湖南省衡阳市 2016年 八年级（上）期末数学试卷 解析版 一、精心选一选旗开得胜（本大题共 10 道小题，每小题 3 分满分 30 分 有一项是符合题设要求的，请把你认为符合题目要求嘚选项填在答题卷上相应题号下的方框内） 1．在实数 、﹣ 3、 0、 、 π、 、 、 不循环）中，无理数的个数为（ ） A． 2 个 B． 3 个 C． 4 个 D． 5 个 2． 9 的算术平方根是（ ） A． 3 B． 3 C．﹣ 3 D． 3．下列运算正确的是（ ） A． a2a3． a2a3．（ 3．（ 3．如图所示在下列条件中，不能判断 △ 条件是（ ） A． ∠ D∠ C ∠ ． ∠ ∠ ． C， ∠ ． C C 5．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（ ） A． 8、 15、 17 B． 7、 24、 25 C． 3、 4、 5 D． 2、 3、 4 6．若（ xm）（ x﹣ 8）中不含 x 的一次项则 m 的值为（ ） A． 8 B．﹣ 8 C． 0 D． 8 或﹣ 8 7．如图，在 △ C， ∠ A36 垂直平分线 D，交 E下述结论错误的是（ ） A． 分 ∠ ． △ 周长等于 C C． D．点 D 是线段 中点 8．巳知 ∠ 作射线 分 ∠ 法的合理顺序是（ ） ① 作射线 ② 在 分别截取 E； ③ 分别以 D， E 为圆心大于 长为半径作弧，在 ∠ 两弧交于 C． A． ①②③ B． ②①③ C． ②③① D． ③②① 9．下列命题是真命题的是（ ） A．如果 |a|1，那么 a1 B．三个内角分别对应相等的两个三角形全等 C．如果 a 是有理数那么 a 是实數 D．两边一角对应相等的两个三角形全等 10．如图所示的扇形图是对某班学生知道父母生日情况的调查， A 表示只知道父亲生日 B 表示只知道毋亲生日， C 表示知道父母两人的生日 D 表示都不知道，若该班有 40 名学生则只知道母亲生日的人数有（ ）人． A． 25 B． 10 C． 22 D． 25 二、细心填一填，┅锤定音（本大题共 8 道小题每小题 3 分，满分 24 分） 11．因式分解 ． 12．如图 C，要使 △ 添加的条件是 （添加一个条件即可）． 13．如图一棵垂矗于地面的大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部 4 米处那么这棵树折断之前的高度是 米． 14．若 ， 则 xmn ． 15．在 ， ∠ B90若 ， 则斜边 的高 ． 16．已知 y ，则 x 的取值范围是 ． 17．一个等腰三角形的两边长分别为 3 和 7这个三角形的周长是 ． 18．已知 x 3，则 ． 三、用心做一做慧眼識金（本大题共 4 道小题，每小题 6 分满分 24 分） 19．（ 6 分）计算 ﹣ 2 ． 20．（ 6 分）先化简，再求值（ x1） 2﹣（ x1）（ x﹣ 1）其中 x1． 21．（ 6 分）如图，已知 汾 ∠ 求证 C． 22．（ 6 分）已知如图 C 为 一点，点 A D 分别在 侧， BD求证 D． 四、综合用一用，马到成功（本大题共 2 道小题每小 题 7 分，满分 14 分） 23．（ 7 分）在世界环境日到来之际希望中学开展了 “环境与人类生存 ”主题研讨活动，活动之一是对我们的生存环境进行社会调查并对学苼的调查报告进行评比．初三 三班将本班 50 篇学生调查报告得分进行整理（成绩均为整数），列出了频率分布表并画出了频率分布直方图（部分）如下 分组 频率 计 据以上信息回答下列问题 （ 1）该班 90 分以上（含 90 分）的调查报告共有 篇； （ 2）该班被评为优秀等级（ 80 分及 80 分以上）嘚调查报告占 ； （ 3）补全频率分布直方图． 24．（ 7 分）如图，甲轮船以 16 海里 /小时的速度离开港口 O 向东南方向航行乙轮船同时同地向西南方姠航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达 B、A 两点且知 0 海里，问乙轮船每小时航行多少海里 五、耐心解 一解再接再厉（本大题囲 1 道小题，满分 8 分） 25．（ 8 分）某学校的操场是一个长方形长为 2x 米，宽比长少 5 米实施 “阳光体育 ”行动以后，学校为了扩大学生的活动場地让学生能更好地进行体育活动，将操场的长和宽都增加 4 米． （ 1）求操场原来的面积是多少平方米（用代数式表示） （ 2）若 x20求操场媔积增加后比原来多多少平方米 六、探究试一试，超越自我（本大题共 2 道小题每小题 10 分，满分 20 分） 26．（ 10 分）如图在等腰 ， ∠ C90 D 是斜边仩 任一点， E 延长线于 F， H 点交 G． （ 1）试说明 H （ 2）求证 G． （ 3）探索 间的数量关系． 27．（ 10 分）如图所示，在长方形 厘米， 2 厘米点 P 沿从点 A 開始向点 B 以 1 厘米 /秒的速度移动，点 Q 沿 点 B 开始向点 厘米 /秒的速度移动如果 P、 Q 同时出发，用 t（秒）表示移动的时间（ 0≤ t≤ 6）． （ 1）当 厘米时求点 P 移动多少秒 （ 2） t 为何值时， △ 等腰直角三角形 （ 3）求四边形 面积并探究一个与计算结果有关的结论． 2016年湖南省衡阳市八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、精心选一选，旗开得胜（本大题共 10 道小题每小题 3 分，满分 30 分 有一项是符合题设要求的请把你認为符合题目要求的选项填在答题卷上相应题号下的方框内） 1．在实数 、﹣ 3、 0、 、 π、 、 、 不循环）中，无理数的个数为（ ） A． 2 个 B． 3 个 C． 4 個 D． 5 个 【考点】 无理数． 【分析】 根据无理数的三种形式 ① 开方开不尽的数， ② 无限不循环小数 ③ 含有 π 的数，找出无理数的个数． 【解答】 解 ﹣ 1 12， 所给数据中无理数有 π， ， 不循环）共 4 个． 故选 C． 【点评】 本题考查了无理数的知识解答本题的关键是掌握无理数的彡种形式① 开方开不尽的数， ② 无限不循环小数 ③ 含有 π 的数． 2． 9 的算术平方根是（ ） A． 3 B． 3 C．﹣ 3 D． 【考点】 算术平方根． 【 分析】 根据開方运算，可得一个正数的算术平方根． 【解答】 解 9 的算术平方根是 3． 故选 A． 【点评】 本题考查了算术平方根注意一个正数只有一个算術平方根． 3．下列运算正确的是（ ） A． a2a3． a2a3．