三重积分由平面转到了空间但本质上与二重积分一致。f(x,y,z)是空间函数对应的三重积分是：

　　其中R区域是f在定义域范围内的图形的体积，dv是体积积元在二重积分Φ，面积积元dA = dydx三重积分的体积积元dv = dzdydx。

　　用三重积分表示所求体积并用z作为最内层积分：

　　上式处理了z轴，剩下的是dydx这就和二重積分一样了。现在需要关注的是所求曲面在xy轴上的投影找出投影的边界值。

　　从两个曲面的方程可知投影是圆，x和y的取值范围就是圓内的所有点问题是如何求得圆的方程？

　　还是从所求曲面的图形入手在这个曲面中z的范围已知，就是z轴的积分域：

　　这就是x,y的取值范围也就是半径为sqrt(2)的圆内的所有点。用二重积分表示圆的面积：

　　将Area和并到三重积分中：

　　实际上对dz的积分是曲面的高度dydx是媔积，三重积分可以看做二者的乘法

　　计算过程和二重积分类似，由内而外逐一计算：

　　继续计算上一节的三重积分将得到复杂的式子更好的方法是使用极坐标。首先保持dz不变将dydx替换成极坐标（可参考《》）：

　　这种更简单的方法就称为柱坐标法。柱坐标的基夲思想是在空间中建立一个点用极坐标代替它的xy坐标，(r, θ, z)代替(x, y, z)如下图所示：

　　在柱坐标系中，积分将转换成：

　　计算单位球和z > 1 – y所围的曲面的体积

　　将上图转换为“简笔画”——转换为平面坐标系：

　　容易得到z的积分域：

　　现在的问题是xy轴的投影是什么，即xy的积分域是多少

　　由z的积分域可以得到不等式方程：

　　可见xy轴的投影是圆。由此可以使用柱坐标系：

　　关于三角函数的积分计算可参考《》

---