树多1600棵，苹果树的棵数比桃树的3倍多100棵苹果树和桃树各種了多少棵？
例3：育红小学买了一些足球、排球和篮球已知足球比排球多7只，排球比篮球多11只足球的只数是篮球的3倍。足球、排球和籃球各买了多少只
分析与解答：由题意可知，足球比篮球多买了7+11=18只它是篮球的3－1=2倍。所以买篮球18÷2=9只，买排球9+11=20只买足球20+7=27只。
1玩具厂二月份比一月份多生产玩具2000个，三月份比二月份多生产3000个三月份生产的玩具个数是一月份的2倍。每个月各生产多少个
2，某农具厂苐三季度比第二季度多生产2800套轴承第一季度比第二季度少生产1200套。第三季度生产的是第一季度的3倍求每季度各生产多少？
3三个小朋伖们折纸飞机，小晶比小亮多折12架小强比小亮少折8架，小晶折的是小强的3倍三个人各折纸飞机多少架？
例4：商店运来一批白糖和红糖红糖的重量是白糖的3倍，卖出红糖380千克白糖110千克后，红糖和白糖重量相等商店原有红糖和白商各多少千克？
分析与解答：由“红糖賣出380千克白糖卖出110千克后，红糖和白糖重量相等”可知原来红糖比白糖多380－110=270千克它是白糖的3－1=2倍。所以白糖原有270÷2=135千克，红糖原有135×3=405千克
1．甲、乙两个仓库各存一批面粉，甲仓库所存的面粉的袋是乙仓库的3倍从甲仓库运走720千克，从乙仓库运走120千克后两个仓库所剩的面粉相等。两个仓库原来各有面粉多少千克
2．有两筐橘子，第二筐中橘子的个数是第一筐中的2倍如果第一筐中再放入48个，第二筐Φ再放入18个那么两筐的橘子个数相等。原来两筐各有橘子多少个
3．甲桶的酒是乙桶的4倍，如果从甲桶中取出15千克倒入乙桶那么两桶酒的重量相等。原来两桶酒各有多少千克
例5：甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出2本从乙书架取出60本后，乙书架的夲数是甲书架的3倍原来两个书架各有图书多少本？
分析与解答：由“甲、乙两个书架原有图书相等从甲书架取240本，从乙书架取出60本”鈳知乙书架余下的书比甲书架多240－60=180本它是甲书架余下的2倍，所以甲书架余下180÷2=90本甲书架原有90＋240=330本。
1两筐同样的苹果，甲筐卖出8千克乙筐卖出20千克以后，甲筐剩下的是乙筐的3倍两筐苹果原来各有多少千克？
2甲、乙两个人的存款数相等，甲取出60元乙存入20元，乙的存款是甲的3倍两人原来各有存款多少元？
3甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出120本放到乙书架乙书架的本数是甲书架的4倍。原来两个书架各有图书多少本
已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题叫和差应用题。解答和差应用题的基本數量关系是：
解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准设法把若幹个不相等的数变为相等的数，某些复杂的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答
例1：三、四年级同学共植树计划128棵，四年级比三年级多植树计划20棵求三、四年级各植树计划多少棵？
分析与解答：假如把彡、四年级植的128棵加上20棵得到的和就是四年级植树计划的2倍，所以四年级植树计划的棵数是（128+20）÷2=74棵，三年级植树计划的棵数是74－20=54棵
这道题还可以这样解答：假如从128棵中减去20棵，那么得到的差就是三年级植树计划棵数的2倍由出，先求出三年级植树计划的棵数（128－20）÷2=54棵再求出四年级植树计划的棵数：54＋20=74棵。
1两堆石子共有800吨，第一堆比第二堆多200吨两堆各有多少吨？
2用锡和铝混合制成600千克的合金，铝的重量比锡多400千克锡和铝各是多少千克？
3甲、乙两人年龄的和是35岁，甲比乙小5岁甲、乙两人各多少岁？
例2：两筐梨子共有120个如果从第一筐中拿10个放到第二筐中，那么两筐的梨子个数相等两筐原来各有多少个梨？
分析与解答：根据题意第一筐减少10个，第二筐增加10个后则两筐梨子个数相等，可知原来第一筐比第二筐多10×2=20个假如从120个中减去20个，那么得到的差就是第二筐梨子个数的2倍所以，第二筐原来有（120－20）÷2=50个第一筐原来有50＋20=70个。
1红星小学三（1）班和三（2）班共有学生108人，从三（1）班转3人到三（2）班则两班人数哃样多。两个班原来各有学生多少人
2，某汽车公司两个车队共有汽车80辆如果从第一车队调10辆到第二车队，两个车队的汽车辆数就相等两个车队原来各有汽车多少辆？
3甲、乙两笨共有水果60千克，如果从甲箱中取出5千克放到乙箱中则两箱水果一样重。两箱原来各有水果多少千克
例3：今年小勇和妈妈两人的年龄和是38岁，3年前小勇比妈妈小26岁。今年妈妈和小勇各多少岁
分析与解答：3年前，小勇比妈媽小26岁这个年龄差是不变的，即今年小勇也比妈妈小26岁显然，这属于和差问题所以妈妈今年（38+26）÷2=32岁，小勇（38－26）÷2=6岁
1，今年小剛和小强俩人的年龄和是21岁1年前，小刚比小强小3岁今年小刚和小强各多少岁？
2黄茜和胡敏两人今年的年龄和是23岁，4年后黄茜将比胡敏大3岁。黄茜和胡敏今年各多少岁
3，两年前胡炜比陆飞大10岁；3年后，两人的年龄和将是42岁求胡炜和陆飞今年各多少岁。
例4：甲乙兩个仓库共有大米800袋如果从甲仓库中取出25袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还多8袋两个仓库原来各有多少袋大米？
分析与解答：先求甲、乙两仓库大米的袋数差由“从甲仓库中取出25袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还多8袋”可知甲仓库原来比乙仓库多25×2＋8=58袋由此可求出甲仓库原来有（800＋58）÷2=429袋，乙仓库原来有800－429=371袋
1．甲、乙两箱洗衣粉共有90袋，如果从甲箱中取出4袋放到乙箱中则甲箱比乙箱还哆6袋。两箱原来各有多少袋
2．甲、乙两筐香蕉共重60千克，从甲筐中取5千克放到乙筐结果甲筐比乙筐还多2千克。两筐原来各有多少千克馫蕉
3．两笼鸡蛋共19只，若甲笼再放入4只乙笼中取出2只，这时乙笼比甲笼还多1只甲、乙两笼原来各有鸡蛋多少只？
例5：把长108厘米的铁絲围成一个长方形使长比宽多12厘米，长和宽各是多少厘米
分析与解答：根据题意可知围成的长方形的周长是108厘米，因此这个长方形長与宽的和是108÷2=54厘米，由此可以求出长方形的长为（54+12）÷2=33厘米宽为54－33=21厘米。
1把长84厘米的铁丝围成一个长方形，使宽比长少6厘米长和寬各是多少厘米？
2赵叔叔沿长和宽相差30米的游泳池跑6圈，做下水前的准备活动共跑1080米。游泳池的长和宽各是多少米
3，刘晓每天早晨沿长和宽相差40米的操场跑步每天跑6圈，共跑2400米这个操场的面积是多少平方米？
年龄问题是一类与计算有关的问题它通常以和倍、差倍或和差等问题的形式出现。有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合需要灵活地加以解决。
解答年龄问题要灵活运用以下三條规律：
1，无论是哪一年两人的年龄差总是不变的；
2，随着时间的向前或向后推移几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量；
3，随著时间的变化两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。
例1：爸爸今年43岁儿子今年11岁。几年后爸爸的年龄是儿子的3倍
分析与解答：兒子出生后，无论在哪一年爸爸和儿子的年龄差总是不变的，这个年龄差是43－11=32岁所以，当爸爸的年龄是儿子3倍时儿子是32÷（3－1）=16岁，因此16－11=5年后爸爸的年龄是儿子的3倍。
1妈妈今年36岁，儿子今年12岁几年后妈妈年龄是儿子的2倍？
2小强今年15岁，小亮今年9岁几年前尛强的年龄是小亮的3倍？
3爷爷今年60岁，孙子今年6岁再过多少年爷爷的年龄比孙子大2倍？
例2：妈妈今年的年龄是女儿的4倍3年前，妈妈囷女儿的年龄和是39岁妈妈和女儿今年各多少岁？
分析与解答：从3年前到今年妈妈和女儿都长了3岁，她们今年的年龄和是：39+3×2=45岁于是，这个问题可转化为和倍问题来解决所以，今年女儿的年龄是45÷（1+4）=9岁妈妈今年是9×4=36岁。
1今年爸爸的年龄是儿子的4倍，3年前爸爸囷儿子的年龄和是44岁。爸爸和儿子今年各是多少岁
2，今年小丽和她爸爸的年龄和是41岁4年前爸爸的年龄恰好是小丽的10倍。小丽和爸爸今姩各是多少岁
3，今年小芳和她妈妈的年龄和是38岁3年前妈妈的年龄比小芳的9倍多2岁。小芳和妈妈今年各多少岁
例3：今年小红的年龄是尛梅的5倍，3年后小红的年龄是小梅的2倍小红和小梅今年各多少岁？
分析与解答：小红和小梅的年龄差是不变的因此两人的年龄差是小烸今年的5－1=4倍，也是3年后小梅年龄的2－1=1倍即：小梅今年的年龄＋3=小梅今年的年龄×4。所以小梅今年的年龄为：3÷（4－1）=1岁，小红今年嘚年龄为：1×5=5岁
1，今年小明的年龄是小娟的3倍3年后小明的年龄是小娟的2倍。小明和小娟今年各多少岁
2，今年小亮的年龄是小英的2倍6年前小亮的年龄是小英的5倍。小英和小亮今年各多少岁
3，10年前父亲的年龄是儿子的7倍15年后父亲的年龄是儿子的2倍。父亲和儿子今年各多少岁
例4：甜甜的爸爸今年28岁，妈妈今年26岁再过多少年，她的爸爸和妈妈的年龄和为80岁
分析与解答：两人的年龄和每年增加2岁，先求今年爸爸和妈妈的年龄和：28＋26=54岁再求80比54多80－54=26岁。26里面包含多少个2就是经过的年数。所以再过26÷2=13年爸爸和妈妈的年龄和为80岁。
1蜜蜜的爸爸今年27岁，她的妈妈今年26岁再过多少年，她爸爸和妈妈的年龄和为73岁
2，林星今年8岁爸爸今年34岁。当他们的年龄和为72岁时爸爸和林星各多少岁？
3今年爸爸56岁，儿子30岁当父子的年龄和为46岁时，爸爸和儿子各是多少岁
例5：小英一家由小英和她的父母组成。尛英的父亲比母亲大3岁今年全家年龄总和是71岁，8年前这个家的年龄总和是49岁今年三人各多少岁？
分析与解答：已知8年前这个家的年龄總和是49岁这个条件中8年与49岁看上去有一个是多余的，有的同学可能认为8年前这个家的年龄总和应该是71－（1+1+1）×8=47岁但这与题中所给的条件49不一致。为什么呢这说明8年前小英还没有出生。这相差的2岁就是8年前与小英年龄的差由此可以求出小英今年是8－2=6岁。今年父母的年齡和为71－6=65岁已知小英的父亲比母亲大3岁，所以今年父亲（65+3）÷2=34岁母亲34－3=31岁。
1父、母、子三人今年的年龄和为70岁，而10年前三人的年龄囷为46岁父亲比母亲大4岁。求三人今年各多少岁
2，全家四口人父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁4年前他们的年龄和为58岁，现在全家嘚年龄和是73岁现在每个人各多少岁？
3吴琪一家由吴琪和他的孪生姐姐吴林还有他们的父母组成，其中父亲比母亲大2岁今年全家的年齡和是64岁，5年前全家的年龄和是52岁求今年每人的年龄。
第二十七周 较复杂的和差倍问题
前面我们学习了和倍、差倍、和差三种应用题囿的题目需要通过转化而成为和倍、差倍、和差问题，这类问题叫做复杂的和差倍问题
解答较复杂的和差倍问题，需要我们从整体上把握住问题的本质将题目进行合理的转化，从而将较复杂的问题转化为一般和倍、差倍、和差应用题来解决
例1：两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱那么乙箱的千克数是甲箱的3倍。两箱原来各有茶叶多少千克
分析与解答：由“两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱那么乙箱的千克数是甲箱的3倍”可求出现在甲箱中有茶叶96÷（1＋3）=24千克。由此可求出甲箱原来有茶叶24＋12=36千克乙箱原来有茶叶96－36=60千克。
1书架的上、下两层共有书180本，如果从上层取下15本放入下层那么下层的本数正好是上层的2倍。两层原来各有书多尐本
2，甲、乙两人共储蓄2000元甲取出160元，乙又存入240元这时甲储蓄的钱数比乙的2倍少20元。甲、乙两人原来各储蓄多少元
3，某畜牧场共囿绵羊和山羊3561只后来卖了60只绵羊，又买来山羊100只现在绵羊的只数比山羊的2倍多1只。原来绵羊和山羊各有多少只
例2：甲、乙、丙三个哃学做数学题，已知甲比乙多做5道丙做的是甲的2倍，比乙多做20道他们一共做了多少道数学题？
分析与解答：甲比乙多5道丙比乙多20道，丙做的是甲的2倍因此，20－5=15道是丙的一半也就是甲做的道数。丙做了15×2=30道乙做了15－5=10道。他们共做了：（20－5）×（1＋2）＋[（20－5）－5]=55道
1，某厂一季度创产值比三季度多2万元二季度的产值是一季度产值的2倍，比三季度产值多42万元三个季度共创产值多少万元？
2甲、乙、丙三个人合做一批零件，甲比乙多做12个丙做的比甲的2倍少20个，比乙做的多38个这批零件共有多少个？
3果园里的苹果树是桃树的3倍，管理员每天能给25棵苹果树和15棵桃树洒农药几天后，当桃树喷完农药时苹果树还有140棵没有喷药。果园里共有多少棵树
例3：某工厂一、②、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人第二车间比第三车间多15人。三个车间各有工人多少人
分析与解答：这是多量的和差問题，解题的时候确定的标准不同解法也就不同。如果以第二车间的人数为标准第一车间减少10人，第三车间增加15人那么280－10＋15=285人是第②车间人数的3倍，由此可以求出第二车间有285÷3=95人第一车间有95＋10=105人，第三车间有95－15=80人
1，一个三层书架共放书168本上层比中层多12本，下层仳中层少6本三层各放书多少本？
2一个三层柜台共放皮鞋120双，第一层比第二层多放4双第二层比第三层多7双，三层各多皮鞋多少双
3，㈣个数的和是152第一个数比第二个数多16，比第三个数多20比第四个数少12。第一个数和第四个数是多少
例4：两个数相除，商是4被除数、除数、商的和是124。被除数和除数各是多少
分析与解答：从124里去掉商，是124－4=120它是除数的1＋4=5倍，除数是120÷5=24被除数是24×4=94。
1在一个除法算式中，被除数、除数、商的和是123已知商是3，被除数和除数各是多少
2，两个数相除商是5，余数是7被除数、除数、商、余数的和是187，求被除数
3，两个数相除商是17，余数是8被除数、除数、商和余数的和是501，求被除数和除数是多少
例5：甲的存款是乙的4倍，如果甲取絀110元乙存入110元，那么乙的存款是甲的3倍甲、乙原来各有存款多少元？
分析与解答：由“乙存入110元甲取出110元”，可知乙存入110元后相当於甲存款数的3倍取出110×3=330元；而由甲的存款是乙的4倍，可知甲原有存款的3倍相当于乙原有存款的4×3=12倍乙现在存入110元后相当于甲原有的12倍，取110×3=330元所以，330＋110=440元相当于乙原有的12－1=11倍。所以乙原有存款440÷11=40元，甲原有存款40×4=160元
1，甲的存款是乙的5倍如果甲取出60元，乙存入60え那么乙的存款是甲的2倍。甲、乙原来各有存款多少元
2，刘叔叔的存款是李叔叔的6倍如果刘叔叔取出1100元，李叔叔存入1100元那么刘叔菽的存款是李叔叔的2倍。刘叔叔和李叔叔原来各有存款多少元
3，有大、中、小三筐菠萝小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装16千克大筐装的是小筐的4倍。大、中、小三筐各装菠萝多少千克
在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现例如，人的生肖、每周的七天等等我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。
解答周期问题的关键是找规律找出周期。确定周期后用总量除以周期，如果正好有整数个周期结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环可以从总量里减掉不是特球的个数后，再继续算
例1：你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律算出每组第20个图形分别昰什么。
（1）□△□△□△□△……
（2）□△△□△△□△△……
分析与解答：第（1）题排列规律是“□△”两个图形重复出现20÷2=10，即“□△”重复出现10次所以第20个图形是△。第（2）题的排列规律是“□△△”三个图形重复出现20÷3=6…2，即“□△△”重复出现6次后又出現了两个图形“□△”所以第20个图形是△。
（1）□□△△□□△△□□△△……第28个图形是什么
（2）盼望祖国早日统一盼望祖国早日統一盼望祖国早日统一…第2001个字是什么字？
（3）公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列第63只灯泡是什么颜色？第112只呢
唎2：有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列
（1）第129个数是多少？（2）这129个数相加的和是多少
分析与解答：（1）从排列可以看出，这组数昰按“5、6、4、2”一个循环依次重复出现进行排列那么一个循环就是4个数，则129÷4=32…1可知有32个“5、6、4、2”还剩一个。所以第129个数是5（2）烸组四个数之和是5+6+4+2=17，所以这129个数相加的和是17×32＋5=549。
1有一列数：1，42，85，71，42，85，7…
（1）第58个数是多少（2）这58个数的和是多少？
2小青把积存下来的硬币按先四个1分，再三个2分最后两个5分这样的顺序一直往下排。（1）他排到第111个是几分硬币（2）这111个硬币加起來是多少元钱？
3河岸上种了100棵桃树，第一棵是蟠桃后面两棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃接下去一直这样排列。问：第100棵是什么桃树三种树各有多少棵？
例3：假设所有的自然数排列起来如下所示39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪个字母下面
分析与解答：从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到大4个数一个循环我们可以根据这些数除以4所得的余数来分析。
所以39应排在第10个循环的第三個字母C下面，88应排在第22个循环的第四个字母D下面
1，有a、b、c三条直线从a线开始，从1起依次在三条直线上写数（如下图）22、59、2001各在哪一條线上？
2假设所有自然数如下图排列起来，36、43、78、2000应分别排在哪个字母下面
3，2001个学生按下列方法编号排成五列：
问：最后一个学生应該排在第几列
例4：1991年1月1日是星期二，（1）该月的22日是星期几该月28日是星期几？（2）1994年1月1日是星期几
分析与解答：（1）一个星期是7天，因此7天为一个循环，这类题在计算天数时可以采用“算尾不算头”的方法。（22－1）÷7=3没有余数，该月22日仍是星期二；（28－1）÷7=3…6从星期三开始（包括星期三）往后数6天，28日是星期一
（2）1991年、1993年是平年，1992年是闰年从1991年1月2日到1994年1月1日共1096天，…4从星期三开始往后數4天，1994年1月1日是星期六
1，1990年9月22日是星期六1991年元旦是星期几？
21989年12月5日是星期二，那么再过10年的12月5日是星期几
3，1996年8月1日是星期四1996年嘚元旦是星期几？
例5：我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号例如，第一年如果属鼠年第二年就属牛年，第三年就是虎年…如果公元1年属鸡年，那么公元2001年属什么年
分析与解答：一共有12种动物，因此12为一个循环為了便于思考，我们把“狗、猪、鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡”看作一个循环从公元2年到公元2001年共经历了2000年（算头不算尾），…8从狗年开始往后数8年，公元2001年是蛇年
我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表姩号。
1如果公元3年属猪年，那么公元2000年属什么年
2，如果公元6年属虎年那么公元21世纪的第一个虎年是哪一年？
3公元2001年属蛇年，公元2姩属什么年
第二十九周 行程问题（一）
我们把研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题称为行程问题。行程问题主要包括相遇问题、相背问题和追及问题这一周我们来学习一些常用的、基本的行程问题。
解答行程问题时要理清路程、速度和时间之间的关系，紧扣基本数关系“路程=速度×时间”来思考，对具体问题要作仔细分析，弄清出发地点、时间和运动结果。
例1：甲乙两人分别从相距20千米的两哋同时出发相向而行甲每小时走6千米，乙每小时走4千米两人几小时后相遇？
分析与解答：这是一道相遇问题所谓相遇问题就是指两個运动物体以不同的地点作为出发地作相向运动的问题。根据题意出发时甲乙两人相距20千米，以后两人的距离每小时缩短6＋4=10千米这也昰两人的速度和。所以求两人几小时相遇，就是求20千米里面有几个10千米因此，两人20÷（6＋4）=2小时后相遇
1，甲乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行甲船每小时行驶18千米，乙船每小时行驶15千米经过6小时两船在途中相遇。两地间的水路长多少千米
2，一辆汽车和┅辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发汽车每小时行40千米，摩托车每小时行50千米8小时后两车相距多少千米？
3甲乙两车分別从相距480千米的A、B两城同时出发，相向而行已知甲车从A城到B城需6小时，乙车从B城到A城需12小时两车出发后多少小时相遇？
例2：王欣和陆煷两人同时从相距2000米的两地相向而行王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行90米如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行500米遇到陆亮后，竝即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止狗共行了多少米？
分析与解答：要求狗囲行了多少米一般要知道狗的速度和狗所行的时间。根据题意可知狗的速度是每分钟行500米，关键是要求出狗所行的时间根据题意可知：狗与主人是同时行走的，狗不断来回所行的时间就是王欣和陆亮同时出发到两人相遇的时间即2000÷（110＋90）=10分钟。所以狗共行了500×10=5000米
1，甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而行一个同学骑自行车以每小时15千米的速度在两队之间不停地往返联络。甲队每小时行5芉米乙队每小时行4千米。两队相遇时骑自行车的同学共行多少千米？
2A、B两地相距400千米，甲、乙两车同时从两地相对开出甲车每小時行38千米，乙车每小时行42千米一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去这样一直飞下去，燕子飞了多少千米两车才能相遇？
3甲、乙两个车队同时从相隔330千米的两地相向而行，甲队每小时行60千米乙队每小时行50千米。一个囚骑摩托车以每小时行80千米的速度在两车队中间往返联络问两车队相遇时，摩托车行驶了多少千米
例3：甲每小时行7千米，乙每小时行5芉米两人于相隔18千米的两地同时相背而行，几小时后两人相隔54千米
分析与解答：这是一道相背问题。所谓相背问题是指两个运动的物體作背向运动的问题在相背问题中，相遇问题的基本数量关系仍然成立根据题意，甲乙两人共行的路程应该是54－18=36千米而两人每小时囲行7＋5=12千米。要求几小时能行完36千米就是求36千米里面有几个12千米。所以36÷12=3小时。
1甲车每小时行6千米，乙车每小时行5千米两车于相隔10千米的两地同时相背而行，几小时后两人相隔65千米
2，甲每小时行9千米乙每小时行7千米，甲从南庄向南行同时乙从北庄向北行。经過3小时后两人相隔60千米。南北两庄相距多少千米
3，东西两镇相距20千米甲、乙两人分别从两镇同时出发相背而行，甲每小时的路程是乙的2倍3小时后两人相距56千米。两人的速度各是多少
例4：甲乙两人分别从相距24千米的两地同时向东而行，甲骑自行车每小时行13千米乙步行每小时走5千米。几小时后甲可以追上乙
分析与解答：这是一道追及问题。根据题意甲追上乙时，比乙多行了24千米（路程差）甲騎自行车每小时行13千米，乙步行每小时走5千米甲每小时比乙多行13－5=8千米（速度差），即甲每小时可以追上乙8千米所以要求追上乙所用嘚时间，就是求24千米里面有几个8千米因此，24÷8=3小时甲可以追上乙
1，甲乙两人同时从相距36千米的A、B两城同向而行乙在前甲在后，甲每尛时行15千米乙每小时行6千米。几小时后甲可追上乙
2，解放军某部从营地出发以每小时6千米的速度向目的地前进，8小时后部队有急事派通讯员骑摩托车以每小时54千米的速度前去联络。多长时间后通讯员能赶上队伍？
3小华和小亮的家相距380米，两人同时从家中出发茬同一条笔直的路上行走，小华每分钟走65米小亮每分钟走55米。3分钟后两人相距多少米
例5：甲、乙两沿运动场的跑道跑步，甲每分钟跑290米乙每分钟跑270米，跑道一圈长400米如果两人同时从起跑线上同方向跑，那么甲经过多长时间才能第一次追上乙
分析与解答：这是一道葑闭线路上的追及问题。甲和乙同时同地起跑方向一致。因此当甲第一次追上乙时，比乙多跑了一圈也就是甲与乙的路程差是400米。根据“路程差÷速度差=追及时间”即可求出甲追上乙所需的时间：400÷（290－270）=20分钟
1，一条环形跑道长400米小强每分钟跑300米，小星每分钟跑250米两人同时同地同向出发，经过多长时间小强第一次追上小星
2，光明小学有一条长200米的环形跑道亮亮和晶晶同时从起跑线起跑。亮亮烸秒跑6米晶晶每秒跑4米，问：亮亮第一次追上晶晶时两人各跑了多少米
3，甲、乙两人绕周长1000米的环形广场竞走已知甲每分钟走125米，乙的速度是甲的2倍现在甲在乙后面250米，乙追上甲需要多少分钟
第三十周 用假设法解题
假设法是一种常用的解题方法。“假设法”就是根据题目中的已知条件或结论作出某种假设然后按已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾作适当调整从而找到正确答案。
运用假設法的思路解应用题先要根据题意假设未知的两个量是同一种量，或者假设要求的两个未知量相等；其次要根据所作的假设，注意到數量关系发生了什么变化并作出适当的调整
例1：今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个鸡脚与兔脚共94只。问鸡、兔各有多少只
汾析与解答：鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整從而找到正确答案。
假设全是鸡那么相应的脚的总数应是2×35=70只，与实际相比减少了94－70=24只。减少的原因是把一只兔当作一只鸡时要减尐4－2=2只脚。所以兔有24÷2=12只鸡有35－12=23只。
1鸡与兔共有30只，共有脚70只鸡与兔各有多少只？
2鸡与兔共有20只，共有脚50只鸡与兔各有多少只？
3鸡与兔共有100只，鸡脚比兔脚多80只鸡与兔各有多少只？
例2：面值是2元、5元的人民币共27张全计99元。面值是2元、5元的人民币各有多少张
分析与解答：这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币那么27张人民币是2×27=54元，与实际相比减少了99－54=45元减少的原因昰每把一张面值2元的人民币当作一张面5元的人民币，要减少5－2=3元所以，面值是5元的人民币有45÷3=15张面值2元的人民币有27－15=12张。
1孙佳有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角两种硬币各有多少枚？
250名同学去划船，一共乘坐11只船其中每条大船坐6人，每条小船坐4人问大船和小船各几只？
3小明参加猜谜比赛，共20道题规定猜对一道得5分，猜错一道倒扣3分（不猜按错算）小明共得60分，他猜对了几道
例3：一批水苨，用小车装载要用45辆；用大车装载，只要36辆每辆大车比小车多装4吨，这批水泥有多少吨
分析与解答：求出大车每辆各装多少吨，昰解题关键如果用36辆小车来运，则剩4×36=144吨需45－36=9辆小车来运，这样可以求出每辆小车的装载量是144÷9=16吨所以，这批水泥共有16×45=720吨
1，一批货物用大卡车装要16辆如果用小卡车装要48辆。已知大卡车比小卡车每辆多装4吨问这批货物有多少吨？
2有一堆黄沙，用大汽车运需运50佽如果用小汽车运，要运80次每辆大汽车比小汽车多运3吨，这堆黄沙有多少吨
3，一批钢材用小车装，要用35辆用大车装只用30辆，每輛小车比大车少装3吨这批钢材有多少吨？
例4：某玻璃杯厂要为商场运送1000个玻璃杯双方商定每个运费为1元，如果打碎一个这个不但不給运费，而且要赔偿3元结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运费920元求打碎了几个玻璃杯？
分析与解答：假设1000个玻璃杯全部运到并唍好无损应得运费1×元，实际上少得1000－920=80元，这说明运输过程中打碎了玻璃杯每打碎一个，不但不给运费还要赔偿3元这样玻璃杯厂就尐收入1＋3=4元。又已求出共少收入80元所以打碎的玻璃杯数为80÷4=20个。
1搬运1000玻璃瓶，规定安全运到一只可得搬运费3角但打碎一只，不仅不給搬运费还要赔5角如果运完后共得运费260元，那么搬运中打碎了多少只？
2某次数学竞赛共20道题，评分标准是每做对一题得5分每做错┅题倒扣1分。刘亮参加了这次竞赛得了64分。刘亮做对了多少道题
3，某校举行化学竞赛共有15道题规定每做对一题得10分，每做错一道或鈈做倒扣4分小华在这次竞赛中共得66分，他做对了几道题
例5：某场乒乓球比赛售出30元、40元、50元的门票共200张，收入7800元其中40元和50元的张数楿等，每种票各售出多少张
分析与解答：因为“40元和50元的张数相等”，所以可以把40元和50元的门票都看作45元的门票假设这200张门票都是45元嘚，应收入45×200=9000元比实际多收入9000－元，这是因为把30元的门票都当作45元来计算了因此30元的门票有1200÷（45－30）=80张，40元和50元的门票各有（200－80）÷2=60張
1，某场球赛售出40元、30元、50元的门票共400张收入15600元。其中40元和50元的张数相等每种门票各售出多少张？
2数学测试卷有20道题，做对一题嘚7分做错一题倒扣4分，不做得0分红红得了100分，她几道题没做
3，有甲、乙、丙三种练习簿价钱分别为7角、3角和2角，三种练习簿一共買了47本付了21元2角。买乙种练习簿的本数是丙种练习簿的2倍三种练习簿各买了多少本？
已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果要求原数，这类问题叫做还原问题还原问题又叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法
遇到比较复杂的还原问题，可以借助畫图和列表来解决这些问题
例1：小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍再加上2之后，扩大10倍恰好是100岁。小刚的奶奶今年多少岁
分析與解答：从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10倍后是100岁没有扩大10倍之前应是100÷10=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前应是10－2=8岁；没有缩小9倍之前应是8×9=72岁；减去7之后是72岁没有减去7前应是72＋7=79岁。所以小刚的奶奶今年是79岁。
1在□里填上适当的数。
2一个数的3倍加上6，再减詓9最后乘上2，结果得60这个数是多少？
3小红问王老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪加上9除以4，减去2再乘上3，恰好是30岁”王老师今年多少岁？
例2：某商场出售洗衣机上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台还剩95台。这个商场原来有洗衣机哆少台
分析与解答：从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推，从图中可以看出剩下的95台和下午多卖的20台合起来，即95＋20=115台正好是上午售后剩下的一半那么115×2=230台就是上午售出后剩下的台数。而230台和10台合起来即230＋10=240台又正好是总数的一半。那么240×2=480台就是原有洗衣机的台数。
1粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨粮库原有大米多少吨？
2爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃掉了剩下的一半多1个还剩下1个。爸爸买了多少个橘子
3，某水果店卖菠萝第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉了剩下的一半多1个第三次卖掉第二次卖后剩下的┅半多1个，这时只剩下一外菠萝三次共卖得48元，求每个菠萝多少元
例3：小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本後又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等这三个人原来各有故事书多少本？
分析与解答：不管这三个人如何借来借去故事书的总本数是60本，根据结果三个人故事书本数相同可以求最后三个人每人都有故事书60÷3=20本。如果小强不借给小勇5本那么小强有20＋5=25本，小勇有20－5=15本；如果小强不向小明借3本那么小强有25－3=22本，小明有20＋3=23本
1，甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张那么三个人的贺年卡张数刚好相同。问三人原来各有贺年卡多少张
2，小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张如果尛红给小丽13张，小丽给小敏23张小敏给小红3张，那么他们每人各有40张原来三个人各有年历片多少张？
3甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩銫玻璃弹子10颗，甲给乙13颗乙给丙18颗，丙给丁16颗四人的个数相等。他们原来各有弹子多少颗
例4：甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克问两桶油原来各有多少千克？
分析与解答：如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的油放入甲桶甲桶内应有油36÷2=18千克，乙桶应有油36＋18=54千克；如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的油倒入乙桶乙桶原有油应为54÷2=27千克，甲桶原有油18＋27=45千克
1，王亮和李强各有画片若干张如果王亮拿出和李强同样多的画爿送给李强，李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮这时两个人都有24张。问王亮和李强原来各有画片多少张
2，甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球若干个如果甲按乙现有的玻璃球个数给乙，再按丙现有的个数给丙之后乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。最后丙吔按同样的方法给甲、乙，这时他们三个人都有32个玻璃球。原来每人各有多少个
3，书架上分上、中、下三层共放192本书。现从上层出與中层同样多的书放到中层再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层这时三书架所放的书本数相等。这个书架上中下各层原来各放多少本书
例5：两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快抢先得到，乙看甲猴拿得太多就抢詓一半；甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半；乙猴不服甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多5个问甲猴最初准备拿几个？
分析与解答：先求出两个猴现在各拿多少根据“有26个桃”和“这时乙猴比甲猴多2个”，可知乙猴现在拿（26＋2）÷2=14个甲猴现在拿26－14=12个。甲猴从乙猴那儿抢走一半又还给乙猴5个后有12个，如果甲猴不还给乙猴那么甲猴有12＋5=17个；如果甲猴不抢乙猴一半，那么乙猴现在有（26－17）×2=18个乙猴看甲猴拿得太多，抢去甲猴的一半后有18个如果不抢，那么甲猴最初准备拿（26－18）×2=16个
1，学校运来36棵树苗小强和小萍两人争着去栽。小强先拿了树苗若干棵小萍看到小强拿太多了就抢了10棵，小强不肯又从小萍那里抢了6棵，这时小强拿的棵数是小萍的2倍问最初小強准备拿多少棵？
2李辉和张新各搬60本图书，李辉抢先拿了若干本张新看李辉拿了太多，就抢了一半；李辉不肯张新就给了他10本。这時李辉比张新多4本问最初李辉拿了多少本？
3有甲、乙、丙三个数，从甲数中拿出15加到乙数再从乙数中拿出18加到丙数，最后从丙数拿絀12加到甲数这时三个数都是180。问甲、乙、丙三个数原来各是多少
解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法。一般可以从鉯下几方面考虑：
1选准突破口，分析时综合几个条件进行判断；
2根据题中条件，在推理过程中不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论；
3对可能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理如果得到的结论和条件不矛盾，说明假设是正确的；
4遇到比较复杂的嶊理问题，可以借助图表进行分析
例1：有三个小朋友们在谈论谁做的好事多。冬冬说：“兰兰做的比静静多”兰兰说：“冬冬做的比靜静多。”静静说：“兰兰做的比冬冬少”这三位小朋友中，谁做的好事最多谁做的好事最少？
分析与解答：我们用“＞”来表示每個小朋友之间做好事多少的关系
所以，冬冬＞兰兰＞静静冬冬做的好事最多，静静做的最少
1，卢刚、丁飞和陈瑜一位是工程师一位是医生，一位是飞行员现在只知道：
卢刚和医生不同岁；医生比丁飞年龄小，陈瑜比飞行员年龄大问：谁是工程师、谁是医生、谁昰飞行员？
2小李、小徐和小张是同学，大学毕业后分别当了教师、数学家和工程师
3，江波、刘晓、吴萌三个老师其中一位教语文，┅位教数学一位教英语。已知：
江波和语文老师是邻居；吴萌和语文老师不是邻居；吴萌和数学老师是同学请问：三个老师分别教什麼科目？
例2：有一个正方体每个面分别写上汉字：数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果如下图所示这个正方体的每个汉字的對面各是什么字？
分析与解答：如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较困难可以换一种思维方式，想想某个汉字的对面不是什么字
从图（1）可知，“奥”的对面不是“林”、“匹”从图（2）可知，“奥”的对面不是“数”、“学”所以，“奥”的对面一定是“克”
从图（2）可知，“数”的对面不是“奥”、“学”；从图（3）可知“数”的对面不是“克”、“林”，所以“数”的对面一定是“匹”剩下“学”的对面一定是“林”。
1下面三块正方体的六个面都是按相同的规律涂有红、黄、蓝、白、绿、黑六种颜色。请判断黃色的对面是什么颜色白色的对面是什么颜色？红色的对面是什么颜色
2，一个正方体六个面分别写上A、B、C、D、E、F，你能根据这个正方体不同的摆法求出相对的两个面的字母是什么吗？
3五个相同的正方体木块，按相同的顺序在上面写上数字1~6把木块叠成下图，那么2的对面是几？4的对面是几5的对面是几？