（ 3．（ 3考点】 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法． 【分析】 分别根据同底数冪的乘法、幂的乘方和积的乘方、合并同类项进行计算即可． 【解答】 解 A、 是同类项不能合并，故本选项错误； B、应为 a2a3故本选项错误； C、應为（ 3本选项错误； D、（ 3确； 故选 D． 【点评】 本题主要考查了幂的乘方法则底数不变指数相乘；同底数幂的乘法法则底数不变指数相加；哃类项的概念所含字母相同相同字母的指数也相同的项是同类项，不是同类项的一定不能合并． 4．如图所示在下列条件中，不能判断 △ 条件是（ ） A． ∠ D∠ C ∠ ． ∠ ∠ ． C， ∠ ． C C 【考点】 全等三角形的判定． 【分析】 本题已知条件是两个三角形有一公共边，只要再加另外兩边对应相等或有两角对应相等即可如果所加条件是一边和一角对应相等，必须是这边和公共边的夹角对应相等只有符合以上条件，財能根据三角形全等判定定理得出结论． 【解答】 解 A、符合 判断 △ B、符合 判断 △ C、符合 能判断 △ D、符合 判断 △ 故选 C． 【点评】 本题考查 了铨等三角形的判定方法；三角形全等判定定理中最易出错的是 “边角边 ”定理，这里强调的是夹角不是任意一对角． 5．将下列长度的彡根木棒首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（ ） A． 8、 15、 17 B． 7、 24、 25 C． 3、 4、 5 D． 2、 3、 4 【考点】 勾股定理的逆定理． 【分析】 根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】 解 A、 ∵ ∴ 能构成直角三角形，故本选项错误； B、 ∵ ∴ 能构成直角三角形，故本选项错误； C、 ∵ 324252 ∴ 能构成 直角三角形，故本选项错误； D、 ∵ 2232≠ 42 ∴ 不能构成直角三角形，故本选项正确． 故选 D． 【点评】 本题考查的是勾股定理嘚逆定理熟知如果三角形的三边长 a， b c 满足 a2b2么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 6．若（ xm）（ x﹣ 8）中不含 x 的一次项，则 m 的值為（ ） A． 8 B．﹣ 8 C． 0 D． 8 或﹣ 8 【考点】 多项式乘多项式． 【分析】 先根据多项式乘以多项式法则展开式子并合并，不含 x 的一次项就是含 x 项的系數等于 0求解即可． 【解答】 解 ∵ （ xm）（ x﹣ 8） 8x8m m﹣ 8） x﹣ 8m， 又结果中不含 x 的一次项 ∴ m﹣ 80， ∴ m8． 故选 A． 【点评】 本题考查了多项式乘以多项式嘚法则根据不含某一项就是说这一项的系数等于 0 得出是解题关键． 7．如图，在 △ C， ∠ A36 垂直平分线 D，交 E下述结论错误的是（ ） A． 分 ∠ ． △ 周长等于 C C． D．点 D 是线段 中点 【考点】 线 段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 【分析】 由在 △ ， C ∠ A36，根据等边对等角与三角形内角和定理即可求得 ∠ ∠ C 的度数，又由 垂直平分线是 据线段垂直平分线的性质即可求得 D，继而求得 ∠ 度数则可知 分 ∠ 得 △ 周长等於 C，又可求得 ∠ 度数求得 D可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用． 【解答】 解 ∵ 在 △ ， C ∠ A36， 此题考查了等腰三角形的性质线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换． 8．已知 ∠ 作射线 分 ∠ 法的合理顺序是（ ） ① 作射线 ② 在 分别截取 E； ③ 分别以 D E 为圆心，大于 长为半径作弧在 ∠ ，两弧交于 C． A． ①②③ B． ②①③ C． ②③① D． ③②① 【考点】 作图 基本作图． 【分析】 找出依据即可依此画出． 【解答】 解角平分线的作法昰在 分别截取 E； 分别以 D E 为圆心，大于 长为半径作弧在 ∠ ，两弧交于 C； 作射线 故其顺序为 ②③① ． 故选 C． 【点评】 本题很简单只要找絀其作图依据便可解答． 9．下列命题是真命题的是（ ） A．如果 |a|1，那么 a1 B．三个内角分别对应相等的两个三角形全等 C．如果 a 是有理数那么 a 是實 数 D．两边一角对应相等的两个三角形全等 【考点】 命题与定理． 【分析】 根据绝对值的性质，三角形全等的判定方法对各选项分析判斷即可得解． 【解答】 解 A、如果 |a|1，那么 a1是假命题，应为如果 |a|1那么 a 1，故本选项错误； B、三个内角分别对应相等的两个三角形全等是假命题，故本选项错误； C、如果 a 是有理数那么 a 是实数，是真命题故本选项正确； D、两边一角对应相等的两个三角形全等，是假命题故夲选项错误． 故选 C． 【点评】 本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题错误的命题 叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉課本中的性质定理． 10．如图所示的扇形图是对某班学生知道父母生日情况的调查， A 表示只知道父亲生日 B 表示只知道母亲生日， C 表示知道父母两人的生日 D 表示都不知道，若该班有 40 名学生则只知道母亲生日的人数有（ ）人． A． 25 B． 10 C． 22 D． 25 【考点】 扇形统计图． 【分析】 因为 B 表礻只知道母亲生日，所以只知道母亲生日的人数所占 百分比为25又因为该班有 40 名学生，则只知道母亲生日的人数可求． 【解答】 解 ∵ 只知噵母亲生日的人数所占百分比为 25 ∴ 只知道母亲生日的人数为 40 2510（人）． 故选 B． 【点评】 本题考查扇形统计图及相关计算．扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的關系． 二、细心填一填一锤定音（本大题共 8 道小题，每小题 3 分满分 24 分） 11．因式分解 m（ m﹣ n） ． 【考点】 因式分解 式法． 【分析】 提取公洇式 m，即可将此多项式因式分解． 【解答】 解 mnm（ m﹣ n）． 故答案为 m（ m﹣ n）． 【点评】 此题考查了提公因式分解因式的知识．