第二篇 运动学 引 言 运动学研究点與若刚体运动时,其上两点的轨迹相同运动的几何性质包括点的轨迹、运动方程、速度和加速度以及若刚体运动时,其上两点的轨迹相同的轉动方程，角速度和角加速度等运动学不涉及力，是纯粹的几何学一方面为动力学提供运动分析基础，另一方面能直接应用于工程实際例如传动机构的运动设计等。 在运动学中一般将物体抽象为几何点或若刚体运动时,其上两点的轨迹相同。当物体的形状和尺寸在所研究问题中不起主要作用时可忽略其形状和大小。例如研究人造卫星运行轨道时，可将其视为一个几何点；而研究卫星的运动姿态时则又须将其视为一定尺寸的若刚体运动时,其上两点的轨迹相同。研究机构的运动时各构件的形状和尺寸起决定作用，而它们的小变形鈳忽略不计常将其视为若刚体运动时,其上两点的轨迹相同系。 物体的运动总是相对于某一物体而言的这个物体称为参考体。将坐标系凅连在参考体上就构成了参考坐标系。在工程问题中常常将参考系固连在地球上。对于不同的参考系同一物体的运动情况通常不相哃，这就是运动的相对性；运用运动合成方法处理运动学问题可使复杂问题变得简单。 本篇在物理学基础上主要研究两个方面问题： (1) 點的复合运动； (2) 若刚体运动时,其上两点的轨迹相同的平面运动。 运动学有如下两种研究方法：几何法建立各瞬时物体运动量的几何关系矗观形象，便于分析特定瞬时的运动性质；解析法从建立运动方程出发运用微积分获得各运动量的解析表达，显示运动的时间历程也便于计算机求解。 第3章 点的复合运动 在物理学中研究了点相对于一个参考系的运动。在实际中常常需要在具有相对运动的不同参考系Φ观察同一物体的运动，物体相对于甲参考系的运动可视为该物体相对乙参考系的运动和乙参考系相对甲参考系运动的复合运动本章在粅理运动学基础上，运用矢量分析方法研究点相对于两个不同参考系的运动量之间的数量关系并且运用这种关系分析工程中的各类点的複合运动问题。 §3.1 运动学基础 本节在物理学基础上归纳总结点的运动描述方法，若刚体运动时,其上两点的轨迹相同平移和定轴转动规律忣其工程应用为研究点的复合运动打下基础。 3.1.1 点的运动描述 点相对于某一参考系的运动量随时间的变化规律包括点的运动方程、运动軌迹、速度和加速度，常用矢径法和坐标法进行描述 1 矢径法 (1) 运动方程 选参考系上某固定点O为原点，自点O向动点M作矢量r称为矢径。如图3.1所示当动点M运动时，矢径r随时间t连续变化即 (3-1) 式(3-1)称为动点M的矢径式运动方程。矢径r的矢端曲线就是M点的运动轨迹 (2) 速度 动点M的速度是矢量，等于它的矢径r对时间t的一阶导数即 (3-2) 其方位沿轨迹上M点的切线，指向点运动的一方如图3.1所示。 (3) 加速度 动点M的加速度等于它的速度矢量v对时间t的一阶导数，亦即它的矢径r对时间的二阶导数其方向一般指向轨迹的凹侧。 (3-3) 2 坐标法 坐标可分为直角坐标和曲线坐标两大类曲线坐标包括弧坐标、柱坐标和球坐标等，它们均可用来描述点的运动 (1) 直角坐标法 ① 运动方程。通常以固定点O为原点建立直角坐标系Oxyz，取ij，k分别为沿x, y, z轴正向的单位矢量它们均为常矢量，且 (3-4) 则动点M在空间的位置可用它的三个直角坐标x, y, z表示如图3.1所示，即 (3-5) 式(3-5)称为动点M的矗角坐标形式运动方程从这组方程中消去时间t后，便可得到动点的轨迹方程 ② 速度。由式(3-4)对时间t求导数有 设动点M的速度矢量v在x, y, z轴上嘚投影分别为，即 (3-6) 可见 (3-7) 上式表明，动点的速度在某坐标轴上的投影等于相应坐标对时间的一阶导数 速度的大小和方向余弦分别为 (3-8) (3-9) ③ 加速度。同理可得加速度的表达式 (3-10) (3-11) 上式表明动点的加速度在某坐标轴上的投影等于相应坐标对时间的二阶导数。 而加速度的大小与方向余弦分别为 (3-12) (3-13) 注意 所选坐标原点应为固定点；分别与的正方向一致。 问题3-1 如图所示半径为r的圆轮沿水平面