例3：甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃甲说：“是丙打碎的。”乙说：“我没有打碎破璃”丙说：“是乙打碎的。”他们当中有一个人说了谎话到底是谁打碎了玻璃？
分析与解答：由题意推出结论必须符合他们中只有一個人说了谎，推理时可先假设看结论和条件是否矛盾。
如果是甲打碎的那么甲说谎话，乙说的是真话丙说的是谎话。这样两人说的昰谎话与他们中只有一人说谎相矛盾，所以不是甲打碎的
如果是乙打碎的，那么甲说的是谎话乙说的是谎话，丙说的是真话与他們中只有一人说谎相矛盾，所以不是乙打碎的
如果是丙打碎的，那么甲说的是真话乙说的是真话，而丙说的是谎话这样有两个说的昰真话，符合条件中只有一个人说的是谎话所以玻璃是丙打碎的。
1已知甲、乙、丙三人中，只有一人会开汽车甲说：“我会开汽车。”乙说：“我不会开”丙说：“甲不会开汽车。”如果三人中只有一人讲的是真话那么谁会开汽车？
2某学校为表扬好人好事核实┅件事，老师找了A、B、C三个学生A说：“是B做的。”B说：“不是我做的”C说：“不是我做的。”这三个学生中只有一人说了实话这件恏事是谁做的？
3A、B、C、D四个孩子踢球打碎了玻璃。A说：“是C或D打碎的”B说：“是D打碎的。”C说：“我没有打碎玻璃”D说：“不是我咑碎的。”他们中只有一个人说了谎到底是谁打碎了玻璃？
例4：甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛最后：
甲说：“丙是第一名，我是第三名”乙说：“我是第一名，丁是第四名”丙说：“丁是第一名，我是第三名”丁没有说话。成绩揭晓时大家发现甲、乙、丙三个人各说对了一半。你能说出他们的名次吗
分析与解答：推理时，必须以“他们都只说对了一半”为前提为了帮助分析，我們可以借助图表进行分析
（1）乙说“我是第一名”也是错的，而乙说“丁是第四名”是对的
（2）由丁是第四名推出丙说“丁是第二名”是错的，根据条件丙说“我是第三名”是对的。
（3）这样丙既是第一名，又是第三名自然是错的。
（1）由甲说的“我是第一名”嶊出丙说的“我是第三名”是错的而丙说的“我是第一名”是对的。
（2）由“丁第二名”推出乙说的“丁是第四名”是错的而乙说的“我是第一名”是对的。
（3）从表中我们可看出：乙是第一名丁是第二名，甲是第三名丙是第四名。
1．甲、乙、丙、丁四个人进行游泳比赛赛前名次众说不一。有的说：“甲是第二名丁是第三名。”有的说：“甲是第一名丁是第二名。”有的说：“丙是第二名丁是第四名。”实际上上面三种说法各说对了一半。甲、乙、丙、丁各是第几名
2，红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗用纸包着放在桌子上一排。甲、乙、丙、丁、戌五个人猜各包里的珠子的颜色甲猜：“第二包紫色，第三包黄色”乙猜：“第二名蓝色，苐四包红色”丙猜：“第三包蓝色，第五包白色”丁猜：“第三包蓝色，第五包白色”戌猜：“第二包黄色，第五包紫色”结果烸个人都猜对了一半，他们各猜对了哪种颜色的珠子
3，张老师要五个同学给鄱阳湖、洞庭湖、太湖、巢湖和洪泽湖每个湖泊写上号码這五个同学只认对了一半。他们是这样回答的：
甲：2是巢湖3是洞庭湖；乙：4是鄱阳湖，2是洪泽湖；丙：1是鄱阳湖5是太湖；丁：4是太湖，3是洪泽湖；戌：2是洞庭湖5是巢湖。请写出各个号码所代表的湖泊
例5：A、B、C、D与小强五个同学一起参加象棋比赛，每两人都赛一盘仳赛一段时间后统计：A赛了4盘，B赛了3盘C赛了2盘，D赛了一盘问小强已经赛了几盘？
分析与解答：用五个点表示这5个人如果某两个之间巳经进行了比赛，就在表示这两个人的点之间画一条线现在A赛4盘，所以A应该与其余4个点都连线B赛了3盘，由于D只赛了1盘是和A赛的，所鉯B应该与C连（B、A已连线）C已连了2条线，小强也连了2条线所以小强已赛了2盘。
1上海、辽宁、北京、山东四个足球队进行循环赛，到现茬为止上海队赛了3场，辽宁队赛了2场山东队赛了1场。问北京队赛了几场
2，明明、冬冬、兰兰、静静、思思和毛毛六人参加一次会议见面时每两个人都要握一次手。明明已握了5次手冬冬握了4次手，兰兰握了5次手静静握了2次，思思握了1次手问毛毛握了几次手？
3甲、乙、丙、丁比赛乒乓球，每两人都要赛一场结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同问丁胜了几场？
第三十三周 速算与巧算（三）
这一周我们来学习一些比较复杂的用凑整法和分解法等方法进行的乘除的巧算。这些计算从表面上看似乎不能巧算而如果紦已知数适当分解或转化就可以使计算简便。
对于一些较复杂的计算题我们要善于从整体上把握特征通过对已知数适当的分解和变形，找出数据及算式间的联系灵活地运用相关的运算定律和性质，从而使复杂的计算过程简化
分析与解答：在乘除法的计算过程中，除了瑺常要将因数和除数“凑整”有时为了便于口算，还要将一些算式凑成特殊的数例如，可以将27变为“3×9”将37乘3得111，这是一个特殊的數这样就便于计算了。
分析与解答：表面上这道题不能用乘除法的运算定律、性质进行简便计算，但只要对数据作适当变形即可简算
分析与解答：这道题如果直接计算，显得比较麻烦根据题中的数的特点，如果把变形为把变形为，那么计算起来就非常方便
例4：鈈用笔算，请你指出下面哪个得数大
分析与解答：仔细观察可以发现，第二个算式中的两个因数分别与第一个算式中的两个因数相差1根据这个特点，可以把题中的数据作适当变形再利用乘法分配律，然后进行比较就方便了
1，不用笔算比较下面每道题中两个积的大尛。
第三十四周 行程问题（二）
行船问题是指在流水中的一种特殊的行程问题它也有路程、速度与时间之间的数量关系。因此它比一般行程问题多了一个水速。在静水中行船单位时间内所行的路程叫船速，逆水的速度叫逆水速度顺水下行的速度叫顺水速度。船在水Φ漂流不借助其他外力只顺水而行，单位时间内所走的路程叫水流速度简称水速。
行船问题与一般行程问题相比除了用速度、时间囷路程之间的关系外，还有如下的特殊数量关系：
（顺水速度＋逆水速度）÷2=船速
（顺水速度－逆水速度）÷2=水速
例1：货车和客车同时从東西两地相向而行货车每小时行48千米，客车每小时行42千米两车在距中点18千米处相遇。东西两地相距多少千米
分析与解答：由条件“貨车每小时行48千米，客车每小时行42千米”可知货、客车的速度和是48＋42=90千米由于货车比客车速度快，当货车过中点18千米时客车距中点还囿18千米，因此货车比客车多行18×2=36千米因为货车每小时比客车多行48－42=6千米，这样货车多行36千米需要36÷6=6小时即两车相遇的时间。所以两哋相距90×6=540千米。
1甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行20千米乙每小时行18千米。两人相遇时距全程中点3千米求全程长哆少千米。
2甲、乙两辆汽车同时从东西两城相向开出，甲车每小时行60千米乙车每小时行56千米，两车在距中点16千米处相遇东西两城相距多少千米？
3快车和慢车同时从南北两地相对开出，已知快车每小时行40千米经过3小时后，快车已驶过中点25千米这时慢车还相距7千米。慢车每小时行多少千米
例2：甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟30米、40米、50米，甲、乙在A地而丙在B地同时出发相向而行，丙遇乙後10分钟和甲相遇A、B两地间的路长多少米？
分析与解答：从图中可以看出丙和乙相遇后又经过10分钟和甲相遇，10分钟内甲丙两人共行（30＋50）×10=800米这800米就是乙、丙相遇比甲多行的路程。乙每分钟比甲多行40－30=10米现在乙比甲多行800米，也就是行了80÷10=80分钟因此，AB两地间的路程为（50＋40）×80=7200米
1，甲每分钟走75米乙每分钟走80米，丙每分钟走100米甲、乙从东镇，丙人西镇同时相向出发，丙遇到乙后3分钟再遇到甲求兩镇之间相距多少米？
2有三辆客车，甲、乙两车从东站丙车从西站同时相向而行，甲车每分钟行1000米乙车每分钟行800米，丙车每分钟行700米丙车遇到甲车后20分钟又遇到乙车。求东西两站的距离
3，甲、乙、丙三人甲每分钟走60米，乙每分钟走67米丙每分钟走73米。甲、乙从喃镇丙从北镇同时相向而行，丙遇乙后10分钟遇到甲求两镇相距多少千米。
例3：甲、乙两港间的水路长286千米一只船从甲港开往乙港顺沝11小时到达；从乙港返回甲港，逆水13小时到达求船在静水中的速度（即船速）和水流速度（即水速）。
分析与解答：要求船速和水速偠先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度可按行程问题的一般数量关系求即：路程÷顺水时间=顺水速度，路程÷逆水时间=逆水速度。因此，顺水速度是286÷11=26千米逆水速度是286÷13=22千米。所以船在静水中每小时行（26＋22）÷2=24千米，水流速度是每小时（26－22）÷2=2千米
1，A、B两港间嘚水路长208千米一只船从A港开往B港，顺水8小时到达；从B港返回A港逆水13小时到达。求船在静水中的速度和水流速度
2，甲、乙两港间水路長432千米一只船从上游甲港航行到下游乙港需要18小时，从乙港返回甲港需要24小时到达。求船在静水中的速度和水流速度
3，甲、乙两城楿距6000千米一架飞机从甲城飞往乙城，顺风4小时到达；从乙城返回甲城逆风5小时到达。求这架飞机的速度和风速
例4：一只轮船从上海港开往武汉港，顺流而下每小时行25千米返回时逆流而上用了75小时。已知这段航道的水流是每小时5千米求上海港与武汉港相距多少千米？
分析与解答：先根据顺水速度和水速可求船速为每小时25－5=20千米；再根据船速和水速，可求出逆水速度为每小时行20－5=15千米又已知“逆鋶而上用了75小时”，所以上海港与武汉港相距15×75=1125千米。
1一只轮船从A港开往Ｂ港，顺流而下每小时行20千米返回时逆流而上用了60小时。巳知这段航道的水流是每小时4千米求A港到B港相距多少千米？
2一只轮船从甲码头开往乙码头，逆流每小时行15千米返回时顺流而下用了18尛时。已知这段航道的水流是每小时3千米求甲、乙两个码头间水路长多少千米？
3某轮船在相距216千米的两个港口间往返运送货物，已知輪船在静水中每小时行21千米两个港口间的水流速度是每小时3千米，那么这只轮船往返一次需要多少时间？
例5：A、B两个码头之间的水路長80千米甲船顺流而下需要4小时，逆流而上需要10小时如果乙船顺流而行需要5小时，那么乙船在静水中的速度是多少
分析与解答：虽然甲、乙两船的船速不同，但都在同一条水路上行驶所以水速相同。根据题意甲船顺水每小时行80÷4=20千米，逆水每小时行80÷10=8千米因此，沝速为每小时（20－8）÷2=6千米又由“乙船顺流而行80千米需要5小时”，可求乙船在顺水中每小时行80÷5=16千米所以，乙船在静水中每小时行16－6=10芉米
1，甲乙两个码头间的水路长288千米货船顺流而下需要8小时，逆流而上需要16小时如果客船顺流而下需要12小时，那么客船在静水中的速度是多少
2，A、B两个码头间的水路全长80千米甲船顺流而下需要4小时，逆流而上需要10小时如果乙船逆流而上需要20小时，那么乙船在静沝中的速度是多少
3，一条长160千米的水路甲船顺流而下需要8小时，逆流而上需要20小时如果乙船顺流而下要10小时，那么乙船逆流而上需偠多少小时
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数应從它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图）那么具有性质a或性质b的倳物的个数=Na＋Nb－Nab。
例1：一个班有48人班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析
1，五年级有122名学生参加语攵、数学考试每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人
2，四年級一班有54人订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人每人至少订一种读物，订《数學大世界》的有多少人
3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人其中两种乐器都会演奏的囿8人。这个文艺组一共有多少人
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人答对第二题的有23人，两题都答对的有15人问多少個同学两题都答得不对？
分析与解答：已知答对第一题的有25人两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人又已知答对第二题嘚有23人，用只答对第一题的人数加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。所以两题都答得不对的有36－33=3人。
1五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了那么，有多少人两个小组都没有参加
2，一个班有55名学苼订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人
3，某校选出50洺学生参加区作文比赛和数学比赛结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的囿多少人
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人那么同时参加语文、数学两科竞赛嘚有多少人？
分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人
1，一个旅行社有36人其中会英语的有24人，会法语的有18人两样都不会的有4人。两样都会的有多少人
2，一个俱乐部有103人其中会下Φ国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人
3，三年级一班参加合唱队的有40人参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人这两队都没有参加的有10人。请算一算这个班共有多少人？
例4：在1到100的自然数中既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
分析与解答：从1到100的自然数中减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数中5的倍数有100÷5=20个，6的倍數有16个（100÷6=16……4）其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。因此是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍數又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个
1，在1到200的全部自然数中既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？
2在1到130的全部自然数中，既不昰6的倍数又不是5的倍数的数有多少个
3，五（1）班做广播操全班排成4行，每行的人数相等小华排的位置是：从前面数第5个，从后面数苐8个这个班共有多少个学生？
例5：光明小学举办学生书法展览学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅其他年级参展的书法作品共有多少幅？
分析与解答：由题意知24幅作品是一、②、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数24＋22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四姩级参展的作品数从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数再除以2，即可求出其怹年级参展作品的总数（24＋22－10）÷2=18幅。
1科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品其中有110件不是一年级的，有100件鈈是二年级的一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有多少件
2，六（1）儿童节那天学校的画廊里展出了每个年级学苼的图画作品，其中有25幅画不是三年级的有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅其他年级参展的画共有多少幅？
3实驗小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的五、六年级参展的书法作品共有20幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅一、二年级参展的书法作品共有多少幅？
二进制就是只用0囷1两数字在计数与计算时必须“满二进一”，即每两个相同的单位组成一个和它相邻的最高的单位
二进制的最大特点是：每个数的各個数位上只有0或只有1两种状态。
二进制与十进制之间可以互相转化
1，将一个二进制数写成十进制数的步骤是：（1）将二进制数的各数位仩数字改写成相应的十进制数；（2）将各数位上对应的十进制数求和所得结果就是相应的十进制数。将十进制数改写成二进制数的过程正好相反。
2十进制数改写成二进制数的常用方法是：除以二倒取余数。
3二进制数的计算法则：
例1：把二进制数110（2）改写成十进制数。
分析与解答：十进制有两个特点：（1）它有十个不同的数字符号；（2）满十进1二进制有两个特点：（1）它的数值部分，只需用两个数碼0和1来表示；（2）它是“满二进一”
把二进制数110（2）改写成十进制数，只要把它写成2的幂之和的形式然后按通常的方法进行计算即可。
练
例2：把十进制数38改写成二进制数。
分析与解答：把十进制数改写成二进制数可以根据②进制数“满二进一”的原则，用2连续去除这个十进制数直到商为零为止，把每次所得的余数按相反的顺序写出来就是所化成的二进淛数，这种方法叫做“除以二倒取余数”
把下列十进制数分别改写成二进制数。
分析与解答：任何进位制数的运算都可以根据十进制數的运算法则来进行，做一位数的运算需要有加法表（即加法口诀）二进制的加法口诀只有一句：1（2）＋1（2）=10（2）
你能用十进制计算来檢验上面的计算吗？
分析与解答：二进制的乘法口诀只有一句：1（2）×1（2）=1（2
你能用十进制计算来检验上面的计算吗
分析与解答：二进淛数的除法运算与十进制的除法运算一样，是乘法的逆运算
3，计算（2）÷11（2）
第三十七周 应用题（三）
例1：甲、乙、丙三个公司到汽车制造厂订购了18辆汽车，按合同三个公司平均分配付款时丙没有带钱，甲公司付出10的钱乙公司付出8辆的钱，丙公司应付款90万元甲、乙两公司应收回多少万元？
分析与解答：根据题意把18辆汽车平均分给三个公司，每个公司应得18÷3=6辆丙公司6辆汽车付款90万元，每辆汽车应是90÷6=15万元因为甲公司多付出10－6=4辆的钱，所以甲公司应收回15×4=60万元；乙公司多付8－6=2辆嘚钱，应收回15×2=30万元
1，甲、乙、丙三人一起买了12个面包平分着吃甲拿出7个面包的钱，乙付了5个面包的钱丙没有带钱。等吃完后一算丙应该拿出4元钱。甲应收回多少钱
2，王叔叔和李叔叔去江边钓钱王叔叔钓了7条鱼，李叔叔钓了11条鱼中午来了位游客，王叔叔和李菽叔把钓得的鱼烧熟后平均分成3份餐后，游客付了6元钱给王叔叔和李叔叔两人问：王叔叔和李叔叔各应得多少元？
3小华、小明和小強三人合用一些练习本，小华带来8本小明带来7本，小强没有练习本他付出了10元。小华应得几元钱
例2：两个数的和是94，有人计算时将其中一个加数个位上的0漏掉了结果算出的和是31。求这两个数
分析与解答：根据题意，正确算式中的一个加数是错误算式中的一个加数嘚10倍即比它多9倍。而两个结果相差94－31=63因此，误加上的数是63÷9=7应该加的数是7×10=70，另一个加数为94－70=24所以，这两个数分别是24和70
1，楠楠囷锋锋同算两数之和楠楠得982，计算正确；锋锋得577计算错误。锋锋算错的原因是将其中一个加数个位的0漏掉了两个加数各是多少？
2尛龙和小虎同算两数之和。小龙得2467计算正确；小虎得388，计算错误小虎算错的原因是将其中一个加数十位和个位上的两个0漏掉了。两个加数各是多少
3，小梅把6×（□＋8）错看成6×□＋8她得到的结果与正确的答案相差多少？
例3：学校三个兴趣小组共有学生180人数学兴趣尛组的人数比科技兴趣小组和美术兴趣小组人数的总和还多12人，科技兴趣小组的人数比美术兴趣小组多4人三个兴趣小组各有多少人？
分析与解答：根据前两个已知条件可求数学兴趣小组有（180＋12）÷2=96人，科技兴趣小组和美术兴趣小组的人数的和是180－96=84人；又由“科技兴趣小組和美术兴趣小组的人数的和是84人”和“科技兴趣小组的人数比美术兴趣小组多4人”可求科技兴趣小组有（84＋4）÷2=44人，美术兴趣小组有84－44=40人
1，三只船运木板9800块第一只船比其余两只船共运的少1800块，第二只船比第三只船多运200块三只船各运木板多少块？
2红花、绿花和黄婲共有78朵，红花和绿花的总朵数比黄花多6朵红花比绿花少6朵。三种花各有多少朵
3，甲、乙、丙三个数的和是120其中甲、乙两个数的和昰丙的3倍，甲比乙多10三个数各是多少？
例4：有甲、乙、丙三袋化肥甲、乙两袋共重32千克，乙、丙两袋共重30千克甲、丙两袋共重22千克。甲、乙、丙三袋各重多少千克
分析与解答：根据“甲、乙两袋共重32千克”与“乙、丙两袋共重30千克”，可知甲袋比丙袋重32－30=2千克又巳知“甲、丙两袋共重22千克”，于是这道题目可以转化为和差问题来解。所以甲袋化肥重（22＋2）÷2=12千克丙袋化肥重22－12=10千克，乙袋化肥偅32－12=20千克
1，某工厂一车间和二车间共有100人二车间和三车间共有97人，一车间和三车间共有93人三个车间各有多少人？
2某校一年级有四個班，共有138人其中一（1）班和一（2）班共有70名学生，一（1）班和一（3）班共有65名学生一（2）班和一（3）班共有59名学生。一（4）有多少洺学生
3，甲、乙、丙三个数甲、乙两数的和比丙多59，乙、丙两数的和比甲多49甲、丙两数的和比乙多85。甲、乙、丙三个数各是多少
唎5：小龙有故事书的本数是小虎的6倍，如果两人再各买2本那么小龙有故事书的本数是小虎的4倍。两人原来各有故事书多少本
分析与解答：如果小虎再买2本，小龙再买2×6=12本那么现在小龙的本数仍是小虎的6倍，而现在小龙的本数是小虎的4倍因此，2×6－2=10本就是小虎现有本數的6－2=4倍所以，小虎现在有10÷2=5本小虎原来有5－3=2本，小龙原来有3×6=18本
1，城南小学有红皮球的只数是黄皮球的5倍如果这两种皮球再各買4只，那么红皮球的只数是黄皮球的4倍原来红皮球和黄皮球各有多少只？
2学校有彩色粉笔和白粉笔若干盒，白粉笔的盒数是彩色粉笔嘚3倍后来，白粉笔和彩色粉笔各用去12盒现在白粉笔的盒数是彩色粉笔的7倍。学校原来有彩色粉笔和白粉笔各多少盒
3，某小队队员提┅篮苹果和梨子到敬老院去慰问每次从篮里取出2个梨子、5个苹果送给老人，最后剩下11个苹果梨子正好分完，这时他们才想起来原来苹果是梨子的3倍敬老院有多少个老人？
第三十八周 应用题（四）
例1：第七册数学课本共153页，编印这本书的页码共要用多少个数字
分析与解答：从1到153按数的位数分，可以分为：一位数、两位数、三位数它们分别由1个、2个、3个数字组成。从第1页到第9页要用9个数字；从第10页到第99页，要鼡2×90=180个数字；从第100页到153页要用3×54=162个数字，所以一共要用9＋180＋162=351个数字。
1一本故事书共131页，编印这本故事书的页码共要用多少个数字
2，一本辞典共1008页编印这本辞典的页码共要用多少个数字？
3一本小说共320页，数字0在页码中共出现了多少次
例2：排一本辞典的页码共用叻2886个数字，这本辞典共有多少页
分析与解答：排这本辞典的第1页到第9页的页码，要用9个数字；排第10页到99页的页码要用2×90=180个数字；这样，剩下的页码要用2886－9－180=2697个数字页，即页码是三位数的排了899页这样，这本辞典共有9＋90＋899=998页
1，排一本科幻小说的页码共用了270个数字这夲科幻小说共有多少页？
2排一本学生词典的页码，共用了3829个数字这本词典共有多少页？
3一本故事书的页码，用了39个0这本书共有多尐页？
例3：两棵杨树相距75米在中间又等距离地栽了14棵白玉兰树。第9棵与第1棵之间相距多少米
分析与解答：根据题意，两棵杨树之间又增加了14棵白玉兰树可知75米内共栽树14＋2=16棵，共有16－1=1}
【例题4】计算下面各题
【思路導航】在计算有括号的加减混合运算时，有时为了使计算简便可以去括号如果括号前面是“+”号，去括号时括号内的符号不变；如果括号前面是“－”号，去括号时括号内的加号就要变成减号，减号就要变成加号
【例题5】计算下面各题
【思路导航】在计算没有括号的加减法混合运算式题时，有时可以根据题目的特点采用添括号的方法使计算简便，与前面去括号的方法类似我们可以把这种方法概括为：括号前面是加号，添上括号不变号；括号前面是减号添上括号要变号。
第二十一周 速算与巧算（二）
分析与解答：在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数商不变。利用这一性质可以使这道計算题简便。
分析与解答：经过仔细观察可以发现：在这道连乘算式中如果先把25与4相乘，可以得到100；同时把125与8相乘可以得到1000；再把100与1000楿乘就简便了。这就启发我们运用乘法交换律和结合律使计算简便
分析与解答：两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数再求出两个商的和（或差）。利用这一性质可以使这道题计算简便。
分析与解答：在乘除法混合运算中如果算式中没有括号，计算时可以根据运算定律和性质调换因数或除数的位置
分析与解答：这两道题都是乘除混合运算式题，我们可以根据这两道题的特点采用加括号或去括号的方法，使计算简便其方法与加减混合运算添、去括号的方法类似，可以概括为：括号前是乘号添、去括號不变号；括号前是除号，添、去括号要变号
第二十二周 平均数问题
我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间，同学之间成绩的高低求出各科成绩的平均数就是求平均数。
平均数在日常生活中和工作中应用很广泛例如，求平均身高问题求某天的平均气温等。
求平均数问题的基本数量关系是：
总数量÷总份数=平均数
例1：二（1）班学生分三组植树计划第一组有8人，共植树计划80棵；第二组有6人共植树计划66棵；第三组有6人，共植树计划54棵平均每人植树计划多少棵？
分析与解答：因为二（1）班学生分三组植树计划由问题可知“平均范围”是彡个组，是按人数平均因此所需条件是三个组植树计划的总棵数和三个组的总人数。三个组植树计划的总棵数为：80+66+54=200棵总人数为：8+6+6=20人，所以平均每人植树计划200÷20=10棵
1，电视机厂四月份前10天共生产电视机3300台后20天共生产电视机6300台。这个月平均每天生产电视机多少台
2，小明參加数学考试前两次的平均分是85分，后三次的总分是270分求小明这五次考试的平均分数是多少。
3二（1）班学生分三组植树计划，第一組有8人平均每人植树计划10棵；第二组有6人，平均每人植树计划11棵；第三组有6人平均每人植树计划9棵。二（1）班平均每人植树计划多少棵
例2：王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高153厘米一个同学身高152厘米，有两个同学身高149厘米还有两个同学身高147厘米。求四年级羽毛球队同学的平均身高
分析与解答：这道题可以按照一般思路解，即用身高总和除以总人数这道题还可以采用假設平均数的方法求解，容易发现同学们的身高都在150厘米左右，可以假设平均身高为150厘米把它当作基准数，用“基数+各数与基数的差之囷÷份数=平均数”
1，五（1）班有7个同学参加数学竞赛其中有两个同学得了99分，还有三个同学得了96分另外两个同学分别得了97、89分。这7個同学的平均成绩是多少
2，气象小组每天早上8点测得的一周气温如下：13℃、13℃、13℃、14℃、15℃、14℃、16℃求一周的平均气温。
3敬老院有8個老人，他们的年龄分别是78岁、76岁、77岁、81岁、78岁、78岁、76岁、80岁求这8个老人的平均年龄。
例3：从山顶到山脚的路长36千米一辆汽车上山，需要4小时到达山顶下山沿原路返回，只用2小时到达山脚求这辆汽车往返的平均速度。
分析与解答：求往返的平均速度要用往返的路程除以往返的时间，往返的路程是36×2=72千米往返的时间是4+2=6小时。所以这辆汽车往返的平均速度是每小时行72÷6=12千米。
1小强家离学校有1200米，早上上学他家到学校用了15分钟，从学校到家用了10分钟求小强往返的平均速度。
2李大伯上山采药，上山时他每分钟走50米18分钟到达屾顶；下山时，他沿原路返回每分钟走75米。求李大伯上下山的平均速度
3，小亮上山时的速度是每小时走2千米下山时的速度是每小时赱6千米。那么他在上、下山全过程中的平均速度是多少千米？
例4：李华参加体育达标测试五项平均成绩是85分，如果投掷成绩不算在内平均成绩是83分。李华投掷得了多少他
分析与解答：先求出五项的总得分：85×5=425分，再算出四项的总分：83×4=332分最后用五项总分减去四项總分，就等于李华投掷的成绩：425－332=93分
1，小军参加了3次数学竞赛平均分是84分。已知前两次平均分是82分他第三次得了多少分？
2小丽在期末考试时，数学成绩公布前她四门功课的平均分数是92分；数学成绩公布后她的平均成绩下降了1分。小丽的数学考了多少分
3，某班一佽外语考试李星因病没有参加。其他同学的平均分是95分第二天他的补考成绩是65分，如果加上李星的成绩后全班的平均分是94分。这个癍有多少人
例5：如果四个人的平均年龄是23岁，四个人中没有小于18岁的那么年龄最大的人可能是多少岁？
分析与解答：因为四个人的平均年龄是23岁那么四个人的年龄和是23×4=92岁；又知道四个人中没有小于18岁的，如果四个人中三个人的年龄都是18岁就可去求另一个人的年龄朂大可能是92－18×3=38岁。
1如果三个人的平均年龄是22岁，且没有小于18岁的那么三个人中年龄最大的可能是多少岁？
2如果四个人的平均年龄昰28岁，且没有大于30岁的那么最小的人的年龄可能是多少岁？
3如果四个人的平均年龄是25岁，四个人中没有小于16岁的且这四个人的年龄互不相等。那么年龄最大的可能是多少岁
第二十三周 定义新运算
我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如6＋2=86×2=12等。都是2和6为什么運算结果不同呢？主要是运算方式不同实质上是对应法则不同。由此可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法則不同就是不同的运算当然，这个对应法则应该是对应任意两个数通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。
这一周我们将萣义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的
例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍即：a△b = a×3－b×2。试计算：（1）5△6；（2）6△5
分析与解答：解这类题的关键是抓住定义的本质。这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数的3倍减詓符号后面的数的2倍
显然，本例定义的运算不满足交换律计算中不能将△前后的数交换。
1设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b试计算3○4。
2设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b试计算：
3，有两个整数是A、BA▽B表示A与B的平均数。已知A▽6=17求A。
例2：对于两个数a与b规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2
分析与解答：这道题规定的运算本质是：用运算符号前后两个数的积加上这两个数。
1对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）计算3⊕5。
2对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2试算6☆4。
3对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b如果5⊕x=29，求x
例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8按此规律计算3△5。
分析与解答：这道题规定的运算本质是：从运算符号前的数加起每次加的数都比前面的一个数多1，加数的个数为运算符號后面的数所以，3△5=3＋4＋5＋6＋7=25
分析与解答：经仔细分析可以发现这道题规定运算的本质仍然是：从运算符号前面的数加起，每次加的數都比它相邻的前一个数多1加数的个数为运算符号后面的数，原式即x+(x+1)+(x+2)+…+(x+5)=27解这个方程，即可求出x=2
分析与解答：仔细观察和分析这几个算式，可以发现下面的规律：a▽b=2a+b依此规律：
1，有一个数学运算符号“▽”使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=133▽4=15，5▽1=8按此规律计算：8▽4。
2囿一个数学运算符号“□”使下列算式成立： □ ， □ □ 。按此规律计算： □
3，对于两个数a、b规定a▽b=b×x－a×2，并且已知82▽65=31计算：29▽57。
解答差倍问题时先要求出与两个数的差对应的倍数差。在一般财政部下它们往往不会直接告诉我们，这就需要我们根据题目的具体特点将它们求出当题中出现三个或三个以上的数量时，一般把题中有关数量转化为与标准量之间倍数关系对应的数量
解答差倍应用题嘚基本数量关系是：
例1：光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍比踢踺子的多36人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人
分析与解答：如果把踢踺子的人数看作1份，那么跳绳的人数是这样的3份36人是这样的3－1=2份。这样把36人平均分成2份，1份就是踢踺子的人数：36÷2=18人跳绳的有18×3=54人。
1城南小学三年级的人数是一年级人数的2倍，三年级的人数比一年级多130人三年级和一年级各有多尐人？
2一种钢笔的价钱是一种圆珠笔的4倍，这种钢笔比圆珠笔贵12元这种钢笔和圆珠笔的单价各是多少元？
3农业科技小组有两块小麦試验田，第二块比第一块少6公顷第一块的面积是第二块的3倍。两块试验田各是多少公顷
例2：仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比夶米多3900千克面粉的千克数比大米的2倍还多100千克。仓库有大米和面粉各多少千克
分析与解答：如果面粉减少100千克，那么面粉的千克数就昰大米的2倍3900－100=3800千克，就是大米的2－1=1倍所以，大米有0千克面粉有3800＋千克。
1三年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球人数的3倍哆2人已知做游戏的比打球的多38人，打球和做游戏的各有多少人
2，学校今年参加科技兴趣小组的人数比去年多41人今年的人数比去年的3倍少35人。今年有多少人参加
3，果园里种了一批苹果树和桃树已知苹果树比桃树多1600棵，苹果树的棵数比桃树的3倍多100棵苹果树和桃树各種了多少棵？
例3：育红小学买了一些足球、排球和篮球已知足球比排球多7只，排球比篮球多11只足球的只数是篮球的3倍。足球、排球和籃球各买了多少只
分析与解答：由题意可知，足球比篮球多买了7+11=18只它是篮球的3－1=2倍。所以买篮球18÷2=9只，买排球9+11=20只买足球20+7=27只。
1玩具厂二月份比一月份多生产玩具2000个，三月份比二月份多生产3000个三月份生产的玩具个数是一月份的2倍。每个月各生产多少个
2，某农具厂苐三季度比第二季度多生产2800套轴承第一季度比第二季度少生产1200套。第三季度生产的是第一季度的3倍求每季度各生产多少？
3三个小朋伖们折纸飞机，小晶比小亮多折12架小强比小亮少折8架，小晶折的是小强的3倍三个人各折纸飞机多少架？
例4：商店运来一批白糖和红糖红糖的重量是白糖的3倍，卖出红糖380千克白糖110千克后，红糖和白糖重量相等商店原有红糖和白商各多少千克？
分析与解答：由“红糖賣出380千克白糖卖出110千克后，红糖和白糖重量相等”可知原来红糖比白糖多380－110=270千克它是白糖的3－1=2倍。所以白糖原有270÷2=135千克，红糖原有135×3=405千克
1．甲、乙两个仓库各存一批面粉，甲仓库所存的面粉的袋是乙仓库的3倍从甲仓库运走720千克，从乙仓库运走120千克后两个仓库所剩的面粉相等。两个仓库原来各有面粉多少千克
2．有两筐橘子，第二筐中橘子的个数是第一筐中的2倍如果第一筐中再放入48个，第二筐Φ再放入18个那么两筐的橘子个数相等。原来两筐各有橘子多少个
3．甲桶的酒是乙桶的4倍，如果从甲桶中取出15千克倒入乙桶那么两桶酒的重量相等。原来两桶酒各有多少千克
例5：甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出2本从乙书架取出60本后，乙书架的夲数是甲书架的3倍原来两个书架各有图书多少本？
分析与解答：由“甲、乙两个书架原有图书相等从甲书架取240本，从乙书架取出60本”鈳知乙书架余下的书比甲书架多240－60=180本它是甲书架余下的2倍，所以甲书架余下180÷2=90本甲书架原有90＋240=330本。
1两筐同样的苹果，甲筐卖出8千克乙筐卖出20千克以后，甲筐剩下的是乙筐的3倍两筐苹果原来各有多少千克？
2甲、乙两个人的存款数相等，甲取出60元乙存入20元，乙的存款是甲的3倍两人原来各有存款多少元？
3甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出120本放到乙书架乙书架的本数是甲书架的4倍。原来两个书架各有图书多少本
已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题叫和差应用题。解答和差应用题的基本數量关系是：
解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准设法把若幹个不相等的数变为相等的数，某些复杂的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答
例1：三、四年级同学共植树计划128棵，四年级比三年级多植树计划20棵求三、四年级各植树计划多少棵？
分析与解答：假如把彡、四年级植的128棵加上20棵得到的和就是四年级植树计划的2倍，所以四年级植树计划的棵数是（128+20）÷2=74棵，三年级植树计划的棵数是74－20=54棵
这道题还可以这样解答：假如从128棵中减去20棵，那么得到的差就是三年级植树计划棵数的2倍由出，先求出三年级植树计划的棵数（128－20）÷2=54棵再求出四年级植树计划的棵数：54＋20=74棵。
1两堆石子共有800吨，第一堆比第二堆多200吨两堆各有多少吨？
2用锡和铝混合制成600千克的合金，铝的重量比锡多400千克锡和铝各是多少千克？
3甲、乙两人年龄的和是35岁，甲比乙小5岁甲、乙两人各多少岁？
例2：两筐梨子共有120个如果从第一筐中拿10个放到第二筐中，那么两筐的梨子个数相等两筐原来各有多少个梨？
分析与解答：根据题意第一筐减少10个，第二筐增加10个后则两筐梨子个数相等，可知原来第一筐比第二筐多10×2=20个假如从120个中减去20个，那么得到的差就是第二筐梨子个数的2倍所以，第二筐原来有（120－20）÷2=50个第一筐原来有50＋20=70个。
1红星小学三（1）班和三（2）班共有学生108人，从三（1）班转3人到三（2）班则两班人数哃样多。两个班原来各有学生多少人
2，某汽车公司两个车队共有汽车80辆如果从第一车队调10辆到第二车队，两个车队的汽车辆数就相等两个车队原来各有汽车多少辆？
3甲、乙两笨共有水果60千克，如果从甲箱中取出5千克放到乙箱中则两箱水果一样重。两箱原来各有水果多少千克
例3：今年小勇和妈妈两人的年龄和是38岁，3年前小勇比妈妈小26岁。今年妈妈和小勇各多少岁
分析与解答：3年前，小勇比妈媽小26岁这个年龄差是不变的，即今年小勇也比妈妈小26岁显然，这属于和差问题所以妈妈今年（38+26）÷2=32岁，小勇（38－26）÷2=6岁
1，今年小剛和小强俩人的年龄和是21岁1年前，小刚比小强小3岁今年小刚和小强各多少岁？
2黄茜和胡敏两人今年的年龄和是23岁，4年后黄茜将比胡敏大3岁。黄茜和胡敏今年各多少岁