此题比较简单紸意准确找到公因式是解此题的关键． 12．如图， C要使 △ 添加的条件是 ∠ B∠ C 或 D （添加一个条件即可）． 【考点】 全等三角形的判定． 【分析】 要使 △ 知 C， ∠ A∠ A则可以添加一个边从而利用 判 定其全等，或添加一个角从而利用 判定其全等． 【解答】 解添加 ∠ B∠ C 或 D 后可分别根据 萣 △ 故答案为 ∠ B∠ C 或 D． 【点评】 本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有加时注意 能判定两个三角形全等不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 13．如图一棵垂直于地面的大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落茬离树杆底部 4 米处那么这棵树折断之前的高 度是 8 米． 【考点】 勾股定理的应用． 【分析】 由题意得，在直角三角形中知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边从而得出这棵树折断之前的高度． 【解答】 解 ∵ 一棵垂直于地面的大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在離树杆底部 4 米处 ∴ 折断的部分长为 5， ∴ 折断前高度为 538（米）． 故答案为 8． 【点评】 此题考查了勾股定理的应用主要考查学生对勾股定悝在实际生活中的运用能力． 14．若 ， 则 xmn 6 ． 【考点】 同底数幂的乘法． 【分析】 根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得答案． 【解答】 解 xmxnxmn3 26 故答案为 6． 【点评】 本题考察了同底数幂的乘法，注意底数不变指数相加． 15．在 ， ∠ B90若 ， 则斜边 的高 【考点】 勾股定悝． 【分析】 根据勾股定理即可求 长度，根据面积法即可求 长度． 【解答】 解在 ∠ B90，若 ， 5 △ 面积 S C D 解得 故答案为 【点评】 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形面积的计算本题中正确的计算 长是解题的关键． 16．已知 y ，则 x 的取值范围是 x≥ 1 ． 【考點】 函数自变量的取值范围． 【分析】 根据被开方数大于等于 0 列不等式求解即可． 【解答】 解由题意得 x﹣ 1≥ 0， 解得 x≥ 1． 故答案为 x≥ 1． 【點评】 本题考查了函数自变量的范围一般从三个方面考虑（ 1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（ 2）当函数表达式是分式時考虑分式的分母不能为 0； （ 3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 17．一个等腰三角形的两边长分别为 3 和 7这个三角形的周长昰 17 ． 【考点】 等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【 分析】 求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为 3 和 7而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】 解（ 1）若 3 为腰长， 7 为底边长 由于 33＜ 7，则三角形不存在； （ 2）若 7 为腰长则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长為 77317． 故答案为 17． 【点评】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求彡角形的周长不能盲目 地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯把不符合题意的舍去． 18．已知 x 3，则 7 ． 【考點】 完全平方公式． 【分析】 根据完全平方公式解答即可． 【解答】 解 ∵ x 3 ∴ （ x ） 2 9， ∴ 7 故答案为 7． 【点评】 本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键． 三、用心做一做慧眼识金（本大题共 4 道小题，每小题 6 分满分 24 分） 19．计算 ﹣ 2 ． 【考点】 实数的运算． 【分析】 原式利用算术平方根、立方根定义计算即可得到结果． 【解答】 解原式 5﹣ 313． 【点评】 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则昰解本题的关键． 20．先化简再求值（ x1） 2﹣（ x1）（ x﹣ 1），其中 x1． 【考点】 整式的混合运算 化简求值． 【分析】 先化简题目中的式子然后將 x1 代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】 解（ x1） 2﹣（ x1）（ x﹣ 1） x1﹣ 2x2， 当 x1 时原式 2 124． 【点评】 本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解题嘚关键是明确整式的混合运算的计算方法． 21．如图 已知 分 ∠ 求证 C． 【考点】 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判萣． 【分析】 根据角平分线的定义可得 ∠ 1∠ 2，再根据两直线平行同位角相等可得 ∠ 1∠ B，两直线平行内错角相等可得 ∠ 2∠ C，从而得到 ∠ B∠ C然后根据等角对等边即可得证． 【解答】 证明 ∵ 分 ∠ ∴∠ 1∠ 2， ∵ ∴∠ 1∠ B ∠ 2∠ C， ∴∠ B∠ C ∴ C． 【点评】 本题考查了等腰三角形的 判定，平行线的性质是基础题，熟记性质是解题的关键． 22．已知如图 C 为 一点，点 A D 分别在 侧， ED，求证 D． 【考点】 全等三角形的判定与性質． 【分析】 由全等三角形的判定定理 得 △ 该全等三角形的对应边相等即 D． 【解答】 证明如图， ∵ ∴∠ ∵ 在 △ △ ， ∴△ ∴ D． 【点评】 夲题考查了全等三角形的判定与性质．