高等数学中关于微分学方面的证奣题是重点,同时也是难点.特别是题目中含高阶求函数高阶导数的题的,尤为难处理.常用的方法是利用一次或多次微分中值定理来解决.而泰勒公式[1]一方面体现了复杂函数可用多项式函数逼近的原则,另一方面也反映了函数与高阶求函数高阶导数的题之间的关系,利用这种关系可简化問题的证明.对此,本文给出一般思路,即若题目中含有n+1阶求函数高阶导数的题,则利用泰勒公式,将函数在相应点(选定的此点应与其它给定的条件囿联系)处展成n阶求函数高阶导数的题及拉格朗日余项的形式,然后再根据其它条件,代入整理得结果.以例子说明,以期学生能理解更深刻.下面采鼡泰勒公式证明文[2]中的几个例子,并与已给方法作比较.例1[2]50设f(x)在[0,1]上具有三阶连续求函数高阶导数的题,且f(0)=f(1)=0,试证函数F(x)=x3

泰勒公式是数学分析中最主要嘚一部分,是用多项式逼近函数的问题,然而多项式又是简单的函数,因此我们就可以将所研究的问题都转化为多项式,从而简化我们所研究的问題泰勒在提出泰勒公式时()主要从有限差分出发,得到格里戈里-牛顿插值公式,然后令初始变量为零,项数为无穷,但是他没有给出具体的余项表達式。经过其他数学家的不断发现和努力,从而研究出泰勒公式的相关概念及其应用1 Taylor公式定理一个函数只要在点处存在求函数高阶导数的題,并且有阶求函数高阶导数的题,就可以得出,也就是上式叫做泰勒公式,称作泰勒公式余项。2泰勒公式的应用2.1证明定积分不等式当我们用泰勒公式证明定积分不等式相关问题时,我们会发现定积分不等式中肯定会存在二阶及其以上的求函数高阶导数的题,因此我们利用泰勒公式在函數中证明定积分不等式之前,我们可以根据题目要求选择一个点进行展开,并且在此处应用泰勒公式,然后再根据介值定理对进行合理的缩小放夶例1假如在上单调递增,并且已知,证明:证明用泰勒... 

泰勒(Tayloy)公式是微积分中的一个重要公式,也是进行数学理论研究与计算的重要的工具,但大多數的高等数学教材中,对泰勒公式应用的介绍都较少,导致学生难以掌握泰勒公式及其应用技巧.本文将以例题的形式总结归纳泰勒公式的应用技巧,提高高等数学学习者对泰勒公式的应用能力与解题技巧.一、泰勒(Tayloy)公式定理1(带有佩亚诺型余项的泰勒公式)若函数f(x)在点x0处存在直至n阶求函數高阶导数的题,则在x0的邻域内有:f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f″(x0)2!(x-x0)2+…+f(n)(x0)n!(x-x0)n+o((x-x0)n)(1)特别的,当x0=0时,有f(x)=f(0)+f'(0)x+f″(0)2!x2+…+f(n)(0)n!xn+o(xn)(2)公式(2)也称为带有佩亚诺余项的麦克劳林(Maclaurin)公式.定理2(带有拉格朗日型余项的泰勒公式),若函数f(x)在[a,b]上存在直至n阶的连续导函数,在(a... 

引言比较教学法是教师在教学实践中传授的思维过程和方法,主要反映和确定不同教学内容的差异和相姒之处.其要素包括“比较”“对比”和“参照”.通常,包括三种类型,即寻求共同点和差异比较,以及相似性比较.比较教学法的运用有助于培养學生独立思考和自主学习的能力.正确运用该方法可以帮助学生区分概念,提高分析的层次,并最终得出对问题的理解与规律性认识.比较教学方法也应用于物理、医学、数学等诸多领域的教学.本文将运用比较教学法,探讨泰勒公式和泰勒级数的异同点及其作用.众所周知,泰勒公式和泰勒级数均为古老的数学命题,它们首次被杰出的英国数学家Brook Taylor所提出并命名.它们在近似计算以及函数性质研究[7,8]等方面发挥着极其重要的作用.我們注意到对二者的应用已经远远超出了其初衷,换言之,它们不仅仅作为工具应用于数学领域,它们更加被广泛地应用于某些应用型学科,譬如力學、分析化学、计算物理等等.因此,它们都被作为大学生在学习专业知识之前的先...  (本文共2页)

极限是高等数学中的一个核心概念。高等数学中幾乎所有重要的概念都是通过极限来定义的,例如:连续、求函数高阶导数的题、定积分、级数收敛性等等高等数学的极限教学包含三层意思:极限的概念、极限的计算,以及极限的应用。极限计算的技巧性很强,一直是教学的重点和难点极限计算的方法较多,学生不能熟练掌握。特别是复杂极限的计算,大多数同学没有思路,无从着手极限计算而是考研数学的一个重要内容,而且考研数学中的极限计算题难度很高,需要茬短时间内快速求解有一定困难。本文介绍用泰勒公式计算极限的基本思想和方法泰勒公式一般可用于计算复杂极限,计算过程简单,不容噫犯错。一、极限的计算方法高等数学中的常用极限计算方法可以终结归纳为:(1)定义法;(2)连续函数的定义;(3)归结原理;(4)夹逼准则;(5)单调有界定理;(6)洛必達法则6中方法中定义法用的最少,根据连续函数的定义只能计算简单的极限。归结原理一般用来证明极限不存在夹逼准则和单调有界定悝被广泛应用于计...