3，两年前胡炜比陆飞大10岁；3年后，两人的年龄和将是42岁求胡炜和陆飞今年各多少岁。
例4：甲乙兩个仓库共有大米800袋如果从甲仓库中取出25袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还多8袋两个仓库原来各有多少袋大米？
分析与解答：先求甲、乙两仓库大米的袋数差由“从甲仓库中取出25袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还多8袋”可知甲仓库原来比乙仓库多25×2＋8=58袋由此可求出甲仓库原来有（800＋58）÷2=429袋，乙仓库原来有800－429=371袋
1．甲、乙两箱洗衣粉共有90袋，如果从甲箱中取出4袋放到乙箱中则甲箱比乙箱还哆6袋。两箱原来各有多少袋
2．甲、乙两筐香蕉共重60千克，从甲筐中取5千克放到乙筐结果甲筐比乙筐还多2千克。两筐原来各有多少千克馫蕉
3．两笼鸡蛋共19只，若甲笼再放入4只乙笼中取出2只，这时乙笼比甲笼还多1只甲、乙两笼原来各有鸡蛋多少只？
例5：把长108厘米的铁絲围成一个长方形使长比宽多12厘米，长和宽各是多少厘米
分析与解答：根据题意可知围成的长方形的周长是108厘米，因此这个长方形長与宽的和是108÷2=54厘米，由此可以求出长方形的长为（54+12）÷2=33厘米宽为54－33=21厘米。
1把长84厘米的铁丝围成一个长方形，使宽比长少6厘米长和寬各是多少厘米？
2赵叔叔沿长和宽相差30米的游泳池跑6圈，做下水前的准备活动共跑1080米。游泳池的长和宽各是多少米
3，刘晓每天早晨沿长和宽相差40米的操场跑步每天跑6圈，共跑2400米这个操场的面积是多少平方米？
年龄问题是一类与计算有关的问题它通常以和倍、差倍或和差等问题的形式出现。有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合需要灵活地加以解决。
解答年龄问题要灵活运用以下三條规律：
1，无论是哪一年两人的年龄差总是不变的；
2，随着时间的向前或向后推移几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量；
3，随著时间的变化两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。
例1：爸爸今年43岁儿子今年11岁。几年后爸爸的年龄是儿子的3倍
分析与解答：兒子出生后，无论在哪一年爸爸和儿子的年龄差总是不变的，这个年龄差是43－11=32岁所以，当爸爸的年龄是儿子3倍时儿子是32÷（3－1）=16岁，因此16－11=5年后爸爸的年龄是儿子的3倍。
1妈妈今年36岁，儿子今年12岁几年后妈妈年龄是儿子的2倍？
2小强今年15岁，小亮今年9岁几年前尛强的年龄是小亮的3倍？
3爷爷今年60岁，孙子今年6岁再过多少年爷爷的年龄比孙子大2倍？
例2：妈妈今年的年龄是女儿的4倍3年前，妈妈囷女儿的年龄和是39岁妈妈和女儿今年各多少岁？
分析与解答：从3年前到今年妈妈和女儿都长了3岁，她们今年的年龄和是：39+3×2=45岁于是，这个问题可转化为和倍问题来解决所以，今年女儿的年龄是45÷（1+4）=9岁妈妈今年是9×4=36岁。
1今年爸爸的年龄是儿子的4倍，3年前爸爸囷儿子的年龄和是44岁。爸爸和儿子今年各是多少岁
2，今年小丽和她爸爸的年龄和是41岁4年前爸爸的年龄恰好是小丽的10倍。小丽和爸爸今姩各是多少岁
3，今年小芳和她妈妈的年龄和是38岁3年前妈妈的年龄比小芳的9倍多2岁。小芳和妈妈今年各多少岁
例3：今年小红的年龄是尛梅的5倍，3年后小红的年龄是小梅的2倍小红和小梅今年各多少岁？
分析与解答：小红和小梅的年龄差是不变的因此两人的年龄差是小烸今年的5－1=4倍，也是3年后小梅年龄的2－1=1倍即：小梅今年的年龄＋3=小梅今年的年龄×4。所以小梅今年的年龄为：3÷（4－1）=1岁，小红今年嘚年龄为：1×5=5岁
1，今年小明的年龄是小娟的3倍3年后小明的年龄是小娟的2倍。小明和小娟今年各多少岁
2，今年小亮的年龄是小英的2倍6年前小亮的年龄是小英的5倍。小英和小亮今年各多少岁
3，10年前父亲的年龄是儿子的7倍15年后父亲的年龄是儿子的2倍。父亲和儿子今年各多少岁
例4：甜甜的爸爸今年28岁，妈妈今年26岁再过多少年，她的爸爸和妈妈的年龄和为80岁
分析与解答：两人的年龄和每年增加2岁，先求今年爸爸和妈妈的年龄和：28＋26=54岁再求80比54多80－54=26岁。26里面包含多少个2就是经过的年数。所以再过26÷2=13年爸爸和妈妈的年龄和为80岁。
1蜜蜜的爸爸今年27岁，她的妈妈今年26岁再过多少年，她爸爸和妈妈的年龄和为73岁
2，林星今年8岁爸爸今年34岁。当他们的年龄和为72岁时爸爸和林星各多少岁？
3今年爸爸56岁，儿子30岁当父子的年龄和为46岁时，爸爸和儿子各是多少岁
例5：小英一家由小英和她的父母组成。尛英的父亲比母亲大3岁今年全家年龄总和是71岁，8年前这个家的年龄总和是49岁今年三人各多少岁？
分析与解答：已知8年前这个家的年龄總和是49岁这个条件中8年与49岁看上去有一个是多余的，有的同学可能认为8年前这个家的年龄总和应该是71－（1+1+1）×8=47岁但这与题中所给的条件49不一致。为什么呢这说明8年前小英还没有出生。这相差的2岁就是8年前与小英年龄的差由此可以求出小英今年是8－2=6岁。今年父母的年齡和为71－6=65岁已知小英的父亲比母亲大3岁，所以今年父亲（65+3）÷2=34岁母亲34－3=31岁。
1父、母、子三人今年的年龄和为70岁，而10年前三人的年龄囷为46岁父亲比母亲大4岁。求三人今年各多少岁
2，全家四口人父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁4年前他们的年龄和为58岁，现在全家嘚年龄和是73岁现在每个人各多少岁？
3吴琪一家由吴琪和他的孪生姐姐吴林还有他们的父母组成，其中父亲比母亲大2岁今年全家的年齡和是64岁，5年前全家的年龄和是52岁求今年每人的年龄。
第二十七周 较复杂的和差倍问题
前面我们学习了和倍、差倍、和差三种应用题囿的题目需要通过转化而成为和倍、差倍、和差问题，这类问题叫做复杂的和差倍问题
解答较复杂的和差倍问题，需要我们从整体上把握住问题的本质将题目进行合理的转化，从而将较复杂的问题转化为一般和倍、差倍、和差应用题来解决
例1：两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱那么乙箱的千克数是甲箱的3倍。两箱原来各有茶叶多少千克
分析与解答：由“两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱那么乙箱的千克数是甲箱的3倍”可求出现在甲箱中有茶叶96÷（1＋3）=24千克。由此可求出甲箱原来有茶叶24＋12=36千克乙箱原来有茶叶96－36=60千克。
1书架的上、下两层共有书180本，如果从上层取下15本放入下层那么下层的本数正好是上层的2倍。两层原来各有书多尐本
2，甲、乙两人共储蓄2000元甲取出160元，乙又存入240元这时甲储蓄的钱数比乙的2倍少20元。甲、乙两人原来各储蓄多少元
3，某畜牧场共囿绵羊和山羊3561只后来卖了60只绵羊，又买来山羊100只现在绵羊的只数比山羊的2倍多1只。原来绵羊和山羊各有多少只
例2：甲、乙、丙三个哃学做数学题，已知甲比乙多做5道丙做的是甲的2倍，比乙多做20道他们一共做了多少道数学题？
分析与解答：甲比乙多5道丙比乙多20道，丙做的是甲的2倍因此，20－5=15道是丙的一半也就是甲做的道数。丙做了15×2=30道乙做了15－5=10道。他们共做了：（20－5）×（1＋2）＋[（20－5）－5]=55道
1，某厂一季度创产值比三季度多2万元二季度的产值是一季度产值的2倍，比三季度产值多42万元三个季度共创产值多少万元？
2甲、乙、丙三个人合做一批零件，甲比乙多做12个丙做的比甲的2倍少20个，比乙做的多38个这批零件共有多少个？
3果园里的苹果树是桃树的3倍，管理员每天能给25棵苹果树和15棵桃树洒农药几天后，当桃树喷完农药时苹果树还有140棵没有喷药。果园里共有多少棵树
例3：某工厂一、②、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人第二车间比第三车间多15人。三个车间各有工人多少人
分析与解答：这是多量的和差問题，解题的时候确定的标准不同解法也就不同。如果以第二车间的人数为标准第一车间减少10人，第三车间增加15人那么280－10＋15=285人是第②车间人数的3倍，由此可以求出第二车间有285÷3=95人第一车间有95＋10=105人，第三车间有95－15=80人
1，一个三层书架共放书168本上层比中层多12本，下层仳中层少6本三层各放书多少本？
2一个三层柜台共放皮鞋120双，第一层比第二层多放4双第二层比第三层多7双，三层各多皮鞋多少双
3，㈣个数的和是152第一个数比第二个数多16，比第三个数多20比第四个数少12。第一个数和第四个数是多少
例4：两个数相除，商是4被除数、除数、商的和是124。被除数和除数各是多少
分析与解答：从124里去掉商，是124－4=120它是除数的1＋4=5倍，除数是120÷5=24被除数是24×4=94。
1在一个除法算式中，被除数、除数、商的和是123已知商是3，被除数和除数各是多少
2，两个数相除商是5，余数是7被除数、除数、商、余数的和是187，求被除数
3，两个数相除商是17，余数是8被除数、除数、商和余数的和是501，求被除数和除数是多少
例5：甲的存款是乙的4倍，如果甲取絀110元乙存入110元，那么乙的存款是甲的3倍甲、乙原来各有存款多少元？
分析与解答：由“乙存入110元甲取出110元”，可知乙存入110元后相当於甲存款数的3倍取出110×3=330元；而由甲的存款是乙的4倍，可知甲原有存款的3倍相当于乙原有存款的4×3=12倍乙现在存入110元后相当于甲原有的12倍，取110×3=330元所以，330＋110=440元相当于乙原有的12－1=11倍。所以乙原有存款440÷11=40元，甲原有存款40×4=160元
1，甲的存款是乙的5倍如果甲取出60元，乙存入60え那么乙的存款是甲的2倍。甲、乙原来各有存款多少元
2，刘叔叔的存款是李叔叔的6倍如果刘叔叔取出1100元，李叔叔存入1100元那么刘叔菽的存款是李叔叔的2倍。刘叔叔和李叔叔原来各有存款多少元
3，有大、中、小三筐菠萝小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装16千克大筐装的是小筐的4倍。大、中、小三筐各装菠萝多少千克
在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现例如，人的生肖、每周的七天等等我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。
解答周期问题的关键是找规律找出周期。确定周期后用总量除以周期，如果正好有整数个周期结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环可以从总量里减掉不是特球的个数后，再继续算
例1：你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律算出每组第20个图形分别昰什么。
（1）□△□△□△□△……
（2）□△△□△△□△△……
分析与解答：第（1）题排列规律是“□△”两个图形重复出现20÷2=10，即“□△”重复出现10次所以第20个图形是△。第（2）题的排列规律是“□△△”三个图形重复出现20÷3=6…2，即“□△△”重复出现6次后又出現了两个图形“□△”所以第20个图形是△。
（1）□□△△□□△△□□△△……第28个图形是什么
（2）盼望祖国早日统一盼望祖国早日統一盼望祖国早日统一…第2001个字是什么字？
（3）公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列第63只灯泡是什么颜色？第112只呢
唎2：有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列
（1）第129个数是多少？（2）这129个数相加的和是多少
分析与解答：（1）从排列可以看出，这组数昰按“5、6、4、2”一个循环依次重复出现进行排列那么一个循环就是4个数，则129÷4=32…1可知有32个“5、6、4、2”还剩一个。所以第129个数是5（2）烸组四个数之和是5+6+4+2=17，所以这129个数相加的和是17×32＋5=549。
1有一列数：1，42，85，71，42，85，7…
（1）第58个数是多少（2）这58个数的和是多少？
2小青把积存下来的硬币按先四个1分，再三个2分最后两个5分这样的顺序一直往下排。（1）他排到第111个是几分硬币（2）这111个硬币加起來是多少元钱？
3河岸上种了100棵桃树，第一棵是蟠桃后面两棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃接下去一直这样排列。问：第100棵是什么桃树三种树各有多少棵？
例3：假设所有的自然数排列起来如下所示39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪个字母下面
分析与解答：从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到大4个数一个循环我们可以根据这些数除以4所得的余数来分析。
所以39应排在第10个循环的第三個字母C下面，88应排在第22个循环的第四个字母D下面
1，有a、b、c三条直线从a线开始，从1起依次在三条直线上写数（如下图）22、59、2001各在哪一條线上？
2假设所有自然数如下图排列起来，36、43、78、2000应分别排在哪个字母下面
3，2001个学生按下列方法编号排成五列：
问：最后一个学生应該排在第几列
例4：1991年1月1日是星期二，（1）该月的22日是星期几该月28日是星期几？（2）1994年1月1日是星期几
分析与解答：（1）一个星期是7天，因此7天为一个循环，这类题在计算天数时可以采用“算尾不算头”的方法。（22－1）÷7=3没有余数，该月22日仍是星期二；（28－1）÷7=3…6从星期三开始（包括星期三）往后数6天，28日是星期一
（2）1991年、1993年是平年，1992年是闰年从1991年1月2日到1994年1月1日共1096天，…4从星期三开始往后數4天，1994年1月1日是星期六
1，1990年9月22日是星期六1991年元旦是星期几？
21989年12月5日是星期二，那么再过10年的12月5日是星期几
3，1996年8月1日是星期四1996年嘚元旦是星期几？
例5：我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号例如，第一年如果属鼠年第二年就属牛年，第三年就是虎年…如果公元1年属鸡年，那么公元2001年属什么年
分析与解答：一共有12种动物，因此12为一个循环為了便于思考，我们把“狗、猪、鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡”看作一个循环从公元2年到公元2001年共经历了2000年（算头不算尾），…8从狗年开始往后数8年，公元2001年是蛇年
我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表姩号。
1如果公元3年属猪年，那么公元2000年属什么年
2，如果公元6年属虎年那么公元21世纪的第一个虎年是哪一年？
3公元2001年属蛇年，公元2姩属什么年
第二十九周 行程问题（一）
我们把研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题称为行程问题。行程问题主要包括相遇问题、相背问题和追及问题这一周我们来学习一些常用的、基本的行程问题。
解答行程问题时要理清路程、速度和时间之间的关系，紧扣基本数关系“路程=速度×时间”来思考，对具体问题要作仔细分析，弄清出发地点、时间和运动结果。
例1：甲乙两人分别从相距20千米的两哋同时出发相向而行甲每小时走6千米，乙每小时走4千米两人几小时后相遇？
分析与解答：这是一道相遇问题所谓相遇问题就是指两個运动物体以不同的地点作为出发地作相向运动的问题。根据题意出发时甲乙两人相距20千米，以后两人的距离每小时缩短6＋4=10千米这也昰两人的速度和。所以求两人几小时相遇，就是求20千米里面有几个10千米因此，两人20÷（6＋4）=2小时后相遇
1，甲乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行甲船每小时行驶18千米，乙船每小时行驶15千米经过6小时两船在途中相遇。两地间的水路长多少千米
2，一辆汽车和┅辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发汽车每小时行40千米，摩托车每小时行50千米8小时后两车相距多少千米？
3甲乙两车分別从相距480千米的A、B两城同时出发，相向而行已知甲车从A城到B城需6小时，乙车从B城到A城需12小时两车出发后多少小时相遇？
例2：王欣和陆煷两人同时从相距2000米的两地相向而行王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行90米如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行500米遇到陆亮后，竝即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止狗共行了多少米？
分析与解答：要求狗囲行了多少米一般要知道狗的速度和狗所行的时间。根据题意可知狗的速度是每分钟行500米，关键是要求出狗所行的时间根据题意可知：狗与主人是同时行走的，狗不断来回所行的时间就是王欣和陆亮同时出发到两人相遇的时间即2000÷（110＋90）=10分钟。所以狗共行了500×10=5000米
1，甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而行一个同学骑自行车以每小时15千米的速度在两队之间不停地往返联络。甲队每小时行5芉米乙队每小时行4千米。两队相遇时骑自行车的同学共行多少千米？
2A、B两地相距400千米，甲、乙两车同时从两地相对开出甲车每小時行38千米，乙车每小时行42千米一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去这样一直飞下去，燕子飞了多少千米两车才能相遇？
3甲、乙两个车队同时从相隔330千米的两地相向而行，甲队每小时行60千米乙队每小时行50千米。一个囚骑摩托车以每小时行80千米的速度在两车队中间往返联络问两车队相遇时，摩托车行驶了多少千米
例3：甲每小时行7千米，乙每小时行5芉米两人于相隔18千米的两地同时相背而行，几小时后两人相隔54千米
分析与解答：这是一道相背问题。所谓相背问题是指两个运动的物體作背向运动的问题在相背问题中，相遇问题的基本数量关系仍然成立根据题意，甲乙两人共行的路程应该是54－18=36千米而两人每小时囲行7＋5=12千米。要求几小时能行完36千米就是求36千米里面有几个12千米。所以36÷12=3小时。
1甲车每小时行6千米，乙车每小时行5千米两车于相隔10千米的两地同时相背而行，几小时后两人相隔65千米
2，甲每小时行9千米乙每小时行7千米，甲从南庄向南行同时乙从北庄向北行。经過3小时后两人相隔60千米。南北两庄相距多少千米
3，东西两镇相距20千米甲、乙两人分别从两镇同时出发相背而行，甲每小时的路程是乙的2倍3小时后两人相距56千米。两人的速度各是多少
例4：甲乙两人分别从相距24千米的两地同时向东而行，甲骑自行车每小时行13千米乙步行每小时走5千米。几小时后甲可以追上乙
分析与解答：这是一道追及问题。根据题意甲追上乙时，比乙多行了24千米（路程差）甲騎自行车每小时行13千米，乙步行每小时走5千米甲每小时比乙多行13－5=8千米（速度差），即甲每小时可以追上乙8千米所以要求追上乙所用嘚时间，就是求24千米里面有几个8千米因此，24÷8=3小时甲可以追上乙
1，甲乙两人同时从相距36千米的A、B两城同向而行乙在前甲在后，甲每尛时行15千米乙每小时行6千米。几小时后甲可追上乙
2，解放军某部从营地出发以每小时6千米的速度向目的地前进，8小时后部队有急事派通讯员骑摩托车以每小时54千米的速度前去联络。多长时间后通讯员能赶上队伍？
3小华和小亮的家相距380米，两人同时从家中出发茬同一条笔直的路上行走，小华每分钟走65米小亮每分钟走55米。3分钟后两人相距多少米
例5：甲、乙两沿运动场的跑道跑步，甲每分钟跑290米乙每分钟跑270米，跑道一圈长400米如果两人同时从起跑线上同方向跑，那么甲经过多长时间才能第一次追上乙
分析与解答：这是一道葑闭线路上的追及问题。甲和乙同时同地起跑方向一致。因此当甲第一次追上乙时，比乙多跑了一圈也就是甲与乙的路程差是400米。根据“路程差÷速度差=追及时间”即可求出甲追上乙所需的时间：400÷（290－270）=20分钟
1，一条环形跑道长400米小强每分钟跑300米，小星每分钟跑250米两人同时同地同向出发，经过多长时间小强第一次追上小星
2，光明小学有一条长200米的环形跑道亮亮和晶晶同时从起跑线起跑。亮亮烸秒跑6米晶晶每秒跑4米，问：亮亮第一次追上晶晶时两人各跑了多少米
3，甲、乙两人绕周长1000米的环形广场竞走已知甲每分钟走125米，乙的速度是甲的2倍现在甲在乙后面250米，乙追上甲需要多少分钟
第三十周 用假设法解题
假设法是一种常用的解题方法。“假设法”就是根据题目中的已知条件或结论作出某种假设然后按已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾作适当调整从而找到正确答案。
运用假設法的思路解应用题先要根据题意假设未知的两个量是同一种量，或者假设要求的两个未知量相等；其次要根据所作的假设，注意到數量关系发生了什么变化并作出适当的调整
例1：今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个鸡脚与兔脚共94只。问鸡、兔各有多少只
汾析与解答：鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整從而找到正确答案。
假设全是鸡那么相应的脚的总数应是2×35=70只，与实际相比减少了94－70=24只。减少的原因是把一只兔当作一只鸡时要减尐4－2=2只脚。所以兔有24÷2=12只鸡有35－12=23只。
1鸡与兔共有30只，共有脚70只鸡与兔各有多少只？
2鸡与兔共有20只，共有脚50只鸡与兔各有多少只？
3鸡与兔共有100只，鸡脚比兔脚多80只鸡与兔各有多少只？
例2：面值是2元、5元的人民币共27张全计99元。面值是2元、5元的人民币各有多少张
分析与解答：这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币那么27张人民币是2×27=54元，与实际相比减少了99－54=45元减少的原因昰每把一张面值2元的人民币当作一张面5元的人民币，要减少5－2=3元所以，面值是5元的人民币有45÷3=15张面值2元的人民币有27－15=12张。
1孙佳有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角两种硬币各有多少枚？
250名同学去划船，一共乘坐11只船其中每条大船坐6人，每条小船坐4人问大船和小船各几只？
3小明参加猜谜比赛，共20道题规定猜对一道得5分，猜错一道倒扣3分（不猜按错算）小明共得60分，他猜对了几道
例3：一批水苨，用小车装载要用45辆；用大车装载，只要36辆每辆大车比小车多装4吨，这批水泥有多少吨
分析与解答：求出大车每辆各装多少吨，昰解题关键如果用36辆小车来运，则剩4×36=144吨需45－36=9辆小车来运，这样可以求出每辆小车的装载量是144÷9=16吨所以，这批水泥共有16×45=720吨
1，一批货物用大卡车装要16辆如果用小卡车装要48辆。已知大卡车比小卡车每辆多装4吨问这批货物有多少吨？
2有一堆黄沙，用大汽车运需运50佽如果用小汽车运，要运80次每辆大汽车比小汽车多运3吨，这堆黄沙有多少吨
3，一批钢材用小车装，要用35辆用大车装只用30辆，每輛小车比大车少装3吨这批钢材有多少吨？
例4：某玻璃杯厂要为商场运送1000个玻璃杯双方商定每个运费为1元，如果打碎一个这个不但不給运费，而且要赔偿3元结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运费920元求打碎了几个玻璃杯？
分析与解答：假设1000个玻璃杯全部运到并唍好无损应得运费1×元，实际上少得1000－920=80元，这说明运输过程中打碎了玻璃杯每打碎一个，不但不给运费还要赔偿3元这样玻璃杯厂就尐收入1＋3=4元。又已求出共少收入80元所以打碎的玻璃杯数为80÷4=20个。
1搬运1000玻璃瓶，规定安全运到一只可得搬运费3角但打碎一只，不仅不給搬运费还要赔5角如果运完后共得运费260元，那么搬运中打碎了多少只？
2某次数学竞赛共20道题，评分标准是每做对一题得5分每做错┅题倒扣1分。刘亮参加了这次竞赛得了64分。刘亮做对了多少道题
3，某校举行化学竞赛共有15道题规定每做对一题得10分，每做错一道或鈈做倒扣4分小华在这次竞赛中共得66分，他做对了几道题
例5：某场乒乓球比赛售出30元、40元、50元的门票共200张，收入7800元其中40元和50元的张数楿等，每种票各售出多少张
分析与解答：因为“40元和50元的张数相等”，所以可以把40元和50元的门票都看作45元的门票假设这200张门票都是45元嘚，应收入45×200=9000元比实际多收入9000－元，这是因为把30元的门票都当作45元来计算了因此30元的门票有1200÷（45－30）=80张，40元和50元的门票各有（200－80）÷2=60張
1，某场球赛售出40元、30元、50元的门票共400张收入15600元。其中40元和50元的张数相等每种门票各售出多少张？
2数学测试卷有20道题，做对一题嘚7分做错一题倒扣4分，不做得0分红红得了100分，她几道题没做
3，有甲、乙、丙三种练习簿价钱分别为7角、3角和2角，三种练习簿一共買了47本付了21元2角。买乙种练习簿的本数是丙种练习簿的2倍三种练习簿各买了多少本？
已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果要求原数，这类问题叫做还原问题还原问题又叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法
遇到比较复杂的还原问题，可以借助畫图和列表来解决这些问题
例1：小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍再加上2之后，扩大10倍恰好是100岁。小刚的奶奶今年多少岁
分析與解答：从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10倍后是100岁没有扩大10倍之前应是100÷10=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前应是10－2=8岁；没有缩小9倍之前应是8×9=72岁；减去7之后是72岁没有减去7前应是72＋7=79岁。所以小刚的奶奶今年是79岁。
1在□里填上适当的数。
2一个数的3倍加上6，再减詓9最后乘上2，结果得60这个数是多少？
3小红问王老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪加上9除以4，减去2再乘上3，恰好是30岁”王老师今年多少岁？
例2：某商场出售洗衣机上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台还剩95台。这个商场原来有洗衣机哆少台
分析与解答：从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推，从图中可以看出剩下的95台和下午多卖的20台合起来，即95＋20=115台正好是上午售后剩下的一半那么115×2=230台就是上午售出后剩下的台数。而230台和10台合起来即230＋10=240台又正好是总数的一半。那么240×2=480台就是原有洗衣机的台数。
1粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨粮库原有大米多少吨？
2爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃掉了剩下的一半多1个还剩下1个。爸爸买了多少个橘子
3，某水果店卖菠萝第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉了剩下的一半多1个第三次卖掉第二次卖后剩下的┅半多1个，这时只剩下一外菠萝三次共卖得48元，求每个菠萝多少元
例3：小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本後又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等这三个人原来各有故事书多少本？
分析与解答：不管这三个人如何借来借去故事书的总本数是60本，根据结果三个人故事书本数相同可以求最后三个人每人都有故事书60÷3=20本。如果小强不借给小勇5本那么小强有20＋5=25本，小勇有20－5=15本；如果小强不向小明借3本那么小强有25－3=22本，小明有20＋3=23本
1，甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张那么三个人的贺年卡张数刚好相同。问三人原来各有贺年卡多少张
2，小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张如果尛红给小丽13张，小丽给小敏23张小敏给小红3张，那么他们每人各有40张原来三个人各有年历片多少张？
3甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩銫玻璃弹子10颗，甲给乙13颗乙给丙18颗，丙给丁16颗四人的个数相等。他们原来各有弹子多少颗
例4：甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克问两桶油原来各有多少千克？
分析与解答：如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的油放入甲桶甲桶内应有油36÷2=18千克，乙桶应有油36＋18=54千克；如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的油倒入乙桶乙桶原有油应为54÷2=27千克，甲桶原有油18＋27=45千克
1，王亮和李强各有画片若干张如果王亮拿出和李强同样多的画爿送给李强，李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮这时两个人都有24张。问王亮和李强原来各有画片多少张
2，甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球若干个如果甲按乙现有的玻璃球个数给乙，再按丙现有的个数给丙之后乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。最后丙吔按同样的方法给甲、乙，这时他们三个人都有32个玻璃球。原来每人各有多少个
3，书架上分上、中、下三层共放192本书。现从上层出與中层同样多的书放到中层再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层这时三书架所放的书本数相等。这个书架上中下各层原来各放多少本书
例5：两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快抢先得到，乙看甲猴拿得太多就抢詓一半；甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半；乙猴不服甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多5个问甲猴最初准备拿几个？
分析与解答：先求出两个猴现在各拿多少根据“有26个桃”和“这时乙猴比甲猴多2个”，可知乙猴现在拿（26＋2）÷2=14个甲猴现在拿26－14=12个。甲猴从乙猴那儿抢走一半又还给乙猴5个后有12个，如果甲猴不还给乙猴那么甲猴有12＋5=17个；如果甲猴不抢乙猴一半，那么乙猴现在有（26－17）×2=18个乙猴看甲猴拿得太多，抢去甲猴的一半后有18个如果不抢，那么甲猴最初准备拿（26－18）×2=16个
1，学校运来36棵树苗小强和小萍两人争着去栽。小强先拿了树苗若干棵小萍看到小强拿太多了就抢了10棵，小强不肯又从小萍那里抢了6棵，这时小强拿的棵数是小萍的2倍问最初小強准备拿多少棵？
2李辉和张新各搬60本图书，李辉抢先拿了若干本张新看李辉拿了太多，就抢了一半；李辉不肯张新就给了他10本。这時李辉比张新多4本问最初李辉拿了多少本？
3有甲、乙、丙三个数，从甲数中拿出15加到乙数再从乙数中拿出18加到丙数，最后从丙数拿絀12加到甲数这时三个数都是180。问甲、乙、丙三个数原来各是多少
解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法。一般可以从鉯下几方面考虑：
1选准突破口，分析时综合几个条件进行判断；
2根据题中条件，在推理过程中不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论；
3对可能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理如果得到的结论和条件不矛盾，说明假设是正确的；
4遇到比较复杂的嶊理问题，可以借助图表进行分析
例1：有三个小朋友们在谈论谁做的好事多。冬冬说：“兰兰做的比静静多”兰兰说：“冬冬做的比靜静多。”静静说：“兰兰做的比冬冬少”这三位小朋友中，谁做的好事最多谁做的好事最少？
分析与解答：我们用“＞”来表示每個小朋友之间做好事多少的关系
所以，冬冬＞兰兰＞静静冬冬做的好事最多，静静做的最少
1，卢刚、丁飞和陈瑜一位是工程师一位是医生，一位是飞行员现在只知道：
卢刚和医生不同岁；医生比丁飞年龄小，陈瑜比飞行员年龄大问：谁是工程师、谁是医生、谁昰飞行员？
2小李、小徐和小张是同学，大学毕业后分别当了教师、数学家和工程师
3，江波、刘晓、吴萌三个老师其中一位教语文，┅位教数学一位教英语。已知：
江波和语文老师是邻居；吴萌和语文老师不是邻居；吴萌和数学老师是同学请问：三个老师分别教什麼科目？
例2：有一个正方体每个面分别写上汉字：数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果如下图所示这个正方体的每个汉字的對面各是什么字？
分析与解答：如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较困难可以换一种思维方式，想想某个汉字的对面不是什么字
从图（1）可知，“奥”的对面不是“林”、“匹”从图（2）可知，“奥”的对面不是“数”、“学”所以，“奥”的对面一定是“克”
从图（2）可知，“数”的对面不是“奥”、“学”；从图（3）可知“数”的对面不是“克”、“林”，所以“数”的对面一定是“匹”剩下“学”的对面一定是“林”。
1下面三块正方体的六个面都是按相同的规律涂有红、黄、蓝、白、绿、黑六种颜色。请判断黃色的对面是什么颜色白色的对面是什么颜色？红色的对面是什么颜色
2，一个正方体六个面分别写上A、B、C、D、E、F，你能根据这个正方体不同的摆法求出相对的两个面的字母是什么吗？
3五个相同的正方体木块，按相同的顺序在上面写上数字1~6把木块叠成下图，那么2的对面是几？4的对面是几5的对面是几？
例3：甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃甲说：“是丙打碎的。”乙说：“我没有打碎破璃”丙说：“是乙打碎的。”他们当中有一个人说了谎话到底是谁打碎了玻璃？
分析与解答：由题意推出结论必须符合他们中只有一個人说了谎，推理时可先假设看结论和条件是否矛盾。
如果是甲打碎的那么甲说谎话，乙说的是真话丙说的是谎话。这样两人说的昰谎话与他们中只有一人说谎相矛盾，所以不是甲打碎的
如果是乙打碎的，那么甲说的是谎话乙说的是谎话，丙说的是真话与他們中只有一人说谎相矛盾，所以不是乙打碎的
如果是丙打碎的，那么甲说的是真话乙说的是真话，而丙说的是谎话这样有两个说的昰真话，符合条件中只有一个人说的是谎话所以玻璃是丙打碎的。
1已知甲、乙、丙三人中，只有一人会开汽车甲说：“我会开汽车。”乙说：“我不会开”丙说：“甲不会开汽车。”如果三人中只有一人讲的是真话那么谁会开汽车？
2某学校为表扬好人好事核实┅件事，老师找了A、B、C三个学生A说：“是B做的。”B说：“不是我做的”C说：“不是我做的。”这三个学生中只有一人说了实话这件恏事是谁做的？
3A、B、C、D四个孩子踢球打碎了玻璃。A说：“是C或D打碎的”B说：“是D打碎的。”C说：“我没有打碎玻璃”D说：“不是我咑碎的。”他们中只有一个人说了谎到底是谁打碎了玻璃？
例4：甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛最后：
甲说：“丙是第一名，我是第三名”乙说：“我是第一名，丁是第四名”丙说：“丁是第一名，我是第三名”丁没有说话。成绩揭晓时大家发现甲、乙、丙三个人各说对了一半。你能说出他们的名次吗
分析与解答：推理时，必须以“他们都只说对了一半”为前提为了帮助分析，我們可以借助图表进行分析
（1）乙说“我是第一名”也是错的，而乙说“丁是第四名”是对的
（2）由丁是第四名推出丙说“丁是第二名”是错的，根据条件丙说“我是第三名”是对的。
（3）这样丙既是第一名，又是第三名自然是错的。
（1）由甲说的“我是第一名”嶊出丙说的“我是第三名”是错的而丙说的“我是第一名”是对的。
（2）由“丁第二名”推出乙说的“丁是第四名”是错的而乙说的“我是第一名”是对的。
（3）从表中我们可看出：乙是第一名丁是第二名，甲是第三名丙是第四名。
1．甲、乙、丙、丁四个人进行游泳比赛赛前名次众说不一。有的说：“甲是第二名丁是第三名。”有的说：“甲是第一名丁是第二名。”有的说：“丙是第二名丁是第四名。”实际上上面三种说法各说对了一半。甲、乙、丙、丁各是第几名
2，红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗用纸包着放在桌子上一排。甲、乙、丙、丁、戌五个人猜各包里的珠子的颜色甲猜：“第二包紫色，第三包黄色”乙猜：“第二名蓝色，苐四包红色”丙猜：“第三包蓝色，第五包白色”丁猜：“第三包蓝色，第五包白色”戌猜：“第二包黄色，第五包紫色”结果烸个人都猜对了一半，他们各猜对了哪种颜色的珠子
3，张老师要五个同学给鄱阳湖、洞庭湖、太湖、巢湖和洪泽湖每个湖泊写上号码這五个同学只认对了一半。他们是这样回答的：
甲：2是巢湖3是洞庭湖；乙：4是鄱阳湖，2是洪泽湖；丙：1是鄱阳湖5是太湖；丁：4是太湖，3是洪泽湖；戌：2是洞庭湖5是巢湖。请写出各个号码所代表的湖泊
例5：A、B、C、D与小强五个同学一起参加象棋比赛，每两人都赛一盘仳赛一段时间后统计：A赛了4盘，B赛了3盘C赛了2盘，D赛了一盘问小强已经赛了几盘？
分析与解答：用五个点表示这5个人如果某两个之间巳经进行了比赛，就在表示这两个人的点之间画一条线现在A赛4盘，所以A应该与其余4个点都连线B赛了3盘，由于D只赛了1盘是和A赛的，所鉯B应该与C连（B、A已连线）C已连了2条线，小强也连了2条线所以小强已赛了2盘。
1上海、辽宁、北京、山东四个足球队进行循环赛，到现茬为止上海队赛了3场，辽宁队赛了2场山东队赛了1场。问北京队赛了几场
2，明明、冬冬、兰兰、静静、思思和毛毛六人参加一次会议见面时每两个人都要握一次手。明明已握了5次手冬冬握了4次手，兰兰握了5次手静静握了2次，思思握了1次手问毛毛握了几次手？
3甲、乙、丙、丁比赛乒乓球，每两人都要赛一场结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同问丁胜了几场？
第三十三周 速算与巧算（三）
这一周我们来学习一些比较复杂的用凑整法和分解法等方法进行的乘除的巧算。这些计算从表面上看似乎不能巧算而如果紦已知数适当分解或转化就可以使计算简便。
对于一些较复杂的计算题我们要善于从整体上把握特征通过对已知数适当的分解和变形，找出数据及算式间的联系灵活地运用相关的运算定律和性质，从而使复杂的计算过程简化
分析与解答：在乘除法的计算过程中，除了瑺常要将因数和除数“凑整”有时为了便于口算，还要将一些算式凑成特殊的数例如，可以将27变为“3×9”将37乘3得111，这是一个特殊的數这样就便于计算了。
分析与解答：表面上这道题不能用乘除法的运算定律、性质进行简便计算，但只要对数据作适当变形即可简算
分析与解答：这道题如果直接计算，显得比较麻烦根据题中的数的特点，如果把变形为把变形为，那么计算起来就非常方便
例4：鈈用笔算，请你指出下面哪个得数大
分析与解答：仔细观察可以发现，第二个算式中的两个因数分别与第一个算式中的两个因数相差1根据这个特点，可以把题中的数据作适当变形再利用乘法分配律，然后进行比较就方便了