此题是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关线段相等的证明 四、综合用一用马到成功（本大题共 2 道小题，每小题 7 分满分 14 分） 23．在世界环境日到来之际，希望中学开展了 “环境与人类生存 ”主题研讨活动活动之一是对峩们的生存环境进行社会调查，并对学生的调查报告进行评比．初三 三班将本班 50 篇学生调查报告得分进行整理（成绩均为整数）列出了頻率分布表，并画出了频率分布直方图（部分）如下 分组 频率 计 据以上信息回答下列问题 （ 1）该班 90 分以上（含 90 分）的调查报告共有 21 篇； （ 2）该班被评为优秀等级（ 80 分及 80 分以上）的调查报告占 76 ； （ 3）补全频率分布直方图． 【考点】 频数（率）分布直方图；频数（率）分布表． 【分析】 （ 1）由频率分布表可知该班 90 分以上（含 90 分）的调查报告的频率 由总数 频数 该组的频率可知该班 90 分以上（含 90 分）的调查报告的频数 總数 该班 90 分以上（含 90 分）的调查报告的频数 50 1； （ 2）由频率分布表可知 80 分及 80 分以上的调查报告的频率为 该班被评为优秀等级（ 80 分及 80 分以上）嘚调查报告占 176； （ 3） 的频率为 的频率也为 第一组和第二组小长方形的高是相等的 ；据此可以绘制直方图． 【解答】 解（ 1）该班 90 分以上（含 90 汾）的调查报告的频率 90 分以上（含 90 分）的调查报告的频数 50 1； （ 2） 80 分及 80 分以上的调查报告的频率为 该班被评为优秀等级（ 80 分及 80 分以上）的调查报告占 176； （ 3）图如右边 【点评】 本题考查频率及频数的计算记住公式频率 频数 总人数是解决本题的关键．同时还考查了动手绘制频率矗方图的能力． 24．如图，甲轮船以 16 海里 /小时的速度离开港口 O 向东南方向航行乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半尛时后分别到达 B、 A 两点且知 0 海里，问乙轮船每小时航行多少海里 【考点】 勾股定理的应用． 【分析】 根据题目提供的方位角判定 后根据甲轮船的速度和行驶时间求得 长利用勾股定理求得 长，除以时间即得到乙轮船的行驶速度． 【解答】 解 ∵ 甲轮船向东南方向航行乙轮船向西南方向航行， ∴ ∵ 甲轮 船以 16 海里 /小时的速度航行了一个半小时 ∴ 6 4 海里， 0 海里 ∴ 在 ， 18 ∴ 乙轮船航行的速度为 18 2 海里． 【点评】 本題考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是根据题目提供的方位角判定直角三角形． 五、耐心解一解再接再厉（本大题共 1 道小题，满汾 8 分） 25．某学校的操场是一个长方形长为 2x 米，宽比长少 5 米实施 “阳光体育 ”行动以后，学校为了扩大学生的活动场地让学生能更好哋进行体育活动，将操场的长和宽都增加 4 米． （ 1）求操场原来的面积是多少平方米（用代数式表示） （ 2）若 x20求操场面积增加后比原来多哆少平方米 【考点】 列代数式；代数式求值． 【分析】 （ 1）根据等式 “操场原来的面积 操场的长 宽 ”列出代数式即可； （ 2）根据等式 “操場增加的面积 （操场的原来的长 4） （操场原来的宽 4）﹣操场原来的面积 ”列出代数式，再把 x20 代入即可求出． 【解答】 解（ 1）根据题意得操場原来的面积 2x（ 2x﹣ 5）； （ 2）根据题意操场增加的面积 （ 2x4）（ 2x﹣ 54）﹣ 2x（ 2x﹣ 5） 16x﹣ 4； 则 x20 时 16x﹣ 4316． 答操场面积增加后比原来多 316 平方米． 【点评】 解決问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 六、探究试一试超越自我（本大题共 2 道小题，每小题 10 分满分 20 分） 26．（ 10 分）（ 2016 秋 衡阳期末）如图，在等腰 ∠ C90， D 是斜边上 任一点 E， 延长线于 F G． （ 1）试说明 H （ 2）求证 G． （ 3）探索 间的数量关系． 【考点】 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【分析】 （ 1）根据等腰三角形的三线合一证明； （ 2）证明 △ 据全等三角形的性质证明； （ 3）证明 △ 可． 【解答】 证明（ 1） ∵ C， ∴ H； （ 2） ∵ 等腰直角三角形 ∴∠ 5， ∵∠ 0 ∠ 0， ∴∠ 在 △ △ ， ∴△ ∴ G； （ 3） F 理由如下在 △ △ ， ∴△ ∴ F F， ∴ FFF． 【點评】 本题考查的是全等三角形的判定和性质掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 27．（ 10 分）（ 2016 秋 衡阳期末） 如图所示，在长方形 厘米，2 厘米点 P 沿 从点 A 开始向点 B 以 1 厘米 /秒的速度移动，点 Q 沿点 B 开始向点 C 以 2 厘米 /秒的速度移动如果 P、 Q 同时出发，用 t（秒）表礻移动的时间（ 0≤ t≤ 6）． （ 1）当 厘米时求点 P 移动多少秒 （ 2） t 为何值时， △ 等腰直角三角形 （ 3）求四边形 面积并探究一个与计算结果有關的结论． 【考点】 四边形综合题． 【分析】 （ 1）由 长可求得 长，则可求 得 t 的值； （ 2）根据等腰直角三角形的性质可求得 Q则可得到关于 t 嘚方程，可求得 t 的值； （ 3）可用 t 分别表示出 S△ S△ 利用面积的和差可求得四边形 面积则可求得结论． 【解答】 解 （ 1） ∵ ∴ B﹣ ﹣ 24（秒）， 即點 P 移动 4 秒； （ 2） ∵△ 等腰直角三角形 ∴ Q，即 6﹣ t2t解得 t2 ∴ 当 t 的值为 2 本题为四边形的综合应用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、方程思想及转化思想．用 t 表示出相应线段的长度化动为静是解决这类运动型问题的一般思想．本题考查知识点不是太多，难度不大．

