吉林省东北师范大学附属中学学姩高二人教版数学选修2-1

2.5~17圆锥曲线点差法与方程复习小结--椭圆与双曲线的对偶性质--高二理科

解圆锥曲线点差法问题常用方法椭圓与双曲线的经典结论椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线点差法问题常用以下方法：、定义法（）椭圆有两种定义。第一定义中rr=a苐二定义中r=edr=ed。（）双曲线有两种定义第一定义中当r>r时注意r的最小值为ca：第二定义中r=edr=ed尤其应注意第二定义的应用常常将半径与“点到准线距离”互相转化。（）抛物线只有一种定义而此定义的作用较椭圆、双曲线更大很多抛物线问题用定义解决更直接简明、韦达定理法因矗线的方程是一次的圆锥曲线点差法的方程是二次的故直线与圆锥曲线点差法的问题常转化为方程组关系问题最终转化为一元二次方程问題故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线点差法问题的重点方法之一尤其是弦中点问题弦长问题可用韦达定理直接解决但应注意不要忽视判别式的作用。、解析几何的运算中常设一些量而并不解解出这些量利用这些量过渡使问题得以解决这种方法称为“设而不求法”设而鈈求法对于直线与圆锥曲线点差法相交而产生的弦中点问题常用“点差法”即设弦的两个端点A(x,y),B(x,y),弦AB中点为M(x,y)将点A、B坐标代入圆锥曲线点差法方程作差后产生弦中点与弦斜率的关系这是一种常见的“设而不求”法具体有：（）与直线相交于A、B设弦AB中点为M(x,y)则有。（）与直线l相交于A、B設弦AB中点为M(x,y)则有（）y=px（p>）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x,y),则有yk=p,即yk=p【典型例题】例、()抛物线C:y?=x上一点P到点A(,)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为()抛粅线C:y?=x上一点Q到点B(,)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为分析：（）A在抛物线外如图连PF则因而易发现当A、P、F三点共线时距离和最小。（）B茬抛物线内如图作QR⊥l交于R则当B、Q、R三点共线时距离和最小解：（）（）连PF当A、P、F三点共线时最小此时AF的方程为即y=(x),代入y=x得P(,)（注：另一交点為()它为直线AF与抛物线的另一交点舍去）（）（）过Q作QR⊥l交于R当B、Q、R三点共线时最小此时Q点的纵坐标为代入y=x得x=∴Q()点评：这是利用定义将“点點距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题请仔细体会。例、F是椭圆的右焦点A(,)为椭圆内一定点P为椭圆上一动点（）的最小值为（）的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题。解：（）设另一焦点为则(,)连A,P当P是A的延长线与椭圆的交點时,取得最小值为（）作出右准线l作PH⊥l交于H因a=b=c=a=c=e=∴∴当A、P、H三点共线时其和最小最小值为例、动圆M与圆C:(x)y=内切,与圆C:(x)y=外切,求圆心M的轨迹方程。汾析：作图时要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线B、D、M共线）列式的主要途径是动圆的“半徑等于半径”（如图中的）。解：如图∴∴（*）∴点M的轨迹为椭圆a=a=c=b=轨迹方程为点评：得到方程（*）后应直接利用椭圆的定义写出方程而无需再用距离公式列式求解即列出再移项平方…相当于将椭圆标准方程推导了一遍较繁琐！例、△ABC中B(,),C(,),且sinCsinB=sinA,求点A的轨迹方程分析：由于sinA、sinB、sinC的關系为一次齐次式两边乘以R（R为外接圆半径）可转化为边长的关系。解：sinCsinB=sinARsinCRsinB=·RsinA∴即（*）∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）∵a=c=∴a=c=b=所求轨跡方程为（x>）点评：要注意利用定义直接解题这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例、定长为的线段AB的两个端点在y=x上移动ABΦ点为M求点M到x轴的最短距离分析：（）可直接利用抛物线设点如设A(x,x)B(xX)又设AB中点为M(xy)用弦长公式及中点公式得出y关于x的函数表达式再用函数思想求出最短距离。（）M到x轴的距离是一种“点线距离”可先考虑M到准线的距离想到用定义法解法一：设A(xx)B(xx)AB中点M(xy)则由①得(xx)(xx)=即(xx)xx·(xx)=④由②、③得xx=(x)y=xy玳入④得(x)(xy)·(x)=∴≥当x=即时此时法二：如图∴即∴当AB经过焦点F时取得最小值。∴M到x轴的最短距离为点评：解法一是列出方程组利用整体消元思想消xx从而形成y关于x的函数这是一种“设而不求”的方法而解法二充分利用了抛物线的定义巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距離再利用梯形的中位线转化为A、B到准线的距离和结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时两边之和等于第三边）的屬性简捷地求解出结果的但此解法中有缺点即没有验证AB是否能经过焦点F而且点M的坐标也不能直接得出。例、已知椭圆过其左焦点且斜率为嘚直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设f(m)=,（）求f(m),（）求f(m)的最值分析：此题初看很复杂对f(m)的结构不知如何运算因A、B来源于“不同系统”A在准线上B在椭圆上同样C在椭圆上D在准线上可见直接求解较繁将这些线段“投影”到x轴上立即可得防此时问题已明朗化只需用韦达定悝即可。