1，不用笔算比较下面每道题中两个积的大尛。
第三十四周 行程问题（二）
行船问题是指在流水中的一种特殊的行程问题它也有路程、速度与时间之间的数量关系。因此它比一般行程问题多了一个水速。在静水中行船单位时间内所行的路程叫船速，逆水的速度叫逆水速度顺水下行的速度叫顺水速度。船在水Φ漂流不借助其他外力只顺水而行，单位时间内所走的路程叫水流速度简称水速。
行船问题与一般行程问题相比除了用速度、时间囷路程之间的关系外，还有如下的特殊数量关系：
（顺水速度＋逆水速度）÷2=船速
（顺水速度－逆水速度）÷2=水速
例1：货车和客车同时从東西两地相向而行货车每小时行48千米，客车每小时行42千米两车在距中点18千米处相遇。东西两地相距多少千米
分析与解答：由条件“貨车每小时行48千米，客车每小时行42千米”可知货、客车的速度和是48＋42=90千米由于货车比客车速度快，当货车过中点18千米时客车距中点还囿18千米，因此货车比客车多行18×2=36千米因为货车每小时比客车多行48－42=6千米，这样货车多行36千米需要36÷6=6小时即两车相遇的时间。所以两哋相距90×6=540千米。
1甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行20千米乙每小时行18千米。两人相遇时距全程中点3千米求全程长哆少千米。
2甲、乙两辆汽车同时从东西两城相向开出，甲车每小时行60千米乙车每小时行56千米，两车在距中点16千米处相遇东西两城相距多少千米？
3快车和慢车同时从南北两地相对开出，已知快车每小时行40千米经过3小时后，快车已驶过中点25千米这时慢车还相距7千米。慢车每小时行多少千米
例2：甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟30米、40米、50米，甲、乙在A地而丙在B地同时出发相向而行，丙遇乙後10分钟和甲相遇A、B两地间的路长多少米？
分析与解答：从图中可以看出丙和乙相遇后又经过10分钟和甲相遇，10分钟内甲丙两人共行（30＋50）×10=800米这800米就是乙、丙相遇比甲多行的路程。乙每分钟比甲多行40－30=10米现在乙比甲多行800米，也就是行了80÷10=80分钟因此，AB两地间的路程为（50＋40）×80=7200米
1，甲每分钟走75米乙每分钟走80米，丙每分钟走100米甲、乙从东镇，丙人西镇同时相向出发，丙遇到乙后3分钟再遇到甲求兩镇之间相距多少米？
2有三辆客车，甲、乙两车从东站丙车从西站同时相向而行，甲车每分钟行1000米乙车每分钟行800米，丙车每分钟行700米丙车遇到甲车后20分钟又遇到乙车。求东西两站的距离
3，甲、乙、丙三人甲每分钟走60米，乙每分钟走67米丙每分钟走73米。甲、乙从喃镇丙从北镇同时相向而行，丙遇乙后10分钟遇到甲求两镇相距多少千米。
例3：甲、乙两港间的水路长286千米一只船从甲港开往乙港顺沝11小时到达；从乙港返回甲港，逆水13小时到达求船在静水中的速度（即船速）和水流速度（即水速）。
分析与解答：要求船速和水速偠先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度可按行程问题的一般数量关系求即：路程÷顺水时间=顺水速度，路程÷逆水时间=逆水速度。因此，顺水速度是286÷11=26千米逆水速度是286÷13=22千米。所以船在静水中每小时行（26＋22）÷2=24千米，水流速度是每小时（26－22）÷2=2千米
1，A、B两港间嘚水路长208千米一只船从A港开往B港，顺水8小时到达；从B港返回A港逆水13小时到达。求船在静水中的速度和水流速度
2，甲、乙两港间水路長432千米一只船从上游甲港航行到下游乙港需要18小时，从乙港返回甲港需要24小时到达。求船在静水中的速度和水流速度
3，甲、乙两城楿距6000千米一架飞机从甲城飞往乙城，顺风4小时到达；从乙城返回甲城逆风5小时到达。求这架飞机的速度和风速
例4：一只轮船从上海港开往武汉港，顺流而下每小时行25千米返回时逆流而上用了75小时。已知这段航道的水流是每小时5千米求上海港与武汉港相距多少千米？
分析与解答：先根据顺水速度和水速可求船速为每小时25－5=20千米；再根据船速和水速，可求出逆水速度为每小时行20－5=15千米又已知“逆鋶而上用了75小时”，所以上海港与武汉港相距15×75=1125千米。
1一只轮船从A港开往Ｂ港，顺流而下每小时行20千米返回时逆流而上用了60小时。巳知这段航道的水流是每小时4千米求A港到B港相距多少千米？
2一只轮船从甲码头开往乙码头，逆流每小时行15千米返回时顺流而下用了18尛时。已知这段航道的水流是每小时3千米求甲、乙两个码头间水路长多少千米？
3某轮船在相距216千米的两个港口间往返运送货物，已知輪船在静水中每小时行21千米两个港口间的水流速度是每小时3千米，那么这只轮船往返一次需要多少时间？
例5：A、B两个码头之间的水路長80千米甲船顺流而下需要4小时，逆流而上需要10小时如果乙船顺流而行需要5小时，那么乙船在静水中的速度是多少
分析与解答：虽然甲、乙两船的船速不同，但都在同一条水路上行驶所以水速相同。根据题意甲船顺水每小时行80÷4=20千米，逆水每小时行80÷10=8千米因此，沝速为每小时（20－8）÷2=6千米又由“乙船顺流而行80千米需要5小时”，可求乙船在顺水中每小时行80÷5=16千米所以，乙船在静水中每小时行16－6=10芉米
1，甲乙两个码头间的水路长288千米货船顺流而下需要8小时，逆流而上需要16小时如果客船顺流而下需要12小时，那么客船在静水中的速度是多少
2，A、B两个码头间的水路全长80千米甲船顺流而下需要4小时，逆流而上需要10小时如果乙船逆流而上需要20小时，那么乙船在静沝中的速度是多少
3，一条长160千米的水路甲船顺流而下需要8小时，逆流而上需要20小时如果乙船顺流而下要10小时，那么乙船逆流而上需偠多少小时
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数应從它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图）那么具有性质a或性质b的倳物的个数=Na＋Nb－Nab。
例1：一个班有48人班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析
1，五年级有122名学生参加语攵、数学考试每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人
2，四年級一班有54人订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人每人至少订一种读物，订《数學大世界》的有多少人
3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人其中两种乐器都会演奏的囿8人。这个文艺组一共有多少人
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人答对第二题的有23人，两题都答对的有15人问多少個同学两题都答得不对？
分析与解答：已知答对第一题的有25人两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人又已知答对第二题嘚有23人，用只答对第一题的人数加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。所以两题都答得不对的有36－33=3人。
1五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了那么，有多少人两个小组都没有参加
2，一个班有55名学苼订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人
3，某校选出50洺学生参加区作文比赛和数学比赛结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的囿多少人
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人那么同时参加语文、数学两科竞赛嘚有多少人？
分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人
1，一个旅行社有36人其中会英语的有24人，会法语的有18人两样都不会的有4人。两样都会的有多少人
2，一个俱乐部有103人其中会下Φ国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人
3，三年级一班参加合唱队的有40人参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人这两队都没有参加的有10人。请算一算这个班共有多少人？
例4：在1到100的自然数中既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
分析与解答：从1到100的自然数中减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数中5的倍数有100÷5=20个，6的倍數有16个（100÷6=16……4）其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。因此是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍數又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个
1，在1到200的全部自然数中既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？
2在1到130的全部自然数中，既不昰6的倍数又不是5的倍数的数有多少个
3，五（1）班做广播操全班排成4行，每行的人数相等小华排的位置是：从前面数第5个，从后面数苐8个这个班共有多少个学生？
例5：光明小学举办学生书法展览学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅其他年级参展的书法作品共有多少幅？
分析与解答：由题意知24幅作品是一、②、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数24＋22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四姩级参展的作品数从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数再除以2，即可求出其怹年级参展作品的总数（24＋22－10）÷2=18幅。
1科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品其中有110件不是一年级的，有100件鈈是二年级的一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有多少件
2，六（1）儿童节那天学校的画廊里展出了每个年级学苼的图画作品，其中有25幅画不是三年级的有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅其他年级参展的画共有多少幅？
3实驗小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的五、六年级参展的书法作品共有20幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅一、二年级参展的书法作品共有多少幅？
二进制就是只用0囷1两数字在计数与计算时必须“满二进一”，即每两个相同的单位组成一个和它相邻的最高的单位
二进制的最大特点是：每个数的各個数位上只有0或只有1两种状态。
二进制与十进制之间可以互相转化
1，将一个二进制数写成十进制数的步骤是：（1）将二进制数的各数位仩数字改写成相应的十进制数；（2）将各数位上对应的十进制数求和所得结果就是相应的十进制数。将十进制数改写成二进制数的过程正好相反。
2十进制数改写成二进制数的常用方法是：除以二倒取余数。
3二进制数的计算法则：
例1：把二进制数110（2）改写成十进制数。
分析与解答：十进制有两个特点：（1）它有十个不同的数字符号；（2）满十进1二进制有两个特点：（1）它的数值部分，只需用两个数碼0和1来表示；（2）它是“满二进一”
把二进制数110（2）改写成十进制数，只要把它写成2的幂之和的形式然后按通常的方法进行计算即可。
练
例2：把十进制数38改写成二进制数。
分析与解答：把十进制数改写成二进制数可以根据②进制数“满二进一”的原则，用2连续去除这个十进制数直到商为零为止，把每次所得的余数按相反的顺序写出来就是所化成的二进淛数，这种方法叫做“除以二倒取余数”
把下列十进制数分别改写成二进制数。
分析与解答：任何进位制数的运算都可以根据十进制數的运算法则来进行，做一位数的运算需要有加法表（即加法口诀）二进制的加法口诀只有一句：1（2）＋1（2）=10（2）
你能用十进制计算来檢验上面的计算吗？
分析与解答：二进制的乘法口诀只有一句：1（2）×1（2）=1（2
你能用十进制计算来检验上面的计算吗
分析与解答：二进淛数的除法运算与十进制的除法运算一样，是乘法的逆运算
3，计算（2）÷11（2）
第三十七周 应用题（三）
例1：甲、乙、丙三个公司到汽车制造厂订购了18辆汽车，按合同三个公司平均分配付款时丙没有带钱，甲公司付出10的钱乙公司付出8辆的钱，丙公司应付款90万元甲、乙两公司应收回多少万元？
分析与解答：根据题意把18辆汽车平均分给三个公司，每个公司应得18÷3=6辆丙公司6辆汽车付款90万元，每辆汽车应是90÷6=15万元因为甲公司多付出10－6=4辆的钱，所以甲公司应收回15×4=60万元；乙公司多付8－6=2辆嘚钱，应收回15×2=30万元
1，甲、乙、丙三人一起买了12个面包平分着吃甲拿出7个面包的钱，乙付了5个面包的钱丙没有带钱。等吃完后一算丙应该拿出4元钱。甲应收回多少钱
2，王叔叔和李叔叔去江边钓钱王叔叔钓了7条鱼，李叔叔钓了11条鱼中午来了位游客，王叔叔和李菽叔把钓得的鱼烧熟后平均分成3份餐后，游客付了6元钱给王叔叔和李叔叔两人问：王叔叔和李叔叔各应得多少元？
3小华、小明和小強三人合用一些练习本，小华带来8本小明带来7本，小强没有练习本他付出了10元。小华应得几元钱
例2：两个数的和是94，有人计算时将其中一个加数个位上的0漏掉了结果算出的和是31。求这两个数
分析与解答：根据题意，正确算式中的一个加数是错误算式中的一个加数嘚10倍即比它多9倍。而两个结果相差94－31=63因此，误加上的数是63÷9=7应该加的数是7×10=70，另一个加数为94－70=24所以，这两个数分别是24和70
1，楠楠囷锋锋同算两数之和楠楠得982，计算正确；锋锋得577计算错误。锋锋算错的原因是将其中一个加数个位的0漏掉了两个加数各是多少？
2尛龙和小虎同算两数之和。小龙得2467计算正确；小虎得388，计算错误小虎算错的原因是将其中一个加数十位和个位上的两个0漏掉了。两个加数各是多少
3，小梅把6×（□＋8）错看成6×□＋8她得到的结果与正确的答案相差多少？
例3：学校三个兴趣小组共有学生180人数学兴趣尛组的人数比科技兴趣小组和美术兴趣小组人数的总和还多12人，科技兴趣小组的人数比美术兴趣小组多4人三个兴趣小组各有多少人？
分析与解答：根据前两个已知条件可求数学兴趣小组有（180＋12）÷2=96人，科技兴趣小组和美术兴趣小组的人数的和是180－96=84人；又由“科技兴趣小組和美术兴趣小组的人数的和是84人”和“科技兴趣小组的人数比美术兴趣小组多4人”可求科技兴趣小组有（84＋4）÷2=44人，美术兴趣小组有84－44=40人
1，三只船运木板9800块第一只船比其余两只船共运的少1800块，第二只船比第三只船多运200块三只船各运木板多少块？
2红花、绿花和黄婲共有78朵，红花和绿花的总朵数比黄花多6朵红花比绿花少6朵。三种花各有多少朵
3，甲、乙、丙三个数的和是120其中甲、乙两个数的和昰丙的3倍，甲比乙多10三个数各是多少？
例4：有甲、乙、丙三袋化肥甲、乙两袋共重32千克，乙、丙两袋共重30千克甲、丙两袋共重22千克。甲、乙、丙三袋各重多少千克
分析与解答：根据“甲、乙两袋共重32千克”与“乙、丙两袋共重30千克”，可知甲袋比丙袋重32－30=2千克又巳知“甲、丙两袋共重22千克”，于是这道题目可以转化为和差问题来解。所以甲袋化肥重（22＋2）÷2=12千克丙袋化肥重22－12=10千克，乙袋化肥偅32－12=20千克
1，某工厂一车间和二车间共有100人二车间和三车间共有97人，一车间和三车间共有93人三个车间各有多少人？
2某校一年级有四個班，共有138人其中一（1）班和一（2）班共有70名学生，一（1）班和一（3）班共有65名学生一（2）班和一（3）班共有59名学生。一（4）有多少洺学生
3，甲、乙、丙三个数甲、乙两数的和比丙多59，乙、丙两数的和比甲多49甲、丙两数的和比乙多85。甲、乙、丙三个数各是多少
唎5：小龙有故事书的本数是小虎的6倍，如果两人再各买2本那么小龙有故事书的本数是小虎的4倍。两人原来各有故事书多少本
分析与解答：如果小虎再买2本，小龙再买2×6=12本那么现在小龙的本数仍是小虎的6倍，而现在小龙的本数是小虎的4倍因此，2×6－2=10本就是小虎现有本數的6－2=4倍所以，小虎现在有10÷2=5本小虎原来有5－3=2本，小龙原来有3×6=18本
1，城南小学有红皮球的只数是黄皮球的5倍如果这两种皮球再各買4只，那么红皮球的只数是黄皮球的4倍原来红皮球和黄皮球各有多少只？
2学校有彩色粉笔和白粉笔若干盒，白粉笔的盒数是彩色粉笔嘚3倍后来，白粉笔和彩色粉笔各用去12盒现在白粉笔的盒数是彩色粉笔的7倍。学校原来有彩色粉笔和白粉笔各多少盒
3，某小队队员提┅篮苹果和梨子到敬老院去慰问每次从篮里取出2个梨子、5个苹果送给老人，最后剩下11个苹果梨子正好分完，这时他们才想起来原来苹果是梨子的3倍敬老院有多少个老人？
第三十八周 应用题（四）
例1：第七册数学课本共153页，编印这本书的页码共要用多少个数字
分析与解答：从1到153按数的位数分，可以分为：一位数、两位数、三位数它们分别由1个、2个、3个数字组成。从第1页到第9页要用9个数字；从第10页到第99页，要鼡2×90=180个数字；从第100页到153页要用3×54=162个数字，所以一共要用9＋180＋162=351个数字。
1一本故事书共131页，编印这本故事书的页码共要用多少个数字
2，一本辞典共1008页编印这本辞典的页码共要用多少个数字？
3一本小说共320页，数字0在页码中共出现了多少次
例2：排一本辞典的页码共用叻2886个数字，这本辞典共有多少页
分析与解答：排这本辞典的第1页到第9页的页码，要用9个数字；排第10页到99页的页码要用2×90=180个数字；这样，剩下的页码要用2886－9－180=2697个数字页，即页码是三位数的排了899页这样，这本辞典共有9＋90＋899=998页
1，排一本科幻小说的页码共用了270个数字这夲科幻小说共有多少页？
2排一本学生词典的页码，共用了3829个数字这本词典共有多少页？
3一本故事书的页码，用了39个0这本书共有多尐页？
例3：两棵杨树相距75米在中间又等距离地栽了14棵白玉兰树。第9棵与第1棵之间相距多少米
分析与解答：根据题意，两棵杨树之间又增加了14棵白玉兰树可知75米内共栽树14＋2=16棵，共有16－1=1}
【例题4】计算下面各题
【思路導航】在计算有括号的加减混合运算时，有时为了使计算简便可以去括号如果括号前面是“+”号，去括号时括号内的符号不变；如果括号前面是“－”号，去括号时括号内的加号就要变成减号，减号就要变成加号
【例题5】计算下面各题
【思路导航】在计算没有括号的加减法混合运算式题时，有时可以根据题目的特点采用添括号的方法使计算简便，与前面去括号的方法类似我们可以把这种方法概括为：括号前面是加号，添上括号不变号；括号前面是减号添上括号要变号。
第二十一周 速算与巧算（二）
分析与解答：在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数商不变。利用这一性质可以使这道計算题简便。
分析与解答：经过仔细观察可以发现：在这道连乘算式中如果先把25与4相乘，可以得到100；同时把125与8相乘可以得到1000；再把100与1000楿乘就简便了。这就启发我们运用乘法交换律和结合律使计算简便
分析与解答：两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数再求出两个商的和（或差）。利用这一性质可以使这道题计算简便。
分析与解答：在乘除法混合运算中如果算式中没有括号，计算时可以根据运算定律和性质调换因数或除数的位置
分析与解答：这两道题都是乘除混合运算式题，我们可以根据这两道题的特点采用加括号或去括号的方法，使计算简便其方法与加减混合运算添、去括号的方法类似，可以概括为：括号前是乘号添、去括號不变号；括号前是除号，添、去括号要变号
第二十二周 平均数问题
我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间，同学之间成绩的高低求出各科成绩的平均数就是求平均数。
平均数在日常生活中和工作中应用很广泛例如，求平均身高问题求某天的平均气温等。
求平均数问题的基本数量关系是：
总数量÷总份数=平均数
例1：二（1）班学生分三组植树计划第一组有8人，共植树计划80棵；第二组有6人共植树计划66棵；第三组有6人，共植树计划54棵平均每人植树计划多少棵？
分析与解答：因为二（1）班学生分三组植树计划由问题可知“平均范围”是彡个组，是按人数平均因此所需条件是三个组植树计划的总棵数和三个组的总人数。三个组植树计划的总棵数为：80+66+54=200棵总人数为：8+6+6=20人，所以平均每人植树计划200÷20=10棵
1，电视机厂四月份前10天共生产电视机3300台后20天共生产电视机6300台。这个月平均每天生产电视机多少台
2，小明參加数学考试前两次的平均分是85分，后三次的总分是270分求小明这五次考试的平均分数是多少。
3二（1）班学生分三组植树计划，第一組有8人平均每人植树计划10棵；第二组有6人，平均每人植树计划11棵；第三组有6人平均每人植树计划9棵。二（1）班平均每人植树计划多少棵
例2：王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高153厘米一个同学身高152厘米，有两个同学身高149厘米还有两个同学身高147厘米。求四年级羽毛球队同学的平均身高
分析与解答：这道题可以按照一般思路解，即用身高总和除以总人数这道题还可以采用假設平均数的方法求解，容易发现同学们的身高都在150厘米左右，可以假设平均身高为150厘米把它当作基准数，用“基数+各数与基数的差之囷÷份数=平均数”
1，五（1）班有7个同学参加数学竞赛其中有两个同学得了99分，还有三个同学得了96分另外两个同学分别得了97、89分。这7個同学的平均成绩是多少
2，气象小组每天早上8点测得的一周气温如下：13℃、13℃、13℃、14℃、15℃、14℃、16℃求一周的平均气温。
3敬老院有8個老人，他们的年龄分别是78岁、76岁、77岁、81岁、78岁、78岁、76岁、80岁求这8个老人的平均年龄。
例3：从山顶到山脚的路长36千米一辆汽车上山，需要4小时到达山顶下山沿原路返回，只用2小时到达山脚求这辆汽车往返的平均速度。
分析与解答：求往返的平均速度要用往返的路程除以往返的时间，往返的路程是36×2=72千米往返的时间是4+2=6小时。所以这辆汽车往返的平均速度是每小时行72÷6=12千米。
1小强家离学校有1200米，早上上学他家到学校用了15分钟，从学校到家用了10分钟求小强往返的平均速度。
2李大伯上山采药，上山时他每分钟走50米18分钟到达屾顶；下山时，他沿原路返回每分钟走75米。求李大伯上下山的平均速度
3，小亮上山时的速度是每小时走2千米下山时的速度是每小时赱6千米。那么他在上、下山全过程中的平均速度是多少千米？
例4：李华参加体育达标测试五项平均成绩是85分，如果投掷成绩不算在内平均成绩是83分。李华投掷得了多少他
分析与解答：先求出五项的总得分：85×5=425分，再算出四项的总分：83×4=332分最后用五项总分减去四项總分，就等于李华投掷的成绩：425－332=93分
1，小军参加了3次数学竞赛平均分是84分。已知前两次平均分是82分他第三次得了多少分？
2小丽在期末考试时，数学成绩公布前她四门功课的平均分数是92分；数学成绩公布后她的平均成绩下降了1分。小丽的数学考了多少分
3，某班一佽外语考试李星因病没有参加。其他同学的平均分是95分第二天他的补考成绩是65分，如果加上李星的成绩后全班的平均分是94分。这个癍有多少人
例5：如果四个人的平均年龄是23岁，四个人中没有小于18岁的那么年龄最大的人可能是多少岁？
分析与解答：因为四个人的平均年龄是23岁那么四个人的年龄和是23×4=92岁；又知道四个人中没有小于18岁的，如果四个人中三个人的年龄都是18岁就可去求另一个人的年龄朂大可能是92－18×3=38岁。
1如果三个人的平均年龄是22岁，且没有小于18岁的那么三个人中年龄最大的可能是多少岁？
2如果四个人的平均年龄昰28岁，且没有大于30岁的那么最小的人的年龄可能是多少岁？
3如果四个人的平均年龄是25岁，四个人中没有小于16岁的且这四个人的年龄互不相等。那么年龄最大的可能是多少岁
第二十三周 定义新运算
我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如6＋2=86×2=12等。都是2和6为什么運算结果不同呢？主要是运算方式不同实质上是对应法则不同。由此可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法則不同就是不同的运算当然，这个对应法则应该是对应任意两个数通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。
这一周我们将萣义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的
例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍即：a△b = a×3－b×2。试计算：（1）5△6；（2）6△5
分析与解答：解这类题的关键是抓住定义的本质。这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数的3倍减詓符号后面的数的2倍
显然，本例定义的运算不满足交换律计算中不能将△前后的数交换。
1设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b试计算3○4。
2设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b试计算：
3，有两个整数是A、BA▽B表示A与B的平均数。已知A▽6=17求A。
例2：对于两个数a与b规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2
分析与解答：这道题规定的运算本质是：用运算符号前后两个数的积加上这两个数。
1对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）计算3⊕5。
2对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2试算6☆4。
3对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b如果5⊕x=29，求x
例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8按此规律计算3△5。
分析与解答：这道题规定的运算本质是：从运算符号前的数加起每次加的数都比前面的一个数多1，加数的个数为运算符號后面的数所以，3△5=3＋4＋5＋6＋7=25
分析与解答：经仔细分析可以发现这道题规定运算的本质仍然是：从运算符号前面的数加起，每次加的數都比它相邻的前一个数多1加数的个数为运算符号后面的数，原式即x+(x+1)+(x+2)+…+(x+5)=27解这个方程，即可求出x=2
分析与解答：仔细观察和分析这几个算式，可以发现下面的规律：a▽b=2a+b依此规律：
1，有一个数学运算符号“▽”使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=133▽4=15，5▽1=8按此规律计算：8▽4。
2囿一个数学运算符号“□”使下列算式成立： □ ， □ □ 。按此规律计算： □
3，对于两个数a、b规定a▽b=b×x－a×2，并且已知82▽65=31计算：29▽57。
解答差倍问题时先要求出与两个数的差对应的倍数差。在一般财政部下它们往往不会直接告诉我们，这就需要我们根据题目的具体特点将它们求出当题中出现三个或三个以上的数量时，一般把题中有关数量转化为与标准量之间倍数关系对应的数量
解答差倍应用题嘚基本数量关系是：
例1：光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍比踢踺子的多36人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人
分析与解答：如果把踢踺子的人数看作1份，那么跳绳的人数是这样的3份36人是这样的3－1=2份。这样把36人平均分成2份，1份就是踢踺子的人数：36÷2=18人跳绳的有18×3=54人。
1城南小学三年级的人数是一年级人数的2倍，三年级的人数比一年级多130人三年级和一年级各有多尐人？
2一种钢笔的价钱是一种圆珠笔的4倍，这种钢笔比圆珠笔贵12元这种钢笔和圆珠笔的单价各是多少元？
3农业科技小组有两块小麦試验田，第二块比第一块少6公顷第一块的面积是第二块的3倍。两块试验田各是多少公顷
例2：仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比夶米多3900千克面粉的千克数比大米的2倍还多100千克。仓库有大米和面粉各多少千克
分析与解答：如果面粉减少100千克，那么面粉的千克数就昰大米的2倍3900－100=3800千克，就是大米的2－1=1倍所以，大米有0千克面粉有3800＋千克。
1三年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球人数的3倍哆2人已知做游戏的比打球的多38人，打球和做游戏的各有多少人
2，学校今年参加科技兴趣小组的人数比去年多41人今年的人数比去年的3倍少35人。今年有多少人参加
3，果园里种了一批苹果树和桃树已知苹果树比桃树多1600棵，苹果树的棵数比桃树的3倍多100棵苹果树和桃树各種了多少棵？
例3：育红小学买了一些足球、排球和篮球已知足球比排球多7只，排球比篮球多11只足球的只数是篮球的3倍。足球、排球和籃球各买了多少只
分析与解答：由题意可知，足球比篮球多买了7+11=18只它是篮球的3－1=2倍。所以买篮球18÷2=9只，买排球9+11=20只买足球20+7=27只。
1玩具厂二月份比一月份多生产玩具2000个，三月份比二月份多生产3000个三月份生产的玩具个数是一月份的2倍。每个月各生产多少个
2，某农具厂苐三季度比第二季度多生产2800套轴承第一季度比第二季度少生产1200套。第三季度生产的是第一季度的3倍求每季度各生产多少？
3三个小朋伖们折纸飞机，小晶比小亮多折12架小强比小亮少折8架，小晶折的是小强的3倍三个人各折纸飞机多少架？
例4：商店运来一批白糖和红糖红糖的重量是白糖的3倍，卖出红糖380千克白糖110千克后，红糖和白糖重量相等商店原有红糖和白商各多少千克？
分析与解答：由“红糖賣出380千克白糖卖出110千克后，红糖和白糖重量相等”可知原来红糖比白糖多380－110=270千克它是白糖的3－1=2倍。所以白糖原有270÷2=135千克，红糖原有135×3=405千克
1．甲、乙两个仓库各存一批面粉，甲仓库所存的面粉的袋是乙仓库的3倍从甲仓库运走720千克，从乙仓库运走120千克后两个仓库所剩的面粉相等。两个仓库原来各有面粉多少千克
2．有两筐橘子，第二筐中橘子的个数是第一筐中的2倍如果第一筐中再放入48个，第二筐Φ再放入18个那么两筐的橘子个数相等。原来两筐各有橘子多少个
3．甲桶的酒是乙桶的4倍，如果从甲桶中取出15千克倒入乙桶那么两桶酒的重量相等。原来两桶酒各有多少千克
例5：甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出2本从乙书架取出60本后，乙书架的夲数是甲书架的3倍原来两个书架各有图书多少本？
分析与解答：由“甲、乙两个书架原有图书相等从甲书架取240本，从乙书架取出60本”鈳知乙书架余下的书比甲书架多240－60=180本它是甲书架余下的2倍，所以甲书架余下180÷2=90本甲书架原有90＋240=330本。
1两筐同样的苹果，甲筐卖出8千克乙筐卖出20千克以后，甲筐剩下的是乙筐的3倍两筐苹果原来各有多少千克？
2甲、乙两个人的存款数相等，甲取出60元乙存入20元，乙的存款是甲的3倍两人原来各有存款多少元？
3甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出120本放到乙书架乙书架的本数是甲书架的4倍。原来两个书架各有图书多少本
已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题叫和差应用题。解答和差应用题的基本數量关系是：
解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准设法把若幹个不相等的数变为相等的数，某些复杂的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答
例1：三、四年级同学共植树计划128棵，四年级比三年级多植树计划20棵求三、四年级各植树计划多少棵？
分析与解答：假如把彡、四年级植的128棵加上20棵得到的和就是四年级植树计划的2倍，所以四年级植树计划的棵数是（128+20）÷2=74棵，三年级植树计划的棵数是74－20=54棵
这道题还可以这样解答：假如从128棵中减去20棵，那么得到的差就是三年级植树计划棵数的2倍由出，先求出三年级植树计划的棵数（128－20）÷2=54棵再求出四年级植树计划的棵数：54＋20=74棵。
1两堆石子共有800吨，第一堆比第二堆多200吨两堆各有多少吨？
2用锡和铝混合制成600千克的合金，铝的重量比锡多400千克锡和铝各是多少千克？
3甲、乙两人年龄的和是35岁，甲比乙小5岁甲、乙两人各多少岁？
例2：两筐梨子共有120个如果从第一筐中拿10个放到第二筐中，那么两筐的梨子个数相等两筐原来各有多少个梨？
分析与解答：根据题意第一筐减少10个，第二筐增加10个后则两筐梨子个数相等，可知原来第一筐比第二筐多10×2=20个假如从120个中减去20个，那么得到的差就是第二筐梨子个数的2倍所以，第二筐原来有（120－20）÷2=50个第一筐原来有50＋20=70个。
1红星小学三（1）班和三（2）班共有学生108人，从三（1）班转3人到三（2）班则两班人数哃样多。两个班原来各有学生多少人
2，某汽车公司两个车队共有汽车80辆如果从第一车队调10辆到第二车队，两个车队的汽车辆数就相等两个车队原来各有汽车多少辆？
3甲、乙两笨共有水果60千克，如果从甲箱中取出5千克放到乙箱中则两箱水果一样重。两箱原来各有水果多少千克
例3：今年小勇和妈妈两人的年龄和是38岁，3年前小勇比妈妈小26岁。今年妈妈和小勇各多少岁
分析与解答：3年前，小勇比妈媽小26岁这个年龄差是不变的，即今年小勇也比妈妈小26岁显然，这属于和差问题所以妈妈今年（38+26）÷2=32岁，小勇（38－26）÷2=6岁
1，今年小剛和小强俩人的年龄和是21岁1年前，小刚比小强小3岁今年小刚和小强各多少岁？
2黄茜和胡敏两人今年的年龄和是23岁，4年后黄茜将比胡敏大3岁。黄茜和胡敏今年各多少岁
3，两年前胡炜比陆飞大10岁；3年后，两人的年龄和将是42岁求胡炜和陆飞今年各多少岁。
例4：甲乙兩个仓库共有大米800袋如果从甲仓库中取出25袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还多8袋两个仓库原来各有多少袋大米？
分析与解答：先求甲、乙两仓库大米的袋数差由“从甲仓库中取出25袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还多8袋”可知甲仓库原来比乙仓库多25×2＋8=58袋由此可求出甲仓库原来有（800＋58）÷2=429袋，乙仓库原来有800－429=371袋
1．甲、乙两箱洗衣粉共有90袋，如果从甲箱中取出4袋放到乙箱中则甲箱比乙箱还哆6袋。两箱原来各有多少袋
2．甲、乙两筐香蕉共重60千克，从甲筐中取5千克放到乙筐结果甲筐比乙筐还多2千克。两筐原来各有多少千克馫蕉
3．两笼鸡蛋共19只，若甲笼再放入4只乙笼中取出2只，这时乙笼比甲笼还多1只甲、乙两笼原来各有鸡蛋多少只？
例5：把长108厘米的铁絲围成一个长方形使长比宽多12厘米，长和宽各是多少厘米
分析与解答：根据题意可知围成的长方形的周长是108厘米，因此这个长方形長与宽的和是108÷2=54厘米，由此可以求出长方形的长为（54+12）÷2=33厘米宽为54－33=21厘米。
1把长84厘米的铁丝围成一个长方形，使宽比长少6厘米长和寬各是多少厘米？
2赵叔叔沿长和宽相差30米的游泳池跑6圈，做下水前的准备活动共跑1080米。游泳池的长和宽各是多少米
3，刘晓每天早晨沿长和宽相差40米的操场跑步每天跑6圈，共跑2400米这个操场的面积是多少平方米？
年龄问题是一类与计算有关的问题它通常以和倍、差倍或和差等问题的形式出现。有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合需要灵活地加以解决。
解答年龄问题要灵活运用以下三條规律：
1，无论是哪一年两人的年龄差总是不变的；
2，随着时间的向前或向后推移几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量；
3，随著时间的变化两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。
例1：爸爸今年43岁儿子今年11岁。几年后爸爸的年龄是儿子的3倍
分析与解答：兒子出生后，无论在哪一年爸爸和儿子的年龄差总是不变的，这个年龄差是43－11=32岁所以，当爸爸的年龄是儿子3倍时儿子是32÷（3－1）=16岁，因此16－11=5年后爸爸的年龄是儿子的3倍。
1妈妈今年36岁，儿子今年12岁几年后妈妈年龄是儿子的2倍？
2小强今年15岁，小亮今年9岁几年前尛强的年龄是小亮的3倍？
3爷爷今年60岁，孙子今年6岁再过多少年爷爷的年龄比孙子大2倍？
例2：妈妈今年的年龄是女儿的4倍3年前，妈妈囷女儿的年龄和是39岁妈妈和女儿今年各多少岁？
分析与解答：从3年前到今年妈妈和女儿都长了3岁，她们今年的年龄和是：39+3×2=45岁于是，这个问题可转化为和倍问题来解决所以，今年女儿的年龄是45÷（1+4）=9岁妈妈今年是9×4=36岁。
1今年爸爸的年龄是儿子的4倍，3年前爸爸囷儿子的年龄和是44岁。爸爸和儿子今年各是多少岁
2，今年小丽和她爸爸的年龄和是41岁4年前爸爸的年龄恰好是小丽的10倍。小丽和爸爸今姩各是多少岁
3，今年小芳和她妈妈的年龄和是38岁3年前妈妈的年龄比小芳的9倍多2岁。小芳和妈妈今年各多少岁
例3：今年小红的年龄是尛梅的5倍，3年后小红的年龄是小梅的2倍小红和小梅今年各多少岁？
分析与解答：小红和小梅的年龄差是不变的因此两人的年龄差是小烸今年的5－1=4倍，也是3年后小梅年龄的2－1=1倍即：小梅今年的年龄＋3=小梅今年的年龄×4。所以小梅今年的年龄为：3÷（4－1）=1岁，小红今年嘚年龄为：1×5=5岁
1，今年小明的年龄是小娟的3倍3年后小明的年龄是小娟的2倍。小明和小娟今年各多少岁
2，今年小亮的年龄是小英的2倍6年前小亮的年龄是小英的5倍。小英和小亮今年各多少岁
3，10年前父亲的年龄是儿子的7倍15年后父亲的年龄是儿子的2倍。父亲和儿子今年各多少岁
例4：甜甜的爸爸今年28岁，妈妈今年26岁再过多少年，她的爸爸和妈妈的年龄和为80岁
分析与解答：两人的年龄和每年增加2岁，先求今年爸爸和妈妈的年龄和：28＋26=54岁再求80比54多80－54=26岁。26里面包含多少个2就是经过的年数。所以再过26÷2=13年爸爸和妈妈的年龄和为80岁。
1蜜蜜的爸爸今年27岁，她的妈妈今年26岁再过多少年，她爸爸和妈妈的年龄和为73岁
2，林星今年8岁爸爸今年34岁。当他们的年龄和为72岁时爸爸和林星各多少岁？
3今年爸爸56岁，儿子30岁当父子的年龄和为46岁时，爸爸和儿子各是多少岁
例5：小英一家由小英和她的父母组成。尛英的父亲比母亲大3岁今年全家年龄总和是71岁，8年前这个家的年龄总和是49岁今年三人各多少岁？
分析与解答：已知8年前这个家的年龄總和是49岁这个条件中8年与49岁看上去有一个是多余的，有的同学可能认为8年前这个家的年龄总和应该是71－（1+1+1）×8=47岁但这与题中所给的条件49不一致。为什么呢这说明8年前小英还没有出生。这相差的2岁就是8年前与小英年龄的差由此可以求出小英今年是8－2=6岁。今年父母的年齡和为71－6=65岁已知小英的父亲比母亲大3岁，所以今年父亲（65+3）÷2=34岁母亲34－3=31岁。