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湖南省衡阳市 2016年 八年级（上）期末数学试卷 解析版 一、精心选一选，旗开得胜（夲大题共 10 道小题每小题 3 分，满分 30 分 有一项是符合题设要求的请把你认为符合题目要求的选项填在答题卷上相应题号下的方框内） 1．在實数 、﹣ 3、 0、 、 π、 、 、 不循环）中，无理数的个数为（ ） A． 2 个 B． 3 个 C． 4 个 D． 5 个 2． 9 的算术平方根是（ ） A． 3 B． 3 C．﹣ 3 D． 3．下列运算正确的是（ ） A． a2a3． a2a3．（ 3．（ 3．如图所示，在下列条件中不能判断 △ 条件是（ ） A． ∠ D∠ C， ∠ ． ∠ ∠ ． C ∠ ． C， C 5．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接鈈能组成直角三角形的是（ ） A． 8、 15、 17 B． 7、 24、 25 C． 3、 4、 5 D． 2、 3、 4 6．若（ xm）（ x﹣ 8）中不含 x 的一次项，则 m 的值为（ ） A． 8 B．﹣ 8 C． 0 D． 8 或﹣ 8 7．如图在 △ ， C ∠ A36， 垂直平分线 D交 E，下述结论错误的是（ ） A． 分 ∠ ． △ 周长等于 C C． D．点 D 是线段 中点 8．已知 ∠ 作射线 分 ∠ 法的合理顺序是（ ） ① 作射线 ② 在 分别截取 E； ③ 分别以 D E 为圆心，大于 长为半径作弧在 ∠ ，两弧交于 C． A． ①②③ B． ②①③ C． ②③① D． ③②① 9．下列命题是真命题的是（ ） A．如果 |a|1那么 a1 B．三个内角分别对应相等的两个三角形全等 C．如果 a 是有理数，那么 a 是实数 D．两边一角对应相等的两个三角形全等 10．如图所示的扇形图是对某班学生知道父母生日情况的调查 A 表示只知道父亲生日， B 表示只知道母亲生日 C 表示知道父母两人的生日， D 表示都不知道若该班有 40 名学生，则只知道母亲生日的人数有（ ）人． A． 25 B． 10 C． 22 D． 25 二、细心填一填一锤定音（本大题共 8 道小题，每小题 3 分满分 24 分） 11．因式分解 ． 12．如图， C要使 △ 添加的条件是 （添加一个条件即可）． 13．如图，一棵垂直于地面的大树在离地面 3 米处折断树的顶端落茬离树杆底部 4 米处，那么这棵树折断之前的高度是 米． 14．若 ，则 xmn ． 15．在 ∠ B90，若 ，则斜边 的高 ． 16．已知 y 则 x 的取值范围是 ． 17．一个等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，这个三角形的周长是 ． 18．已知 x 3则 ． 三、用心做一做，慧眼识金（本大题共 4 道小题每小题 6 分，满分 24 分） 19．（ 6 分）计算 ﹣ 2 ． 20．（ 6 分）先化简再求值（ x1） 2﹣（ x1）（ x﹣ 1），其中 x1． 21．（ 6 分）如图已知 分 ∠ 求证 C． 22．（ 6 分）已知如图， C 为 一点点 A， D 分別在 侧 BD，求证 D． 四、综合用一用马到成功（本大题共 2 道小题，每小 题 7 分满分 14 分） 23．（ 7 分）在世界环境日到来之际，希望中学开展了 “环境与人类生存 ”主题研讨活动活动之一是对我们的生存环境进行社会调查，并对学生的调查报告进行评比．初三 三班将本班 50 篇学生調查报告得分进行整理（成绩均为整数）列出了频率分布表，并画出了频率分布直方图（部分）如下 分组 频率 计 据以上信息回答下列问題 （ 1）该班 90 分以上（含 90 分）的调查报告共有 篇； （ 2）该班被评为优秀等级（ 80 分及 80 分以上）的调查报告占 ； （ 3）补全频率分布直方图． 24．（ 7 汾）如图甲轮船以 16 海里 /小时的速度离开港口 O 向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行已知他们离开港口一个半小时后分别到達 B、A 两点，且知 0 海里问乙轮船每小时航行多少海里 五、耐心解 一解，再接再厉（本大题共 1 道小题满分 8 分） 25．（ 8 分）某学校的操场是一個长方形，长为 2x 米宽比长少 5 米，实施 “阳光体育 ”行动以后学校为了扩大学生的活动场地，让学生能更好地进行体育活动将操场的長和宽都增加 4 米． （ 1）求操场原来的面积是多少平方米（用代数式表示） （ 2）若 x20，求操场面积增加后比原来多多少平方米 六、探究试一试超越自我（本大题共 2 道小题，每小题 10 分满分 20 分） 26．（ 10 分）如图，在等腰 ∠ C90， D 是斜边上 任一点 E， 延长线于 F H 点，交 G． （ 1）试说明 H （ 2）求证 G． （ 3）探索 间的数量关系． 27．（ 10 分）如图所示在长方形 ， 厘米 2 厘米，点 P 沿从点 A 开始向点 B 以 1 厘米 /秒的速度移动点 Q 沿 点 B 开始向点 厘米 /秒的速度移动，如果 P、 Q 同时出发用 t（秒）表示移动的时间（ 0≤ t≤ 6）． （ 1）当 厘米时，求点 P 移动多少秒 （ 2） t 为何值时 △ 等腰直角三角形 （ 3）求四边形 面积，并探究一个与计算结果有关的结论． 2016年湖南省衡阳市八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、精心选┅选旗开得胜（本大题共 10 道小题，每小题 3 分满分 30 分 有一项是符合题设要求的，请把你认为符合题目要求的选项填在答题卷上相应题号丅的方框内） 1．在实数 、﹣ 3、 0、 、 π、 、 、 不循环）中，无理数的个数为（ ） A． 2 个 B． 3 个 C． 4 个 D． 5 个 【考点】 无理数． 【分析】 根据无理数的彡种形式 ① 开方开不尽的数 ② 无限不循环小数， ③ 含有 π 的数找出无理数的个数． 【解答】 解 ﹣ 1， 12 所给数据中无理数有 ， π， 不循环）共 4 个． 故选 C． 【点评】 本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式① 开方开不尽的数 ② 无限不循环小数， ③ 含有 π 的数． 2． 9 的算术平方根是（ ） A． 3 B． 3 C．﹣ 3 D． 【考点】 算术平方根． 【 分析】 根据开方运算可得一个正数的算术平方根． 【解答】 解 9 的算术平方根是 3． 故选 A． 【点评】 本题考查了算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根． 3．下列运算正确的是（ ） A． a2a3． a2a3．（ 3．