对椭圆焦点弦被分割比例进行均等分割,如何得到每个点的坐标

点击联系发帖人 时间：2019-01-12 04:12

椭圆焦点弦被分割比例

关键词：焦点弦公式,应用

在近年來的高考数学试题中经常出现圆锥曲线焦点弦问题．用常规方法解决这类问题时，由于解题过程复杂运算量较大，所以很容易出现差錯．

为了准确而迅速地解决圆锥曲线焦点弦问题．我们可以利用下面介绍的焦点弦公式．

设圆锥曲线的离心率为焦准距为,过焦点的弦AB与主轴(即椭圆焦点弦被分割比例长轴、双曲线实轴、抛物线对称轴)的夹角为θ,则可以推导出弦AB的长度公式，简称焦点弦公式．特别当离心率時焦点弦公式还可以化简．

１、当时,圆锥曲线为椭圆焦点弦被分割比例, ；

２、当时，圆锥曲线为抛物线, ．

下面对焦点弦公式进行证明．

證法一如图1,设椭圆焦点弦被分割比例C:焦点为,过焦点F的弦AB的倾斜角为,当时,弦AB在直线 L:上．由直线L和椭圆焦点弦被分割比例C的方程可得

设点A、B的唑标分为和则．由焦半径公式得弦AB的长度为

∵焦准距为,∴．当时，公式也成立．

对于双曲线和抛物线用同样的方法可以证明．

证法二设圓锥曲线的离心率为焦准距为，则极坐标方程为过焦点的弦AB与x轴的夹角为θ．当时，如图2．∵，．

利用焦点弦公式可以巧妙地解决與圆锥曲线焦点弦有关的各种问题．现在分别举例如下．

例1 （2008年高考安徽卷文科22题）

已知椭圆焦点弦被分割比例，其相应于焦点F(20)的准线方程为x=4．

（Ⅰ）求椭圆焦点弦被分割比例C的方程；

（Ⅱ）已知过点F1(－2,0)倾斜角为的直线交椭圆焦点弦被分割比例C于A，B两点.求证：

（Ⅲ）过點F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆焦点弦被分割比例C于点A、B和D、E，求的最小值．

解：（Ⅰ）由已知得又，所以．

故所求椭圆焦点弦被汾割比例C的方程为．

（Ⅱ）因为直线AB倾斜角为，，

由焦点弦，可得=得证．

（Ⅲ）因为直线AB倾斜角为则DE与轴的夹角可表示为。因而

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如图在平面直角坐标系xoy中，椭圓焦点弦被分割比例C：

=1（a＞b＞0）的离心率为

直线l与x轴交于点E，与椭圆焦点弦被分割比例C交于A、B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆焦点弦被分割比例C的右焦点时弦AB的长为

（1）求椭圆焦点弦被分割比例C的方程；

（2）是否存在点E，使得

为定值若存在，请指出点E的坐标并求絀该定值；若不存在，请说明理由．

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