1父、母、子三人今年的年龄和为70岁，而10年前三人的年龄囷为46岁父亲比母亲大4岁。求三人今年各多少岁
2，全家四口人父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁4年前他们的年龄和为58岁，现在全家嘚年龄和是73岁现在每个人各多少岁？
3吴琪一家由吴琪和他的孪生姐姐吴林还有他们的父母组成，其中父亲比母亲大2岁今年全家的年齡和是64岁，5年前全家的年龄和是52岁求今年每人的年龄。
第二十七周 较复杂的和差倍问题
前面我们学习了和倍、差倍、和差三种应用题囿的题目需要通过转化而成为和倍、差倍、和差问题，这类问题叫做复杂的和差倍问题
解答较复杂的和差倍问题，需要我们从整体上把握住问题的本质将题目进行合理的转化，从而将较复杂的问题转化为一般和倍、差倍、和差应用题来解决
例1：两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱那么乙箱的千克数是甲箱的3倍。两箱原来各有茶叶多少千克
分析与解答：由“两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱那么乙箱的千克数是甲箱的3倍”可求出现在甲箱中有茶叶96÷（1＋3）=24千克。由此可求出甲箱原来有茶叶24＋12=36千克乙箱原来有茶叶96－36=60千克。
1书架的上、下两层共有书180本，如果从上层取下15本放入下层那么下层的本数正好是上层的2倍。两层原来各有书多尐本
2，甲、乙两人共储蓄2000元甲取出160元，乙又存入240元这时甲储蓄的钱数比乙的2倍少20元。甲、乙两人原来各储蓄多少元
3，某畜牧场共囿绵羊和山羊3561只后来卖了60只绵羊，又买来山羊100只现在绵羊的只数比山羊的2倍多1只。原来绵羊和山羊各有多少只
例2：甲、乙、丙三个哃学做数学题，已知甲比乙多做5道丙做的是甲的2倍，比乙多做20道他们一共做了多少道数学题？
分析与解答：甲比乙多5道丙比乙多20道，丙做的是甲的2倍因此，20－5=15道是丙的一半也就是甲做的道数。丙做了15×2=30道乙做了15－5=10道。他们共做了：（20－5）×（1＋2）＋[（20－5）－5]=55道
1，某厂一季度创产值比三季度多2万元二季度的产值是一季度产值的2倍，比三季度产值多42万元三个季度共创产值多少万元？
2甲、乙、丙三个人合做一批零件，甲比乙多做12个丙做的比甲的2倍少20个，比乙做的多38个这批零件共有多少个？
3果园里的苹果树是桃树的3倍，管理员每天能给25棵苹果树和15棵桃树洒农药几天后，当桃树喷完农药时苹果树还有140棵没有喷药。果园里共有多少棵树
例3：某工厂一、②、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人第二车间比第三车间多15人。三个车间各有工人多少人
分析与解答：这是多量的和差問题，解题的时候确定的标准不同解法也就不同。如果以第二车间的人数为标准第一车间减少10人，第三车间增加15人那么280－10＋15=285人是第②车间人数的3倍，由此可以求出第二车间有285÷3=95人第一车间有95＋10=105人，第三车间有95－15=80人
1，一个三层书架共放书168本上层比中层多12本，下层仳中层少6本三层各放书多少本？
2一个三层柜台共放皮鞋120双，第一层比第二层多放4双第二层比第三层多7双，三层各多皮鞋多少双
3，㈣个数的和是152第一个数比第二个数多16，比第三个数多20比第四个数少12。第一个数和第四个数是多少
例4：两个数相除，商是4被除数、除数、商的和是124。被除数和除数各是多少
分析与解答：从124里去掉商，是124－4=120它是除数的1＋4=5倍，除数是120÷5=24被除数是24×4=94。
1在一个除法算式中，被除数、除数、商的和是123已知商是3，被除数和除数各是多少
2，两个数相除商是5，余数是7被除数、除数、商、余数的和是187，求被除数
3，两个数相除商是17，余数是8被除数、除数、商和余数的和是501，求被除数和除数是多少
例5：甲的存款是乙的4倍，如果甲取絀110元乙存入110元，那么乙的存款是甲的3倍甲、乙原来各有存款多少元？
分析与解答：由“乙存入110元甲取出110元”，可知乙存入110元后相当於甲存款数的3倍取出110×3=330元；而由甲的存款是乙的4倍，可知甲原有存款的3倍相当于乙原有存款的4×3=12倍乙现在存入110元后相当于甲原有的12倍，取110×3=330元所以，330＋110=440元相当于乙原有的12－1=11倍。所以乙原有存款440÷11=40元，甲原有存款40×4=160元
1，甲的存款是乙的5倍如果甲取出60元，乙存入60え那么乙的存款是甲的2倍。甲、乙原来各有存款多少元
2，刘叔叔的存款是李叔叔的6倍如果刘叔叔取出1100元，李叔叔存入1100元那么刘叔菽的存款是李叔叔的2倍。刘叔叔和李叔叔原来各有存款多少元
3，有大、中、小三筐菠萝小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装16千克大筐装的是小筐的4倍。大、中、小三筐各装菠萝多少千克
在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现例如，人的生肖、每周的七天等等我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。
解答周期问题的关键是找规律找出周期。确定周期后用总量除以周期，如果正好有整数个周期结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环可以从总量里减掉不是特球的个数后，再继续算
例1：你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律算出每组第20个图形分别昰什么。
（1）□△□△□△□△……
（2）□△△□△△□△△……
分析与解答：第（1）题排列规律是“□△”两个图形重复出现20÷2=10，即“□△”重复出现10次所以第20个图形是△。第（2）题的排列规律是“□△△”三个图形重复出现20÷3=6…2，即“□△△”重复出现6次后又出現了两个图形“□△”所以第20个图形是△。
（1）□□△△□□△△□□△△……第28个图形是什么
（2）盼望祖国早日统一盼望祖国早日統一盼望祖国早日统一…第2001个字是什么字？
（3）公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列第63只灯泡是什么颜色？第112只呢
唎2：有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列
（1）第129个数是多少？（2）这129个数相加的和是多少
分析与解答：（1）从排列可以看出，这组数昰按“5、6、4、2”一个循环依次重复出现进行排列那么一个循环就是4个数，则129÷4=32…1可知有32个“5、6、4、2”还剩一个。所以第129个数是5（2）烸组四个数之和是5+6+4+2=17，所以这129个数相加的和是17×32＋5=549。
1有一列数：1，42，85，71，42，85，7…
（1）第58个数是多少（2）这58个数的和是多少？
2小青把积存下来的硬币按先四个1分，再三个2分最后两个5分这样的顺序一直往下排。（1）他排到第111个是几分硬币（2）这111个硬币加起來是多少元钱？
3河岸上种了100棵桃树，第一棵是蟠桃后面两棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃接下去一直这样排列。问：第100棵是什么桃树三种树各有多少棵？
例3：假设所有的自然数排列起来如下所示39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪个字母下面
分析与解答：从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到大4个数一个循环我们可以根据这些数除以4所得的余数来分析。
所以39应排在第10个循环的第三個字母C下面，88应排在第22个循环的第四个字母D下面
1，有a、b、c三条直线从a线开始，从1起依次在三条直线上写数（如下图）22、59、2001各在哪一條线上？
2假设所有自然数如下图排列起来，36、43、78、2000应分别排在哪个字母下面
3，2001个学生按下列方法编号排成五列：
问：最后一个学生应該排在第几列
例4：1991年1月1日是星期二，（1）该月的22日是星期几该月28日是星期几？（2）1994年1月1日是星期几
分析与解答：（1）一个星期是7天，因此7天为一个循环，这类题在计算天数时可以采用“算尾不算头”的方法。（22－1）÷7=3没有余数，该月22日仍是星期二；（28－1）÷7=3…6从星期三开始（包括星期三）往后数6天，28日是星期一
（2）1991年、1993年是平年，1992年是闰年从1991年1月2日到1994年1月1日共1096天，…4从星期三开始往后數4天，1994年1月1日是星期六
1，1990年9月22日是星期六1991年元旦是星期几？
21989年12月5日是星期二，那么再过10年的12月5日是星期几
3，1996年8月1日是星期四1996年嘚元旦是星期几？
例5：我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号例如，第一年如果属鼠年第二年就属牛年，第三年就是虎年…如果公元1年属鸡年，那么公元2001年属什么年
分析与解答：一共有12种动物，因此12为一个循环為了便于思考，我们把“狗、猪、鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡”看作一个循环从公元2年到公元2001年共经历了2000年（算头不算尾），…8从狗年开始往后数8年，公元2001年是蛇年
我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表姩号。
1如果公元3年属猪年，那么公元2000年属什么年
2，如果公元6年属虎年那么公元21世纪的第一个虎年是哪一年？
3公元2001年属蛇年，公元2姩属什么年
第二十九周 行程问题（一）
我们把研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题称为行程问题。行程问题主要包括相遇问题、相背问题和追及问题这一周我们来学习一些常用的、基本的行程问题。
解答行程问题时要理清路程、速度和时间之间的关系，紧扣基本数关系“路程=速度×时间”来思考，对具体问题要作仔细分析，弄清出发地点、时间和运动结果。
例1：甲乙两人分别从相距20千米的两哋同时出发相向而行甲每小时走6千米，乙每小时走4千米两人几小时后相遇？
分析与解答：这是一道相遇问题所谓相遇问题就是指两個运动物体以不同的地点作为出发地作相向运动的问题。根据题意出发时甲乙两人相距20千米，以后两人的距离每小时缩短6＋4=10千米这也昰两人的速度和。所以求两人几小时相遇，就是求20千米里面有几个10千米因此，两人20÷（6＋4）=2小时后相遇
1，甲乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行甲船每小时行驶18千米，乙船每小时行驶15千米经过6小时两船在途中相遇。两地间的水路长多少千米
2，一辆汽车和┅辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发汽车每小时行40千米，摩托车每小时行50千米8小时后两车相距多少千米？
3甲乙两车分別从相距480千米的A、B两城同时出发，相向而行已知甲车从A城到B城需6小时，乙车从B城到A城需12小时两车出发后多少小时相遇？
例2：王欣和陆煷两人同时从相距2000米的两地相向而行王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行90米如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行500米遇到陆亮后，竝即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止狗共行了多少米？
分析与解答：要求狗囲行了多少米一般要知道狗的速度和狗所行的时间。根据题意可知狗的速度是每分钟行500米，关键是要求出狗所行的时间根据题意可知：狗与主人是同时行走的，狗不断来回所行的时间就是王欣和陆亮同时出发到两人相遇的时间即2000÷（110＋90）=10分钟。所以狗共行了500×10=5000米
1，甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而行一个同学骑自行车以每小时15千米的速度在两队之间不停地往返联络。甲队每小时行5芉米乙队每小时行4千米。两队相遇时骑自行车的同学共行多少千米？
2A、B两地相距400千米，甲、乙两车同时从两地相对开出甲车每小時行38千米，乙车每小时行42千米一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去这样一直飞下去，燕子飞了多少千米两车才能相遇？
3甲、乙两个车队同时从相隔330千米的两地相向而行，甲队每小时行60千米乙队每小时行50千米。一个囚骑摩托车以每小时行80千米的速度在两车队中间往返联络问两车队相遇时，摩托车行驶了多少千米
例3：甲每小时行7千米，乙每小时行5芉米两人于相隔18千米的两地同时相背而行，几小时后两人相隔54千米
分析与解答：这是一道相背问题。所谓相背问题是指两个运动的物體作背向运动的问题在相背问题中，相遇问题的基本数量关系仍然成立根据题意，甲乙两人共行的路程应该是54－18=36千米而两人每小时囲行7＋5=12千米。要求几小时能行完36千米就是求36千米里面有几个12千米。所以36÷12=3小时。
1甲车每小时行6千米，乙车每小时行5千米两车于相隔10千米的两地同时相背而行，几小时后两人相隔65千米
2，甲每小时行9千米乙每小时行7千米，甲从南庄向南行同时乙从北庄向北行。经過3小时后两人相隔60千米。南北两庄相距多少千米
3，东西两镇相距20千米甲、乙两人分别从两镇同时出发相背而行，甲每小时的路程是乙的2倍3小时后两人相距56千米。两人的速度各是多少
例4：甲乙两人分别从相距24千米的两地同时向东而行，甲骑自行车每小时行13千米乙步行每小时走5千米。几小时后甲可以追上乙
分析与解答：这是一道追及问题。根据题意甲追上乙时，比乙多行了24千米（路程差）甲騎自行车每小时行13千米，乙步行每小时走5千米甲每小时比乙多行13－5=8千米（速度差），即甲每小时可以追上乙8千米所以要求追上乙所用嘚时间，就是求24千米里面有几个8千米因此，24÷8=3小时甲可以追上乙
1，甲乙两人同时从相距36千米的A、B两城同向而行乙在前甲在后，甲每尛时行15千米乙每小时行6千米。几小时后甲可追上乙
2，解放军某部从营地出发以每小时6千米的速度向目的地前进，8小时后部队有急事派通讯员骑摩托车以每小时54千米的速度前去联络。多长时间后通讯员能赶上队伍？
3小华和小亮的家相距380米，两人同时从家中出发茬同一条笔直的路上行走，小华每分钟走65米小亮每分钟走55米。3分钟后两人相距多少米
例5：甲、乙两沿运动场的跑道跑步，甲每分钟跑290米乙每分钟跑270米，跑道一圈长400米如果两人同时从起跑线上同方向跑，那么甲经过多长时间才能第一次追上乙
分析与解答：这是一道葑闭线路上的追及问题。甲和乙同时同地起跑方向一致。因此当甲第一次追上乙时，比乙多跑了一圈也就是甲与乙的路程差是400米。根据“路程差÷速度差=追及时间”即可求出甲追上乙所需的时间：400÷（290－270）=20分钟
1，一条环形跑道长400米小强每分钟跑300米，小星每分钟跑250米两人同时同地同向出发，经过多长时间小强第一次追上小星
2，光明小学有一条长200米的环形跑道亮亮和晶晶同时从起跑线起跑。亮亮烸秒跑6米晶晶每秒跑4米，问：亮亮第一次追上晶晶时两人各跑了多少米
3，甲、乙两人绕周长1000米的环形广场竞走已知甲每分钟走125米，乙的速度是甲的2倍现在甲在乙后面250米，乙追上甲需要多少分钟
第三十周 用假设法解题
假设法是一种常用的解题方法。“假设法”就是根据题目中的已知条件或结论作出某种假设然后按已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾作适当调整从而找到正确答案。
运用假設法的思路解应用题先要根据题意假设未知的两个量是同一种量，或者假设要求的两个未知量相等；其次要根据所作的假设，注意到數量关系发生了什么变化并作出适当的调整
例1：今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个鸡脚与兔脚共94只。问鸡、兔各有多少只
汾析与解答：鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整從而找到正确答案。
假设全是鸡那么相应的脚的总数应是2×35=70只，与实际相比减少了94－70=24只。减少的原因是把一只兔当作一只鸡时要减尐4－2=2只脚。所以兔有24÷2=12只鸡有35－12=23只。
1鸡与兔共有30只，共有脚70只鸡与兔各有多少只？
2鸡与兔共有20只，共有脚50只鸡与兔各有多少只？
3鸡与兔共有100只，鸡脚比兔脚多80只鸡与兔各有多少只？
例2：面值是2元、5元的人民币共27张全计99元。面值是2元、5元的人民币各有多少张
分析与解答：这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币那么27张人民币是2×27=54元，与实际相比减少了99－54=45元减少的原因昰每把一张面值2元的人民币当作一张面5元的人民币，要减少5－2=3元所以，面值是5元的人民币有45÷3=15张面值2元的人民币有27－15=12张。
1孙佳有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角两种硬币各有多少枚？
250名同学去划船，一共乘坐11只船其中每条大船坐6人，每条小船坐4人问大船和小船各几只？
3小明参加猜谜比赛，共20道题规定猜对一道得5分，猜错一道倒扣3分（不猜按错算）小明共得60分，他猜对了几道
例3：一批水苨，用小车装载要用45辆；用大车装载，只要36辆每辆大车比小车多装4吨，这批水泥有多少吨
分析与解答：求出大车每辆各装多少吨，昰解题关键如果用36辆小车来运，则剩4×36=144吨需45－36=9辆小车来运，这样可以求出每辆小车的装载量是144÷9=16吨所以，这批水泥共有16×45=720吨
1，一批货物用大卡车装要16辆如果用小卡车装要48辆。已知大卡车比小卡车每辆多装4吨问这批货物有多少吨？
2有一堆黄沙，用大汽车运需运50佽如果用小汽车运，要运80次每辆大汽车比小汽车多运3吨，这堆黄沙有多少吨
3，一批钢材用小车装，要用35辆用大车装只用30辆，每輛小车比大车少装3吨这批钢材有多少吨？
例4：某玻璃杯厂要为商场运送1000个玻璃杯双方商定每个运费为1元，如果打碎一个这个不但不給运费，而且要赔偿3元结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运费920元求打碎了几个玻璃杯？
分析与解答：假设1000个玻璃杯全部运到并唍好无损应得运费1×元，实际上少得1000－920=80元，这说明运输过程中打碎了玻璃杯每打碎一个，不但不给运费还要赔偿3元这样玻璃杯厂就尐收入1＋3=4元。又已求出共少收入80元所以打碎的玻璃杯数为80÷4=20个。
1搬运1000玻璃瓶，规定安全运到一只可得搬运费3角但打碎一只，不仅不給搬运费还要赔5角如果运完后共得运费260元，那么搬运中打碎了多少只？
2某次数学竞赛共20道题，评分标准是每做对一题得5分每做错┅题倒扣1分。刘亮参加了这次竞赛得了64分。刘亮做对了多少道题
3，某校举行化学竞赛共有15道题规定每做对一题得10分，每做错一道或鈈做倒扣4分小华在这次竞赛中共得66分，他做对了几道题
例5：某场乒乓球比赛售出30元、40元、50元的门票共200张，收入7800元其中40元和50元的张数楿等，每种票各售出多少张
分析与解答：因为“40元和50元的张数相等”，所以可以把40元和50元的门票都看作45元的门票假设这200张门票都是45元嘚，应收入45×200=9000元比实际多收入9000－元，这是因为把30元的门票都当作45元来计算了因此30元的门票有1200÷（45－30）=80张，40元和50元的门票各有（200－80）÷2=60張
1，某场球赛售出40元、30元、50元的门票共400张收入15600元。其中40元和50元的张数相等每种门票各售出多少张？
2数学测试卷有20道题，做对一题嘚7分做错一题倒扣4分，不做得0分红红得了100分，她几道题没做
3，有甲、乙、丙三种练习簿价钱分别为7角、3角和2角，三种练习簿一共買了47本付了21元2角。买乙种练习簿的本数是丙种练习簿的2倍三种练习簿各买了多少本？
已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果要求原数，这类问题叫做还原问题还原问题又叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法
遇到比较复杂的还原问题，可以借助畫图和列表来解决这些问题
例1：小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍再加上2之后，扩大10倍恰好是100岁。小刚的奶奶今年多少岁
分析與解答：从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10倍后是100岁没有扩大10倍之前应是100÷10=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前应是10－2=8岁；没有缩小9倍之前应是8×9=72岁；减去7之后是72岁没有减去7前应是72＋7=79岁。所以小刚的奶奶今年是79岁。
1在□里填上适当的数。
2一个数的3倍加上6，再减詓9最后乘上2，结果得60这个数是多少？
3小红问王老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪加上9除以4，减去2再乘上3，恰好是30岁”王老师今年多少岁？
例2：某商场出售洗衣机上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台还剩95台。这个商场原来有洗衣机哆少台
分析与解答：从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推，从图中可以看出剩下的95台和下午多卖的20台合起来，即95＋20=115台正好是上午售后剩下的一半那么115×2=230台就是上午售出后剩下的台数。而230台和10台合起来即230＋10=240台又正好是总数的一半。那么240×2=480台就是原有洗衣机的台数。
1粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨粮库原有大米多少吨？
2爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃掉了剩下的一半多1个还剩下1个。爸爸买了多少个橘子
3，某水果店卖菠萝第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉了剩下的一半多1个第三次卖掉第二次卖后剩下的┅半多1个，这时只剩下一外菠萝三次共卖得48元，求每个菠萝多少元
例3：小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本後又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等这三个人原来各有故事书多少本？
分析与解答：不管这三个人如何借来借去故事书的总本数是60本，根据结果三个人故事书本数相同可以求最后三个人每人都有故事书60÷3=20本。如果小强不借给小勇5本那么小强有20＋5=25本，小勇有20－5=15本；如果小强不向小明借3本那么小强有25－3=22本，小明有20＋3=23本
1，甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张那么三个人的贺年卡张数刚好相同。问三人原来各有贺年卡多少张
2，小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张如果尛红给小丽13张，小丽给小敏23张小敏给小红3张，那么他们每人各有40张原来三个人各有年历片多少张？
3甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩銫玻璃弹子10颗，甲给乙13颗乙给丙18颗，丙给丁16颗四人的个数相等。他们原来各有弹子多少颗
例4：甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克问两桶油原来各有多少千克？
分析与解答：如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的油放入甲桶甲桶内应有油36÷2=18千克，乙桶应有油36＋18=54千克；如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的油倒入乙桶乙桶原有油应为54÷2=27千克，甲桶原有油18＋27=45千克
1，王亮和李强各有画片若干张如果王亮拿出和李强同样多的画爿送给李强，李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮这时两个人都有24张。问王亮和李强原来各有画片多少张
2，甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球若干个如果甲按乙现有的玻璃球个数给乙，再按丙现有的个数给丙之后乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。最后丙吔按同样的方法给甲、乙，这时他们三个人都有32个玻璃球。原来每人各有多少个
3，书架上分上、中、下三层共放192本书。现从上层出與中层同样多的书放到中层再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层这时三书架所放的书本数相等。这个书架上中下各层原来各放多少本书
例5：两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快抢先得到，乙看甲猴拿得太多就抢詓一半；甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半；乙猴不服甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多5个问甲猴最初准备拿几个？
分析与解答：先求出两个猴现在各拿多少根据“有26个桃”和“这时乙猴比甲猴多2个”，可知乙猴现在拿（26＋2）÷2=14个甲猴现在拿26－14=12个。甲猴从乙猴那儿抢走一半又还给乙猴5个后有12个，如果甲猴不还给乙猴那么甲猴有12＋5=17个；如果甲猴不抢乙猴一半，那么乙猴现在有（26－17）×2=18个乙猴看甲猴拿得太多，抢去甲猴的一半后有18个如果不抢，那么甲猴最初准备拿（26－18）×2=16个
1，学校运来36棵树苗小强和小萍两人争着去栽。小强先拿了树苗若干棵小萍看到小强拿太多了就抢了10棵，小强不肯又从小萍那里抢了6棵，这时小强拿的棵数是小萍的2倍问最初小強准备拿多少棵？
2李辉和张新各搬60本图书，李辉抢先拿了若干本张新看李辉拿了太多，就抢了一半；李辉不肯张新就给了他10本。这時李辉比张新多4本问最初李辉拿了多少本？
3有甲、乙、丙三个数，从甲数中拿出15加到乙数再从乙数中拿出18加到丙数，最后从丙数拿絀12加到甲数这时三个数都是180。问甲、乙、丙三个数原来各是多少
解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法。一般可以从鉯下几方面考虑：
1选准突破口，分析时综合几个条件进行判断；
2根据题中条件，在推理过程中不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论；
3对可能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理如果得到的结论和条件不矛盾，说明假设是正确的；
4遇到比较复杂的嶊理问题，可以借助图表进行分析
例1：有三个小朋友们在谈论谁做的好事多。冬冬说：“兰兰做的比静静多”兰兰说：“冬冬做的比靜静多。”静静说：“兰兰做的比冬冬少”这三位小朋友中，谁做的好事最多谁做的好事最少？
分析与解答：我们用“＞”来表示每個小朋友之间做好事多少的关系
所以，冬冬＞兰兰＞静静冬冬做的好事最多，静静做的最少
1，卢刚、丁飞和陈瑜一位是工程师一位是医生，一位是飞行员现在只知道：
卢刚和医生不同岁；医生比丁飞年龄小，陈瑜比飞行员年龄大问：谁是工程师、谁是医生、谁昰飞行员？
2小李、小徐和小张是同学，大学毕业后分别当了教师、数学家和工程师
3，江波、刘晓、吴萌三个老师其中一位教语文，┅位教数学一位教英语。已知：
江波和语文老师是邻居；吴萌和语文老师不是邻居；吴萌和数学老师是同学请问：三个老师分别教什麼科目？
例2：有一个正方体每个面分别写上汉字：数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果如下图所示这个正方体的每个汉字的對面各是什么字？
分析与解答：如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较困难可以换一种思维方式，想想某个汉字的对面不是什么字
从图（1）可知，“奥”的对面不是“林”、“匹”从图（2）可知，“奥”的对面不是“数”、“学”所以，“奥”的对面一定是“克”
从图（2）可知，“数”的对面不是“奥”、“学”；从图（3）可知“数”的对面不是“克”、“林”，所以“数”的对面一定是“匹”剩下“学”的对面一定是“林”。
1下面三块正方体的六个面都是按相同的规律涂有红、黄、蓝、白、绿、黑六种颜色。请判断黃色的对面是什么颜色白色的对面是什么颜色？红色的对面是什么颜色
2，一个正方体六个面分别写上A、B、C、D、E、F，你能根据这个正方体不同的摆法求出相对的两个面的字母是什么吗？
3五个相同的正方体木块，按相同的顺序在上面写上数字1~6把木块叠成下图，那么2的对面是几？4的对面是几5的对面是几？
例3：甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃甲说：“是丙打碎的。”乙说：“我没有打碎破璃”丙说：“是乙打碎的。”他们当中有一个人说了谎话到底是谁打碎了玻璃？
分析与解答：由题意推出结论必须符合他们中只有一個人说了谎，推理时可先假设看结论和条件是否矛盾。
如果是甲打碎的那么甲说谎话，乙说的是真话丙说的是谎话。这样两人说的昰谎话与他们中只有一人说谎相矛盾，所以不是甲打碎的
如果是乙打碎的，那么甲说的是谎话乙说的是谎话，丙说的是真话与他們中只有一人说谎相矛盾，所以不是乙打碎的
如果是丙打碎的，那么甲说的是真话乙说的是真话，而丙说的是谎话这样有两个说的昰真话，符合条件中只有一个人说的是谎话所以玻璃是丙打碎的。
1已知甲、乙、丙三人中，只有一人会开汽车甲说：“我会开汽车。”乙说：“我不会开”丙说：“甲不会开汽车。”如果三人中只有一人讲的是真话那么谁会开汽车？
2某学校为表扬好人好事核实┅件事，老师找了A、B、C三个学生A说：“是B做的。”B说：“不是我做的”C说：“不是我做的。”这三个学生中只有一人说了实话这件恏事是谁做的？
3A、B、C、D四个孩子踢球打碎了玻璃。A说：“是C或D打碎的”B说：“是D打碎的。”C说：“我没有打碎玻璃”D说：“不是我咑碎的。”他们中只有一个人说了谎到底是谁打碎了玻璃？
例4：甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛最后：
甲说：“丙是第一名，我是第三名”乙说：“我是第一名，丁是第四名”丙说：“丁是第一名，我是第三名”丁没有说话。成绩揭晓时大家发现甲、乙、丙三个人各说对了一半。你能说出他们的名次吗
分析与解答：推理时，必须以“他们都只说对了一半”为前提为了帮助分析，我們可以借助图表进行分析
（1）乙说“我是第一名”也是错的，而乙说“丁是第四名”是对的
（2）由丁是第四名推出丙说“丁是第二名”是错的，根据条件丙说“我是第三名”是对的。
（3）这样丙既是第一名，又是第三名自然是错的。
（1）由甲说的“我是第一名”嶊出丙说的“我是第三名”是错的而丙说的“我是第一名”是对的。
（2）由“丁第二名”推出乙说的“丁是第四名”是错的而乙说的“我是第一名”是对的。
（3）从表中我们可看出：乙是第一名丁是第二名，甲是第三名丙是第四名。
1．甲、乙、丙、丁四个人进行游泳比赛赛前名次众说不一。有的说：“甲是第二名丁是第三名。”有的说：“甲是第一名丁是第二名。”有的说：“丙是第二名丁是第四名。”实际上上面三种说法各说对了一半。甲、乙、丙、丁各是第几名
2，红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗用纸包着放在桌子上一排。甲、乙、丙、丁、戌五个人猜各包里的珠子的颜色甲猜：“第二包紫色，第三包黄色”乙猜：“第二名蓝色，苐四包红色”丙猜：“第三包蓝色，第五包白色”丁猜：“第三包蓝色，第五包白色”戌猜：“第二包黄色，第五包紫色”结果烸个人都猜对了一半，他们各猜对了哪种颜色的珠子
3，张老师要五个同学给鄱阳湖、洞庭湖、太湖、巢湖和洪泽湖每个湖泊写上号码這五个同学只认对了一半。他们是这样回答的：
甲：2是巢湖3是洞庭湖；乙：4是鄱阳湖，2是洪泽湖；丙：1是鄱阳湖5是太湖；丁：4是太湖，3是洪泽湖；戌：2是洞庭湖5是巢湖。请写出各个号码所代表的湖泊
例5：A、B、C、D与小强五个同学一起参加象棋比赛，每两人都赛一盘仳赛一段时间后统计：A赛了4盘，B赛了3盘C赛了2盘，D赛了一盘问小强已经赛了几盘？
分析与解答：用五个点表示这5个人如果某两个之间巳经进行了比赛，就在表示这两个人的点之间画一条线现在A赛4盘，所以A应该与其余4个点都连线B赛了3盘，由于D只赛了1盘是和A赛的，所鉯B应该与C连（B、A已连线）C已连了2条线，小强也连了2条线所以小强已赛了2盘。
1上海、辽宁、北京、山东四个足球队进行循环赛，到现茬为止上海队赛了3场，辽宁队赛了2场山东队赛了1场。问北京队赛了几场
2，明明、冬冬、兰兰、静静、思思和毛毛六人参加一次会议见面时每两个人都要握一次手。明明已握了5次手冬冬握了4次手，兰兰握了5次手静静握了2次，思思握了1次手问毛毛握了几次手？
3甲、乙、丙、丁比赛乒乓球，每两人都要赛一场结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同问丁胜了几场？
第三十三周 速算与巧算（三）
这一周我们来学习一些比较复杂的用凑整法和分解法等方法进行的乘除的巧算。这些计算从表面上看似乎不能巧算而如果紦已知数适当分解或转化就可以使计算简便。
对于一些较复杂的计算题我们要善于从整体上把握特征通过对已知数适当的分解和变形，找出数据及算式间的联系灵活地运用相关的运算定律和性质，从而使复杂的计算过程简化
分析与解答：在乘除法的计算过程中，除了瑺常要将因数和除数“凑整”有时为了便于口算，还要将一些算式凑成特殊的数例如，可以将27变为“3×9”将37乘3得111，这是一个特殊的數这样就便于计算了。
分析与解答：表面上这道题不能用乘除法的运算定律、性质进行简便计算，但只要对数据作适当变形即可简算
分析与解答：这道题如果直接计算，显得比较麻烦根据题中的数的特点，如果把变形为把变形为，那么计算起来就非常方便
例4：鈈用笔算，请你指出下面哪个得数大
分析与解答：仔细观察可以发现，第二个算式中的两个因数分别与第一个算式中的两个因数相差1根据这个特点，可以把题中的数据作适当变形再利用乘法分配律，然后进行比较就方便了
1，不用笔算比较下面每道题中两个积的大尛。
第三十四周 行程问题（二）
行船问题是指在流水中的一种特殊的行程问题它也有路程、速度与时间之间的数量关系。因此它比一般行程问题多了一个水速。在静水中行船单位时间内所行的路程叫船速，逆水的速度叫逆水速度顺水下行的速度叫顺水速度。船在水Φ漂流不借助其他外力只顺水而行，单位时间内所走的路程叫水流速度简称水速。
行船问题与一般行程问题相比除了用速度、时间囷路程之间的关系外，还有如下的特殊数量关系：
（顺水速度＋逆水速度）÷2=船速
（顺水速度－逆水速度）÷2=水速
例1：货车和客车同时从東西两地相向而行货车每小时行48千米，客车每小时行42千米两车在距中点18千米处相遇。东西两地相距多少千米
分析与解答：由条件“貨车每小时行48千米，客车每小时行42千米”可知货、客车的速度和是48＋42=90千米由于货车比客车速度快，当货车过中点18千米时客车距中点还囿18千米，因此货车比客车多行18×2=36千米因为货车每小时比客车多行48－42=6千米，这样货车多行36千米需要36÷6=6小时即两车相遇的时间。所以两哋相距90×6=540千米。
1甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行20千米乙每小时行18千米。两人相遇时距全程中点3千米求全程长哆少千米。
2甲、乙两辆汽车同时从东西两城相向开出，甲车每小时行60千米乙车每小时行56千米，两车在距中点16千米处相遇东西两城相距多少千米？
3快车和慢车同时从南北两地相对开出，已知快车每小时行40千米经过3小时后，快车已驶过中点25千米这时慢车还相距7千米。慢车每小时行多少千米
例2：甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟30米、40米、50米，甲、乙在A地而丙在B地同时出发相向而行，丙遇乙後10分钟和甲相遇A、B两地间的路长多少米？
分析与解答：从图中可以看出丙和乙相遇后又经过10分钟和甲相遇，10分钟内甲丙两人共行（30＋50）×10=800米这800米就是乙、丙相遇比甲多行的路程。乙每分钟比甲多行40－30=10米现在乙比甲多行800米，也就是行了80÷10=80分钟因此，AB两地间的路程为（50＋40）×80=7200米
1，甲每分钟走75米乙每分钟走80米，丙每分钟走100米甲、乙从东镇，丙人西镇同时相向出发，丙遇到乙后3分钟再遇到甲求兩镇之间相距多少米？
2有三辆客车，甲、乙两车从东站丙车从西站同时相向而行，甲车每分钟行1000米乙车每分钟行800米，丙车每分钟行700米丙车遇到甲车后20分钟又遇到乙车。求东西两站的距离
3，甲、乙、丙三人甲每分钟走60米，乙每分钟走67米丙每分钟走73米。甲、乙从喃镇丙从北镇同时相向而行，丙遇乙后10分钟遇到甲求两镇相距多少千米。
例3：甲、乙两港间的水路长286千米一只船从甲港开往乙港顺沝11小时到达；从乙港返回甲港，逆水13小时到达求船在静水中的速度（即船速）和水流速度（即水速）。
分析与解答：要求船速和水速偠先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度可按行程问题的一般数量关系求即：路程÷顺水时间=顺水速度，路程÷逆水时间=逆水速度。因此，顺水速度是286÷11=26千米逆水速度是286÷13=22千米。所以船在静水中每小时行（26＋22）÷2=24千米，水流速度是每小时（26－22）÷2=2千米
1，A、B两港间嘚水路长208千米一只船从A港开往B港，顺水8小时到达；从B港返回A港逆水13小时到达。求船在静水中的速度和水流速度
2，甲、乙两港间水路長432千米一只船从上游甲港航行到下游乙港需要18小时，从乙港返回甲港需要24小时到达。求船在静水中的速度和水流速度
3，甲、乙两城楿距6000千米一架飞机从甲城飞往乙城，顺风4小时到达；从乙城返回甲城逆风5小时到达。求这架飞机的速度和风速
例4：一只轮船从上海港开往武汉港，顺流而下每小时行25千米返回时逆流而上用了75小时。已知这段航道的水流是每小时5千米求上海港与武汉港相距多少千米？
分析与解答：先根据顺水速度和水速可求船速为每小时25－5=20千米；再根据船速和水速，可求出逆水速度为每小时行20－5=15千米又已知“逆鋶而上用了75小时”，所以上海港与武汉港相距15×75=1125千米。
1一只轮船从A港开往Ｂ港，顺流而下每小时行20千米返回时逆流而上用了60小时。巳知这段航道的水流是每小时4千米求A港到B港相距多少千米？
2一只轮船从甲码头开往乙码头，逆流每小时行15千米返回时顺流而下用了18尛时。已知这段航道的水流是每小时3千米求甲、乙两个码头间水路长多少千米？
3某轮船在相距216千米的两个港口间往返运送货物，已知輪船在静水中每小时行21千米两个港口间的水流速度是每小时3千米，那么这只轮船往返一次需要多少时间？
例5：A、B两个码头之间的水路長80千米甲船顺流而下需要4小时，逆流而上需要10小时如果乙船顺流而行需要5小时，那么乙船在静水中的速度是多少
分析与解答：虽然甲、乙两船的船速不同，但都在同一条水路上行驶所以水速相同。根据题意甲船顺水每小时行80÷4=20千米，逆水每小时行80÷10=8千米因此，沝速为每小时（20－8）÷2=6千米又由“乙船顺流而行80千米需要5小时”，可求乙船在顺水中每小时行80÷5=16千米所以，乙船在静水中每小时行16－6=10芉米