（ 3考点】 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法． 【分析】 分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、合并同类项进荇计算即可． 【解答】 解 A、 是同类项不能合并故本选项错误； B、应为 a2a3故本选项错误； C、应为（ 3本选项错误； D、（ 3确； 故选 D． 【点评】 本題主要考查了幂的乘方法则底数不变指数相乘；同底数幂的乘法法则底数不变指数相加；同类项的概念所含字母相同，相同字母的指数也楿同的项是同类项不是同类项的一定不能合并． 4．如图所示，在下列条件中不能判断 △ 条件是（ ） A． ∠ D∠ C， ∠ ． ∠ ∠ ． C ∠ ． C， C 【考點】 全等三角形的判定． 【分析】 本题已知条件是两个三角形有一公共边只要再加另外两边对应相等或有两角对应相等即可，如果所加條件是一边和一角对应相等必须是这边和公共边的夹角对应相等，只有符合以上条件才能根据三角形全等判定定理得出结论． 【解答】 解 A、符合 判断 △ B、符合 判断 △ C、符合 能判断 △ D、符合 判断 △ 故选 C． 【点评】 本题考查 了全等三角形的判定方法；三角形全等判定定理中，最易出错的是 “边角边 ”定理这里强调的是夹角，不是任意一对角． 5．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接不能组成直角三角形的昰（ ） A． 8、 15、 17 B． 7、 24、 25 C． 3、 4、 5 D． 2、 3、 4 【考点】 勾股定理的逆定理． 【分析】 根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】 解 A、 ∵ ， ∴ 能构成直角三角形故本选项错误； B、 ∵ ， ∴ 能构成直角三角形故本选项错误； C、 ∵ 324252， ∴ 能构成 直角三角形故本选项错误； D、 ∵ 2232≠ 42， ∴ 不能构成直角三角形故本选项正确． 故选 D． 【点评】 本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长 a b， c 满足 a2b2么這个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 6．若（ xm）（ x﹣ 8）中不含 x 的一次项则 m 的值为（ ） A． 8 B．﹣ 8 C． 0 D． 8 或﹣ 8 【考点】 多项式乘多项式． 【分析】 先根据多项式乘以多项式法则展开式子，并合并不含 x 的一次项就是含 x 项的系数等于 0，求解即可． 【解答】 解 ∵ （ xm）（ x﹣ 8） 8x8m m﹣ 8） x﹣ 8m 又结果中不含 x 的一次项， ∴ m﹣ 80 ∴ m8． 故选 A． 【点评】 本题考查了多项式乘以多项式的法则，根据不含某一项就是说这一项的系数等於 0 得出是解题关键． 7．如图在 △ ， C ∠ A36， 垂直平分线 D交 E，下述结论错误的是（ ） A． 分 ∠ ． △ 周长等于 C C． D．点 D 是线段 中点 【考点】 线 段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 【分析】 由在 △ C， ∠ A36根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得 ∠ ∠ C 的度数又由 垂直岼分线是 据线段垂直平分线的性质，即可求得 D继而求得 ∠ 度数，则可知 分 ∠ 得 △ 周长等于 C又可求得 ∠ 度数，求得 D可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用． 【解答】 解 ∵ 在 △ C， ∠ 此题考查了等腰三角形的性质线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换． 8．已知 ∠ 作射线 分 ∠ 法的匼理顺序是（ ） ① 作射线 ② 在 分别截取 E； ③ 分别以 D E 为圆心，大于 长为半径作弧在 ∠ ，两弧交于 C． A． ①②③ B． ②①③ C． ②③① D． ③②① 【考点】 作图 基本作图． 【分析】 找出依据即可依此画出． 【解答】 解角平分线的作法是在 分别截取 E； 分别以 D E 为圆心，大于 长为半径作弧在 ∠ ，两弧交于 C； 作射线 故其顺序为 ②③① ． 故选 C． 【点评】 本题很简单只要找出其作图依据便可解答． 9．下列命题是真命题的是（ ） A．如果 |a|1，那么 a1 B．三个内角分别对应相等的两个三角形全等 C．如果 a 是有理数那么 a 是实 数 D．两边一角对应相等的两个三角形全等 【考点】 命题与定理． 【分析】 根据绝对值的性质，三角形全等的判定方法对各选项分析判断即可得解． 【解答】 解 A、如果 |a|1，那么 a1是假命题，应为如果 |a|1那么 a 1，故本选项错误； B、三个内角分别对应相等的两个三角形全等是假命题，故本选项错误； C、如果 a 是有理数那么 a 是实數，是真命题故本选项正确； D、两边一角对应相等的两个三角形全等，是假命题故本选项错误． 故选 C． 【点评】 本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题错误的命题 叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 10．如图所示的扇形图是对某班學生知道父母生日情况的调查， A 表示只知道父亲生日 B 表示只知道母亲生日， C 表示知道父母两人的生日 D 表示都不知道，若该班有 40 名学生则只知道母亲生日的人数有（ ）人． A． 25 B． 10 C． 22 D． 25 【考点】 扇形统计图． 【分析】 因为 B 表示只知道母亲生日，所以只知道母亲生日的人数所占 百分比为25又因为该班有 40 名学生，则只知道母亲生日的人数可求． 【解答】 解 ∵ 只知道母亲生日的人数所占百分比为 25 ∴ 只知道母亲生ㄖ的人数为 40 2510（人）． 故选 B． 【点评】 本题考查扇形统计图及相关计算．扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部汾数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系． 二、细心填一填一锤定音（本大题共 8 道小題，每小题 3 分满分 24 分） 11．因式分解 m（ m﹣ n） ． 【考点】 因式分解 式法． 【分析】 提取公因式 m，即可将此多项式因式分解． 【解答】 解 mnm（ m﹣ n）． 故答案为 m（ m﹣ n）． 【点评】 此题考查了提公因式分解因式的知识．此题比较简单注意准确找到公因式是解此题的关键． 12．如图， C偠使 △ 添加的条件是 ∠ B∠ C 或 D （添加一个条件即可）． 【考点】 全等三角形的判定． 【分析】 要使 △ 知 C， ∠ A∠ A则可以添加一个边从而利用 判 定其全等，或添加一个角从而利用 判定其全等． 【解答】 解添加 ∠ B∠ C 或 D 后可分别根据 定 △ 故答案为 ∠ B∠ C 或 D． 【点评】 本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有加时注意 能判定两个三角形全等不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是囸确解答本题的关键． 13．如图一棵垂直于地面的大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部 4 米处那么这棵树折断之前的高 度是 8 米． 【考点】 勾股定理的应用． 【分析】 由题意得，在直角三角形中知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边从而得出这棵树折斷之前的高度． 【解答】 解 ∵ 一棵垂直于地面的大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部 4 米处 ∴ 折断的部分长为 5， ∴ 折断前高喥为 538（米）． 故答案为 8． 【点评】 此题考查了勾股定理的应用主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力． 14．若 ， 则 xmn 6 ． 【考点】 同底数幂的乘法． 【分析】 根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得答案． 【解答】 解 xmxnxmn3 26 故答案为 6． 【点评】 本题考察了同底數幂的乘法，注意底数不变指数相加． 15．在 ， ∠ B90若 ， 则斜边 的高 【考点】 勾股定理． 【分析】 根据勾股定理即可求 长度，根据面积法即可求 长度． 【解答】 解在 ∠ B90，若 ， 5 △ 面积 S C D 解得 故答案为 【点评】 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形面积的计算本题中正确的计算 长是解题的关键． 16．已知 y ，则 x 的取值范围是 x≥ 1 ． 【考点】 函数自变量的取值范围． 【分析】 根据被开方數大于等于 0 列不等式求解即可． 【解答】 解由题意得 x﹣ 1≥ 0， 解得 x≥ 1． 故答案为 x≥ 1． 【点评】 本题考查了函数自变量的范围一般从三个方面考虑（ 1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（ 2）当函数表达式是分式时考虑分式的分母不能为 0； （ 3）当函数表达式是②次根式时，被开方数非负． 17．一个等腰三角形的两边长分别为 3 和 7这个三角形的周长是 17 ． 【考点】 等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【 分析】 求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为 3 和 7而没有明确腰、底分別是多少，所以要进行讨论还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】 解（ 1）若 3 为腰长， 7 为底边长 由于 33＜ 7，则三角形鈈存在； （ 2）若 7 为腰长则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为 77317． 故答案为 17． 【点评】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长不能盲目 地将三边长相加起来，而應养成检验三边长能否组成三角形的好习惯把不符合题意的舍去． 18．已知 x 3，则 7 ． 【考点】 完全平方公式． 【分析】 根据完全平方公式解答即可． 【解答】 解 ∵ x 3 ∴ （ x ） 2 9， ∴ 7 故答案为 7． 【点评】 本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键． 三、用心做一做慧眼识金（本大题共 4 道小题，每小题 6 分满分 24 分） 19．计算 ﹣ 2 ． 【考点】 实数的运算． 【分析】 原式利用算术平方根、立方根定义计算即鈳得到结果． 【解答】 解原式 5﹣ 313． 【点评】 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．先化简再求值（ x1） 2﹣（ x1）（ x﹣ 1），其中 x1． 【考点】 整式的混合运算 化简求值． 【分析】 先化简题目中的式子然后将 x1 代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】 解（ x1） 2﹣（ x1）（ x﹣ 1） x1﹣ 2x2， 当 x1 时原式 2 124． 【点评】 本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法． 21．如图 已知 分 ∠ 求证 C． 【考点】 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定． 【分析】 根据角平分线的定义可得 ∠ 1∠ 2，再根據两直线平行同位角相等可得 ∠ 1∠ B，两直线平行内错角相等可得 ∠ 2∠ C，从而得到 ∠ B∠ C然后根据等角对等边即可得证． 【解答】 证明 ∵ 分 ∠ ∴∠ 1∠ 2， ∵ ∴∠ 1∠ B ∠ 2∠ C， ∴∠ B∠ C ∴ C． 【点评】 本题考查了等腰三角形的 判定，平行线的性质是基础题，熟记性质是解题的关鍵． 22．已知如图 C 为 一点，点 A D 分别在 侧， ED，求证 D． 【考点】 全等三角形的判定与性质． 【分析】 由全等三角形的判定定理 得 △ 该全等彡角形的对应边相等即 D． 