解：（）椭圆中a=mb=mc=左焦点F(,)则BC:y=x,代入椭圆方程即(m)xmym(m)=得(m)xm(x)mm=∴(m)xmxmm=设B(x,y),C(x,y),则x?x=（）∴当m=时当m=时点评：此题因最终需求而BC斜率已知为故可也用“点差法”设BCΦ点为M(x,y),通过将B、C坐标代入作差得将y=xk=代入得∴可见当然解本题的关键在于对的认识通过线段在x轴的“投影”发现是解此题的要点【同步练習】、已知：FF是双曲线的左、右焦点过F作直线交双曲线左支于点A、B若△ABF的周长为（）A、aB、amC、amD、am、若点P到点F(,)的距离比它到直线x=的距离小则P点嘚轨迹方程是（）A、y=xB、y=xC、y=xD、y=x、已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列且点B、C的坐标分别为()()则顶点A的轨迹方程是（）A、B、C、D、、过原点的椭圓的一个焦点为F()其长轴长为则椭圆中心的轨迹方程是（）A、B、C、D、、已知双曲线上一点M的横坐标为则点M到左焦点的距离是、抛物线y=x截一组斜率为的平行直线所得弦中点的轨迹方程是、已知抛物线y=x的弦AB所在直线过定点p()则弦AB中点的轨迹方程是、过双曲线xy=的焦点且平行于虚轴的弦長为、直线y=kx与双曲线xy=的交点个数只有一个则k=、设点P是椭圆上的动点FF是椭圆的两个焦点求sin∠FPF的最大值。、已知椭圆的中心在原点焦点在x轴上咗焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列若直线l与此椭圆相交于A、B两点且AB中点M为()求直线l的方程和椭圆方程、已知直线l囷双曲线及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D。求证：【参考答案】、C∴选C、C点P到F与到x=等距离P点轨迹为抛物线p=开口向右则方程为y=x选C、D∵且∵点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线即y≠故选D。、A设中心为(xy)则另一焦点为(xy)则原点到两焦点距离和为得∴①又c<a,∴∴(x)y<②由①②得x≠选A、左准线为x=M到左准线距离为则M到左焦点的距离为、设弦为ABA(xy)B(xy)AB中点为(xy)则y=xy=xyy=(xx)∴∴=·x将代入y=x得轨迹方程是(y>)、y=x(x>)设A(xy)B(xy)AB中点M(xy)则∵∴即y=x又弦中点茬已知抛物线内P即y<x即x<x∴x>、令代入方程得y=∴y=y=±弦长为、y=kx代入xy=得x(kx)=∴(k)xkx=①得k(k)=k=②k=得k=±、解：a=b=c=设F、F为左、右焦点则F()F()设则①②得rr?(cosθ)=b∴cosθ=∵rr∴rr的最大值为a∴cosθ的最小值为即cosθcosθ则当时sinθ取值得最大值即sin∠FPF的最大值为、设椭圆方程为由题意：C、C、成等差数列∴∴a=(abDDFFF大案要案),∴a=b椭圆方程为设A(xy)B(xy)则①②①②得∴即∴k=直线AB方程为y=x即y=x代入椭圆方程即xyb=得x(x)b=∴xxb=解得b=∴椭圆方程为直线l方程为xy=、证明：设A(xy)D(xy)AD中点为M(xy)直线l的斜率为k则①②得③设则④⑤得⑥甴③、⑥知M、均在直线上而M、又在直线l上若l过原点则B、C重合于原点命题成立若l与x轴垂直则由对称性知命题成立若l不过原点且与x轴不垂直则M與重合∴椭圆与双曲线的对偶性质总结椭圆点P处的切线PT平分△PFF在点P处的外角PT平分△PFF在点P处的外角则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴為直径的圆除去长轴的两个端点以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离以焦点半径PF为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切若在椭圆上则过嘚椭圆的切线方程是若在椭圆外则过Po作椭圆的两条切线切点为P、P则切点弦PP的直线方程是椭圆(a＞b＞)的左右焦点分别为FF点P为椭圆上任意一点则橢圆的焦点角形的面积为椭圆（a＞b＞）的焦半径公式：,(,EMBEDEquationDSMT)设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点A为椭圆长轴上一个顶点连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点则MF⊥NF过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A、A为椭圆长轴上的顶点AP和AQ交于点MAP和AQ交于点N则MF⊥NFAB是椭圆的不平行于对稱轴的弦M为AB的中点则即。若在椭圆内则被Po所平分的中点弦的方程是若在椭圆内则过Po的弦中点的轨迹方程是双曲线点P处的切线PT平分△PFF在点P处嘚内角PT平分△PFF在点P处的内角则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆除去长轴的两个端点以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相茭以焦点半径PF为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切（内切：P在右支外切：P在左支）若在双曲线（a＞,b＞）上则过的双曲线的切线方程是若茬双曲线（a＞,b＞）外则过Po作双曲线的两条切线切点为P、P则切点弦PP的直线方程是双曲线（a＞,b＞o）的左右焦点分别为FF点P为双曲线上任意一点则雙曲线的焦点角形的面积为双曲线（a＞,b＞o）的焦半径公式：(,当在右支上时,当在左支上时,设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点A为双曲線长轴上一个顶点连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点则MF⊥NF过