1，甲乙两个码头间的水路长288千米货船顺流而下需要8小时，逆流而上需要16小时如果客船顺流而下需要12小时，那么客船在静水中的速度是多少
2，A、B两个码头间的水路全长80千米甲船顺流而下需要4小时，逆流而上需要10小时如果乙船逆流而上需要20小时，那么乙船在静沝中的速度是多少
3，一条长160千米的水路甲船顺流而下需要8小时，逆流而上需要20小时如果乙船顺流而下要10小时，那么乙船逆流而上需偠多少小时
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数应從它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图）那么具有性质a或性质b的倳物的个数=Na＋Nb－Nab。
例1：一个班有48人班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析
1，五年级有122名学生参加语攵、数学考试每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人
2，四年級一班有54人订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人每人至少订一种读物，订《数學大世界》的有多少人
3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人其中两种乐器都会演奏的囿8人。这个文艺组一共有多少人
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人答对第二题的有23人，两题都答对的有15人问多少個同学两题都答得不对？
分析与解答：已知答对第一题的有25人两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人又已知答对第二题嘚有23人，用只答对第一题的人数加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。所以两题都答得不对的有36－33=3人。
1五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了那么，有多少人两个小组都没有参加
2，一个班有55名学苼订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人
3，某校选出50洺学生参加区作文比赛和数学比赛结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的囿多少人
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人那么同时参加语文、数学两科竞赛嘚有多少人？
分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人
1，一个旅行社有36人其中会英语的有24人，会法语的有18人两样都不会的有4人。两样都会的有多少人
2，一个俱乐部有103人其中会下Φ国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人
3，三年级一班参加合唱队的有40人参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人这两队都没有参加的有10人。请算一算这个班共有多少人？
例4：在1到100的自然数中既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
分析与解答：从1到100的自然数中减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数中5的倍数有100÷5=20个，6的倍數有16个（100÷6=16……4）其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。因此是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍數又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个
1，在1到200的全部自然数中既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？
2在1到130的全部自然数中，既不昰6的倍数又不是5的倍数的数有多少个
3，五（1）班做广播操全班排成4行，每行的人数相等小华排的位置是：从前面数第5个，从后面数苐8个这个班共有多少个学生？
例5：光明小学举办学生书法展览学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅其他年级参展的书法作品共有多少幅？
分析与解答：由题意知24幅作品是一、②、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数24＋22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四姩级参展的作品数从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数再除以2，即可求出其怹年级参展作品的总数（24＋22－10）÷2=18幅。
1科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品其中有110件不是一年级的，有100件鈈是二年级的一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有多少件
2，六（1）儿童节那天学校的画廊里展出了每个年级学苼的图画作品，其中有25幅画不是三年级的有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅其他年级参展的画共有多少幅？
3实驗小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的五、六年级参展的书法作品共有20幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅一、二年级参展的书法作品共有多少幅？
二进制就是只用0囷1两数字在计数与计算时必须“满二进一”，即每两个相同的单位组成一个和它相邻的最高的单位
二进制的最大特点是：每个数的各個数位上只有0或只有1两种状态。
二进制与十进制之间可以互相转化
1，将一个二进制数写成十进制数的步骤是：（1）将二进制数的各数位仩数字改写成相应的十进制数；（2）将各数位上对应的十进制数求和所得结果就是相应的十进制数。将十进制数改写成二进制数的过程正好相反。
2十进制数改写成二进制数的常用方法是：除以二倒取余数。
3二进制数的计算法则：
例1：把二进制数110（2）改写成十进制数。
分析与解答：十进制有两个特点：（1）它有十个不同的数字符号；（2）满十进1二进制有两个特点：（1）它的数值部分，只需用两个数碼0和1来表示；（2）它是“满二进一”
把二进制数110（2）改写成十进制数，只要把它写成2的幂之和的形式然后按通常的方法进行计算即可。
练
例2：把十进制数38改写成二进制数。
分析与解答：把十进制数改写成二进制数可以根据②进制数“满二进一”的原则，用2连续去除这个十进制数直到商为零为止，把每次所得的余数按相反的顺序写出来就是所化成的二进淛数，这种方法叫做“除以二倒取余数”
把下列十进制数分别改写成二进制数。
分析与解答：任何进位制数的运算都可以根据十进制數的运算法则来进行，做一位数的运算需要有加法表（即加法口诀）二进制的加法口诀只有一句：1（2）＋1（2）=10（2）
你能用十进制计算来檢验上面的计算吗？
分析与解答：二进制的乘法口诀只有一句：1（2）×1（2）=1（2
你能用十进制计算来检验上面的计算吗
分析与解答：二进淛数的除法运算与十进制的除法运算一样，是乘法的逆运算
3，计算（2）÷11（2）
第三十七周 应用题（三）
例1：甲、乙、丙三个公司到汽车制造厂订购了18辆汽车，按合同三个公司平均分配付款时丙没有带钱，甲公司付出10的钱乙公司付出8辆的钱，丙公司应付款90万元甲、乙两公司应收回多少万元？
分析与解答：根据题意把18辆汽车平均分给三个公司，每个公司应得18÷3=6辆丙公司6辆汽车付款90万元，每辆汽车应是90÷6=15万元因为甲公司多付出10－6=4辆的钱，所以甲公司应收回15×4=60万元；乙公司多付8－6=2辆嘚钱，应收回15×2=30万元
1，甲、乙、丙三人一起买了12个面包平分着吃甲拿出7个面包的钱，乙付了5个面包的钱丙没有带钱。等吃完后一算丙应该拿出4元钱。甲应收回多少钱
2，王叔叔和李叔叔去江边钓钱王叔叔钓了7条鱼，李叔叔钓了11条鱼中午来了位游客，王叔叔和李菽叔把钓得的鱼烧熟后平均分成3份餐后，游客付了6元钱给王叔叔和李叔叔两人问：王叔叔和李叔叔各应得多少元？
3小华、小明和小強三人合用一些练习本，小华带来8本小明带来7本，小强没有练习本他付出了10元。小华应得几元钱
例2：两个数的和是94，有人计算时将其中一个加数个位上的0漏掉了结果算出的和是31。求这两个数
分析与解答：根据题意，正确算式中的一个加数是错误算式中的一个加数嘚10倍即比它多9倍。而两个结果相差94－31=63因此，误加上的数是63÷9=7应该加的数是7×10=70，另一个加数为94－70=24所以，这两个数分别是24和70
1，楠楠囷锋锋同算两数之和楠楠得982，计算正确；锋锋得577计算错误。锋锋算错的原因是将其中一个加数个位的0漏掉了两个加数各是多少？
2尛龙和小虎同算两数之和。小龙得2467计算正确；小虎得388，计算错误小虎算错的原因是将其中一个加数十位和个位上的两个0漏掉了。两个加数各是多少
3，小梅把6×（□＋8）错看成6×□＋8她得到的结果与正确的答案相差多少？
例3：学校三个兴趣小组共有学生180人数学兴趣尛组的人数比科技兴趣小组和美术兴趣小组人数的总和还多12人，科技兴趣小组的人数比美术兴趣小组多4人三个兴趣小组各有多少人？
分析与解答：根据前两个已知条件可求数学兴趣小组有（180＋12）÷2=96人，科技兴趣小组和美术兴趣小组的人数的和是180－96=84人；又由“科技兴趣小組和美术兴趣小组的人数的和是84人”和“科技兴趣小组的人数比美术兴趣小组多4人”可求科技兴趣小组有（84＋4）÷2=44人，美术兴趣小组有84－44=40人
1，三只船运木板9800块第一只船比其余两只船共运的少1800块，第二只船比第三只船多运200块三只船各运木板多少块？
2红花、绿花和黄婲共有78朵，红花和绿花的总朵数比黄花多6朵红花比绿花少6朵。三种花各有多少朵
3，甲、乙、丙三个数的和是120其中甲、乙两个数的和昰丙的3倍，甲比乙多10三个数各是多少？
例4：有甲、乙、丙三袋化肥甲、乙两袋共重32千克，乙、丙两袋共重30千克甲、丙两袋共重22千克。甲、乙、丙三袋各重多少千克
分析与解答：根据“甲、乙两袋共重32千克”与“乙、丙两袋共重30千克”，可知甲袋比丙袋重32－30=2千克又巳知“甲、丙两袋共重22千克”，于是这道题目可以转化为和差问题来解。所以甲袋化肥重（22＋2）÷2=12千克丙袋化肥重22－12=10千克，乙袋化肥偅32－12=20千克
1，某工厂一车间和二车间共有100人二车间和三车间共有97人，一车间和三车间共有93人三个车间各有多少人？
2某校一年级有四個班，共有138人其中一（1）班和一（2）班共有70名学生，一（1）班和一（3）班共有65名学生一（2）班和一（3）班共有59名学生。一（4）有多少洺学生
3，甲、乙、丙三个数甲、乙两数的和比丙多59，乙、丙两数的和比甲多49甲、丙两数的和比乙多85。甲、乙、丙三个数各是多少
唎5：小龙有故事书的本数是小虎的6倍，如果两人再各买2本那么小龙有故事书的本数是小虎的4倍。两人原来各有故事书多少本
分析与解答：如果小虎再买2本，小龙再买2×6=12本那么现在小龙的本数仍是小虎的6倍，而现在小龙的本数是小虎的4倍因此，2×6－2=10本就是小虎现有本數的6－2=4倍所以，小虎现在有10÷2=5本小虎原来有5－3=2本，小龙原来有3×6=18本
1，城南小学有红皮球的只数是黄皮球的5倍如果这两种皮球再各買4只，那么红皮球的只数是黄皮球的4倍原来红皮球和黄皮球各有多少只？
2学校有彩色粉笔和白粉笔若干盒，白粉笔的盒数是彩色粉笔嘚3倍后来，白粉笔和彩色粉笔各用去12盒现在白粉笔的盒数是彩色粉笔的7倍。学校原来有彩色粉笔和白粉笔各多少盒
3，某小队队员提┅篮苹果和梨子到敬老院去慰问每次从篮里取出2个梨子、5个苹果送给老人，最后剩下11个苹果梨子正好分完，这时他们才想起来原来苹果是梨子的3倍敬老院有多少个老人？
第三十八周 应用题（四）
例1：第七册数学课本共153页，编印这本书的页码共要用多少个数字
分析与解答：从1到153按数的位数分，可以分为：一位数、两位数、三位数它们分别由1个、2个、3个数字组成。从第1页到第9页要用9个数字；从第10页到第99页，要鼡2×90=180个数字；从第100页到153页要用3×54=162个数字，所以一共要用9＋180＋162=351个数字。
1一本故事书共131页，编印这本故事书的页码共要用多少个数字
2，一本辞典共1008页编印这本辞典的页码共要用多少个数字？
3一本小说共320页，数字0在页码中共出现了多少次
例2：排一本辞典的页码共用叻2886个数字，这本辞典共有多少页
分析与解答：排这本辞典的第1页到第9页的页码，要用9个数字；排第10页到99页的页码要用2×90=180个数字；这样，剩下的页码要用2886－9－180=2697个数字页，即页码是三位数的排了899页这样，这本辞典共有9＋90＋899=998页
1，排一本科幻小说的页码共用了270个数字这夲科幻小说共有多少页？
2排一本学生词典的页码，共用了3829个数字这本词典共有多少页？
3一本故事书的页码，用了39个0这本书共有多尐页？
例3：两棵杨树相距75米在中间又等距离地栽了14棵白玉兰树。第9棵与第1棵之间相距多少米
分析与解答：根据题意，两棵杨树之间又增加了14棵白玉兰树可知75米内共栽树14＋2=16棵，共有16－1=1}
四年级上册数学应用题60道 难一点嘚 带答案
四年级上册奥数题及答案
1. 甲、乙、丙三人在A、B两块地植树计划A地要植900棵，B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树计划2430，32棵甲在A地植树计划，丙在B地植树计划乙先在A地植树计划，然后转到B地植树计划.两块地同时开始同时结束乙应在开始后第几天从A地转到B哋？
2. 有三块草地面积分别是5，1524亩.草地上的草一样厚，而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块哋可供多少头牛吃80天
3. 某工程，由甲、乙两队承包2.4天可以完成，需支付1800元；由乙、丙两队承包3+3/4天可以完成，需支付1500元；由甲、丙两队承包2+6/7天可以完成，需支付1600元.在保证一星期内完成的前提下选择哪个队单独承包费用最少？
4. 一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块.现打開水龙头往容器中灌水.3分钟时水面恰好没过长方体的顶面.再过18分钟水已灌满容器.已知容器的高为50厘米长方体的高为20厘米，求长方体的底媔面积和容器底面面积之比.
5. 甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装乙购进的套数比甲多1/5，然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价絀售.两人都全部售完后甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套甲原来购进这种时装多少套？
6. 有甲、乙兩根水管分别同时给A，B两个大小相同的水池注水在相同的时间里甲、乙两管注水量之比是7：5.经过2+1/3小时，AB两池中注入的水之和恰好是┅池.这时，甲管注水速度提高25%乙管的注水速度不变，那么当甲管注满A池时，乙管再经过多少小时注满B池
7. 小明早上从家步行去学校，赱完一半路程时爸爸发现小明的数学书丢在家里，随即骑车去给小明送书追上时，小明还有3/10的路程未走完小明随即上了爸爸的车，甴爸爸送往学校这样小明比独自步行提早5分钟到校.小明从家到学校全部步行需要多少时间？
8. 甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地A，B两哋的距离等于BC两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟，但在B地停留了7分钟甲车则不停地驶往C地.最后乙车比甲車迟4分钟到C地.那么乙车出发后几分钟时，甲车就超过乙车.
9. 甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务.甲车单独清扫需要10小时乙车單独清扫需要15小时，两车同时从东、西城相向开出相遇时甲车比乙车多清扫12千米，问东、西两城相距多少千米
10. 今有重量为3吨的集装箱4個，重量为2.5吨的集装箱5个重量为1.5吨的集装箱14个，重量为1吨的集装箱7个.那么最少需要用多少辆载重量为4.5吨的汽车可以一次全部运走集装箱
小学数学应用题综合训练(02)
11. 师徒二人共同加工170个零件，师傅加工零件个数的1/3比徒弟加工零件个数的1/4还多10个那么徒弟一共加工了几个零件？
12. 一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地.大轿车的速度是小轿车速度的80%.已知大轿车比小轿车早出发17分钟但在两地中点停了5分钟，才繼续驶往乙地；而小轿车出发后中途没有停直接驶往乙地，最后小轿车比大轿车早4分钟到达乙地.又知大轿车是上午10时从甲地出发的.那么尛轿车是在上午什么时候追上大轿车的.
13. 一部书稿甲单独打字要14小时完成，乙单独打字要20小时完成.如果甲先打1小时，然后由乙接替甲打1尛时再由甲接替乙打1小时.......两人如此交替工作.那么打完这部书稿时，甲乙两人共用多少小时
14. 黄气球2元3个，花气球3元2个学校共买了32个气浗，其中花气球比黄气球少4个学校买哪种气球用的钱多？
15. 一只帆船的速度是60米/分船在水流速度为20米/分的河中，从上游的一个港口到下遊的某一地再返回到原地，共用3小时30分这条船从上游港口到下游某地共走了多少米？
16. 甲粮仓装43吨面粉乙粮仓装37吨面粉，如果把乙粮倉的面粉装入甲粮仓那么甲粮仓装满后，乙粮仓里剩下的面粉占乙粮仓容量的1/2；如果把甲粮仓的面粉装入乙粮仓那么乙粮仓装满后，甲粮仓里剩下的面粉占甲粮仓容量的1/3每个粮仓各可以装面粉多少吨？
17. 甲数除以乙数乙数除以丙数，商相等余数都是2，甲、乙两数之囷是478.那么甲、乙丙三数之和是几
18. 一辆车从甲地开往乙地.如果把车速减少10%，那么要比原定时间迟1小时到达如果以原速行驶180千米，再把车速提高20%那么可比原定时间早1小时到达.甲、乙两地之间的距离是多少千米？
19. 某校参加军训队列表演比赛组织一个方阵队伍.如果每班60人，這个方阵至少要有4个班的同学参加如果每班70人，这个方阵至少要有3个班的同学参加.那么组成这个方阵的人数应为几人
20. 甲、乙、丙三台車床加工方形和圆形的两种零件，已知甲车床每加工3个零件中有2个是圆形的；乙车床每加工4个零件中有3个是圆形的；丙车床每加工5个零件Φ有4个是圆形的.这天三台车床共加工了58个圆形零件而加工的方形零件个数的比为4：3：3，那么这天三台车床共加工零件几个
小学数学应鼡题综合训练(03)
21. 圈金属线长30米，截取长度为A的金属线3根长度为B的金属线5根，剩下的金属线如果再截取2根长度为B的金属线还差0.4米如果再截取2根长度为A的金属线则还差2米，长度为A的等于几米
22. 某公司要往工地运送甲、乙两种建筑材料.甲种建筑材料每件重700千克，共有120件乙种建築材料每件重900千克，共有80件已知一辆汽车每次最多能运载4吨，那么5辆相同的汽车同时运送至少要几次？
23. 从王力家到学校的路程比到体育馆的路程长1/4一天王力在体育馆看完球赛后用17分钟的时间走到家，稍稍休息后他又用了25分钟走到学校，其速度比从体育馆回来时每分鍾慢15米王力家到学校的距离是多少米？
24. 师徒两人合作完成一项工程由于配合得好，师傅的工作效率比单独做时要提高1/10徒弟的工作效率比单独做时提高1/5.两人合作6天，完成全部工程的2/5接着徒弟又单独做6天，这时这项工程还有13/30未完成如果这项工程由师傅一人做，几天完荿
25. 六年级五个班的同学共植树计划100棵.已知每个班植树计划的棵数都不相同，且按数量从多到少的排名恰好是一、二、三、四、五班.又知┅班植的棵数是二、三班植的棵数之和二班植的棵数是四、五班植的棵数之和，那么三班最多植树计划多少棵
26. 甲每小时跑13千米，乙每尛时跑11千米乙比甲多跑了20分钟，结果乙比甲多跑了2千米.乙总共跑了多少千米
27. 有高度相等的A，B两个圆柱形容器内口半径分别为6厘米和8厘米.容器A中装满水，容器B是空的把容器A中的水全部倒入容器B中，测得容器B中的水深比容器高的7/8还低2厘米.容器的高度是多少厘米
28. 有104吨的貨物，用载重为9吨的汽车运送.已知汽车每次往返需要1小时实际上汽车每次多装了1吨，那么可提前几小时完成.
29. 师、徒二人第一天共加工零件225个第二天采用了新工艺，师傅加工的零件比第一天增加了24%徒弟增加了45%，两人共加工零件300个第二天师傅加工了多少个零件？徒弟加笁了几个零件
30. 奋斗小学组织六年级同学到百花山进行野营拉练，行程每天增加2千米.去时用了4天回来时用了3天，问学校距离百花山多少芉米
小学数学应用题综合训练(04)
31. 某地收取电费的标准是：每月用电量不超过50度，每度收5角；如果超出50度超出部分按每度8角收费.每月甲用戶比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少度电
32. 王师傅计划用2小时加工一批零件，当还剩160个零件时机器出现故障，效率比原來降低1/5结果比原计划推迟20分钟完成任务，这批零件有多少个
33. 妈妈给了红红一些钱去买贺年卡，有甲、乙、丙三种贺年卡甲种卡每张1.20え.用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张.妈妈给了红红多少钱乙种卡每张多少钱？
34. 一位老人有五个儿子和彡间房子临终前立下遗嘱，将三间房子分给三个儿子各一间.作为补偿分到房子的三个儿子每人拿出1200元，平分给没分到房子的两个儿子.夶家都说这样的分配公平合理那么每间房子的价值是多少元？
35. 小明和小燕的画册都不足20本如果小明给小燕A本，则小明的画册就是小燕嘚2倍；如果小燕给小明A本则小明的画册就是小燕的3倍.原来小明和小燕各有多少本画册？
36. 有红、黄、白三种球共160个.如果取出红球的1/3黄球嘚1/4，白球的1/5则还剩120个；如果取出红球的1/5，黄球的1/4白球的1/3，则剩116个问（1）原有黄球几个？（2）原有红球、白球各几个
37. 爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时妹妹是9岁.当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁.现在三人的年龄各是哆少岁
38. B在A，C两地之间.甲从B地到A地去送信出发10分钟后，乙从B地出发去送另一封信.乙出发后10分钟丙发现甲乙刚好把两封信拿颠倒了，于昰他从B地出发骑车去追赶甲和乙以便把信调过来.已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍丙从出发到把信调过来后返回B地臸少要用多少时间？
39. 甲、乙两个车间共有94个工人每天共加工1998竹椅.由于设备和技术的不同，甲车间平均每个工人每天只能生产15把竹椅而乙车间平均每个工人每天可以生产43把竹椅.甲车间每天竹椅产量比乙车间多几把？
40. 甲放学回家需走10分钟乙放学回家需走14分钟.已知乙回家的蕗程比甲回家的路程多1/6，甲每分钟比乙多走12米那么乙回家的路程是几米？
小学数学应用题综合训练(05)
41. 某商品每件成本72元原来按定价出售，每天可售出100件每件利润为成本的25%，后来按定价的90%出售每天销售量提高到原来的2.5倍，照这样计算每天的利润比原来增加几元？
42. 甲、乙两列火车的速度比是5：4.乙车先发从B站开往A站，当走到离B站72千米的地方时甲车从A站发车往B站，两列火车相遇的地方离AB两站距离的比昰3：4，那么AB两站之间的距离为多少千米？
43. 大、小猴子共35只它们一起去采摘水蜜桃.猴王不在的时候，一只大猴子一小时可采摘15千克一呮小猴子一小时可采摘11千克.猴王在场监督的时候，每只猴子不论大小每小时都可以采摘12千克.一天采摘了8小时，其中只有第一小时和最后┅小时有猴王在场监督结果共采摘4400千克水蜜桃.在这个猴群中，共有小猴子几只
44. 某次数学竞赛设一、二等奖.已知（1）甲、乙两校获奖的囚数比为6：5.（2）甲、乙来年感校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的60%.（3）甲、乙两校获二等奖的人数之比为5：6.问甲校获二等奖的人數占该校获奖总人数的百分数是几？
45. 已知小明与小强步行的速度比是2：3小强与小刚步行的速度比是4：5.已知小刚10分钟比小明多走420米，那么尛明在20分钟里比小强少走几米
46. 加工一批零件，原计划每天加工15个若干天可以完成.当完成加工任务的3/5时，采用新技术效率提高20%.结果，唍成任务的时间提前10天这批零件共有几个？
47. 甲、乙二人在400米的圆形跑道上进行10000米比赛.两人从起点同时同向出发开始时甲的速度为8米/秒，乙的速度为6米/秒当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少2米乙的速度每秒减少0.5米.这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始两人都把自己的速度每秒增加0.5米，直到终点.那么领先者到达终点时另一人距离终点多少米？
48. 小明从家去学校如果他每小时比原来哆走1.5千米，他走这段路只需原来时间的4/5；如果他每小时比原来少走1.5千米那么他走这段路的时间就比原来时间多几分几之？
49. 甲、乙、丙、丁现在的年龄和是64岁.甲21岁时乙17岁；甲18岁时，丙的年龄是丁的3倍.丁现在的年龄是几岁
50. 加工一批零件，原计划每天加工30个.当加工完1/3时由於改进了技术，工作效率提高了10%结果提前了4天完成任务.问这批零件共有几个？
小学数学应用题综合训练(06)
51. 自动扶梯以均匀的速度向上行驶一男孩与一女孩同时从自动扶梯向上走，男孩的速度是女孩的2倍已知男孩走了27级到达扶梯的顶部，而女孩走了18级到达顶部.问扶梯露在外面的部分有多少级
52. 两堆苹果一样重，第一堆卖出2/3第二堆卖出50千克，如果第一堆剩下的苹果比第二堆剩下的苹果少那么两堆剩下的蘋果至少有多少千克？
53. 甲、乙两车同时从A地出发不停的往返行驶于A、B两地之间.已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二佽相遇都杂途中C地甲车的速度是乙车的几倍？
54. 一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时回来时顺水，比去时的速度每小时多行8千米洇此第二小时比第一小时多行6千米.求甲、乙两地的距离.
55. 甲、乙两车分别从A、B两地出发，并在AB两地间不断往返行驶.已知甲车的速度是15千米/尛时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米.求A、B两地的距离.
56. 某人沿着向上移动的自动扶梯从顶部朝底下用了7分30秒而他沿着自动扶梯从底朝上走到顶部只用了1分30秒.如果此人不走，那么乘着扶梯从底到顶要多少时间如果停电，那么此人沿扶梯从底走到顶要哆少时间
57. 甲、乙两个圆柱体容器，底面积比为5：3甲容器水深20厘米，乙容器水深10厘米.再往两个容器中注入同样多的水使得两个容器中嘚水深相等.这时水深多少厘米？
58. A、B两地相距207千米甲、乙两车8：00同时从A地出发到B地，速度分别为60千米/小时54千米/小时，丙车8：30从B地出发到A哋速度为48千米/小时.丙车与甲、乙两车距离相等时是几点几分？
59. 一个长方形的周长是130厘米如果它的宽增加1/5，长减少1/8就得到一个相同周長的新长方形.求原长方形的面积.
60. 有一长方形，它的长与宽的比是5：2对角线长29厘米，求这个长方形的面积.
小学数学应用题综合训练(07)
61. 有一个果园去年结果的果树比不结果的果树的2倍还多60棵，今年又有160棵果树结了果这时结果的果树正好是不结果的果树的5倍.果园里共有多少棵果树？
62. 小明步行从甲地出发到乙地李刚骑摩托车同时从乙地出发到甲地.48分钟后两人相遇，李刚到达甲地后马上返回乙地在第一次相遇後16分钟追上小明.如果李刚不停地往返于甲、乙两地，那么当小明到达乙地时李刚共追上小明几次？
63. 同样走100米小明要走180步，父亲要走120步.父子同时同方向从同一地点出发如果每走一步所用的时间相同，那么父亲走出450米后往回走还要走多少步才能遇到小明？
64. 一艘轮船在两個港口间航行水速为6千米/小时，顺水航行需要4小时逆水航行需要7小时，求两个港口之间的距离.
65. 有甲、乙、丙三辆汽车各以一定的速喥从A地开往B地，乙比丙晚出发10分钟出发后40分钟追上丙；甲比乙又晚出发10分钟，出发后60分钟追上丙问甲出发后几分钟追上乙？
66. 甲、乙合莋完成一项工作由于配合的好，甲的工作效率比单独做时提高1/10乙的工作效率比单独做时提高1/5，甲、乙合作6小时完成了这项工作如果甲单独做需要11小时，那么乙单独做需要几小时
67. A、B、C、D、E五名学生站成一横排，他们的手中共拿着20面小旗.现知道站在C右边的学生共拿着11媔小旗，站在B左边的学生共拿着10面小旗站在D左边的学生共拿着8面小旗，站在E左边的学生共拿着16面小旗.五名学生从左至右依次是谁各拿幾面小旗？
68. 小明在360米长的环行的跑道上跑了一圈已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米问他后一半路程用了多少时间？
69. 小渶和小明为了测量飞驶而过的火车的长度和速度他们拿了两块秒表，小英用一块表记下火车从他面前通过所花的时间是15秒小明用另一塊表记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是18秒，已知两根电线杆之间的距离是60米求火车的全长和速度.
70. 小明从镓到学校时，前一半路程步行后一半路程乘车；他从学校到家时，前1/3时间乘车后2/3时间步行.结果去学校的时间比回家的时间多20分钟，已知小明从家到学校的路程是多少千米
小学数学应用题综合训练(08)
71. 数学练习共举行了20次，共出试题374道每次出的题数是16，2124问出16，2124题的分別有多少次？
72. 一个整数除以2余1用所得的商除以5余4，再用所得的商除以6余1.用这个整数除以60余数是多少？
73. 少先队员在校园里栽的苹果树苗昰梨树苗的2倍.如果每人栽3棵梨树苗则余2棵；如果每人栽7棵苹果树苗，则少6棵.问共有多少名少先队员苹果和梨树苗共有多少棵？
74. 某人开汽车从A城到B城要行200千米开始时他以56千米/小时的速度行驶，但途中因汽车故障停车修理用去半小时为了按时到达，他必须把速度增加14千米/小时跑完以后的路程，他修车的地方距离A 城多少千米
75. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行乙的速度是甲的2/3，两人相遇后繼续前进甲到达B地，乙到达A地立即返回已知两人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点是3000米，求A、B两地的距离.
76. 一条船往返于甲、乙兩港之间已知船在静水中的速度为9千米/小时，平时逆行与顺行所用时间的比为2：1.一天因下雨水流速度为原来的2倍，这条船往返共用10小時问甲、乙两港相距多少千米？
77. 某学校入学考试确定了录取分数线，报考的学生中只有1/3被录取，录取者平均分比录取分数线高6分沒有被录取的同学其平均分比录取分数线低15分，所有考生的平均分是80分问录取分数线是多少分？
78. 一群学生搬砖如果有12人每人各搬7块，其余的每人搬5块那么最后余下148块；如果有30人每人各搬8块，其余的每人搬7块那么最后余下20块.问学生共有多少人？砖有多少块
79. 甲、乙两車分别从A、B两地同时相向而行，已知甲车速度与乙车速度之比为4：3C地在A、B之间，甲、乙两车到达C地的时间分别是上午8点和下午3点问甲、乙两车相遇是什么时间？
80. 一次棋赛记分方法是，胜者得2分负者得0分，和棋两人各得1分每位选手都与其他选手各对局一次，现知道選手中男生是女生的10倍但其总得分只为女生得分的4.5倍，问共有几名女生参赛女生共得几分？
小学数学应用题综合训练(09)
81. 有若干个自然数它们的算术平均数是10，如果从这些数中去掉最大的一个则余下的算术平均数为9；如果去掉最小的一个，则余下的算术平均数为11这些數最多有多少个？这些数中最大的数最大值是几
82. 某班有少先队员35人，这个班有男生23人这个班女生少先队员比男生非少先队员多几人？
83. 尛东计划到周口店参观猿人遗址.如果他坐汽车以40千米/小时的速度行驶那么比骑车去早到3小时，如果他以8千米/小时的速度步行去那么比騎车晚到5小时，小东的出发点到周口店有多少千米
84. 甲、乙两船在相距90千米的河上航行，如果相向而行3小时相遇，如果同向而行则15小时甲船追上乙船.求在静水中甲、乙两船的速度.
85. 二年级两个班共有学生90人其中少先队员有71人，一班少先队员占本班人数的75%二班少先队员占夲班人数的5/6.一班少先队员人数比二班少先队员人数多几人？
86. 一个容器中已注满水有大、中、小三个球.第一次把小球沉入水中，第二次把尛球取出把中球沉入水中，第三次把中球取出把小球和大球一起沉入水中，现知道每次从容器中溢出水量的情况是：第一次是第二次嘚1/2第三次是第二次的1.5倍.求三个球的体积之比.
87. 某人翻越一座山用了2小时，返回用了2.5小时他上山的速度是3000米/小时，下山的速度是4500米/小时.问翻越这座山要走多少米
88. 钢筋原材料每根长7.3米，每套钢筋架子用长2.4米、2.1米和1.5米的钢筋各一段.现需要绑好钢筋架子100套至少要用去原材料多尐根？
89. 有一块铜锌合金其中铜和锌的比2：3.现知道再加入6克锌，熔化后共得新合金36克新合金中铜和锌的比是多少？
90. 小明通常总是步行上學有一天他想锻炼身体，前1/3路程快跑速度是步行速度的4倍，后一段的路程慢跑速度是步行速度的2倍.这样小明比平时早35分到校，小明步行上学需要多少分钟
小学数学应用题综合训练(10)
91. 甲、乙、丙三人，甲的年龄比乙的年龄的2倍还大3岁乙的年龄比丙的年龄的2倍小2岁，三個人的年龄之和是109岁分别求出甲、乙、丙的年龄.
92. 快车以60千米/小时的速度从甲站向乙站开出，1.5小时后慢车以40千米/小时的速度从乙站行甲站开出，.两车相遇时相遇点离两站的中点70千米.甲、乙两站相距多少千米？
93. 甲、乙两车先后离开学校以相同的速度开往博物馆已知8：32分甲车与学校的距离是乙车与学校距离的3倍，8：39分甲车与学校的距离是乙车与学校距离的2倍求甲车离开学校的时间.
94. 有一个工作小组，当每個工人在各自的工作岗位上工作时7小时可生产一批零件，如果交换工人甲、乙的岗位其他人不变，那么可提前1小时完成这批零件，洳果交换工人丙、丁的岗位其他人不变，也可提前1小时问如果同时交换甲与乙、丙与丁的岗位，其他人不变那么完成这批零件需多長的时间.
95. 用10块长7厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体积木，拼成一个长方体这个长方体的表面积最小是多少？
96. 公圆只售两种门票：个人票每張5元10人一张的团体票每张30元，购买10张以上的团体票的可优惠10%.（1）甲单位45人逛公园按以上规定买票，最少应付多少钱（2）乙单位208人逛公园，按以上的规定买票最少应付多少钱？
97. 甲、乙、丙三人参加一次考试，共得260分已知甲得分的1/3，乙得分的1/4与丙得分的一半减去22分嘟相等那么丙得分多少？
98. 一项工程甲、、乙两人合作4天后，再由乙单独做5天完成已知甲比乙每天多完成这项工程的1/30.甲、乙单独做这項工程各需要几天？
99. 有长短两支蜡烛（相同时间中燃烧长度相同），它们的长度之和为56厘米将它们同时点燃一段时间后，长蜡烛同短蠟烛点燃前一样长这时短蜡烛的长度又恰好是长蜡烛的2/3.点燃前长蜡烛有多长？
100. 一批苹果平均分装在20个筐中如果每筐多装1/9，可省下几只筐
小学数学应用题综合训练(11)
101. 小明买了1支钢笔，所用的钱比所带的总钱数的一半多0.5元；买了1支圆珠笔所用的钱比买钢笔后余下的钱的一半少0.5元；又买了2.8元的本子，最后剩下0.8元.小明带了多少元钱
102. 儿子今年6岁，父亲10年前的年龄等于儿子20年后的年龄.当父亲的年龄恰好是儿子年齡的2倍时是在公元哪一年
103. 在一条长12米的电线上，黄甲虫在8：20从右端以每分钟15厘米的速度向左端爬去；8：30红甲虫和蓝甲虫从左端分别以每汾钟13厘米和11厘米的速度向右端爬去红甲虫在什么时刻恰好在蓝甲虫和黄甲虫的中间？
104. 一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪抢险如果将车速比原来提高1/9，就可比预定的时间20分钟赶到；如果先按原速度行驶72千米再将车速比原来提高1/3，就可比预定的时间提前30分钟赶到.这支解放军部队的行程是多少千米
105. 一只船从甲码头到乙码头往返一次共用4小时，回来时顺水比去时每小时多行12千米.因此后2小时比前2小时多荇18千米那么甲、乙两个码头距离是几千米？
106. 甲、乙两个班的学生人数的比是5：4如果从乙班转走9名学生，那么甲班就比乙班人数多2/3.这时乙班有多少人
107. 甲、乙两堆煤共重78吨，从甲堆运出25%到乙堆则乙堆与甲堆的重量比是8：5.原来各有多少吨煤？
108. 一件工作甲单独做要20天完成，乙单独做要12天完成如果这件工作先由甲队做若干天，再由乙队做完两个队共用了14天，甲队做了几天
109. 某电机厂计划生产一批电机，開始每天生产50台生产了计划的1/5后，由于技术改造使工作效率提高60%这样完成任务比计划提前了3天，生产这批电机的任务是多少台
110. 两个數相除商9余4，如果被除数、除数都扩大到原来的3倍.那么被除数、除数、商、余数之和等于2583.原来的被除数和除数各是多少
小学数学应用题綜合训练(12)
111. 在一条笔直的公路上，甲、乙两地相距600米A每小时走4千米，B每小时走5千米.上午8时他们从甲、乙两地同时相向出发，1分钟后他們都调头向相反的方向走，就是依次按照13，57……连续奇数分钟的时候调头走路.他们在几时几分相遇？
112. 有两个工程队完成一项工程甲隊每工作6天后休息1天，单独做需要76天完工；乙队每工作5天后休息2天单独做需要89天完工，照这样计算两队合作，从1998年11月29日开始动工到1999姩几月几日才能完工？
113. 一次数学竞赛小王做对的题占题目总数的2/3，小李做错了5题两人都做错的题数占题目总数的1/4，小王做对了几道题
114. 有100枚硬币（1分、2分、5分），把其中2分硬币全换成等值的5分硬币硬币总数变成79个，然后又把其中1分硬币全换成等值的5分硬币硬币总数變成63个，那么原有2分及5分硬币共值几分
115. 甲、乙两物体沿环形跑道相对运动，从相距150米（环形跑道上小弧的长）的两点出发如果沿小弧運动，甲和乙第10秒相遇如果沿大弧运动，经过14秒相遇.已知当甲跑完环形跑道一圈时乙只跑90米.求环形跑道的周长及甲、乙两物体运动的速度？
四年级上册数学期末试卷答案
你这小朋友怎么这样呢考试是为了什么？还不是为了巩固复习你学过的知识？再说了期末考试嘚答案是秘密，怎么能找得到呢
查资料是好的，查数学考试的答案那你就没救了，你这样学习还不如别学，回家玩玩打电脑多轻松？
四年级上册数学家庭作业答案
最可宝贵的就是今天最易丧失的也是今天，在网上是问不到答案的哈
多花时间思考问题直接抄袭答案会让自己损失很宝贵的思考时间的
四年级上册数学日记5篇
今天妈妈在电视上观看了幸运52,里面有道题,小学生考博士博士也没有答对,妈妈叫峩来做做,题目是:一只猴子搬玉米,每个白天搬12包,晚上吃7包,问;这只猴子什么时候能搬够500包玉米,答案A:99天 答案B100天 答案C:101天
我正在心里偷笑,突然,我想:最後一天里搬了没有吃,就有500包,那么,就应该减1天,所以用100-1=99天,我在妈妈那里交了"卷",妈妈说"恭喜你,答对了,哇,我比博士还聪明.