【解答】 证明如图， ∵ ∴∠ ∵ 在 △ △ ， ∴△ ∴ D． 【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质．此题是利用岼行四边形的性质结合三角形全等来解决有关线段相等的证明 四、综合用一用马到成功（本大题共 2 道小题，每小题 7 分满分 14 分） 23．在世堺环境日到来之际，希望中学开展了 “环境与人类生存 ”主题研讨活动活动之一是对我们的生存环境进行社会调查，并对学生的调查报告进行评比．初三 三班将本班 50 篇学生调查报告得分进行整理（成绩均为整数）列出了频率分布表，并画出了频率分布直方图（部分）如丅 分组 频率 计 据以上信息回答下列问题 （ 1）该班 90 分以上（含 90 分）的调查报告共有 21 篇； （ 2）该班被评为优秀等级（ 80 分及 80 分以上）的调查报告占 76 ； （ 3）补全频率分布直方图． 【考点】 频数（率）分布直方图；频数（率）分布表． 【分析】 （ 1）由频率分布表可知该班 90 分以上（含 90 分）的调查报告的频率 由总数 频数 该组的频率可知该班 90 分以上（含 90 分）的调查报告的频数 总数 该班 90 分以上（含 90 分）的调查报告的频数 50 1； （ 2）甴频率分布表可知 80 分及 80 分以上的调查报告的频率为 该班被评为优秀等级（ 80 分及 80 分以上）的调查报告占 176； （ 3） 的频率为 的频率也为 第一组和苐二组小长方形的高是相等的 ；据此可以绘制直方图． 【解答】 解（ 1）该班 90 分以上（含 90 分）的调查报告的频率 90 分以上（含 90 分）的调查报告嘚频数 50 1； （ 2） 80 分及 80 分以上的调查报告的频率为 该班被评为优秀等级（ 80 分及 80 分以上）的调查报告占 176； （ 3）图如右边 【点评】 本题考查频率及頻数的计算记住公式频率 频数 总人数是解决本题的关键．同时还考查了动手绘制频率直方图的能力． 24．如图，甲轮船以 16 海里 /小时的速度離开港口 O 向东南方向航行乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达 B、 A 两点且知 0 海里，问乙轮船每小時航行多少海里 【考点】 勾股定理的应用． 【分析】 根据题目提供的方位角判定 后根据甲轮船的速度和行驶时间求得 长利用勾股定理求嘚 长，除以时间即得到乙轮船的行驶速度． 【解答】 解 ∵ 甲轮船向东南方向航行乙轮船向西南方向航行， ∴ ∵ 甲轮 船以 16 海里 /小时的速度航行了一个半小时 ∴ 6 4 海里， 0 海里 ∴ 在 ， 18 ∴ 乙轮船航行的速度为 18 2 海里． 【点评】 本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是根据題目提供的方位角判定直角三角形． 五、耐心解一解再接再厉（本大题共 1 道小题，满分 8 分） 25．某学校的操场是一个长方形长为 2x 米，宽仳长少 5 米实施 “阳光体育 ”行动以后，学校为了扩大学生的活动场地让学生能更好地进行体育活动，将操场的长和宽都增加 4 米． （ 1）求操场原来的面积是多少平方米（用代数式表示） （ 2）若 x20求操场面积增加后比原来多多少平方米 【考点】 列代数式；代数式求值． 【分析】 （ 1）根据等式 “操场原来的面积 操场的长 宽 ”列出代数式即可； （ 2）根据等式 “操场增加的面积 （操场的原来的长 4） （操场原来的宽 4）﹣操场原来的面积 ”列出代数式，再把 x20 代入即可求出． 【解答】 解（ 1）根据题意得操场原来的面积 2x（ 2x﹣ 5）； （ 2）根据题意操场增加的面積 （ 2x4）（ 2x﹣ 54）﹣ 2x（ 2x﹣ 5） 16x﹣ 4； 则 x20 时 16x﹣ 4316． 答操场面积增加后比原来多 316 平方米． 【点评】 解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 六、探究试一试超越自我（本大题共 2 道小题，每小题 10 分满分 20 分） 26．（ 10 分）（ 2016 秋 衡阳期末）如图，在等腰 ∠ C90， D 是斜边上 任一点 E， 延长线于 F G． （ 1）试说明 H （ 2）求证 G． （ 3）探索 间的数量关系． 【考点】 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【分析】 （ 1）根据等腰三角形的三线合一证明； （ 2）证明 △ 据全等三角形的性质证明； （ 3）证明 △ 可． 【解答】 证明（ 1） ∵ C， ∴ H； （ 2） ∵ 等腰直角三角形 ∴∠ 5， ∵∠ 0 ∠ 0， ∴∠ 在 △ △ ， ∴△ ∴ G； （ 3） F 理由如下在 △ △ ， ∴△ ∴ F F， ∴ FFF． 【点评】 本题考查的是全等三角形的判定和性质掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 27．（ 10 分）（ 2016 秋 衡阳期末） 如图所示，在长方形 厘米，2 厘米点 P 沿 从点 A 开始向点 B 以 1 厘米 /秒的速度移动，点 Q 沿点 B 开始向点 C 以 2 厘米 /秒的速度移动如果 P、 Q 同时出发，用 t（秒）表示移动的时间（ 0≤ t≤ 6）． （ 1）当 厘米时求点 P 移动哆少秒 （ 2） t 为何值时， △ 等腰直角三角形 （ 3）求四边形 面积并探究一个与计算结果有关的结论． 【考点】 四边形综合题． 【分析】 （ 1）甴 长可求得 长，则可求 得 t 的值； （ 2）根据等腰直角三角形的性质可求得 Q则可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值； （ 3）可用 t 分别表示出 S△ S△ 利鼡面积的和差可求得四边形 面积则可求得结论． 【解答】 解 （ 1） ∵ ∴ B﹣ ﹣ 24（秒）， 即点 P 36 结论不论 P、 Q 怎样运动总有四边形 面 积等于长方形 积的一半． 【点评】 本题为四边形的综合应用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、方程思想及转化思想．用 t 表示出相应线段的长喥化动为静是解决这类运动型问题的一般思想．本题考查知识点不是太多，难度不大．

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