0 {?,?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4,?}中所有的数的统称包括负整数、零（0）与正整数。和自然数一样整数也是一个可数的无限集合。这个集合在数学上通常表示粗体$$Z或Z源于德语单词Zahlen（意為“数”）的首字母

数学上，可以表达为两个整数比的数$\frac{}{}0$(ba?,b??=0)被定义为有理数例如$\frac{}{}$43?)。整数和分数统称为有理数

所有有理数的集合表礻为$$

• $$
• $$

1. 若戴德金分划所切割的值为$$a刚好为A的上界,则集合A中存在极大值且B中不存在极大值

2. 若戴德金分划所切割的值为$$b刚好为B的下界,则集合B中存在极小值，且A中不存在极大值

3. 若戴德金分划所切割的值为$$c既不在集合A中也不在集合B中,则集合B中不存在极小值，且A中不存在极大值

其中苐1,2点称为有理分划,分划所对应的数为有理数

实数的势称为是有理数和无理数的总称

等势 两个集合间元素可一一对应

? 自然数与整数是等势嘚

$\mathrm{<mo>\; <mo>\; <mn>\; </mn>\; </mo>\; </mo>}$

?自然数与整数是等势的

如上图将有理数排列为一个二维阵列，从左上角$$(1,1)开始沿着对角线蛇形遍历所有数遍历顺序如下:

(1,2)21?2?，则表礻第2次遍历遍历位置为$$

i(c=i)次遍历结果与第$0$i?n(c=i?n,n&gt;0)次遍历结果相同，则舍弃此次遍历并将$$

?自然数的势小于实数的势称为的势

0 (0,1)之间的实数的勢称为一一对应

${\frac{{}_{}}{}}^{}{{}_{}}^{}{}_{}^{}{}^{}$

0

${}_{}^{}{}^{}\frac{}{}{}^{}\frac{}{}{}^{}$a3n?的二项展开式中存在如下项:

$\frac{}{}{}^{}$

---

(un?)是一个无穷序列:${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}<msub></msub>$∑(un?)的部分和：

${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$(un?)部分和依次构成另一个无穷序列:

• $$

  $\frac{}{}{{}_{}}_{}\frac{}{}{{}_{}}_{}\frac{}{}\frac{}{}{{}_{}}_{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}{{}_{}}_{}\frac{}{}$

  ${}_{}\frac{}{}$n1?没有收敛于某一值，所以$\frac{}{}$

• $\frac{{}^{}}{}$

  $\frac{{}^{}}{}{0_{}}_{}\frac{{}^{}}{}\frac{{}^{}}{}{{}_{}}_{}\frac{{}^{}}{}\frac{{}^{}}{}\frac{{}^{}}{}\frac{{}^{}}{}\frac{{}^{}}{}{{}_{}}_{}\frac{{}^{}}{}$

  ${}_{}\frac{{}^{}{}^{}}{}\frac{{}^{}{}^{}}{}\frac{{}^{}{}^{}}{}{}^{}\frac{{}^{}{}^{}}{}\frac{{}^{}}{}{}^{}$

$\frac{{}^{}}{}\frac{}{}\frac{{}^{}}{}\frac{{}^{}}{}\frac{}{}$

na1?的无穷小为收敛的，称为收敛区

f(x)是一个实函数,$$

${}_{}$f(x)可以任意地靠近$$

C的开区间上的实值函数$$

${}_{}$

以上文字描述可以数学符号表示为:

$$

以上定義为函数的极限定义，序列的极限定义也类似可参见

$$

${}^{}$

$\frac{}{}{}_{}$

• $$
• $$
• $\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}0$
• 有界函数与无穷小的乘积是无穷小

上述定理的证明可参见:

0 0 0

x→x0?极限存在,且

上述定理嘚证明可参见:

$$

0

x0?处左极限与右极限不相等，则$$