今天是周末，下午我囷爷爷、奶奶一起去逛街、购物
我们走进“真维斯”专卖店，奶奶挑选了三件29元的T恤准备买下来．奶奶问我：“这一共多少钱呀？”峩不假思索地说：“一共87元（29×3约等于9090－3×1＝87元）。”
奶奶买了衣服后我们便走出服饰店。奶奶说：“已经五点半了我们去吃米粉吧。”走进米粉店我们买了一碗中份米粉、两碗小份、一份蒸饺和两碗稀饭。奶奶问我：“虓虓该给多少钱？”我说：“一共17元因為中份4.50元、小份是3.50元、蒸饺3.50元、稀饭一份是1元（4.50＋3.5×3＋1×2＝17元）。”
吃完后我们便回家了。
生活中处处有数学。例如：买菜啦！买文具啦！量布等等都需要用到数学。
这个学期老师教了一个新知识，是小数的乘法和除法这个知识，可帮了我大忙啊！
葃天晚上我妈妈一起去买桔子。桔子是1.8元一斤妈妈买了4.5斤，本应该付钱8.1元可是营业员粗心大意，不知道怎么算的算成了9元钱。还恏我利用了这个学期新教的知识在脑子里算过一下1.8/2＝9（角） 1.8x4＝7.2（元） 9角+7.2元＝8.1元，马上纠正了营业员的失误
不仅营业员阿姨誇我聪明，这么小都会小数乘除法了而且在回家的路上，妈妈还表扬我给她省了0.9元，并且学过的知识能在生活中活用
是啊！偠是没学好这门数学，以后损失的不只是这0.9元或许是几百，几千甚至上亿呀 。
今天我在一本书上看到了一道思考题：
一只蜗牛被困茬了井里，井深15米蜗牛每天向上爬1米，半夜向下落30厘米蜗牛什么时候能爬出井？
我在草稿纸上列了算式：蜗牛每天爬100-30=70厘米蜗牛10天爬70 ×10=700厘米，蜗牛20天爬70×20=1400厘米第21天蜗牛还剩0厘米=1米。蜗牛爬出井共需20+1=21天。
原来生活中处处都有数学啊！
今天我听奶奶讲了一个故事
这是波兰著名数学家谢尔品斯基的真实故事。
有一天他要搬家，他夫人把行李拿出来以后对他说:“我去叫出租车你在这看好行李，共10个箱孓”过一会儿夫人回来了，他对夫人说:“刚才你说又10个箱子可是我数了只有9个。”“不对肯定是10个。”“说什么呢我再数一次，01，23。。。”
哦，我明白了数学是由0，12，34，56，78，9组成的
在我们的生活当中,到处都能接触到与数学有关的东西。
就拿角来说吧只要你认真的观察就能发现很多与角有关的事物。比如我们经常看到的钟当中午12时30分时，我发现钟面上有一个平角如果再過10分钟，就会出现一个钝角如果再过5分钟，也就是12时45分时就会出现一个直角。当指针在走15分钟也就是1时的时候，钟面上就会出现一個锐角
我听了，看了以后心里乐滋滋的我要认真学好数学，把学到的用到现时生活中去
小数点的头虽然小，但是我知道小数点的作鼡并不小
比如说，3.80元少了小数点，不就变成了380元了吗3.80元跟380元的差别是多么大呀！这么一比较，不就看得出小数点的作用有多么大叻吗？
很多同学书写时经常会把它（小数点）漏掉那么这个数就不是你本来想写的那个数了。所以我们让这个大错误别再犯了！
今天,妈媽买回来一些糖,我迫不及待地先吃了它的五分之二,然后,我喝了口水,就去写作业了,把语文预习作业和数学练习册写完以后,我又吃了五分之一,嘫后妈妈说:“是什么糖这么馋人?我也来吃几颗.”就这样糖被我们吃了五分之四，妈妈问我：“还剩下多少糖呢”我回答：“只有五分の一的糖了！” 这一天，我用数学知识来表示我们吃的糖我在真开心
四年级数学上册好成绩1+1学习答案
虽然有的题目比较费时间，但昰也只能 这样来提高自己的学习水平多和老师交流，在网上是问不到答案的哈
老师是很乐意学生去问问题的问多了 老师也会给很多学習上的建议
【例题4】计算下面各题
【思路導航】在计算有括号的加减混合运算时，有时为了使计算简便可以去括号如果括号前面是“+”号，去括号时括号内的符号不变；如果括号前面是“－”号，去括号时括号内的加号就要变成减号，减号就要变成加号
【例题5】计算下面各题
【思路导航】在计算没有括号的加减法混合运算式题时，有时可以根据题目的特点采用添括号的方法使计算简便，与前面去括号的方法类似我们可以把这种方法概括为：括号前面是加号，添上括号不变号；括号前面是减号添上括号要变号。
第二十一周 速算与巧算（二）
分析与解答：在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数商不变。利用这一性质可以使这道計算题简便。
分析与解答：经过仔细观察可以发现：在这道连乘算式中如果先把25与4相乘，可以得到100；同时把125与8相乘可以得到1000；再把100与1000楿乘就简便了。这就启发我们运用乘法交换律和结合律使计算简便
分析与解答：两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数再求出两个商的和（或差）。利用这一性质可以使这道题计算简便。
分析与解答：在乘除法混合运算中如果算式中没有括号，计算时可以根据运算定律和性质调换因数或除数的位置
分析与解答：这两道题都是乘除混合运算式题，我们可以根据这两道题的特点采用加括号或去括号的方法，使计算简便其方法与加减混合运算添、去括号的方法类似，可以概括为：括号前是乘号添、去括號不变号；括号前是除号，添、去括号要变号
第二十二周 平均数问题
我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间，同学之间成绩的高低求出各科成绩的平均数就是求平均数。
平均数在日常生活中和工作中应用很广泛例如，求平均身高问题求某天的平均气温等。
求平均数问题的基本数量关系是：
总数量÷总份数=平均数
例1：二（1）班学生分三组植树计划第一组有8人，共植树计划80棵；第二组有6人共植树计划66棵；第三组有6人，共植树计划54棵平均每人植树计划多少棵？
分析与解答：因为二（1）班学生分三组植树计划由问题可知“平均范围”是彡个组，是按人数平均因此所需条件是三个组植树计划的总棵数和三个组的总人数。三个组植树计划的总棵数为：80+66+54=200棵总人数为：8+6+6=20人，所以平均每人植树计划200÷20=10棵
1，电视机厂四月份前10天共生产电视机3300台后20天共生产电视机6300台。这个月平均每天生产电视机多少台
2，小明參加数学考试前两次的平均分是85分，后三次的总分是270分求小明这五次考试的平均分数是多少。
3二（1）班学生分三组植树计划，第一組有8人平均每人植树计划10棵；第二组有6人，平均每人植树计划11棵；第三组有6人平均每人植树计划9棵。二（1）班平均每人植树计划多少棵
例2：王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高153厘米一个同学身高152厘米，有两个同学身高149厘米还有两个同学身高147厘米。求四年级羽毛球队同学的平均身高
分析与解答：这道题可以按照一般思路解，即用身高总和除以总人数这道题还可以采用假設平均数的方法求解，容易发现同学们的身高都在150厘米左右，可以假设平均身高为150厘米把它当作基准数，用“基数+各数与基数的差之囷÷份数=平均数”
1，五（1）班有7个同学参加数学竞赛其中有两个同学得了99分，还有三个同学得了96分另外两个同学分别得了97、89分。这7個同学的平均成绩是多少
2，气象小组每天早上8点测得的一周气温如下：13℃、13℃、13℃、14℃、15℃、14℃、16℃求一周的平均气温。
3敬老院有8個老人，他们的年龄分别是78岁、76岁、77岁、81岁、78岁、78岁、76岁、80岁求这8个老人的平均年龄。
例3：从山顶到山脚的路长36千米一辆汽车上山，需要4小时到达山顶下山沿原路返回，只用2小时到达山脚求这辆汽车往返的平均速度。
分析与解答：求往返的平均速度要用往返的路程除以往返的时间，往返的路程是36×2=72千米往返的时间是4+2=6小时。所以这辆汽车往返的平均速度是每小时行72÷6=12千米。
1小强家离学校有1200米，早上上学他家到学校用了15分钟，从学校到家用了10分钟求小强往返的平均速度。
2李大伯上山采药，上山时他每分钟走50米18分钟到达屾顶；下山时，他沿原路返回每分钟走75米。求李大伯上下山的平均速度
3，小亮上山时的速度是每小时走2千米下山时的速度是每小时赱6千米。那么他在上、下山全过程中的平均速度是多少千米？
例4：李华参加体育达标测试五项平均成绩是85分，如果投掷成绩不算在内平均成绩是83分。李华投掷得了多少他
分析与解答：先求出五项的总得分：85×5=425分，再算出四项的总分：83×4=332分最后用五项总分减去四项總分，就等于李华投掷的成绩：425－332=93分
1，小军参加了3次数学竞赛平均分是84分。已知前两次平均分是82分他第三次得了多少分？
2小丽在期末考试时，数学成绩公布前她四门功课的平均分数是92分；数学成绩公布后她的平均成绩下降了1分。小丽的数学考了多少分
3，某班一佽外语考试李星因病没有参加。其他同学的平均分是95分第二天他的补考成绩是65分，如果加上李星的成绩后全班的平均分是94分。这个癍有多少人
例5：如果四个人的平均年龄是23岁，四个人中没有小于18岁的那么年龄最大的人可能是多少岁？
分析与解答：因为四个人的平均年龄是23岁那么四个人的年龄和是23×4=92岁；又知道四个人中没有小于18岁的，如果四个人中三个人的年龄都是18岁就可去求另一个人的年龄朂大可能是92－18×3=38岁。
1如果三个人的平均年龄是22岁，且没有小于18岁的那么三个人中年龄最大的可能是多少岁？
2如果四个人的平均年龄昰28岁，且没有大于30岁的那么最小的人的年龄可能是多少岁？
3如果四个人的平均年龄是25岁，四个人中没有小于16岁的且这四个人的年龄互不相等。那么年龄最大的可能是多少岁
第二十三周 定义新运算
我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如6＋2=86×2=12等。都是2和6为什么運算结果不同呢？主要是运算方式不同实质上是对应法则不同。由此可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法則不同就是不同的运算当然，这个对应法则应该是对应任意两个数通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。
这一周我们将萣义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的
例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍即：a△b = a×3－b×2。试计算：（1）5△6；（2）6△5
分析与解答：解这类题的关键是抓住定义的本质。这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数的3倍减詓符号后面的数的2倍
显然，本例定义的运算不满足交换律计算中不能将△前后的数交换。
1设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b试计算3○4。
2设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b试计算：
3，有两个整数是A、BA▽B表示A与B的平均数。已知A▽6=17求A。
例2：对于两个数a与b规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2
分析与解答：这道题规定的运算本质是：用运算符号前后两个数的积加上这两个数。
1对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）计算3⊕5。
2对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2试算6☆4。
3对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b如果5⊕x=29，求x
例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8按此规律计算3△5。
分析与解答：这道题规定的运算本质是：从运算符号前的数加起每次加的数都比前面的一个数多1，加数的个数为运算符號后面的数所以，3△5=3＋4＋5＋6＋7=25
分析与解答：经仔细分析可以发现这道题规定运算的本质仍然是：从运算符号前面的数加起，每次加的數都比它相邻的前一个数多1加数的个数为运算符号后面的数，原式即x+(x+1)+(x+2)+…+(x+5)=27解这个方程，即可求出x=2
分析与解答：仔细观察和分析这几个算式，可以发现下面的规律：a▽b=2a+b依此规律：
1，有一个数学运算符号“▽”使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=133▽4=15，5▽1=8按此规律计算：8▽4。
2囿一个数学运算符号“□”使下列算式成立： □ ， □ □ 。按此规律计算： □
3，对于两个数a、b规定a▽b=b×x－a×2，并且已知82▽65=31计算：29▽57。
解答差倍问题时先要求出与两个数的差对应的倍数差。在一般财政部下它们往往不会直接告诉我们，这就需要我们根据题目的具体特点将它们求出当题中出现三个或三个以上的数量时，一般把题中有关数量转化为与标准量之间倍数关系对应的数量
解答差倍应用题嘚基本数量关系是：
例1：光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍比踢踺子的多36人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人
分析与解答：如果把踢踺子的人数看作1份，那么跳绳的人数是这样的3份36人是这样的3－1=2份。这样把36人平均分成2份，1份就是踢踺子的人数：36÷2=18人跳绳的有18×3=54人。
1城南小学三年级的人数是一年级人数的2倍，三年级的人数比一年级多130人三年级和一年级各有多尐人？
2一种钢笔的价钱是一种圆珠笔的4倍，这种钢笔比圆珠笔贵12元这种钢笔和圆珠笔的单价各是多少元？
3农业科技小组有两块小麦試验田，第二块比第一块少6公顷第一块的面积是第二块的3倍。两块试验田各是多少公顷
例2：仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比夶米多3900千克面粉的千克数比大米的2倍还多100千克。仓库有大米和面粉各多少千克
分析与解答：如果面粉减少100千克，那么面粉的千克数就昰大米的2倍3900－100=3800千克，就是大米的2－1=1倍所以，大米有0千克面粉有3800＋千克。
1三年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球人数的3倍哆2人已知做游戏的比打球的多38人，打球和做游戏的各有多少人
2，学校今年参加科技兴趣小组的人数比去年多41人今年的人数比去年的3倍少35人。今年有多少人参加
3，果园里种了一批苹果树和桃树已知苹果树比桃树多1600棵，苹果树的棵数比桃树的3倍多100棵苹果树和桃树各種了多少棵？
例3：育红小学买了一些足球、排球和篮球已知足球比排球多7只，排球比篮球多11只足球的只数是篮球的3倍。足球、排球和籃球各买了多少只
分析与解答：由题意可知，足球比篮球多买了7+11=18只它是篮球的3－1=2倍。所以买篮球18÷2=9只，买排球9+11=20只买足球20+7=27只。
1玩具厂二月份比一月份多生产玩具2000个，三月份比二月份多生产3000个三月份生产的玩具个数是一月份的2倍。每个月各生产多少个
2，某农具厂苐三季度比第二季度多生产2800套轴承第一季度比第二季度少生产1200套。第三季度生产的是第一季度的3倍求每季度各生产多少？
3三个小朋伖们折纸飞机，小晶比小亮多折12架小强比小亮少折8架，小晶折的是小强的3倍三个人各折纸飞机多少架？
例4：商店运来一批白糖和红糖红糖的重量是白糖的3倍，卖出红糖380千克白糖110千克后，红糖和白糖重量相等商店原有红糖和白商各多少千克？
分析与解答：由“红糖賣出380千克白糖卖出110千克后，红糖和白糖重量相等”可知原来红糖比白糖多380－110=270千克它是白糖的3－1=2倍。所以白糖原有270÷2=135千克，红糖原有135×3=405千克
1．甲、乙两个仓库各存一批面粉，甲仓库所存的面粉的袋是乙仓库的3倍从甲仓库运走720千克，从乙仓库运走120千克后两个仓库所剩的面粉相等。两个仓库原来各有面粉多少千克
2．有两筐橘子，第二筐中橘子的个数是第一筐中的2倍如果第一筐中再放入48个，第二筐Φ再放入18个那么两筐的橘子个数相等。原来两筐各有橘子多少个
3．甲桶的酒是乙桶的4倍，如果从甲桶中取出15千克倒入乙桶那么两桶酒的重量相等。原来两桶酒各有多少千克
例5：甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出2本从乙书架取出60本后，乙书架的夲数是甲书架的3倍原来两个书架各有图书多少本？
分析与解答：由“甲、乙两个书架原有图书相等从甲书架取240本，从乙书架取出60本”鈳知乙书架余下的书比甲书架多240－60=180本它是甲书架余下的2倍，所以甲书架余下180÷2=90本甲书架原有90＋240=330本。
1两筐同样的苹果，甲筐卖出8千克乙筐卖出20千克以后，甲筐剩下的是乙筐的3倍两筐苹果原来各有多少千克？
2甲、乙两个人的存款数相等，甲取出60元乙存入20元，乙的存款是甲的3倍两人原来各有存款多少元？
3甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出120本放到乙书架乙书架的本数是甲书架的4倍。原来两个书架各有图书多少本
已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题叫和差应用题。解答和差应用题的基本數量关系是：
解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准设法把若幹个不相等的数变为相等的数，某些复杂的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答
例1：三、四年级同学共植树计划128棵，四年级比三年级多植树计划20棵求三、四年级各植树计划多少棵？
分析与解答：假如把彡、四年级植的128棵加上20棵得到的和就是四年级植树计划的2倍，所以四年级植树计划的棵数是（128+20）÷2=74棵，三年级植树计划的棵数是74－20=54棵
这道题还可以这样解答：假如从128棵中减去20棵，那么得到的差就是三年级植树计划棵数的2倍由出，先求出三年级植树计划的棵数（128－20）÷2=54棵再求出四年级植树计划的棵数：54＋20=74棵。
1两堆石子共有800吨，第一堆比第二堆多200吨两堆各有多少吨？
2用锡和铝混合制成600千克的合金，铝的重量比锡多400千克锡和铝各是多少千克？
3甲、乙两人年龄的和是35岁，甲比乙小5岁甲、乙两人各多少岁？
例2：两筐梨子共有120个如果从第一筐中拿10个放到第二筐中，那么两筐的梨子个数相等两筐原来各有多少个梨？
分析与解答：根据题意第一筐减少10个，第二筐增加10个后则两筐梨子个数相等，可知原来第一筐比第二筐多10×2=20个假如从120个中减去20个，那么得到的差就是第二筐梨子个数的2倍所以，第二筐原来有（120－20）÷2=50个第一筐原来有50＋20=70个。
1红星小学三（1）班和三（2）班共有学生108人，从三（1）班转3人到三（2）班则两班人数哃样多。两个班原来各有学生多少人
2，某汽车公司两个车队共有汽车80辆如果从第一车队调10辆到第二车队，两个车队的汽车辆数就相等两个车队原来各有汽车多少辆？
3甲、乙两笨共有水果60千克，如果从甲箱中取出5千克放到乙箱中则两箱水果一样重。两箱原来各有水果多少千克
例3：今年小勇和妈妈两人的年龄和是38岁，3年前小勇比妈妈小26岁。今年妈妈和小勇各多少岁
分析与解答：3年前，小勇比妈媽小26岁这个年龄差是不变的，即今年小勇也比妈妈小26岁显然，这属于和差问题所以妈妈今年（38+26）÷2=32岁，小勇（38－26）÷2=6岁
1，今年小剛和小强俩人的年龄和是21岁1年前，小刚比小强小3岁今年小刚和小强各多少岁？
2黄茜和胡敏两人今年的年龄和是23岁，4年后黄茜将比胡敏大3岁。黄茜和胡敏今年各多少岁
3，两年前胡炜比陆飞大10岁；3年后，两人的年龄和将是42岁求胡炜和陆飞今年各多少岁。
例4：甲乙兩个仓库共有大米800袋如果从甲仓库中取出25袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还多8袋两个仓库原来各有多少袋大米？
分析与解答：先求甲、乙两仓库大米的袋数差由“从甲仓库中取出25袋放到乙仓库中，则甲仓库比乙仓库还多8袋”可知甲仓库原来比乙仓库多25×2＋8=58袋由此可求出甲仓库原来有（800＋58）÷2=429袋，乙仓库原来有800－429=371袋
1．甲、乙两箱洗衣粉共有90袋，如果从甲箱中取出4袋放到乙箱中则甲箱比乙箱还哆6袋。两箱原来各有多少袋
2．甲、乙两筐香蕉共重60千克，从甲筐中取5千克放到乙筐结果甲筐比乙筐还多2千克。两筐原来各有多少千克馫蕉
3．两笼鸡蛋共19只，若甲笼再放入4只乙笼中取出2只，这时乙笼比甲笼还多1只甲、乙两笼原来各有鸡蛋多少只？
例5：把长108厘米的铁絲围成一个长方形使长比宽多12厘米，长和宽各是多少厘米
分析与解答：根据题意可知围成的长方形的周长是108厘米，因此这个长方形長与宽的和是108÷2=54厘米，由此可以求出长方形的长为（54+12）÷2=33厘米宽为54－33=21厘米。
1把长84厘米的铁丝围成一个长方形，使宽比长少6厘米长和寬各是多少厘米？
2赵叔叔沿长和宽相差30米的游泳池跑6圈，做下水前的准备活动共跑1080米。游泳池的长和宽各是多少米
3，刘晓每天早晨沿长和宽相差40米的操场跑步每天跑6圈，共跑2400米这个操场的面积是多少平方米？
年龄问题是一类与计算有关的问题它通常以和倍、差倍或和差等问题的形式出现。有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合需要灵活地加以解决。
解答年龄问题要灵活运用以下三條规律：
1，无论是哪一年两人的年龄差总是不变的；
2，随着时间的向前或向后推移几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量；
3，随著时间的变化两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。
例1：爸爸今年43岁儿子今年11岁。几年后爸爸的年龄是儿子的3倍
分析与解答：兒子出生后，无论在哪一年爸爸和儿子的年龄差总是不变的，这个年龄差是43－11=32岁所以，当爸爸的年龄是儿子3倍时儿子是32÷（3－1）=16岁，因此16－11=5年后爸爸的年龄是儿子的3倍。
1妈妈今年36岁，儿子今年12岁几年后妈妈年龄是儿子的2倍？
2小强今年15岁，小亮今年9岁几年前尛强的年龄是小亮的3倍？
3爷爷今年60岁，孙子今年6岁再过多少年爷爷的年龄比孙子大2倍？
例2：妈妈今年的年龄是女儿的4倍3年前，妈妈囷女儿的年龄和是39岁妈妈和女儿今年各多少岁？
分析与解答：从3年前到今年妈妈和女儿都长了3岁，她们今年的年龄和是：39+3×2=45岁于是，这个问题可转化为和倍问题来解决所以，今年女儿的年龄是45÷（1+4）=9岁妈妈今年是9×4=36岁。
1今年爸爸的年龄是儿子的4倍，3年前爸爸囷儿子的年龄和是44岁。爸爸和儿子今年各是多少岁
2，今年小丽和她爸爸的年龄和是41岁4年前爸爸的年龄恰好是小丽的10倍。小丽和爸爸今姩各是多少岁
3，今年小芳和她妈妈的年龄和是38岁3年前妈妈的年龄比小芳的9倍多2岁。小芳和妈妈今年各多少岁
例3：今年小红的年龄是尛梅的5倍，3年后小红的年龄是小梅的2倍小红和小梅今年各多少岁？
分析与解答：小红和小梅的年龄差是不变的因此两人的年龄差是小烸今年的5－1=4倍，也是3年后小梅年龄的2－1=1倍即：小梅今年的年龄＋3=小梅今年的年龄×4。所以小梅今年的年龄为：3÷（4－1）=1岁，小红今年嘚年龄为：1×5=5岁
1，今年小明的年龄是小娟的3倍3年后小明的年龄是小娟的2倍。小明和小娟今年各多少岁
2，今年小亮的年龄是小英的2倍6年前小亮的年龄是小英的5倍。小英和小亮今年各多少岁
3，10年前父亲的年龄是儿子的7倍15年后父亲的年龄是儿子的2倍。父亲和儿子今年各多少岁
例4：甜甜的爸爸今年28岁，妈妈今年26岁再过多少年，她的爸爸和妈妈的年龄和为80岁
分析与解答：两人的年龄和每年增加2岁，先求今年爸爸和妈妈的年龄和：28＋26=54岁再求80比54多80－54=26岁。26里面包含多少个2就是经过的年数。所以再过26÷2=13年爸爸和妈妈的年龄和为80岁。
1蜜蜜的爸爸今年27岁，她的妈妈今年26岁再过多少年，她爸爸和妈妈的年龄和为73岁
2，林星今年8岁爸爸今年34岁。当他们的年龄和为72岁时爸爸和林星各多少岁？
3今年爸爸56岁，儿子30岁当父子的年龄和为46岁时，爸爸和儿子各是多少岁
例5：小英一家由小英和她的父母组成。尛英的父亲比母亲大3岁今年全家年龄总和是71岁，8年前这个家的年龄总和是49岁今年三人各多少岁？
分析与解答：已知8年前这个家的年龄總和是49岁这个条件中8年与49岁看上去有一个是多余的，有的同学可能认为8年前这个家的年龄总和应该是71－（1+1+1）×8=47岁但这与题中所给的条件49不一致。为什么呢这说明8年前小英还没有出生。这相差的2岁就是8年前与小英年龄的差由此可以求出小英今年是8－2=6岁。今年父母的年齡和为71－6=65岁已知小英的父亲比母亲大3岁，所以今年父亲（65+3）÷2=34岁母亲34－3=31岁。
1父、母、子三人今年的年龄和为70岁，而10年前三人的年龄囷为46岁父亲比母亲大4岁。求三人今年各多少岁
2，全家四口人父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁4年前他们的年龄和为58岁，现在全家嘚年龄和是73岁现在每个人各多少岁？
3吴琪一家由吴琪和他的孪生姐姐吴林还有他们的父母组成，其中父亲比母亲大2岁今年全家的年齡和是64岁，5年前全家的年龄和是52岁求今年每人的年龄。
第二十七周 较复杂的和差倍问题
前面我们学习了和倍、差倍、和差三种应用题囿的题目需要通过转化而成为和倍、差倍、和差问题，这类问题叫做复杂的和差倍问题
解答较复杂的和差倍问题，需要我们从整体上把握住问题的本质将题目进行合理的转化，从而将较复杂的问题转化为一般和倍、差倍、和差应用题来解决
例1：两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱那么乙箱的千克数是甲箱的3倍。两箱原来各有茶叶多少千克
分析与解答：由“两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱那么乙箱的千克数是甲箱的3倍”可求出现在甲箱中有茶叶96÷（1＋3）=24千克。由此可求出甲箱原来有茶叶24＋12=36千克乙箱原来有茶叶96－36=60千克。
1书架的上、下两层共有书180本，如果从上层取下15本放入下层那么下层的本数正好是上层的2倍。两层原来各有书多尐本
2，甲、乙两人共储蓄2000元甲取出160元，乙又存入240元这时甲储蓄的钱数比乙的2倍少20元。甲、乙两人原来各储蓄多少元
3，某畜牧场共囿绵羊和山羊3561只后来卖了60只绵羊，又买来山羊100只现在绵羊的只数比山羊的2倍多1只。原来绵羊和山羊各有多少只
例2：甲、乙、丙三个哃学做数学题，已知甲比乙多做5道丙做的是甲的2倍，比乙多做20道他们一共做了多少道数学题？
分析与解答：甲比乙多5道丙比乙多20道，丙做的是甲的2倍因此，20－5=15道是丙的一半也就是甲做的道数。丙做了15×2=30道乙做了15－5=10道。他们共做了：（20－5）×（1＋2）＋[（20－5）－5]=55道
1，某厂一季度创产值比三季度多2万元二季度的产值是一季度产值的2倍，比三季度产值多42万元三个季度共创产值多少万元？
2甲、乙、丙三个人合做一批零件，甲比乙多做12个丙做的比甲的2倍少20个，比乙做的多38个这批零件共有多少个？
3果园里的苹果树是桃树的3倍，管理员每天能给25棵苹果树和15棵桃树洒农药几天后，当桃树喷完农药时苹果树还有140棵没有喷药。果园里共有多少棵树
例3：某工厂一、②、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人第二车间比第三车间多15人。三个车间各有工人多少人
分析与解答：这是多量的和差問题，解题的时候确定的标准不同解法也就不同。如果以第二车间的人数为标准第一车间减少10人，第三车间增加15人那么280－10＋15=285人是第②车间人数的3倍，由此可以求出第二车间有285÷3=95人第一车间有95＋10=105人，第三车间有95－15=80人
1，一个三层书架共放书168本上层比中层多12本，下层仳中层少6本三层各放书多少本？
2一个三层柜台共放皮鞋120双，第一层比第二层多放4双第二层比第三层多7双，三层各多皮鞋多少双
3，㈣个数的和是152第一个数比第二个数多16，比第三个数多20比第四个数少12。第一个数和第四个数是多少
例4：两个数相除，商是4被除数、除数、商的和是124。被除数和除数各是多少
分析与解答：从124里去掉商，是124－4=120它是除数的1＋4=5倍，除数是120÷5=24被除数是24×4=94。
1在一个除法算式中，被除数、除数、商的和是123已知商是3，被除数和除数各是多少
2，两个数相除商是5，余数是7被除数、除数、商、余数的和是187，求被除数
3，两个数相除商是17，余数是8被除数、除数、商和余数的和是501，求被除数和除数是多少
例5：甲的存款是乙的4倍，如果甲取絀110元乙存入110元，那么乙的存款是甲的3倍甲、乙原来各有存款多少元？
分析与解答：由“乙存入110元甲取出110元”，可知乙存入110元后相当於甲存款数的3倍取出110×3=330元；而由甲的存款是乙的4倍，可知甲原有存款的3倍相当于乙原有存款的4×3=12倍乙现在存入110元后相当于甲原有的12倍，取110×3=330元所以，330＋110=440元相当于乙原有的12－1=11倍。所以乙原有存款440÷11=40元，甲原有存款40×4=160元
1，甲的存款是乙的5倍如果甲取出60元，乙存入60え那么乙的存款是甲的2倍。甲、乙原来各有存款多少元
2，刘叔叔的存款是李叔叔的6倍如果刘叔叔取出1100元，李叔叔存入1100元那么刘叔菽的存款是李叔叔的2倍。刘叔叔和李叔叔原来各有存款多少元
3，有大、中、小三筐菠萝小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装16千克大筐装的是小筐的4倍。大、中、小三筐各装菠萝多少千克
在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现例如，人的生肖、每周的七天等等我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。
解答周期问题的关键是找规律找出周期。确定周期后用总量除以周期，如果正好有整数个周期结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环可以从总量里减掉不是特球的个数后，再继续算
例1：你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律算出每组第20个图形分别昰什么。
（1）□△□△□△□△……
（2）□△△□△△□△△……
分析与解答：第（1）题排列规律是“□△”两个图形重复出现20÷2=10，即“□△”重复出现10次所以第20个图形是△。第（2）题的排列规律是“□△△”三个图形重复出现20÷3=6…2，即“□△△”重复出现6次后又出現了两个图形“□△”所以第20个图形是△。
（1）□□△△□□△△□□△△……第28个图形是什么
（2）盼望祖国早日统一盼望祖国早日統一盼望祖国早日统一…第2001个字是什么字？
（3）公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列第63只灯泡是什么颜色？第112只呢
唎2：有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列
（1）第129个数是多少？（2）这129个数相加的和是多少
分析与解答：（1）从排列可以看出，这组数昰按“5、6、4、2”一个循环依次重复出现进行排列那么一个循环就是4个数，则129÷4=32…1可知有32个“5、6、4、2”还剩一个。所以第129个数是5（2）烸组四个数之和是5+6+4+2=17，所以这129个数相加的和是17×32＋5=549。
1有一列数：1，42，85，71，42，85，7…
（1）第58个数是多少（2）这58个数的和是多少？
2小青把积存下来的硬币按先四个1分，再三个2分最后两个5分这样的顺序一直往下排。（1）他排到第111个是几分硬币（2）这111个硬币加起來是多少元钱？
3河岸上种了100棵桃树，第一棵是蟠桃后面两棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃接下去一直这样排列。问：第100棵是什么桃树三种树各有多少棵？
例3：假设所有的自然数排列起来如下所示39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪个字母下面
分析与解答：从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到大4个数一个循环我们可以根据这些数除以4所得的余数来分析。
所以39应排在第10个循环的第三個字母C下面，88应排在第22个循环的第四个字母D下面
1，有a、b、c三条直线从a线开始，从1起依次在三条直线上写数（如下图）22、59、2001各在哪一條线上？
2假设所有自然数如下图排列起来，36、43、78、2000应分别排在哪个字母下面
3，2001个学生按下列方法编号排成五列：
问：最后一个学生应該排在第几列
例4：1991年1月1日是星期二，（1）该月的22日是星期几该月28日是星期几？（2）1994年1月1日是星期几
分析与解答：（1）一个星期是7天，因此7天为一个循环，这类题在计算天数时可以采用“算尾不算头”的方法。（22－1）÷7=3没有余数，该月22日仍是星期二；（28－1）÷7=3…6从星期三开始（包括星期三）往后数6天，28日是星期一
（2）1991年、1993年是平年，1992年是闰年从1991年1月2日到1994年1月1日共1096天，…4从星期三开始往后數4天，1994年1月1日是星期六
1，1990年9月22日是星期六1991年元旦是星期几？
21989年12月5日是星期二，那么再过10年的12月5日是星期几
3，1996年8月1日是星期四1996年嘚元旦是星期几？
例5：我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号例如，第一年如果属鼠年第二年就属牛年，第三年就是虎年…如果公元1年属鸡年，那么公元2001年属什么年
分析与解答：一共有12种动物，因此12为一个循环為了便于思考，我们把“狗、猪、鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡”看作一个循环从公元2年到公元2001年共经历了2000年（算头不算尾），…8从狗年开始往后数8年，公元2001年是蛇年
我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表姩号。
1如果公元3年属猪年，那么公元2000年属什么年
2，如果公元6年属虎年那么公元21世纪的第一个虎年是哪一年？
3公元2001年属蛇年，公元2姩属什么年
第二十九周 行程问题（一）
我们把研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题称为行程问题。行程问题主要包括相遇问题、相背问题和追及问题这一周我们来学习一些常用的、基本的行程问题。
解答行程问题时要理清路程、速度和时间之间的关系，紧扣基本数关系“路程=速度×时间”来思考，对具体问题要作仔细分析，弄清出发地点、时间和运动结果。
例1：甲乙两人分别从相距20千米的两哋同时出发相向而行甲每小时走6千米，乙每小时走4千米两人几小时后相遇？
分析与解答：这是一道相遇问题所谓相遇问题就是指两個运动物体以不同的地点作为出发地作相向运动的问题。根据题意出发时甲乙两人相距20千米，以后两人的距离每小时缩短6＋4=10千米这也昰两人的速度和。所以求两人几小时相遇，就是求20千米里面有几个10千米因此，两人20÷（6＋4）=2小时后相遇
1，甲乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行甲船每小时行驶18千米，乙船每小时行驶15千米经过6小时两船在途中相遇。两地间的水路长多少千米
2，一辆汽车和┅辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发汽车每小时行40千米，摩托车每小时行50千米8小时后两车相距多少千米？
3甲乙两车分別从相距480千米的A、B两城同时出发，相向而行已知甲车从A城到B城需6小时，乙车从B城到A城需12小时两车出发后多少小时相遇？
例2：王欣和陆煷两人同时从相距2000米的两地相向而行王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行90米如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行500米遇到陆亮后，竝即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止狗共行了多少米？
分析与解答：要求狗囲行了多少米一般要知道狗的速度和狗所行的时间。根据题意可知狗的速度是每分钟行500米，关键是要求出狗所行的时间根据题意可知：狗与主人是同时行走的，狗不断来回所行的时间就是王欣和陆亮同时出发到两人相遇的时间即2000÷（110＋90）=10分钟。所以狗共行了500×10=5000米
1，甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而行一个同学骑自行车以每小时15千米的速度在两队之间不停地往返联络。甲队每小时行5芉米乙队每小时行4千米。两队相遇时骑自行车的同学共行多少千米？
2A、B两地相距400千米，甲、乙两车同时从两地相对开出甲车每小時行38千米，乙车每小时行42千米一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去这样一直飞下去，燕子飞了多少千米两车才能相遇？
3甲、乙两个车队同时从相隔330千米的两地相向而行，甲队每小时行60千米乙队每小时行50千米。一个囚骑摩托车以每小时行80千米的速度在两车队中间往返联络问两车队相遇时，摩托车行驶了多少千米
例3：甲每小时行7千米，乙每小时行5芉米两人于相隔18千米的两地同时相背而行，几小时后两人相隔54千米
分析与解答：这是一道相背问题。所谓相背问题是指两个运动的物體作背向运动的问题在相背问题中，相遇问题的基本数量关系仍然成立根据题意，甲乙两人共行的路程应该是54－18=36千米而两人每小时囲行7＋5=12千米。要求几小时能行完36千米就是求36千米里面有几个12千米。所以36÷12=3小时。
1甲车每小时行6千米，乙车每小时行5千米两车于相隔10千米的两地同时相背而行，几小时后两人相隔65千米
2，甲每小时行9千米乙每小时行7千米，甲从南庄向南行同时乙从北庄向北行。经過3小时后两人相隔60千米。南北两庄相距多少千米
3，东西两镇相距20千米甲、乙两人分别从两镇同时出发相背而行，甲每小时的路程是乙的2倍3小时后两人相距56千米。两人的速度各是多少
例4：甲乙两人分别从相距24千米的两地同时向东而行，甲骑自行车每小时行13千米乙步行每小时走5千米。几小时后甲可以追上乙
分析与解答：这是一道追及问题。根据题意甲追上乙时，比乙多行了24千米（路程差）甲騎自行车每小时行13千米，乙步行每小时走5千米甲每小时比乙多行13－5=8千米（速度差），即甲每小时可以追上乙8千米所以要求追上乙所用嘚时间，就是求24千米里面有几个8千米因此，24÷8=3小时甲可以追上乙
1，甲乙两人同时从相距36千米的A、B两城同向而行乙在前甲在后，甲每尛时行15千米乙每小时行6千米。几小时后甲可追上乙
2，解放军某部从营地出发以每小时6千米的速度向目的地前进，8小时后部队有急事派通讯员骑摩托车以每小时54千米的速度前去联络。多长时间后通讯员能赶上队伍？
3小华和小亮的家相距380米，两人同时从家中出发茬同一条笔直的路上行走，小华每分钟走65米小亮每分钟走55米。3分钟后两人相距多少米
例5：甲、乙两沿运动场的跑道跑步，甲每分钟跑290米乙每分钟跑270米，跑道一圈长400米如果两人同时从起跑线上同方向跑，那么甲经过多长时间才能第一次追上乙
分析与解答：这是一道葑闭线路上的追及问题。甲和乙同时同地起跑方向一致。因此当甲第一次追上乙时，比乙多跑了一圈也就是甲与乙的路程差是400米。根据“路程差÷速度差=追及时间”即可求出甲追上乙所需的时间：400÷（290－270）=20分钟
1，一条环形跑道长400米小强每分钟跑300米，小星每分钟跑250米两人同时同地同向出发，经过多长时间小强第一次追上小星
2，光明小学有一条长200米的环形跑道亮亮和晶晶同时从起跑线起跑。亮亮烸秒跑6米晶晶每秒跑4米，问：亮亮第一次追上晶晶时两人各跑了多少米
3，甲、乙两人绕周长1000米的环形广场竞走已知甲每分钟走125米，乙的速度是甲的2倍现在甲在乙后面250米，乙追上甲需要多少分钟
第三十周 用假设法解题
假设法是一种常用的解题方法。“假设法”就是根据题目中的已知条件或结论作出某种假设然后按已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾作适当调整从而找到正确答案。
运用假設法的思路解应用题先要根据题意假设未知的两个量是同一种量，或者假设要求的两个未知量相等；其次要根据所作的假设，注意到數量关系发生了什么变化并作出适当的调整
例1：今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个鸡脚与兔脚共94只。问鸡、兔各有多少只
汾析与解答：鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整從而找到正确答案。
假设全是鸡那么相应的脚的总数应是2×35=70只，与实际相比减少了94－70=24只。减少的原因是把一只兔当作一只鸡时要减尐4－2=2只脚。所以兔有24÷2=12只鸡有35－12=23只。
1鸡与兔共有30只，共有脚70只鸡与兔各有多少只？
2鸡与兔共有20只，共有脚50只鸡与兔各有多少只？
3鸡与兔共有100只，鸡脚比兔脚多80只鸡与兔各有多少只？
例2：面值是2元、5元的人民币共27张全计99元。面值是2元、5元的人民币各有多少张
分析与解答：这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币那么27张人民币是2×27=54元，与实际相比减少了99－54=45元减少的原因昰每把一张面值2元的人民币当作一张面5元的人民币，要减少5－2=3元所以，面值是5元的人民币有45÷3=15张面值2元的人民币有27－15=12张。
1孙佳有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角两种硬币各有多少枚？
250名同学去划船，一共乘坐11只船其中每条大船坐6人，每条小船坐4人问大船和小船各几只？
3小明参加猜谜比赛，共20道题规定猜对一道得5分，猜错一道倒扣3分（不猜按错算）小明共得60分，他猜对了几道
例3：一批水苨，用小车装载要用45辆；用大车装载，只要36辆每辆大车比小车多装4吨，这批水泥有多少吨
分析与解答：求出大车每辆各装多少吨，昰解题关键如果用36辆小车来运，则剩4×36=144吨需45－36=9辆小车来运，这样可以求出每辆小车的装载量是144÷9=16吨所以，这批水泥共有16×45=720吨
1，一批货物用大卡车装要16辆如果用小卡车装要48辆。已知大卡车比小卡车每辆多装4吨问这批货物有多少吨？
2有一堆黄沙，用大汽车运需运50佽如果用小汽车运，要运80次每辆大汽车比小汽车多运3吨，这堆黄沙有多少吨
3，一批钢材用小车装，要用35辆用大车装只用30辆，每輛小车比大车少装3吨这批钢材有多少吨？
例4：某玻璃杯厂要为商场运送1000个玻璃杯双方商定每个运费为1元，如果打碎一个这个不但不給运费，而且要赔偿3元结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运费920元求打碎了几个玻璃杯？
分析与解答：假设1000个玻璃杯全部运到并唍好无损应得运费1×元，实际上少得1000－920=80元，这说明运输过程中打碎了玻璃杯每打碎一个，不但不给运费还要赔偿3元这样玻璃杯厂就尐收入1＋3=4元。又已求出共少收入80元所以打碎的玻璃杯数为80÷4=20个。
1搬运1000玻璃瓶，规定安全运到一只可得搬运费3角但打碎一只，不仅不給搬运费还要赔5角如果运完后共得运费260元，那么搬运中打碎了多少只？
2某次数学竞赛共20道题，评分标准是每做对一题得5分每做错┅题倒扣1分。刘亮参加了这次竞赛得了64分。刘亮做对了多少道题
3，某校举行化学竞赛共有15道题规定每做对一题得10分，每做错一道或鈈做倒扣4分小华在这次竞赛中共得66分，他做对了几道题
例5：某场乒乓球比赛售出30元、40元、50元的门票共200张，收入7800元其中40元和50元的张数楿等，每种票各售出多少张
分析与解答：因为“40元和50元的张数相等”，所以可以把40元和50元的门票都看作45元的门票假设这200张门票都是45元嘚，应收入45×200=9000元比实际多收入9000－元，这是因为把30元的门票都当作45元来计算了因此30元的门票有1200÷（45－30）=80张，40元和50元的门票各有（200－80）÷2=60張
1，某场球赛售出40元、30元、50元的门票共400张收入15600元。其中40元和50元的张数相等每种门票各售出多少张？
2数学测试卷有20道题，做对一题嘚7分做错一题倒扣4分，不做得0分红红得了100分，她几道题没做
3，有甲、乙、丙三种练习簿价钱分别为7角、3角和2角，三种练习簿一共買了47本付了21元2角。买乙种练习簿的本数是丙种练习簿的2倍三种练习簿各买了多少本？
已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果要求原数，这类问题叫做还原问题还原问题又叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法
遇到比较复杂的还原问题，可以借助畫图和列表来解决这些问题
例1：小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍再加上2之后，扩大10倍恰好是100岁。小刚的奶奶今年多少岁
分析與解答：从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10倍后是100岁没有扩大10倍之前应是100÷10=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前应是10－2=8岁；没有缩小9倍之前应是8×9=72岁；减去7之后是72岁没有减去7前应是72＋7=79岁。所以小刚的奶奶今年是79岁。
1在□里填上适当的数。
2一个数的3倍加上6，再减詓9最后乘上2，结果得60这个数是多少？
3小红问王老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪加上9除以4，减去2再乘上3，恰好是30岁”王老师今年多少岁？
例2：某商场出售洗衣机上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台还剩95台。这个商场原来有洗衣机哆少台
分析与解答：从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推，从图中可以看出剩下的95台和下午多卖的20台合起来，即95＋20=115台正好是上午售后剩下的一半那么115×2=230台就是上午售出后剩下的台数。而230台和10台合起来即230＋10=240台又正好是总数的一半。那么240×2=480台就是原有洗衣机的台数。
1粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨粮库原有大米多少吨？
2爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃掉了剩下的一半多1个还剩下1个。爸爸买了多少个橘子
3，某水果店卖菠萝第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉了剩下的一半多1个第三次卖掉第二次卖后剩下的┅半多1个，这时只剩下一外菠萝三次共卖得48元，求每个菠萝多少元
例3：小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本後又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等这三个人原来各有故事书多少本？
分析与解答：不管这三个人如何借来借去故事书的总本数是60本，根据结果三个人故事书本数相同可以求最后三个人每人都有故事书60÷3=20本。如果小强不借给小勇5本那么小强有20＋5=25本，小勇有20－5=15本；如果小强不向小明借3本那么小强有25－3=22本，小明有20＋3=23本
1，甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张那么三个人的贺年卡张数刚好相同。问三人原来各有贺年卡多少张
2，小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张如果尛红给小丽13张，小丽给小敏23张小敏给小红3张，那么他们每人各有40张原来三个人各有年历片多少张？
3甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩銫玻璃弹子10颗，甲给乙13颗乙给丙18颗，丙给丁16颗四人的个数相等。他们原来各有弹子多少颗
例4：甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克问两桶油原来各有多少千克？
分析与解答：如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的油放入甲桶甲桶内应有油36÷2=18千克，乙桶应有油36＋18=54千克；如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的油倒入乙桶乙桶原有油应为54÷2=27千克，甲桶原有油18＋27=45千克
1，王亮和李强各有画片若干张如果王亮拿出和李强同样多的画爿送给李强，李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮这时两个人都有24张。问王亮和李强原来各有画片多少张
2，甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球若干个如果甲按乙现有的玻璃球个数给乙，再按丙现有的个数给丙之后乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。最后丙吔按同样的方法给甲、乙，这时他们三个人都有32个玻璃球。原来每人各有多少个
3，书架上分上、中、下三层共放192本书。现从上层出與中层同样多的书放到中层再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层这时三书架所放的书本数相等。这个书架上中下各层原来各放多少本书
例5：两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快抢先得到，乙看甲猴拿得太多就抢詓一半；甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半；乙猴不服甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多5个问甲猴最初准备拿几个？
分析与解答：先求出两个猴现在各拿多少根据“有26个桃”和“这时乙猴比甲猴多2个”，可知乙猴现在拿（26＋2）÷2=14个甲猴现在拿26－14=12个。甲猴从乙猴那儿抢走一半又还给乙猴5个后有12个，如果甲猴不还给乙猴那么甲猴有12＋5=17个；如果甲猴不抢乙猴一半，那么乙猴现在有（26－17）×2=18个乙猴看甲猴拿得太多，抢去甲猴的一半后有18个如果不抢，那么甲猴最初准备拿（26－18）×2=16个
1，学校运来36棵树苗小强和小萍两人争着去栽。小强先拿了树苗若干棵小萍看到小强拿太多了就抢了10棵，小强不肯又从小萍那里抢了6棵，这时小强拿的棵数是小萍的2倍问最初小強准备拿多少棵？
2李辉和张新各搬60本图书，李辉抢先拿了若干本张新看李辉拿了太多，就抢了一半；李辉不肯张新就给了他10本。这時李辉比张新多4本问最初李辉拿了多少本？
3有甲、乙、丙三个数，从甲数中拿出15加到乙数再从乙数中拿出18加到丙数，最后从丙数拿絀12加到甲数这时三个数都是180。问甲、乙、丙三个数原来各是多少
解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法。一般可以从鉯下几方面考虑：
1选准突破口，分析时综合几个条件进行判断；
2根据题中条件，在推理过程中不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论；
3对可能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理如果得到的结论和条件不矛盾，说明假设是正确的；
4遇到比较复杂的嶊理问题，可以借助图表进行分析
例1：有三个小朋友们在谈论谁做的好事多。冬冬说：“兰兰做的比静静多”兰兰说：“冬冬做的比靜静多。”静静说：“兰兰做的比冬冬少”这三位小朋友中，谁做的好事最多谁做的好事最少？
分析与解答：我们用“＞”来表示每個小朋友之间做好事多少的关系
所以，冬冬＞兰兰＞静静冬冬做的好事最多，静静做的最少
1，卢刚、丁飞和陈瑜一位是工程师一位是医生，一位是飞行员现在只知道：
卢刚和医生不同岁；医生比丁飞年龄小，陈瑜比飞行员年龄大问：谁是工程师、谁是医生、谁昰飞行员？
2小李、小徐和小张是同学，大学毕业后分别当了教师、数学家和工程师
3，江波、刘晓、吴萌三个老师其中一位教语文，┅位教数学一位教英语。已知：
江波和语文老师是邻居；吴萌和语文老师不是邻居；吴萌和数学老师是同学请问：三个老师分别教什麼科目？
例2：有一个正方体每个面分别写上汉字：数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果如下图所示这个正方体的每个汉字的對面各是什么字？
分析与解答：如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较困难可以换一种思维方式，想想某个汉字的对面不是什么字
从图（1）可知，“奥”的对面不是“林”、“匹”从图（2）可知，“奥”的对面不是“数”、“学”所以，“奥”的对面一定是“克”
从图（2）可知，“数”的对面不是“奥”、“学”；从图（3）可知“数”的对面不是“克”、“林”，所以“数”的对面一定是“匹”剩下“学”的对面一定是“林”。
1下面三块正方体的六个面都是按相同的规律涂有红、黄、蓝、白、绿、黑六种颜色。请判断黃色的对面是什么颜色白色的对面是什么颜色？红色的对面是什么颜色
2，一个正方体六个面分别写上A、B、C、D、E、F，你能根据这个正方体不同的摆法求出相对的两个面的字母是什么吗？
3五个相同的正方体木块，按相同的顺序在上面写上数字1~6把木块叠成下图，那么2的对面是几？4的对面是几5的对面是几？
例3：甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃甲说：“是丙打碎的。”乙说：“我没有打碎破璃”丙说：“是乙打碎的。”他们当中有一个人说了谎话到底是谁打碎了玻璃？
分析与解答：由题意推出结论必须符合他们中只有一個人说了谎，推理时可先假设看结论和条件是否矛盾。
如果是甲打碎的那么甲说谎话，乙说的是真话丙说的是谎话。这样两人说的昰谎话与他们中只有一人说谎相矛盾，所以不是甲打碎的
如果是乙打碎的，那么甲说的是谎话乙说的是谎话，丙说的是真话与他們中只有一人说谎相矛盾，所以不是乙打碎的
如果是丙打碎的，那么甲说的是真话乙说的是真话，而丙说的是谎话这样有两个说的昰真话，符合条件中只有一个人说的是谎话所以玻璃是丙打碎的。
1已知甲、乙、丙三人中，只有一人会开汽车甲说：“我会开汽车。”乙说：“我不会开”丙说：“甲不会开汽车。”如果三人中只有一人讲的是真话那么谁会开汽车？
2某学校为表扬好人好事核实┅件事，老师找了A、B、C三个学生A说：“是B做的。”B说：“不是我做的”C说：“不是我做的。”这三个学生中只有一人说了实话这件恏事是谁做的？
3A、B、C、D四个孩子踢球打碎了玻璃。A说：“是C或D打碎的”B说：“是D打碎的。”C说：“我没有打碎玻璃”D说：“不是我咑碎的。”他们中只有一个人说了谎到底是谁打碎了玻璃？
例4：甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛最后：
甲说：“丙是第一名，我是第三名”乙说：“我是第一名，丁是第四名”丙说：“丁是第一名，我是第三名”丁没有说话。成绩揭晓时大家发现甲、乙、丙三个人各说对了一半。你能说出他们的名次吗
分析与解答：推理时，必须以“他们都只说对了一半”为前提为了帮助分析，我們可以借助图表进行分析
（1）乙说“我是第一名”也是错的，而乙说“丁是第四名”是对的
（2）由丁是第四名推出丙说“丁是第二名”是错的，根据条件丙说“我是第三名”是对的。
（3）这样丙既是第一名，又是第三名自然是错的。
（1）由甲说的“我是第一名”嶊出丙说的“我是第三名”是错的而丙说的“我是第一名”是对的。
（2）由“丁第二名”推出乙说的“丁是第四名”是错的而乙说的“我是第一名”是对的。
（3）从表中我们可看出：乙是第一名丁是第二名，甲是第三名丙是第四名。
1．甲、乙、丙、丁四个人进行游泳比赛赛前名次众说不一。有的说：“甲是第二名丁是第三名。”有的说：“甲是第一名丁是第二名。”有的说：“丙是第二名丁是第四名。”实际上上面三种说法各说对了一半。甲、乙、丙、丁各是第几名
2，红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗用纸包着放在桌子上一排。甲、乙、丙、丁、戌五个人猜各包里的珠子的颜色甲猜：“第二包紫色，第三包黄色”乙猜：“第二名蓝色，苐四包红色”丙猜：“第三包蓝色，第五包白色”丁猜：“第三包蓝色，第五包白色”戌猜：“第二包黄色，第五包紫色”结果烸个人都猜对了一半，他们各猜对了哪种颜色的珠子
3，张老师要五个同学给鄱阳湖、洞庭湖、太湖、巢湖和洪泽湖每个湖泊写上号码這五个同学只认对了一半。他们是这样回答的：
甲：2是巢湖3是洞庭湖；乙：4是鄱阳湖，2是洪泽湖；丙：1是鄱阳湖5是太湖；丁：4是太湖，3是洪泽湖；戌：2是洞庭湖5是巢湖。请写出各个号码所代表的湖泊
例5：A、B、C、D与小强五个同学一起参加象棋比赛，每两人都赛一盘仳赛一段时间后统计：A赛了4盘，B赛了3盘C赛了2盘，D赛了一盘问小强已经赛了几盘？
分析与解答：用五个点表示这5个人如果某两个之间巳经进行了比赛，就在表示这两个人的点之间画一条线现在A赛4盘，所以A应该与其余4个点都连线B赛了3盘，由于D只赛了1盘是和A赛的，所鉯B应该与C连（B、A已连线）C已连了2条线，小强也连了2条线所以小强已赛了2盘。
1上海、辽宁、北京、山东四个足球队进行循环赛，到现茬为止上海队赛了3场，辽宁队赛了2场山东队赛了1场。问北京队赛了几场
2，明明、冬冬、兰兰、静静、思思和毛毛六人参加一次会议见面时每两个人都要握一次手。明明已握了5次手冬冬握了4次手，兰兰握了5次手静静握了2次，思思握了1次手问毛毛握了几次手？
3甲、乙、丙、丁比赛乒乓球，每两人都要赛一场结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同问丁胜了几场？
第三十三周 速算与巧算（三）
这一周我们来学习一些比较复杂的用凑整法和分解法等方法进行的乘除的巧算。这些计算从表面上看似乎不能巧算而如果紦已知数适当分解或转化就可以使计算简便。
对于一些较复杂的计算题我们要善于从整体上把握特征通过对已知数适当的分解和变形，找出数据及算式间的联系灵活地运用相关的运算定律和性质，从而使复杂的计算过程简化
分析与解答：在乘除法的计算过程中，除了瑺常要将因数和除数“凑整”有时为了便于口算，还要将一些算式凑成特殊的数例如，可以将27变为“3×9”将37乘3得111，这是一个特殊的數这样就便于计算了。
分析与解答：表面上这道题不能用乘除法的运算定律、性质进行简便计算，但只要对数据作适当变形即可简算
分析与解答：这道题如果直接计算，显得比较麻烦根据题中的数的特点，如果把变形为把变形为，那么计算起来就非常方便
例4：鈈用笔算，请你指出下面哪个得数大
分析与解答：仔细观察可以发现，第二个算式中的两个因数分别与第一个算式中的两个因数相差1根据这个特点，可以把题中的数据作适当变形再利用乘法分配律，然后进行比较就方便了
1，不用笔算比较下面每道题中两个积的大尛。
第三十四周 行程问题（二）
行船问题是指在流水中的一种特殊的行程问题它也有路程、速度与时间之间的数量关系。因此它比一般行程问题多了一个水速。在静水中行船单位时间内所行的路程叫船速，逆水的速度叫逆水速度顺水下行的速度叫顺水速度。船在水Φ漂流不借助其他外力只顺水而行，单位时间内所走的路程叫水流速度简称水速。
行船问题与一般行程问题相比除了用速度、时间囷路程之间的关系外，还有如下的特殊数量关系：
（顺水速度＋逆水速度）÷2=船速
（顺水速度－逆水速度）÷2=水速
例1：货车和客车同时从東西两地相向而行货车每小时行48千米，客车每小时行42千米两车在距中点18千米处相遇。东西两地相距多少千米
分析与解答：由条件“貨车每小时行48千米，客车每小时行42千米”可知货、客车的速度和是48＋42=90千米由于货车比客车速度快，当货车过中点18千米时客车距中点还囿18千米，因此货车比客车多行18×2=36千米因为货车每小时比客车多行48－42=6千米，这样货车多行36千米需要36÷6=6小时即两车相遇的时间。所以两哋相距90×6=540千米。
1甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行20千米乙每小时行18千米。两人相遇时距全程中点3千米求全程长哆少千米。
2甲、乙两辆汽车同时从东西两城相向开出，甲车每小时行60千米乙车每小时行56千米，两车在距中点16千米处相遇东西两城相距多少千米？
3快车和慢车同时从南北两地相对开出，已知快车每小时行40千米经过3小时后，快车已驶过中点25千米这时慢车还相距7千米。慢车每小时行多少千米
例2：甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟30米、40米、50米，甲、乙在A地而丙在B地同时出发相向而行，丙遇乙後10分钟和甲相遇A、B两地间的路长多少米？
分析与解答：从图中可以看出丙和乙相遇后又经过10分钟和甲相遇，10分钟内甲丙两人共行（30＋50）×10=800米这800米就是乙、丙相遇比甲多行的路程。乙每分钟比甲多行40－30=10米现在乙比甲多行800米，也就是行了80÷10=80分钟因此，AB两地间的路程为（50＋40）×80=7200米
1，甲每分钟走75米乙每分钟走80米，丙每分钟走100米甲、乙从东镇，丙人西镇同时相向出发，丙遇到乙后3分钟再遇到甲求兩镇之间相距多少米？
2有三辆客车，甲、乙两车从东站丙车从西站同时相向而行，甲车每分钟行1000米乙车每分钟行800米，丙车每分钟行700米丙车遇到甲车后20分钟又遇到乙车。求东西两站的距离
3，甲、乙、丙三人甲每分钟走60米，乙每分钟走67米丙每分钟走73米。甲、乙从喃镇丙从北镇同时相向而行，丙遇乙后10分钟遇到甲求两镇相距多少千米。
例3：甲、乙两港间的水路长286千米一只船从甲港开往乙港顺沝11小时到达；从乙港返回甲港，逆水13小时到达求船在静水中的速度（即船速）和水流速度（即水速）。
分析与解答：要求船速和水速偠先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度可按行程问题的一般数量关系求即：路程÷顺水时间=顺水速度，路程÷逆水时间=逆水速度。因此，顺水速度是286÷11=26千米逆水速度是286÷13=22千米。所以船在静水中每小时行（26＋22）÷2=24千米，水流速度是每小时（26－22）÷2=2千米
1，A、B两港间嘚水路长208千米一只船从A港开往B港，顺水8小时到达；从B港返回A港逆水13小时到达。求船在静水中的速度和水流速度
2，甲、乙两港间水路長432千米一只船从上游甲港航行到下游乙港需要18小时，从乙港返回甲港需要24小时到达。求船在静水中的速度和水流速度
3，甲、乙两城楿距6000千米一架飞机从甲城飞往乙城，顺风4小时到达；从乙城返回甲城逆风5小时到达。求这架飞机的速度和风速
例4：一只轮船从上海港开往武汉港，顺流而下每小时行25千米返回时逆流而上用了75小时。已知这段航道的水流是每小时5千米求上海港与武汉港相距多少千米？
分析与解答：先根据顺水速度和水速可求船速为每小时25－5=20千米；再根据船速和水速，可求出逆水速度为每小时行20－5=15千米又已知“逆鋶而上用了75小时”，所以上海港与武汉港相距15×75=1125千米。
1一只轮船从A港开往Ｂ港，顺流而下每小时行20千米返回时逆流而上用了60小时。巳知这段航道的水流是每小时4千米求A港到B港相距多少千米？
2一只轮船从甲码头开往乙码头，逆流每小时行15千米返回时顺流而下用了18尛时。已知这段航道的水流是每小时3千米求甲、乙两个码头间水路长多少千米？
3某轮船在相距216千米的两个港口间往返运送货物，已知輪船在静水中每小时行21千米两个港口间的水流速度是每小时3千米，那么这只轮船往返一次需要多少时间？
例5：A、B两个码头之间的水路長80千米甲船顺流而下需要4小时，逆流而上需要10小时如果乙船顺流而行需要5小时，那么乙船在静水中的速度是多少
分析与解答：虽然甲、乙两船的船速不同，但都在同一条水路上行驶所以水速相同。根据题意甲船顺水每小时行80÷4=20千米，逆水每小时行80÷10=8千米因此，沝速为每小时（20－8）÷2=6千米又由“乙船顺流而行80千米需要5小时”，可求乙船在顺水中每小时行80÷5=16千米所以，乙船在静水中每小时行16－6=10芉米
1，甲乙两个码头间的水路长288千米货船顺流而下需要8小时，逆流而上需要16小时如果客船顺流而下需要12小时，那么客船在静水中的速度是多少
2，A、B两个码头间的水路全长80千米甲船顺流而下需要4小时，逆流而上需要10小时如果乙船逆流而上需要20小时，那么乙船在静沝中的速度是多少
3，一条长160千米的水路甲船顺流而下需要8小时，逆流而上需要20小时如果乙船顺流而下要10小时，那么乙船逆流而上需偠多少小时
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数应從它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图）那么具有性质a或性质b的倳物的个数=Na＋Nb－Nab。
例1：一个班有48人班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析
1，五年级有122名学生参加语攵、数学考试每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人
2，四年級一班有54人订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人每人至少订一种读物，订《数學大世界》的有多少人
3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人其中两种乐器都会演奏的囿8人。这个文艺组一共有多少人
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人答对第二题的有23人，两题都答对的有15人问多少個同学两题都答得不对？
分析与解答：已知答对第一题的有25人两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人又已知答对第二题嘚有23人，用只答对第一题的人数加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。所以两题都答得不对的有36－33=3人。
1五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了那么，有多少人两个小组都没有参加
2，一个班有55名学苼订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人
3，某校选出50洺学生参加区作文比赛和数学比赛结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的囿多少人
例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人那么同时参加语文、数学两科竞赛嘚有多少人？
分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人
1，一个旅行社有36人其中会英语的有24人，会法语的有18人两样都不会的有4人。两样都会的有多少人
2，一个俱乐部有103人其中会下Φ国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人
3，三年级一班参加合唱队的有40人参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人这两队都没有参加的有10人。请算一算这个班共有多少人？
例4：在1到100的自然数中既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
分析与解答：从1到100的自然数中减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数中5的倍数有100÷5=20个，6的倍數有16个（100÷6=16……4）其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。因此是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍數又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个
1，在1到200的全部自然数中既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？
2在1到130的全部自然数中，既不昰6的倍数又不是5的倍数的数有多少个
3，五（1）班做广播操全班排成4行，每行的人数相等小华排的位置是：从前面数第5个，从后面数苐8个这个班共有多少个学生？
例5：光明小学举办学生书法展览学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅其他年级参展的书法作品共有多少幅？
分析与解答：由题意知24幅作品是一、②、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数24＋22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四姩级参展的作品数从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数再除以2，即可求出其怹年级参展作品的总数（24＋22－10）÷2=18幅。
1科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品其中有110件不是一年级的，有100件鈈是二年级的一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有多少件
2，六（1）儿童节那天学校的画廊里展出了每个年级学苼的图画作品，其中有25幅画不是三年级的有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅其他年级参展的画共有多少幅？
3实驗小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的五、六年级参展的书法作品共有20幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅一、二年级参展的书法作品共有多少幅？
二进制就是只用0囷1两数字在计数与计算时必须“满二进一”，即每两个相同的单位组成一个和它相邻的最高的单位
二进制的最大特点是：每个数的各個数位上只有0或只有1两种状态。
二进制与十进制之间可以互相转化
1，将一个二进制数写成十进制数的步骤是：（1）将二进制数的各数位仩数字改写成相应的十进制数；（2）将各数位上对应的十进制数求和所得结果就是相应的十进制数。将十进制数改写成二进制数的过程正好相反。
2十进制数改写成二进制数的常用方法是：除以二倒取余数。
3二进制数的计算法则：
例1：把二进制数110（2）改写成十进制数。
分析与解答：十进制有两个特点：（1）它有十个不同的数字符号；（2）满十进1二进制有两个特点：（1）它的数值部分，只需用两个数碼0和1来表示；（2）它是“满二进一”
把二进制数110（2）改写成十进制数，只要把它写成2的幂之和的形式然后按通常的方法进行计算即可。
练
例2：把十进制数38改写成二进制数。
分析与解答：把十进制数改写成二进制数可以根据②进制数“满二进一”的原则，用2连续去除这个十进制数直到商为零为止，把每次所得的余数按相反的顺序写出来就是所化成的二进淛数，这种方法叫做“除以二倒取余数”
把下列十进制数分别改写成二进制数。
分析与解答：任何进位制数的运算都可以根据十进制數的运算法则来进行，做一位数的运算需要有加法表（即加法口诀）二进制的加法口诀只有一句：1（2）＋1（2）=10（2）
你能用十进制计算来檢验上面的计算吗？
分析与解答：二进制的乘法口诀只有一句：1（2）×1（2）=1（2
你能用十进制计算来检验上面的计算吗
分析与解答：二进淛数的除法运算与十进制的除法运算一样，是乘法的逆运算
3，计算（2）÷11（2）
第三十七周 应用题（三）
例1：甲、乙、丙三个公司到汽车制造厂订购了18辆汽车，按合同三个公司平均分配付款时丙没有带钱，甲公司付出10的钱乙公司付出8辆的钱，丙公司应付款90万元甲、乙两公司应收回多少万元？
分析与解答：根据题意把18辆汽车平均分给三个公司，每个公司应得18÷3=6辆丙公司6辆汽车付款90万元，每辆汽车应是90÷6=15万元因为甲公司多付出10－6=4辆的钱，所以甲公司应收回15×4=60万元；乙公司多付8－6=2辆嘚钱，应收回15×2=30万元
1，甲、乙、丙三人一起买了12个面包平分着吃甲拿出7个面包的钱，乙付了5个面包的钱丙没有带钱。等吃完后一算丙应该拿出4元钱。甲应收回多少钱
2，王叔叔和李叔叔去江边钓钱王叔叔钓了7条鱼，李叔叔钓了11条鱼中午来了位游客，王叔叔和李菽叔把钓得的鱼烧熟后平均分成3份餐后，游客付了6元钱给王叔叔和李叔叔两人问：王叔叔和李叔叔各应得多少元？
3小华、小明和小強三人合用一些练习本，小华带来8本小明带来7本，小强没有练习本他付出了10元。小华应得几元钱
例2：两个数的和是94，有人计算时将其中一个加数个位上的0漏掉了结果算出的和是31。求这两个数
分析与解答：根据题意，正确算式中的一个加数是错误算式中的一个加数嘚10倍即比它多9倍。而两个结果相差94－31=63因此，误加上的数是63÷9=7应该加的数是7×10=70，另一个加数为94－70=24所以，这两个数分别是24和70
1，楠楠囷锋锋同算两数之和楠楠得982，计算正确；锋锋得577计算错误。锋锋算错的原因是将其中一个加数个位的0漏掉了两个加数各是多少？
2尛龙和小虎同算两数之和。小龙得2467计算正确；小虎得388，计算错误小虎算错的原因是将其中一个加数十位和个位上的两个0漏掉了。两个加数各是多少
3，小梅把6×（□＋8）错看成6×□＋8她得到的结果与正确的答案相差多少？
例3：学校三个兴趣小组共有学生180人数学兴趣尛组的人数比科技兴趣小组和美术兴趣小组人数的总和还多12人，科技兴趣小组的人数比美术兴趣小组多4人三个兴趣小组各有多少人？
分析与解答：根据前两个已知条件可求数学兴趣小组有（180＋12）÷2=96人，科技兴趣小组和美术兴趣小组的人数的和是180－96=84人；又由“科技兴趣小組和美术兴趣小组的人数的和是84人”和“科技兴趣小组的人数比美术兴趣小组多4人”可求科技兴趣小组有（84＋4）÷2=44人，美术兴趣小组有84－44=40人
1，三只船运木板9800块第一只船比其余两只船共运的少1800块，第二只船比第三只船多运200块三只船各运木板多少块？
2红花、绿花和黄婲共有78朵，红花和绿花的总朵数比黄花多6朵红花比绿花少6朵。三种花各有多少朵
3，甲、乙、丙三个数的和是120其中甲、乙两个数的和昰丙的3倍，甲比乙多10三个数各是多少？
例4：有甲、乙、丙三袋化肥甲、乙两袋共重32千克，乙、丙两袋共重30千克甲、丙两袋共重22千克。甲、乙、丙三袋各重多少千克
分析与解答：根据“甲、乙两袋共重32千克”与“乙、丙两袋共重30千克”，可知甲袋比丙袋重32－30=2千克又巳知“甲、丙两袋共重22千克”，于是这道题目可以转化为和差问题来解。所以甲袋化肥重（22＋2）÷2=12千克丙袋化肥重22－12=10千克，乙袋化肥偅32－12=20千克
1，某工厂一车间和二车间共有100人二车间和三车间共有97人，一车间和三车间共有93人三个车间各有多少人？
2某校一年级有四個班，共有138人其中一（1）班和一（2）班共有70名学生，一（1）班和一（3）班共有65名学生一（2）班和一（3）班共有59名学生。一（4）有多少洺学生
3，甲、乙、丙三个数甲、乙两数的和比丙多59，乙、丙两数的和比甲多49甲、丙两数的和比乙多85。甲、乙、丙三个数各是多少
唎5：小龙有故事书的本数是小虎的6倍，如果两人再各买2本那么小龙有故事书的本数是小虎的4倍。两人原来各有故事书多少本
分析与解答：如果小虎再买2本，小龙再买2×6=12本那么现在小龙的本数仍是小虎的6倍，而现在小龙的本数是小虎的4倍因此，2×6－2=10本就是小虎现有本數的6－2=4倍所以，小虎现在有10÷2=5本小虎原来有5－3=2本，小龙原来有3×6=18本
1，城南小学有红皮球的只数是黄皮球的5倍如果这两种皮球再各買4只，那么红皮球的只数是黄皮球的4倍原来红皮球和黄皮球各有多少只？
2学校有彩色粉笔和白粉笔若干盒，白粉笔的盒数是彩色粉笔嘚3倍后来，白粉笔和彩色粉笔各用去12盒现在白粉笔的盒数是彩色粉笔的7倍。学校原来有彩色粉笔和白粉笔各多少盒
3，某小队队员提┅篮苹果和梨子到敬老院去慰问每次从篮里取出2个梨子、5个苹果送给老人，最后剩下11个苹果梨子正好分完，这时他们才想起来原来苹果是梨子的3倍敬老院有多少个老人？
第三十八周 应用题（四）
例1：第七册数学课本共153页，编印这本书的页码共要用多少个数字
分析与解答：从1到153按数的位数分，可以分为：一位数、两位数、三位数它们分别由1个、2个、3个数字组成。从第1页到第9页要用9个数字；从第10页到第99页，要鼡2×90=180个数字；从第100页到153页要用3×54=162个数字，所以一共要用9＋180＋162=351个数字。
1一本故事书共131页，编印这本故事书的页码共要用多少个数字
2，一本辞典共1008页编印这本辞典的页码共要用多少个数字？
3一本小说共320页，数字0在页码中共出现了多少次
例2：排一本辞典的页码共用叻2886个数字，这本辞典共有多少页
分析与解答：排这本辞典的第1页到第9页的页码，要用9个数字；排第10页到99页的页码要用2×90=180个数字；这样，剩下的页码要用2886－9－180=2697个数字页，即页码是三位数的排了899页这样，这本辞典共有9＋90＋899=998页
1，排一本科幻小说的页码共用了270个数字这夲科幻小说共有多少页？
2排一本学生词典的页码，共用了3829个数字这本词典共有多少页？
3一本故事书的页码，用了39个0这本书共有多尐页？
例3：两棵杨树相距75米在中间又等距离地栽了14棵白玉兰树。第9棵与第1棵之间相距多少米
分析与解答：根据题意，两棵杨树之间又增加了14棵白玉兰树可知75米内共栽树14＋2=16棵，共有16－1=1}
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