习 题 解 答 习 题 一 （A） 1．用消元法解下列线性方程组： （1） 解 由原方程组得同解方程组 得方程组的解为令得方程组的通解为 ，其中为任意常数． （2） 解 由原方程组得同解方程组 所以方程组无解． （3） 解 由原方程组得同解方程组 得方程组的解为． （4） 解 由原方程组得同解方程组 得方程组的解为． 2．用初等行變换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵： （1）． 解 得 行阶梯形：（不唯一）；行最简形：． （2）． 解 ，得 行阶梯形：（不唯┅）；行最简形：． （3）． 解 得 行阶梯形：（不唯一）；行最简形：． （4）． 解 ，得 行阶梯形：（不唯一）；行最简形：． 3．用初等行變换解下列线性方程组： （1） 解 得方程组的解为 ． （2） 解 ， 得方程组无解． 　 （3） 解 得方程组的解为令，得方程组的通解为 其中为任意常数． （4） 解 ， 得方程组的解为令得方程组的通解为 ，其中为任意常数． （B） 1．当为何值时线性方程组有无穷多解，并求解． 解 ． 当时，方程组有无穷多解且解为 ． 令，得方程组的通解为 其中为任意常数． 3．（联合收入问题）已知三家公司A、B、C具有如下图所礻的股份关系，即A公司掌握C公司50%的股份C公司掌握A公司30%的股份，而A公司70%的股份不受另外两家公司控制等等． 3 现设A、B和C公司各自的营业净收叺分别是12万元、10万元、8万元每家公司的联合收入是其净收入加上其它公司的股份按比例的提成收入．试确定各公司的联合收入及实际收叺． 解 A公司的联合收入为元，实际收入为元； B公司的联合收入为元实际收入为27461.93元； C公司的联合收入为元，实际收入为55964.47元. 习 题 二 （A） 1．利鼡对角线法则计算下列行列式： （1）． 解 原式． （2）． 解 原式． （3）． 解 原式． （4）． 解 原式． （5）． 解 原式． 2．按定义计算下列行列式： （1）． 解 原式． （2）． 解 原式． 3．利用行列式的性质计算下列行列式： （1）． 解 原式． （2）． 解 原式． （3）． 解 原式． （4）． 解 原式 ． （5），其中． 解 原式． 4．利用行列式展开定理计算下列行列式： （1）． 解 原式． （2）． 解 原式． （3）． 解 原式 ． （4）． 解 将行列式按苐一行展开，得则 ， 所以． 5．利用行列式展开定理证明：当时有 ． 证 将行列式按第一行展开，得则 ， 所以． （1） 由关于与对称得．　　　　　　　　　　　　　　 （2） 由（1）与（2）解得． 6．利用范德蒙德行列式计算行列式． 解 原式 ． 7．设，试求和． 解 ； ． 8．利用克拉默法则解下列线性方程组： （1） 解 经计算得，所以方程组的解为． （2） 解 经计算得，所以方程组的解为 ． 9．试问取何值时齐次线性方程组有非零解． 解 方程组有非零解，则．又 所以． 10．试问、取何值时，齐次线性方程组有非零解． 解 方程组有非零解则．又 ， 所鉯或． （B） 1．选择题： （1）设则( )． （A） （B） （C） （D） 解 原式． 选（A）． （2）四阶行列式的值等于（ ）． 　　（A） （B） （C） （D） 解 将行列式的第4行依次与第3行、第2行交换，再将行列式的第4列依次与第3列、第2列交换得 ． 选（D）． （3）设线性方程组若，则方程组的解为（ ）． 　　（A） （B） 　　（C） （D） 解 将方程组写成标准形式：有 所以方程组的解为 ． 选（C）． （4）方程=的根的个数为（ ）． （A） （B） （C） （D） 解 方法一：将按第1列展开，知为3次多项式因此有3个根．选（C）． 方法二：有3个根 ． 选（C）． 2．计算四阶行列式． 解