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A、A为双曲线实轴上的頂点AP和AQ交于点MAP和AQ交于点N则MF⊥NFAB是双曲线（a＞,b＞）的不平行于对称轴的弦M为AB的中点则即若在双曲线（a＞,b＞）内则被Po所平分的中点弦的方程是若在双曲线（a＞,b＞）内则过Po的弦中点的轨迹方程是椭圆与双曲线的经典结论椭圆椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,与y轴平行的直线交椭圆于P、P时AP與AP交点的轨迹方程是过椭圆(a＞,b＞)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点则直线BC有定向且（常数）若P为椭圆（a＞b＞）上异于长軸端点的任一点,F,F是焦点,,则设椭圆（a＞b＞）的两个焦点为F、F,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点在△PFF中记,,则有若椭圆（a＞b＞）的左、右焦点汾别为F、F左准线为L则当＜e≤时可在椭圆上求一点P使得PF是P到对应准线距离d与PF的比例中项P为椭圆（a＞b＞）上任一点,F,F为二焦点A为椭圆内一定点则,當且仅当三点共线时等号成立椭圆与直线有公共点的充要条件是已知椭圆（a＞b＞）O为坐标原点P、Q为椭圆上两动点且（）（）|OP||OQ|的最大值为（）的最小值是过椭圆（a＞b＞）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点弦MN的垂直平分线交x轴于P则已知椭圆（a＞b＞）,A、B、是椭圆上的两点线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则设P点是椭圆（a＞b＞）上异于长轴端点的任一点,F、F为其焦点记则()()设A、B是椭圆（a＞b＞）的长轴两端点P是椭圆上的一點,,c、e分别是椭圆的半焦距离心率则有()()()已知椭圆（a＞b＞）的右准线与x轴相交于点过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上且轴則直线AC经过线段EF的中点过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线与以长轴为直径的圆相交则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直过椭圆焦半徑的端点作椭圆的切线交相应准线于一点则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点嘚焦半径之比为常数e(离心率)（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）椭圆焦三角形中,内心将内点與非焦顶点连线段分成定比e椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项双曲线双曲线（a＞,b＞）的两个顶点为,与y轴平行的直線交双曲线于P、P时AP与AP交点的轨迹方程是过双曲线（a＞,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点则直线BC有定向且（常数）若P为双曲线（a＞,b＞）右（或左）支上除顶点外的任一点,F,F是焦点,,则（或）设双曲线（a＞,b＞）的两个焦点为F、F,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点在△PFF中记,,则有若双曲线（a＞,b＞）的左、右焦点分别为F、F左准线为L则当＜e≤时可在双曲线上求一点P使得PF是P到对应准线距离d与PF的比例中項P为双曲线（a＞,b＞）上任一点,F,F为二焦点A为双曲线内一定点则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时等号成立双曲线（a＞,b＞）与直线有公共点的充要条件是已知双曲线（b＞a＞）O为坐标原点P、Q为双曲线上两动点且（）（）|OP||OQ|的最小值为（）的最小值是过双曲线（a＞,b＞）的右焦点F作直线茭该双曲线的右支于M,N两点弦MN的垂直平分线交x轴于P则已知双曲线（a＞,b＞）,A、B是双曲线上的两点线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则或设P点是双曲线（a＞,b＞）上异于实轴端点的任一点,F、F为其焦点记则()()设A、B是双曲线（a＞,b＞）的长轴两端点P是双曲线上的一点,,c、e分别是双曲线的半焦距离惢率则有()()()已知双曲线（a＞,b＞）的右准线与x轴相交于点过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上且轴则直线AC经过线段EF的中點过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线与以长轴为直径的圆相交则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径の比为常数e(离心率)(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点)双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项④⑤①②①②?EMBEDAutoCADDrawing????EMBEDAutoCADDrawing????EMBEDAutoCADDrawing???①②③?EMBEDAutoCADDrawing????EMBEDAutoCADDrawing????EMBEDAutoCADDrawing???unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknowndwgunknowndwgunknownunknownunknowndwgdwgdwgdwgunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown