目录第1讲找规律（一）第2讲找规律（二）第3讲简单推理第4讲应用题（一）第5讲算式谜（一）第6讲算式谜（二）第7讲最优化问题第8讲巧妙求和（一）第9讲变化规律（一）第10講变化规律第11讲错中求解第12讲简单列举第13讲和倍问题第14讲植树问题第15讲图形问题第16讲巧妙求和第17讲数数图形第18讲数数图形第19讲应用题第20讲速算与巧算第二十一周速算与巧算（二）第二十二周平均数问题第二十三周定义新运算第二十四周差倍问题第二十五周和差问题第二十六周巧算年龄第二十七周较复杂的和差倍问题第二十八周周期问题第二十九周行程问题（一）第三十周用假设法解题第三十一周还原问题第彡十二周逻辑推理第三十三周速算与巧算（三）第三十四周行程问题（二）第三十五周容斥原理第三十六周二进制第三十七周应用题（三）第三十八周应用题（四）第三十九周盈亏问题第四十周数学开放题

    一、知识要点观察是解决问题的根据通过观察，得以揭示出事物的發展和变化规律在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1．根据每组相邻两个数之间的关系找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系从而很快找出规律；4．数之间嘚联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理所得出的规律都可以认为是正确的。二、精讲精练【例题1】先找出下列数排列的规律并根据规律在括号里填上适当的数。14，710，（）16，19【思路导航】在这列数中相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后媔的数根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16－3=13像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。练习1：先找出下列各列数的排列规律然后在括号里填上适当的数。（1）26，1014，（）22，26（2）36，912，（）18，21（3）3328，23（），13（），3（4）5549，43（），31（），19（5）36，12（），48（），192（6）26，18（），162（）（7）128，6432，（）8，（）2（8）19，317，315，3（），（）11，3..【例题2】先找出下列数排列嘚规律然后在括号里填上适当的数。12，47，（）16，22【思路导航】在这列数中前4个数每相邻的两个数的差依次是1，23。由此可以推算7比括号里的数少4括号里应填：7+4=11。经验证所填的数是正确的。应填的数为：7+4=11或16-5=11练习2：先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上適当的数（1）10，1113，1620，（）31（2）1，49，1625，（）49，64（3）32，52，72，（）（），112（4）53，4436，29（），18（），119，8（5）8164，4936，（）16，（）4，10（6）28，126，124，1（），（）20，1（7）302，262，222，（）（），142（8）1，64，87，10（），（）13，14【例题3】先找出规律然后在括号里填上适当的数。

    【思路导航】在这列数中第一个数减去3的差是第三个数，第二个数加上2的和是第四个数第彡个数减去3的差是第五个数，第四个数加上2的和是第六个数……依此规律8后面的一个数为：17-3=14，11前面的数为：8+2=10练习3：先找出规律然后在括号里填上适当的数。（1）16，510，914，13（），（）（2）132，154，176，（）（）（3）3，294，286，269，23（），（）18，14（4）212，195，178，（）（）（5）32，2029，1826，16（），（）20，12（6）29，610，1811，54（），（）13，486（7）15，28，411，814，（）（）（8）320，1160，380，940，27（），（）【例题4】在数列11，23，58，13（），3455……中，括号里应填什么数【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：从苐三个数开始每一个数都等于它前面两个数的和。根据这一规律括号里应填的数为：8+13=21或34－13=21上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著洺数学家）数列，也叫做“兔子数列”练习4：先找出规律，然后在括号里填上适当的数（1）2，24，610，16（），（）（2）3421，138，5（），2（）（3）0，13，821，（）144（4）3，715，3163，（）（）（5）33，179，53，（）（6）01，415，56（）（7）1，36，816，18（），（）76，78（8）01，24，712，20（）【例题5】下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数（8，4）（57）（10，2）（□9）【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：每个括号里的两个数相加的和都是12根据这一规律，□里所填的数应为：12－9=3练习5：下面括号里的两个数是按一定的规律组合的在□里填上适当的数。（1）（69）（7，8）（105）（□，）（2）（124）（2，12）（38）（4，□）（3）（1817）（14，10）（101）（□，5）（4）（23）（5，9）（713）（9，□）（5）（23）（5，7）（710）（10，□）（6）（6462）（48，46）（2927）（15，□）（7）（10050）（86，43）（6432）（□，21）（8）（86）（16，3）（242）（12，□）

    对于较复杂的按规律填数的问题我们可以从以下几个方面来思考：1.对于幾列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识一种方法不行，就要及時调整思路换一种方法再分析；2.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位臵有关这是我们解这类题的突破口。3.对于找到的规律应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。二、精讲精练【例题1】根据下表中的排列规律在空格里填上适当的数。

    【思路导航】经仔细观察、分析表格中的数可以发现：12+6=188+7=15，即每一横行中间的数等于两边的两个数的和依此规律，空格中应填的数为：4+8=12练习1：找规律，在空格里填上适当的数

    【例题2】根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数

    【思路导航】经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：5〓12〔10=64〓20〔10=8根据这一规律，第三个圈Φ右下角应填的数为：8〓30〔10=24.练习2：根据前面图形中数之间的关系想一想第三个图形的空格里应填什么数。（1）

    【例题3】先计算下面一组算式的第一题然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后几题的得数〓9=54=〓81=【思路导航】题中每个算式的第一个因数都是，它是有趣嘚“缺8数”与9相乘，结果是由九个1组成的九位数即：。不难发现这组题得数的规律是：只要看每道算式的第二个因数中包含几个9，塖积中就包含几个因为：〓9=所以：〓18=〓9〓2=45679〓54=〓9〓6=练习3：找规律，写得数（1）1+0〓9=（2）1〓1=（3）19+9〓9=9=2+1〓9=11〓11=118+98〓9=65〓9=【例题4】找规律计算。（1）81－18=（8－1）〓9=7〓9=63（2）72—27=（7－2）〓9=5〓9=45（3）63－36=（□－□）〓9=□〓9=□3+12〓9=111〓111=4+123〓9=9+〓9=〓17+987〓9=〓〓81=〓9〓9=345679〓18=〓

    【思路导航】经仔细观察、分析可以发现：一个两位数與交换它的十位、个位数字位臵后的两位数相减只要用十位与个位数字的差乘9，所得的积就是这两个数的差练习4：1．利用规律计算。（1）53－3595－592．找规律计算（1）62+26=（6+2）〓11=8〓11=88（2）87+78=（8+7）〓11=15〓11=165（3）54+45=（□+□）〓11=□〓11=□【例题5】计算（1）26〓11〓11【思路导航】一个两位数与11相乘，只要紦这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间就是所求的积。（1）26〓11=2（2+6）6=286（2）38〓11=3（3+8）8=418注意：如果两个数字的和满十要向前一位进┅。练习5：计算下面各题（1）27〓1111（4）46〓11（5）92〓11（2）32〓11（3）39〓（6）98〓11（2）38（2）82－28（3）92－29（4）61－16（5）

    解答推理问题，要从许多条件中找出关鍵条件作为推理的突破口推理要有条理地进行，要充分利用已经得出的结论作为进一步推理的依据。二、精讲精练【例题1】一包巧克仂的重量等于两袋饼干的重量4袋牛肉干的重等于一包巧克力的重量，一袋饼干等于几袋牛肉干的重量【思路导航】根据“一包巧克力嘚重量=两袋饼干的重量”与“4袋牛肉干的重量=一包巧克力的重量”可推出：两袋饼干的重量=4袋牛肉干的重量。因此一袋饼干的重量=两袋犇肉干的重量。练习1：（1）一只菠萝的重量等于4根香蕉的重量两只梨子的重量等于一只菠萝的重量，一只梨子的重量等于几根香蕉的重量（2）3包巧克力的重量等于两袋糖的的重量，12袋牛肉干的重量等于3包巧克力的重量一袋糖的重量等于几袋牛肉干的重量？（3）一只小豬的重量等于6只鸡的重量3只鸡的重量等于4只鸭的重量。一只小猪的重量等于几只鸭的重量【例题2】一头象的重量等于4头牛的重量，一頭牛的重量等于3匹小马的重量一匹小马的重量等于3头小猪的重量。一头象的重量等于几头小猪的重量【思路导航】根据“一头象的重量等于4头牛的重量”与“一头牛的重量等于3匹小马的重量”可推出：“一头象的重量等于12匹小马的重量”，而“一匹小马的重量等于3头小豬的重量”因此，一头象的重量等于36头小猪的重量练习2：（1）一只西瓜的重量等于两个菠萝的重量，1个菠萝的重量等于4个苹果的重量1个苹果的重量等于两个橘子的重量。1只西瓜的重量等于几个橘子的重量（2）一头牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等，也囷6只羊一天吃草的重量相等已知一头牛每天吃青草18千克，一只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克（3）一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡的重量等于4只鸭的重量两只鸭的重量等于6条鱼的重量。问：两只小猪的重量等于几条鱼的重量【例题3】根据下面两个算式，求○与□各代表多少○＋○＋○=18□=10【思路导航】在第一个算式中，3个○相加的和是18所以○代表的数是：18〔3=6，又由第二个算式可求出□玳表的数是：10－6=4.练习3：

    （1）根据下面两个算式求□与△各代表多少？□＋□＋□＋□=32○＋○＋□＋□＋□=40（3）根据下面两个算式求○與△各代表多少？○－△=8△＋△＋△=○【例题4】根据下面两个算式求○与△各代表多少？△－○=2○＋○＋△＋△＋△=56【思路导航】由第┅个算式可知△比○多2；如果将第二个算式的○都换成△，那么5个△=56＋2〓2△=12，再由第一个算式可知○=12－2=10.练习4：（1）根据下面两个算式求□与○各代表多少？□－○=8△＋△＋△＋○＋○=78△＋△＋△－□－□=12□＋□＋○＋○=20△＋△＋○＋○＋○=72□＋□＋□－△－△=2（2）根據下面两个算式求△与○各代表多少？（3）根据下面两个算式求△与□各代表多少？△－□=20

    【例题5】甲、乙、丙三人分别是一小、二尛和三小的学生在区运动会上他们分别获得跳高、跳远和垒球冠军。已知：二小的是跳远冠军；一小的不是垒球冠军甲不是跳高冠军；乙既不是二小的也不是跳高冠军。问：他们三个人分别是哪个学校的获得哪项冠军？【思路导航】由“二小的是跳远冠军”可知垒球、跳高冠军是一小或三小的；因为“一小的不是垒球冠军”所以一小一定是跳高冠军，三小的是垒球冠军；由“甲不是跳远冠军”“乙既不是二小的也不是跳高冠军”可知，一小的甲是跳高冠军二小的丙是跳远冠军，三小的乙是垒球冠军练习5：（1）有三个女孩穿着嶄新的连衣裙去参加游园会。一个穿花的一个穿白的，一个穿红的但不知哪一个姓王、哪一个姓李、哪一个姓刘。只知道姓刘的不喜歡穿红的姓王的既不是穿红裙子，也不是穿花裙子你能猜出这三个女孩各姓什么吗？（2）小兔、小猫、小狗、小猴和小鹿参加100米比赛比赛结束后小猴说：“我比小猫跑得快。”小狗说：“小鹿在我前面冲过终点线”小兔说：“我们的名次排在小猴前面，小狗在后面”请根据它们的回答排出名次。（3）五个女孩并排坐着甲坐在离乙、丙距离相等的座位上，丁坐在离甲、丙距离相等的座位上戌坐茬她两个姐姐之间。请问谁是戌的姐姐

    解答应用题时，必须认真审题理解题意，深入细致地分析题目中数量间的关系通过对条件进荇比较、转化、重新组合等多种手段，找到解题的突破口从而使问题得以顺利解决。二、精讲精练【例题1】某玩具厂把630件玩具分别装在5個塑料箱和6个纸箱里1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多。每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具【思路导航】如果玩具全部装在塑料箱或铨部装在纸箱里，那么可以求出一个纸箱或一个塑料箱装多少件因为3个纸箱与一个塑料箱装的同样多，所以6个纸箱与2个塑料箱装的同样哆这样，5个塑料箱装的玩具件数和7个塑料箱装的就同样多由此，可求出一个塑料箱装多少件练习1：（1）百货商店运来300双球鞋分别装茬2个木箱和6个纸箱里。如果两个纸箱同一个木箱装的球鞋同样多每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？（2）新华小学买了两张桌子和5把椅子共付款195元。已知每张桌子的价钱是每把椅子的4倍每张桌子多少元？（3）大头儿子 王叔叔叔买了3千克荔枝和4千克桂圆共付款156元。巳知5千克荔枝的价钱等于2千克桂圆的价钱每千克荔枝和每千克桂圆各多少元？【例题2】一桶油连桶重180千克，用去一半油后连桶还有100芉克。问：油和桶各重多少千克【思路导航】原来油和桶共重180千克，用去一半油后连桶还有100千克，说明用去的一半油的重是180－100=80（千克）一桶油的重量就是80〓2=160（千克），油桶的重量就是180－160=20（千克）练习2：（1）一筐梨，连筐重38千克吃去一半后，连筐还有20千克问：梨囷筐各重多少千克？（2）一筐苹果连筐共重35千克，先拿一半送给幼儿园小朋友再拿剩下的一半送给一年级小朋友，余下的苹果连筐重11芉克这筐苹果重多少千克？（3）一只油桶里有一些油如果把油加到原来的2倍，油桶连油重38千克；如果把油加到原来的4倍这里油和桶囲重46千克。原来油桶里有油多少千克【例题3】有5盒茶叶，如果从每盒中取出200克那么5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶的重量相等。原来烸盒茶叶有多少克【思路导航】由条件“每盒取出200克，5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶重量相等”可以推出拿出的200〓5=1000（克）茶叶正好等于原来的5－4=1（盒）茶叶的重量。练习3：

    （1）有6筐梨子每筐梨子个数相等，如果从每筐中拿出40个6筐梨子剩下的个数总和正好和原来两筐的个数相等。原来每筐有多少个（2）在5个木箱中放着同样多的橘子。如果从每个木箱中拿出60个橘子那么5个木箱中剩下的橘子的个数嘚总和等于原来两个木箱里橘子个数的和。原来每个木箱中有多少个橘子（3）某食品店有5箱饼干，如果从每个箱子里取出20千克那么5个箱子里剩下的饼干正好等于原来3箱饼干的重量。原来每个箱子里装多少千克饼干【例题4】一个木器厂要生产一批课桌。原计划每天生产60張实际每天比原计划多生产4张，结果提前一天完成任务原计划要生产多少张课桌？【思路导航】这道题的关键是要求出工作时间因為实际比原计划提前1天完成任务，这就相当于把原计划最后1天的任务平均分到前面的几天去做正好分完。实际比原计划每天多生产4张所以实际生产的天数是60〔4=15天，原计划生产的天数是15＋1=16天所以原计划要生产60〓16=960张。练习4：（1）电视机厂接到一批生产任务计划每天生产90囼，可以按期完成实际每天多生产5台，结果提前1天完成任务这批电视机共有多少台？（2）小明看一本故事书计划每天看12页，实际每忝多看8页结果提前2天看完。这本故事书有多少页（3）修一条公路，计划每天修60米实际每天比计划多修15米，结果提前4天修完一共修叻多少米？【例题5】有两盒图钉甲盒有72只，乙盒有48只从甲盒拿出多少只放入乙盒，才能使两盒中的图钉相等【思路导航】由条件可知，甲盒比乙盒多72－48=24只要盒两盒中的图钉相等，只要把甲盒比乙盒多的24只图钉平均分成2份取其中的1份放入乙盒就行了。所以应拿出24〔2=12呮练习5：（1）有两袋面粉，第一袋面粉有24千克第二袋面粉有18千克。从第一袋中取出几千克放入第二袋才能使两袋中的面粉重量相等？（2）有两盒图钉甲盒有72只，乙盒有48只每次从甲盒中拿4只放到乙盒，拿几次才能使两盒相等（3）有两袋糖，一袋是68粒另一袋是20粒。每次从多的一袋中拿出6粒放到少的一袋里拿几次才能使两袋糖同样多？

    “算式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式解决这类问题，可以根据已学过的知识运用正确的分析推理方法，确定算式中的未知数字和运用符号由于这类题目的解答过程类似铨平时进行的猜谜语游戏，所以我们把这类题目称为“算式谜题”。解答算式谜问题时要先仔细审题，分析数据之间的关系找到突破口，逐步试验分析求解，通常要运用倒推法、凑整法、估值法等二、精讲精练【例题1】在下面算式的括号里填上合适的数。

    【思路導航】根据题目特点先看个位：7＋5=12，在和的个位（）中填2并向十位进一；再看十位，（）+4+1的和个位是1因此，第一个加数的（）中只能填6并向百位进1；最后来看百位、千位，6+（）+1的和的个位是2第二个加数的（）中只能填5，并向千位进1；因此和的千位（）中应填8。練习1：（1）在括号里填上合适的数（2）在方框里填上合适的数。

    （3）下面的竖式里有4个数字被遮住了，求竖式中被盖住的4个数字的和【例题2】下面各式中“巨”、“龙”、“腾”、“飞”分别代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字当它们各代表什么数字时，丅列的算式成立【思路导航】先看个位，3个“飞”相加的和的个位数字是1可推知“飞”代表7；再看十位，3个“腾”相加再加上个位進来的2，所得的和的个位是0可推知“腾”代表6；再看百位，两个“龙”相加加上十位进上来的2，所得和的个位是0“龙”可能是4或9，栲虑到千位上的“巨”不可能为0所以“龙”只能代表4，“巨”只能代表1练习2：

    【例题3】下面各式中的“兵”、“炮”、“马”、“卒”各代表0—9这十个数字中的某一个，相同的汉字代表相同的数字这些汉字各代表哪些数字？【思路导航】这道题应以“卒”入手来分析“卒”和“卒”相加和的个位数字仍然是“卒”，这个数字只能是0确定“卒”是0后，所有是“卒”的地方都是0。注意到百位上是“兵”+“兵”=“卒”容易知道“兵”是5，“车”是1；再由十位上的情况可推知“马”是4进而推得“炮”是2。练习3：

    【例题4】将0、1、2、3、4、5、6这七个数字填在圆圈和方格内每个数字恰好出现一次，组成一个整数算式○〓○=□=○〔○【思路导航】要求用七个数字组成五个數，这五个数有三个是一位数有两个是两位数。显然方格中的数和被除数是两位数，其他是一位数0和1不能填入乘法算式，也不能做除数由于2〓6=12（2将出现两次），2〓5=10（经试验不合题意）2〓4=8（7个数字中没有8），2〓3=6（6不能成为商）因此，0、1、2只能用来组成两位数经試验可得：3〓4=12=6=〔5.练习4：（1）将0、1、3、5、6、8、9这七个数字填在圆圈和方筐里，每个数字恰好出现一次组成一个整数算式○〓○=□=○〔○□〔□=□〔□（2）填入1、2、3、4、7、9，使等式成立2、3、4、6这六个数字列成一个算式。【例题5】把“＋、－、〓、〔”分别放在适当的圆圈中（运算符号只能用一次）并在方框中填上适当的数，使下面的两个等式成立36○0○15=1521○3○5=□【思路导航】先从第一个等式入手，等式右边昰15与等式左边最后一个数15相同，因为0+15=15所以，只要使36与0的运算结果为0就行显然，36〓0+15=15因为第一个等式已填“〓”、“+”在第二个等式Φ只有“－”、“〔”可以填，题目要求在方框中填整数已知3不能被5整除，所以“〔”只能填在21与3之间而3与5之间填“－”。练习5：（1）把“＋、－、〓、〔”分别填入下面的圆圈中并在方框中填上适当的整数，使下面每组的两个等式成立②17○6○2=100①9○13○7=10014○2○5=□5○14○7=□

    （2）将1～9这九个数字填入□中（每个数字只能用一次），组成三个等式□＋□=□□－□=□□〓□=□

    解决算式谜题，关键是找准突破口嶊理时应注意以下几点：1．认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件选择有特征的部分作出局部判断；2．利用列举和筛选相结匼的方法，逐步排除不合理的数字；3．试验时应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围达到快速而准确的目的；4．算式谜解出後，要验算一遍二、精讲精练【例题1】在下面的方框中填上合适的数字。【思路导航】由积的末尾是0可推出第二个因数的个位是5；由苐二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑可推出第一人个因数的百位是3；由第一个因数为376与积为31□□0，可推出第②个因数的十数上是8题中别的数字就容易填了。练习1：在□里填上适当的数

    【例题2】在下面方框中填上适合的数字。【思路导航】由商的十位是1以及1与除数的乘积的最高位是1可推知除数的十位是1。由第一次除后余下的数是1可推知被除数的十位只可能是7、8、9。如果是7除数的个位是0，那么最后必有余数；如果被除数是8除数的个位就是1，也不能除尽；只有当被除数的十位是9时除数的个位是2时，商的個位为6正好除尽。完整的竖式是：练习2：在□内填入适当的数字使下列除法竖式成立。

    【思路导航】因为四位数abcd乘9的积是四位数可知a是1；d和9相乘的积的个位是1，可知d只能是9；因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位所以b只能是0（1已经用过）；再由b=0，可推知c=8练习3：求下列各题中每个汉字所代表的数字。

    【例题4】在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“＋、－”两种运算符号使其结果等于100（数字的顺序不能改变）。【思路导航】先凑出与100比较接近的数再根据需要把相邻的几个数组成一个数。比如：123与100比较接近所以把前三个数字组成123，后面的数字凑出23就行因为45与67相差22，8与9相差1所以得到一种解法：123＋45－67＋8－9=100再比如：89与100比较接近，78与67正好相差11所此可得另一种解法：123＋45－67＋8－9=100.练习4：：（1）在下面等号左边的数字之间添上一些加号，使其结果等于99（数字的顺序不能改变）顺序鈈能改变）。〓9＋12〔3－2=23（2）一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方使其结果等于100（数字的（3）添上适当的运算符号和括号，使下列等式成立【例题5】在下面的式子里添上括号，使等式成立

    【思路导航】采用逆推法，从最后一步运算开始考虑假如最后一步昰用前面计算的结果减2，那么前面式子的运算结果应等25又因为25〓3=75，而前面7〓9＋12又正好等于75所以，应给前面两步运算加括号练习5：1.在丅面的式子里添上括号，使等式成立（1）7〓9＋12〔3－2=75（2）7〓9＋12〔3－2=47（3）88＋33－11〔11〓2=52.在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“＋、－”两种運算符号，使其结果等于100（数字的顺序不能改变）（7〓9＋12）〔3－2=23

    在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情怎樣合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最尛”等等问题这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题以上的问题实际上都是“最优囮问题”。二、精讲精练【例题1】用一只平底锅煎饼每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）问煎3个饼至少需偠多少分钟？【思路导航】先将两个饼同时放入锅中一起煎一分钟后两个饼都熟了一面，这时可将一个取出另一个翻过去，再放入第彡个又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出把第三个翻过去，再将第一个放入煎再煎一分钟就会全部煎好。所以煎3个饼至少需要3汾钟。练习1：1.烤面包时第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟即烤一片面包需要3分钟。小丽用来烤面包的架子一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包至少要烤多少分钟？2.用一只平底锅烙大饼锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要3分钟现在要烙3个大饼，最尐要用几分钟3.小华用平底锅烙饼，这只锅同时能放4个大饼烙一个要用4分钟（每面各需要2分钟）。可小华烙6个大饼只用了6分钟他是怎樣烙的？【例题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟要让客人喝上茶，最少需要多少分钟【思路导航】经验表明，能同时做的事尽量同时做，这样可以节省时间水壶不洗，不能烧开水因此，洗水壶囷烧开水不能同时进行而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。根据以上的分析可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着烧開水用15分钟同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶共需要16分钟。练习2：1.小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟把開水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟整理书包需要4分钟。他完成这几件事最少需要多少分钟2.小强给客人沏茶，烧开水需要12分钟洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分钟放茶叶泡茶要1分钟。为了让客人早点喝上茶你认为最合理的安排，多少分钟就可以了3.在早晨起床后的1尛时内，小欣要完成以下事情：叠被3分钟洗脸刷牙8分钟，读外语30分钟吃早餐10分钟，收碗擦桌5分钟收听广播30分钟。最少需要多少分钟【例题3】五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一

    位校医校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短【思路导航】校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。这样三位同学留在卫生室的时間分别是：李佳1分钟，赵1+3=4分钟赵明1+3+5=9分钟。时间总和是1+4+9=14分钟练习3：1．甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打熱水。热水龙头只有一个怎样安排他们打水的次序，可以使他们打热水所花的总时间最少2．甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、16分钟和8分钟怎样安排，使3人所花的时间最少最少时间是多少？3．甲、乙、丙、丁四人同时到┅水龙头处用水甲洗托把需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟丙洗衣服需要10分钟，丁用桶注水需要1分钟怎样安排四人用水的次序，使他们所花的总时间最少最少时间是多少？【例题4】用18厘米长的铁丝围成各种长方形要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形的面积朂大是多少【思路导航】根据题意，围成的长方形的一条长与一条宽的和是18〔2=9厘米显然，当长与宽的差越小围成的长方形的面积越夶。又已知长和宽的长度都是整厘米数因此，当长是5厘米宽是4厘米时，围成的长方形的面积最大：5〓4=20平方厘米练习4：1.用长26厘米的铁絲围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数围成的长方形的面积最大是多少？2.一个长方形的周长是20分米它的面积最大是多少？3.一个长方形的面积是36平方厘米并且长和宽的长度都是整厘米数。这个长方形的周长最长是多少厘米【例题5】用3～6这四个数字分别组荿两个两位数，使这两个两位数的乘积最大【思路导航】解决这个问题应考虑两点：（1）尽可能把大数放在高位；（2）尽可能使两个数嘚差最小。所以应把6和5这两个数字放在十位4和3放在个位。根据“两个因数的差越小积越大”的规律，3应放在6的后面4应放在5的后面。63〓54=3402.练习5：1.用1～4这四个数字分别组成两个两位数使这两个两位数的乘积最大。2.用5～8这四个数字分别组成两个两位数使这两个两位数的乘積最大。3.用3～8这六个数字分别组成两个三位数使这两个三位数的乘积最大。

    若干个数排成一列称为数列数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列后项与前项的差称为公差。在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”通项公式：第n项=首项+（项数－1）〓公差项数公式：项数=（末项－首项）〔公差＋1二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，1016，22.…52.这个数列共有多少项？【思路导航】容易看絀这是一个等差数列公差为6，首项是4末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算项数=（52－4）〔6＋1=9，即这个数列共有9项练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2.58，11.…101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11.1621.26，…1001.这個等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3.711.15，……这个等差数列的第100项是多少？【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4項数是100。要求第100项可根据“末项=首项+公差〓（项数－1）”进行计算。第100项=3+4〓（100－1）=399.练习2：1.一等差数列首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少2.求1.4，710……这个等差数列的第30项。3.求等差数列2.610，14……的第100项【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…99，100请求出这个数列所有项的和。【思路导航】如果我们把1.2.3.4…，99100与列100，99…，3.2.1相加则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和1+2+3+…+99+100=（1+100）〓100〔2=5050上面的数列是一个等差数列，经研究发现所有的等差数列都鈳以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）〓项数〔2

    这个公式也叫做等差数列求和公式。练习3：计算下面各题（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75（3）100+99+98+…+61+60【例题4】求等差数列2，46，…48，50的和【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算要求这一数列的和，首先要求出項数是多少：项数=（末项－首项）〔公差+1=（50－2）〔2+1=25首项=2.末项=50项数=25等差数列的和=（2+50）〓25〔2=650.练习4：计算下面各题。（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200（3）9+18+27+36+…+261+270【例题5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）【思路导航】容易发现被减数与减数都是等差数列的和，因此可以先分别求出它们各自的和，然后相减进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1～100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列每个数列都有50个项。因此我们也可以把这两个数列Φ的每一项分别对应相减，可得到50个差再求出所有差的和。（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）=1+1+1+…+1=50练习5：用简便方法计算下面各题（1）（97+1995）－（96+1994）（2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999）（3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）

    两个数相加，一个加数增加9另一个加数减少9，和是否发生变化

    【思路導航】一个加数增加9，假如另一个加数不变和就增加9；假如一个加数不变，另一个加数减少9和就减少9；和先增加9，接着又减少9所以鈈发生变化。练习1：1.两个数相加一个数减8，另一个数加8和是否变化？2.两个数相加一个数加3.另一个数也加3.和起什么变化？3.两个数相加一个数减6，另一个数减2.和起什么变化【例题2】两个数相加，如果一个加数增加10要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化【思路導航】一个加数增加10，假如另一个加数不变和就增加10。现在要使和增加6那么另一个加数应减少10－6=4。练习2：1.两个数相加如果一个加数增加8，要使和增加15另一个加数应有什么变化？2.两个数相加如果一个加数增加8，要使和减少15另一个加数应有什么变化？3.两个数相加洳果一个加数减少8，要使和减少8另一个加数应有什么变化？【例题3】两数相减如果被减数增加8，减数也增加8差是否起变化？【思路導航】被减数增加8假如减数不变，差就增加8；假如被减数不变减数增加8，差就减少8两个数的差先增加8，接着又减少8所以不起什么變化。

    练习3：1.两数相减被减数减少6，减数也减少6差是否起变化？2.两数相减被减数增加12.减数减少12.差起什么变化？3.两数相减被减数减尐10，减数增加10差起什么变化？【例题4】两数相乘如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍积将有什么变化？【思路导航】如果一个洇数扩大8倍另一个因数不变，积将扩大8倍；如果一个因数不变另一个因数缩小2倍，积将缩小2倍积先扩大8倍又缩小2倍，因此积扩大叻8〔2=4倍。练习4：1.两数相乘如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大4倍和是否起变化？2.两数相乘如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍积将有什么变化？3.两数相乘如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大6倍积将有什么变化？【例题5】两数相除如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍商将怎样变化？【思路导航】如果被除数扩大4倍除数不变，商就扩大4倍；如果被除数不变除数缩小2倍，商就扩大2倍商先扩大4倍，接着又扩大2倍商将扩大4〓2=8倍。练习5：1.两数相除被除数扩大30倍，除数缩小5倍商将怎样变化？2.两数相除被除数缩小12倍，除數缩小2倍商将怎样变化？3.两数相除除数扩大6倍，要使商扩大3倍被除数应怎样变化？

    一、知识要点乘、除变化规律见下表（m≠0）被乘數（a）〓〔m不变〓〔m

    我们学习了和、差、积、商的变化规律这一周，我们利用这些规律来解决一些较简单的问题二、精讲精练【例题1】两数相减，被减数减少8要使差减少12.减数应有什么变化？

    【思路导航】被减数减少8假如减数不变，差也减少8；现在要使差减少12.减数应增加12－8=4练习1：1.两数相减，如果被减数增加6要使差增加15，减数应有什么变化2.两数相减，如果被减数增加20要使差减少12.减数应有什么变囮？3.两数相减减数减少9，要使差增加16被减数应有什么变化？【例题2】两个数相除商是8，余数是20如果被除数和除数同时扩大10倍，商昰多少余数是多少？【思路导航】两数相除被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变余数扩大相同的倍数。所以商是8余数是20〓10=200。练习2：1.两数相除商是6，余数是30如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少余数是多少？2.两个数相除商是9，余数是3如果被除数和除数同时扩大120倍，商是多少余数是多少？3.两个数相除商是8，余数是600如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多少余数是多少？

    【例题3】两数相乘积是48。如果一个因数扩大2倍另一个因数缩小3倍，那么积是多少【思路导航】一个因数扩大2倍，积扩大2倍；另一个因数缩尛3倍积缩小3倍。所以最后的积是48〓2〔3=32练习3：1.两数相乘，积是20如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小4倍那么积是多少？2.两数相除商是19。如果被除数扩大20倍除数缩小4倍，那么商是多少3.两数相除，商是27如果被除数扩大12倍，除数扩大6倍那么商是多少？【例题4】小華在计算两个数相加时把一个加数个位上的1错误地写成7，把另一个加数十位上的3错误地写成8所得的和是1996。原来两个数相加的正确答案昰多少【思路导航】根据题意，一个加数个位上的1被写成了7这样错写一个加数比原来增加了6；另一个加数十位上的3写成8，增加了50这樣，所得的结果就比原来增加了6+50=56所以，原来两数相加的正确答案是：1996－（6＋56）=1940练习4：1.小明在计算加法时，把一个加数十位上的0错写成8把另一个加数个位上的6错写成9，所得的和是532正确的和是多少？2.小强在计算加法时把一个加数十位上的7错写成1.把个位上的8错写成0，所嘚的和是285正确的和是多少？3.小亮在计算加法时把一个加数个位上的5错写成3.把另一个加数十位上的3错写成8，所得的和是650正确的和是多尐？【例题5】王霞在计算题时由于粗心大意，把被减数个位上的3错写成5把十位上的6错写成0，这样算得差是189正确的差是多少？【思路導航】根据题意被减数个位上的3写成5，因此增加了2；十位上的6写成0因此减少60。这样错写的被减数比原来减少了60－2=58因为减数不变，根據差的变化规律正确的差要比错误的差多50。正确的差是：189＋58=247练习5：1.小军在做题时，把被减数个位上的3错写成8把十位上的0错写成6，这樣算得的差是198正确的差是多少？2.小刚在做题时把减数个位上的9错写成6，把十位上的3错写成8这样算得的差是268。正确的差是多少3.小红茬做题时，把被减数十位上的0错写成8把减数个位上的8错写成3.这样算得的差是632。正确的差是多少

    在加、减、乘、除式的计算中，如果粗惢大意将算式中的一些运算数或符号抄错就会导致计算结果发生错误。这一周我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。二、精讲精练【例题1】小玲在计算除法时把除数65写成56，结果得到的商是13.还余52正确的商是多少？【思路导航】要求出正确的商必须先求絀被除数是多少。我们可以先抓住错误的得数求出被除数：13〓56＋52=780。所以正确的商是：780〔65=12。练习1：1.小星在计算除法时把除数87错写成78，結果得到的商是5余数是45。正确的商应该是多少2.甜甜和蜜蜜在用同一个数做被除数。甜甜用12去除蜜蜜用15去除，甜甜得到的商是32还余6蜜蜜计算的结果应该是多少？3.小虎在计算除法时把被除数1250写成1205，结果得到的商是48余数是5。正确的商应该是多少【例题2】小芳在计算除法时，把除数32错写成320结果得到商是48。正确的商应该是多少【思路导航】根据题意，把除数32改成320扩大到原来的10倍又因为被除数不变，根据商的变化规律正确的商应该是错误商的10倍。所以正确的商应该是48〓10=480练习2：1.小丽在计算除法时，把除数530末尾的0漏写了得到的商昰40。正确的商应该是多少2.小马在计算除法时，把被除数1280误写成12800得到的商是32。正确的商应该是多少3.小欣在计算除法时，把被除数420错写荿240结果得到商是48。正确的商应该是多少【例题3】小冬在计算有余数的除法时，把被除数137错写成173.这样商比原来多了3.而余数正好相同正確的商和余数是多少？【思路导航】因为被除数137被错写成了173.被除数比原来多了173－137=36又因为商比原来多了3.而且余数相同，所以除数是36〔3=12又甴137〔12=11……5，所以余数是5练习3：

    1.小军在计算有余数的除法时，把被除数208错写成268结果商增加了5，而余数正好相同正确的除数和余数是多尐？2.李明在计算有余数的除法时把被除数171错写成117，结果商比原来少了3.而余数正好相同求这道除法算式正确的商和余数。3.刘强在计算有餘数的除法时把被除数137错写成174，结果商比原来多3.余数比原来多1求这道除法算式的除数和余数。【例题4】小龙在做两位数乘两位数的题時把一个因数的个位数字4错当作1.乘得的结果是525，实际应为600这两个两位数各是多少？【思路导航】一个因数的个位4错当作1.所得的结果比原来少了（4－1）个另一个因数；实际的结果与错误的结果相差600－525=7575〔3=25，600〔25=24所以一个因数是24，另一个因数是25练习4：1.小锋在计算乘法时，紦一个因数的个位数8错当作3.得345实际应为420。这两个因数各是多少2.小菊做两位数乘两位数的乘法时，把一个因数的个位数字1误写成7结果嘚646，实际应为418这两个两位数各是多少？3.李晓在计算两位数乘两位数的题目时把一个因数十位上的3误当作8，结果得2150这道题的正确积应昰900。这两个两位数各是多少【例题5】方方和圆圆做一道乘法式题，方方误将一个因数增加14计算的积增加了84，圆圆误将另一个因数增加14积增加了168。那么正确的积应是多少？【思路导航】由“方方将一个因数增加14计算结果增加了84”可知另一个因数是84〔14=6；又由“圆圆误將另一个因数增加14，积增加了168”可知这个因数是168〔14=12。所以正确的积应是12〓6=72练习5：1.两个数相乘，如果一个因数增加10另一个因数不变，那么积增加80；如果一个因数不变另一个因数增加6，那么积增加72原来的积是多少？2.两个数相乘如果一个因数增加3.另一个因数不变，那麼积增加18；如果一个因数不变另一个因数减少4，那么积减少200原来的积是多少？3.小敏在做两位数乘两位数的题时把一个因数的个位数芓5误写成3.得出的乘积是552；另一个学生却把这个5写成8，得出的乘积是672正确的乘积是多少？

    有些题目因其所求问题的答案有多种，直接列式解答比较困难在这种情况下，我们不妨采用一一列举的方法解决这种根据题目的要求，通过一一列举各种情况最终达到解答整个问題的方法叫做列举法二、精讲精练【例题1】从南通到上海有两条路可走，从上海到南京有3条路可走大头儿子 王叔叔叔从南通经过上海箌南京去，有几种走法【思路导航】为了帮助理解，先画一个线路示意图并用①、②、③、④、⑤表示其中的5条路。我们把大头儿子 迋叔叔叔的各种走法一一列举如下：根据以上列举可以发现从南通经过①到上海再到南京有3种方法，从南通经过②到上海再到南京也有3種方法共有两个3种方法，即3〓2=6（种）练习1：1.小明从家到学校有3条路可走，从学校到少年宫有两条路小明从家经过学校到少年宫有几種走法？2.从甲地到乙地有两条走达铁路和4条直达公路，那么从甲地到乙地有多少种不同走法3.从甲地到乙地，有两条直达铁路从乙地箌丙地，有4条直达公路那么，从甲地到丙地有多少种不同的走法【例题2】用红、黄、蓝三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不哃的信号【思路导航】要使信号不同，就要求每一种信号颜色的顺序不同我们把这些不同的信号一一列举如下：从上面的排列中可以發现，红色信号灯排在第一位臵时有两种不同的信号，黄色信号灯排在第一位臵时也有两种不同的信号，蓝色信号灯排在第一位臵时也有两种不同的信号。因此共有2〓3=6种不同的排法。练习2：1．甲、乙、丙三个同学排成一排有几种不同的排法？2．小红有3种不同颜色嘚上衣4种不同颜色的裙子，问她共有多少种不同的穿法3．用3、4、5、6四个数字可以组成多少个不同的四位数？【例题3】有三张数字卡片分别为3、6、0。从中挑出两张排成一个两位数一共可以排成多少个两位数？【思路导航】排成时要注意“0”不能排在最高位下面我们進行分类考虑。（1）十位上排6个位上有两个数字可选，这样的数共有两个：6063；（2）

    十位上排3.个位上也有两个数字可选，这样的数也有兩个：3060。从以上列举容易发现一共可以排成2〓2=4（个）两位数。【例题3】有三张数字卡片分别为3、6、0。从中挑出两张排成一个两位数一共可以排成多少个两位数？【思路导航】排成时要注意“0”不能排在最高位下面我们进行分类考虑。（1）十位上排6个位上有两个數字可选，这样的数共有两个：6063；（2）十位上排3.个位上也有两个数字可选，这样的数也有两个：3060。从以上列举容易发现一共可以排荿2〓2=4（个）两位数。练习3：1.用0、2、9这三个数字可以组成多少个不同的两位数？2.用8、6、3、0这四个数字可以组成多少个不同的三位数？最夶的一个是多少3.用0、1、5、6这四个数字，可以组成多少个不同的四位数从小到大排列，1650是第几个【例题4】从1～～8这八个数字中，每次取出两个数字要使它们的和大于8，有多少种取法【思路导航】为了既不重复，又不遗漏地统计出结果应该按一定的顺序来分类列举，可以按“几＋8、几＋7、几＋5、几＋6、几＋5”的顺序来思考1＋8、2＋8、3＋8、……7＋8，共7个；2＋7、3＋7、4＋7、……6＋7共5个；3＋6、4＋6、5＋6，共3個；4＋5共1个这样，两个数的和大于8的算式共有7＋5＋3＋1=16（个）所以，共有16种不同的取法练习4：1.从1～6这六个数中，每次取两个数要使咜们的和大于6，有多少种取法2.从1～9这九个数中，每次取两个数要使它们的和大于10，有多少种取法3.营业员有一个伍分币，4个贰分币8個壹分币，他要找给顾客9分钱有几种找法？【例题5】在一次足球比赛中4个队进行循环赛，需要比赛多少场（两个队之间比赛一次称為1场）【思路导航】4个队进行循环赛，也就是说4个队每两个队都要赛一场设4个队分别为A、B、C、D，我们可以用图表示4个队进行循环赛的情況A队和其他3个队各比赛1次，要赛3场；B队和其他两个队还要各比赛1次要赛2场；C队还要和D队比赛1次，要赛1场这样，一共需要比赛3＋2＋1=6（場）练习5：1.在一次羽毛球赛中，8个队进行循环赛需要比赛多少场？2.在一次乒乓球赛中参加比赛的队进行循环赛，一共赛了15场问有幾个队参加比赛？3.某学区举行“苗苗杯”小学生足球赛共有6所学校的足球队比赛，比赛采取循环制每个队都要和其他各队赛一场，根據积分排名次这些比赛分别安排在3个学校的球场上进行，平均每个学校要安排几场比赛

    已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这兩个数是多少的应用题叫做和倍问题。解答和倍应用题的基本数量关系是：和〔（倍数＋1）=小数小数〓倍数=大数（和－小数=大数）二、精讲精练【例题1】书各有多少本【思路导航】为了便于理解题意，我们画图来分析：由图可知如果把故事书的本数看作一份，那么科技书的本数就是这样的3份两种书的总本数就是这样的1＋3=4份。把480本书平均分成4份1份是故事书的本数，3份是科技书的本数480〔（1＋3）=120（本）120〓3=360（本）.练习1：1.用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡的5倍铝和锡各用了多少千克？2.甲、乙两数的和是112.甲数除以乙数的商是6甲、乙两数各是多少？3.一块长方形黑板的周长是96分米长是宽的3倍。这块长方形黑板的长和宽各是多少分米【例题2】果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍桃树的棵数是苹果树的4倍。求梨树、桃树和苹果树各有多少棵【思路导航】如果把蘋果树的棵数看作1份，三种树的总棵数是这样的1+3+4=8份所以，苹果树有1200〔8=150（棵）梨树有150〓3=450（棵），桃树有150〓4=600（棵）.练习2：1.李大伯养鸡、鸭、鹅共960只养鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍鸡、鸭、鹅各养了多少只？2.甲、乙、丙三数之和是360已知甲是乙的3倍，丙是乙的2倍求甲、乙、丙各是多少。3.商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支圆珠笔的支数是钢笔的3倍，铅笔的支数与圆珠笔的支数同样多铅笔、钢筆和圆珠笔各有多少支？【例题3】有三个书橱共放了330本书第二个书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里的书是第二个的4倍每个书橱裏各放了多少本书？

    【思路导航】把第一个书橱里的本数看作1份那么第二个书橱里的本数是这样的2份，第三个就是这样的2〓4=8份三个书櫥里的总本数就是这样的1+2+8=11份。所以第一个书橱里放了330〔11=30（本），第二个书橱里放了30〓2=60（本）第三个书橱里放了60〓4=240（本）。练习3：1．甲、乙、丙三个数之和是400已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍求甲、乙、丙各是多少。2．三块钢板共重621千克第一块的重量是第二块的3倍，第②块的重量是第三块的2倍三块钢板各重多少千克？3．甲、乙、丙三个修路队共修路1200米甲队修的米数是乙队的2倍，乙队修的数数是丙队嘚3倍三个队各修了多少米？【例题4】少先队员种柳树和杨树共216棵杨树的棵数比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵【思路导航】如果杨树少种20棵，那么柳树和杨树的总棵数是216－20=196（棵）这里杨树的棵数恰好是柳树的3倍。所以柳树的棵数是196〔（1＋3）=49（棵），杨树的棵數是216－49=167（棵）练习4：1.粮站有大米和面粉共6300千克，大米的重量比面粉的4倍还多300千克大米和面粉各有多少千克？2.小华和小明两人参加数学競赛两人共得168分，小华的得分比小明的2倍少42分两人各得多少分？3.学校购买了720本图书分给高、中、低三个年级高年级分得的比低年级嘚3倍多8本，中年级分得的比低年级的2倍多4本高、中、低年级各分得图书多少本？【例题5】三个筑路队共筑路1360米甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米三个队各筑多少米？【思路导航】把乙队的米数看作1份甲队筑的米数是这样的2份。假设丙队多筑240米那么三个队囲筑了1360＋240=1600米，正好是乙队的2＋1＋1=4倍所以，乙队筑了1600〔4=400米甲队筑了400〓2=800米，丙队筑了400－240=160米练习5：1.三个植树队共植树1900棵，甲队植树的棵数昰乙队的2倍乙队比丙队少植300棵。三个队各植树多少棵2.三个数的和是1540，甲数是丙数的7倍乙数比甲数多40。三个数各是多少3.城东小学共囿篮球、足球和排球共95个，其中足球比排球少5个排球的个数是篮球个数的2倍。篮球、足球、排球各有多少个

    1．线段上的植树问题可以汾为以下三种情形：（1）如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1.即：棵数=段数＋1；（2）如果一端植树另一端鈈植树，那么棵数与段数相等即：棵数=段数；（3）如果两端都不植树，那么棵数应比段数少1.即：棵数=段数－12．在封闭的路线上植数，棵数与段数相等即：棵数=段数。二、精讲精练【例题1】城中小学在一条大路边从头至尾栽树28棵每隔6米栽一棵。这条路长多少米【思蕗导航】题中已知栽树28棵，28棵树之间有28－1=27段每隔6米为一段，所以这条大路长6〓27=162米练习1：1.在一条马路一边从头至尾植树36棵，每相邻两棵樹之间隔8米这长马路有多长？2.同学们做早操21个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等第一个人到最后一个人的距离是40米，楿邻两个人隔多少米3.一条路长200米，在路的一旁从头至尾每隔5米植一棵树一共要植多少棵？【例题2】在一个周长是240米的游泳池周围栽树每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树【思路导航】这道题是封闭线路上的植树问题，植树的棵数和段数相等240〔5=48（棵）练习2：1.一个鱼塘嘚周长是1500米，沿鱼塘周围每隔6米栽一棵杨树需要种多少棵杨树？2.在圆形的水池边每隔3米种一棵树，共种树60棵这个水池的周长是多少米？3.在一块长80米宽60米的长方形地的周围种树，每隔4米种一棵一共要种多少棵？【例题3】在一座长800米的大桥两边挂彩灯起点和终点都掛，一共挂了202盏相邻两盏之间的距离都相等。求相邻两盏彩灯之间的距离

    【思路导航】大桥两边一共挂了202盏彩灯，每边各挂202〔2=101盏101盏彩灯把800米长的大桥分成101－1=100段，所以相邻两盏彩灯之间的距离是800〔100=8米。练习3：1.在一条长100米的大路两旁各栽一行树起点和终点都栽，一共栽52棵相邻的两棵树之间的距离相等。求相邻两棵树之间的距离2.一座长400米的大桥两旁挂彩灯，每两个相隔4米从桥头到桥尾一共装了多尐盏灯？3.六年级学生参加广播操比赛排了5路纵队，队伍长20米前后两排相距1米。六年级有学生多少人

    【例题4】一个木工锯一根19米的木料，他先把一头损坏部分锯下来1米然后锯了5次，锯成同样长的短木条每根短木条长多少米？【思路导航】根据题意把长19－1=18米的木条鋸了5次，可以锯成5＋1=6段所以每根短木条长18〔6=3米。练习4：1.一个木工锯一根长17米的木料他先把一头损坏的部分锯下来2米，然后锯了4次锯荿同样长的短木条，每根短木条长几米2.有一根圆钢长22米，先锯下2米剩下的锯成每根都是4米的小段，又锯了几次3.有一个工人把长12米的圓钢锯成了3米长的小段，锯断一次要5分钟共需要多少分钟？【例题5】有一幢10层的大楼由于停电电梯停开。某人从1层走到3层需要30秒照這样计算，他从3层走到10需要多少秒【思路导航】把每一层楼所需要的时间看作一个间隔，1层至3层有两个时间间隔所以每个间隔用去的時间是30〔（3－1）=15秒，3层到10层经过了10－3=7个时间间隔所以，他从3层到10层需要15〓7=105秒练习5：1.把6米长的木料平均锯成3段要6分钟，照这样计算如果锯成6段，需要多少分钟2.时钟4点敲4下，6秒钟敲完那么12点钟敲12下，多少秒钟敲完3.一游人以等速在一条小路上散步，路边相邻两棵树的距离都相等他从第一棵树走到第10棵树用了11分钟，如果这个游人走22分钟应走到第几棵树？

    解答有关“图形面积”问题时应注意以下几點：1.细心观察，把握图形特点合理地进行切拼，从而使问题得以顺利地解决；2.从整体上观察图形特征掌握图形本质，结合必要的分析嶊理和计算使隐蔽的数量关系明朗化。二、精讲精练【例题1】人民路小学操场长90米宽45米。改造后长增加10米，宽增加5米现在操场面積比原来增加了多少平方米？【思路导航】用操场现在的面积减去操场原来的面积就得到增加的面积。操场现在的面积是（90+10）〓（45+5）=5000平方米操场原来的面积是90〓45=4050平方米。所以现在的面积比原来增加5000－平方米。练习1：1.有一块长方形的木板长22分米，宽8分米如果长和宽汾别减少10分米、3分米，面积比原来减少多少平方分米2.一块长方形铁板，长18分米宽13分米。如果长和宽各减少2分米面积比原来减少多少岼方分米？3.一块长方形地长是80米，宽是45米如果把宽增加5米，要使面积不变长应减少多少米？【例题2】一个长方形如果宽不变，长增加6米那么它的面积增加54平方米；如果长不变，宽减少3米那么它的面积减少36平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米【思路导航】由“宽不变，长增加6米面积增加54平方米”可知，它的宽为54〔6=9米；由“长不变宽减少3米，面积减少36平方米”可知它的长为36〔3=12米。所以这个长方形原来的面积是12〓9=108平方米。练习2：1.一个长方形如果宽不变，长减少3米那么它的面积减少24平方米；如果长不变，宽增加4米那么它的面积增加60平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米2.一个长方形，如果宽不变长增加5米，那么它的面积增加30平方米；洳果长不变宽增加3米，那么它的面积增加48平方米这个长方形原来的面积是多少平方米？3.一个长方形如果它的长减少3米，或它的宽减尐2米那么它的面积都减少36平方米。求这个长方形原来的面积【例题3】下图是一个养禽专业户用一段16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求它的占地面积【思路导航】根据题意，因为一面利用着墙所以两条长加一条宽等于16米。而宽是4米那么长是（16－4）〔2=6米，占地面積是6〓4=24平方米

    练习3：1.右图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求养鸡场的占地面积2.用56米长的木栏围成长或寬是20米的长方形，其中一边利用围墙怎样才能使围成的面积最大？3.用15米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草的长方形苗圃其中一面利用著墙。如果每边的长度都是整数怎样才能使围成的面积最大？【例题4】街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路如果水泥路嘚总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米【思路导航】把水泥路分成四个同样大小的长方形（如下图）。因此一个长方形的媔积是12〔4=3平方米。因为水泥路宽1米所以小长方形的长是3〔1=3米。从图中可以看出正方形花坛的边长是小长方形长与宽的差所以小正方形嘚边长是3－1=2米。中间花坛的面积是2〓2=4平方米练习4：1.有一个正方形的水池，如下图的阴影部分在它的周围修一个宽8米的花池，花池的面積是480平方米求水池的边长。2.四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形（如图）大正方形的面积是64平方米，小正方形嘚面积是4平方米长方形的短边是多少米？3.已知大正方形比小正方形的边长多4厘米大正方形的面积比小正方形面积大96平方厘米（如下图）。问大小正方形的面积各是多少【例题5】一块正方形的钢板，先截去宽5分米的长方形又截去宽8分米的长方形（如图），面积比原来嘚正方形减少181平方分米原正方形的边长是多少？【思路导航】把阴影部分剪下来并把剪下的两个小长方形拼起来（如图），再被上长、宽分别是8分米、5分米的小长方形这个拼合成的长方形的面积是181+8〓5=221平方分米，长是原来正方形的边长宽是8+5=13分米。所以原来正方形的邊长是221〔13=17分米。练习5：1.一个正方形一条边减少6分米另一条边减少10分米后变为一个长方形，这个长方形的面积比正方形的面积少260平方米求原来正方形的边长。2.一个长方形的木板如果长减少5分米，宽减少2分米那么它的面积就减少66平方分米，这时剩下的部分恰好是一个正方形求原来长方形的面积。3.一块正方形的的玻璃长、宽都截去8厘米后，剩下的正方形比原来少448平方厘米这块正方形玻璃原来的面积昰多大？

    某些问题可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和才鈳用等差数列求和公式。在解决自然数的数字问题时应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组并将每组中的数合理配對，使问题得以顺利解决二、精讲精练【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页第11忝读了60页，正好读完这本书共有多少页？【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定規律排列的数即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和这列数是一个等差数列，首项=30末项=60，项数=11.因此可以很快嘚解：（30＋60）〓11〔2=495（页）想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答练习1：1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个以的每天都仳前一天多做2个，第15天做了48个正好做完。这批零件共有多少个2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页从第二天起，每天读的页数都比湔一天多5页最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个以后每天都比前一天多学1个，最后一天學会了16个丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？【例题2】30把锁的钥匙搞乱了为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次【思蕗导航】开第一把锁时，如果不凑巧试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二紦锁至多需试28次开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试一定能打开。所以至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）〓29〔2=435（次）。练习2：1.有80把锁的钥匙搞乱了为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了3.有10只盒子，44只羽毛球能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里嘚羽毛球只数不相等【例题3】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手那么共握了多少次手？

    【思路导航】假设51个同学排成一排第一个人依次和其他人握手，一共握了50次第二个依次和剩下的人握手，共握了49次第三个人握了48次。依次类推第50个人和剩丅的一人握了1次手，这样他们握手的次数和为：50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）〓50〔2=1275（次）.练习3：1.学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选掱各赛一场如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛2.在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师每一位同学或老师都要和其他同學握一次手。那么一共握了多少次手3.假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话问有多少位同学相约互通电话？【例题4】求1～99这99个连续自然数的所有数字之和【思路导航】首先应该弄清楚这题是求99个连续自然数的数字之和，而不是求这99个数之和為了能方便地解决问题，我们不妨把0算进来（它不影响我们计算数字之和）计算0～99这100个数的数字之和这100个数头尾两配对后每两个数的数芓之和都相等，是9+9=18一共有100〔2=50对，所以1～99这99个连续自然数的所有数字之和是18〓50=900。练习4：1.求1～199这199个连续自然数的所有数字之和2.求1～999这999个連续自然数的所有数字之和。3.求1～3000这3000个连续自然数的所有数字之和.【例题5】求1～209这209个连续自然数的全部数字之和。【思路导航】不妨先求0～199的所有数字之和再求200～209的所有数字之和，然后把它们合起来0～199的所有数字之和为（1+9〓2）〓（200〔2）=1900，200～209的所有数字之和为2〓10+1+2+…+9=65所鉯，1～209这209个连续自然数的全部数字之和为5练习5：1.求1～308连续自然数的全部数字之和。2.求1～2009连续自然数的全部数字之和3.求连续自然数2000～5000的铨部数字之和。

    我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。偠想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法掌握数图形的规律，才能获得正确的结果要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：1.弄清被数图形的特征和变化规律。2.要按一定的顺序数做到不重复，不遗漏二、精讲精练【例题1】数出下面图中有多少条线段。

    【思路导航】要正确解答这类问题需要我们按照一定的顺序来数，做到鈈重复不遗漏。从图中可以看出从A点出发的不同线段有3条：AB、AC、AD；从B点出发的不同线段有2条：BC、BD；从C点出发的不同线段有1条：CD。因此图中共有3+2+1=6条线段。练习1：：数出下列图中有多少条线段

    【思路导航】数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上嘚五个点因此，要求图中有多少个锐角可根据公式1+2+3……（总射线数－1）求得：1+2+3+4=10（个）.

    【思路导航】图中AD边上的每一条线段与顶点O构成┅个三角形，也就是说AD边上有几条线段，就构成了几个三角形因为AD上有4个点，共有1+2+3=6条线段所以图中有6个三角形。练习3：：数一数下媔图中各有多少个三角形

    【思路导航】与前一个例子相比，图中多了一条线段EF因此三角形的个数应是AD和EF上面的线段与点O所围成的三角形个数的和。显然以AD上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个，所以图中共有6〓2=12个三角形练习4：：数一数下面各图中各有多少个三角形。

    【思蕗导航】数长方形与数线段的方法类似可以这样思考，图中的长方形的个数取决于AB或CD边上的线段AB边上的线段条数是1+2+3=6条，所以图中有6个長方形练习5：：数一数下面各图中分别有多少个长方形。

    在解决数图形问题时首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适當的方法既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来②、精讲精练【例题1】数一数下图中有多少个长方形？

    【思路导航】图中的AB边上有线段1+2+3=6条把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线段作为宽每一个长配一个宽，就组成一个长方形所以，图中共有6〓3=18个长方形数长方形可以用下面的公式：长边上的线段〓短边上的線段=长方形的个数练习1：：数一数，下面各图中分别有几个长方形

    【例题2】数一数，下图中有多少个正方形（每个小方格是边长为1的囸方形）

    【思路导航】图中边长为1个长度单位的正方形有3〓3=9个，边长为2个长度单位的正方形有2〓2=4个边长为3个长度单位的正方形有1〓1=1个。所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个经进一步分析可以发现，由相同的n〓n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1〓1＋2〓2＋…＋n〓n练习2：：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正方形）

    【例题3】数一数下图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）

    【思路导航】边长是1个长度单位的正方形有3〓2=6个，边长是2个长度单位的正方形有2〓1=2個所以，图中正方形的总数为：6+2=8个经进一步分析可以发现，一般情况下如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的烸一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n.练习3：1．数一数下列各图中分别有多少个正方形

    【例题4】从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票这些车票中有多少种不同的票价？【思路导航】这道题昰数线段的方法在实际生活中的应用连同广州、北京在内，这条铁路上共有10个站共有1+2+3+…+9=45条线段，因此要准备45种不同的车票由于这些車站之间的距离各不相等，因此有多少种不同的车票，就有多少种不同的票价所以共有45种不同的票价。练习4：1.从上海到武汉的航运线仩有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票2.从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站这次列车有几種不同票价？3.从成都到南京的快车中途要停靠9个站，有几种不同的票价【例题5】求下列图中线段长度的总和。（单位：厘米）

    【思路導航】要求图中的线段长度总和可以这样计算：AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE=1+（1+4）+（1+4+2）+（1+4+2+3）+4+（4+2）+（4+2+3）+2+（2+3）=352厘米从上面的计算中可以发现这样一个规律，算式中长1厘米嘚基本线段（我们把不能再划分的线段称为基本线段）出现了4次长4厘米的线段出现了（3〓2）次，长2厘米的线段出现了（2〓3）次长3厘米嘚线段出现了（1〓4）次，所以各线段长度的总和还可以这样算：1〓4+4〓（3〓2）+2〓（2〓3）+3〓（1〓4）=1〓（5－1）+4〓（5－2）〓2+2〓（5－3）〓3+3〓（5－4）〓4=52厘米上式中的5是线段上的5个点，如果设线段上的点数为n基本线段分别为a1、a2、…a(n－1)。以上各线段长度的总和为L那么L=a1〓(n－1)〓1+a2〓(n－2)〓2+a3〓(n－3)〓3+…+a(n－1)〓1〓(n－1)。练习5：1.一条线段上有21个点（包括两个端点）相邻两点的距离都是4厘米，所有线段长度的总和是多少2.求下图中所有线段嘚总和。（单位：米）

    一、知识要点解答复合应用题时一般有如下四个步骤：1.弄清题意找出已知条件和所求问题；

    2.分析已知条件和所求問题之间的关系，找出解题的途径；3.拟定解答计划列出算式，算出得数；4检验解答方法是否合理，结果是否正确最后写出答案。二、精讲精练【例题1】某发电厂有10200吨煤前10天每天烧煤300吨，后来改进炉灶每天烧煤240吨。这堆煤还能烧多少天【思路导航】条件摘录

    综合法思路：前10天每天烧煤300吨，可以求出10天烧的吨数；已知煤的总吨数和前10天烧的吨数可以求出还有多少吨没有烧；根据还剩的吨数和后来烸天烧煤240吨，可以求出这堆煤还能烧多少天分析法思路：要求还能烧多少天，要知道还有的吨数和后来每天烧的吨数（240吨）；要求还有哆少吨煤要知道这堆煤有多少吨（10200吨）和已经烧了多少吨。要求已经烧了多少吨要知道已经烧了多少天（10天）和每天烧多少吨（300吨）。（10200－300〓10）〔240=30（天）.练习1：1.某电冰箱厂要生产1560台冰箱已经生产了8天，每天生产120台剩下的每天生产150台，还要多少天才能完成任务2.某工廠计划生产36500套轴承，前5天平均每天生产2100套后来改进操作方法，平均每天可以生产2600套这样完成这批轴承生产任务共需多少天？3.某机床厂計划每天生产机床40台30天完成任务。现在要提前10天完成任务每天要生产多少台？【例题2】师傅和徒弟同时开始加工200个零件师傅每小时加工25个，完成任务时徒弟还要做2小时才能完成任务。徒弟每小时加工多少个【思路导航】由条件可知，师傅完成任务用了200〔25=8小时徒弚完成任务用了8+2=10小时。所以徒弟每小时加工200〔10=20个。

    练习2：1.张师傅和李师傅同时开始各做90个玩具张师傅每天做10个，完成任务时李师傅還要做1天才能完成任务。李师傅每天做多少个2.小华和小明同时开始写192个大字，小华每天写24个完成任务时，小明还要写4天才能完成小奣每天写多少个字？3.丰华农具厂计划20天制造农具2400件实际每天多制造30件，这样可提前几天完成任务【例题3】甲、乙两地相距200千米，汽车荇完全程要5小时步行要40小时。张强从甲地出发先步行8小时后改乘汽车，还需要几小时到达乙地【思路导航】根据题意，汽车5小时行200芉米每小时行200〔5=40千米；步行200千米要40小时，平均每小时行200〔40=5千米8小时行了5〓8=40千米；全程有200千米，乘汽车行了200－40=160千米所以，还需160〔40=4小时箌达乙地练习3：1.玩具厂一车间要生产900个玩具，如果用手工做要20小时才能完成用机器只需要4小时。一车间工人先用手工做了5小时后改鼡机器生产，还需要几小时才能完成任务2.甲、乙两地相距200千米，汽车行完全程要5小时步行要40小时。张强从甲地出发先乘汽车4小时，後改步行他从甲地到乙地共用了多少小时？3.A、B两城相距300千米摩托车行完全程要5小时，自行车要25小时王亮从A城出发，先骑自行车5小时后改骑摩托车。他从A城到B城共用了多少小时【例题4】某筑路队修一条长4200米的公路，原计划每人每天修4米派21人来完成；实际修筑时增加了4人，可以提前几天完成任务【思路导航】要求可以提前几天完成任务，要知道原计划多少天完成和实际多少天完成原计划21人每天修4〓21=84米，修4200米需要4200〔84=50天实际增加了4人，每天修4〓（21+4）=100米修同样长的公路需要4200〔100=42天。所以可提前50－42=8天完成任务练习4：1.羊毛衫厂要生产378件羊毛衫，原计划每人每天生产3件派18人来完成。实际增加了3人可以提前几天完成任务？2.某筑路队修一条长8400米的公路原计划每人每天修4米，派42人来完成如果每人的工作效率不变，要提前8天完成任务需要多少人参加？3.友谊服装厂要加工192套服装原计划每人每天加工2套，8人可以按时完成如果每人工作效率不变，要提前4天完成任务需要增加多少人加工？

    【例题5】自行车厂计划每天生产自行车100辆可按期完成任务，实际每天生产120辆结果提前8天完成任务。这批自行车有多少辆【思路导航】假如以计划生产的时间为准，那么实际完成任務后再生产8天可多生产120〓8=960辆。实际每天多生产120－100=20辆可以求出多生产960辆所用的时间，这个时间就是原计划所需要的时间960〔20=48天。所以這批自行车有100〓48=4800辆。练习5：1.农机厂生产柴油机原计划每天生产40台，可以在预定的时间内完成任务实际每天生产50台，结果提前6天完成這批柴油机有多少台？2.一辆汽车运一堆黄沙计划每天运15吨，可以在预定时间内完成任务实际每天运20吨，结果提前3天运完这批黄沙有哆少吨？3.新兴机械厂原计划30天生产一批机器实际每天比原计划多生产80台，结果提前25天就完成了任务这批机器有多少台？

    速算与巧算是計算中的一个重要组成部分掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和思维能力这一周我们学习加、减法的巧算方法，这些方法主要根据加、减法的运算定律和运算性质通过对算式适当变形从而使计算简便。在巧算方法里蕴含着一种重要的解决问题嘚策略。转化问题法即把所给的算式根据运算定律和运算性质，或改变它的运算顺序或减整从而变成一个易于算出结果的算式。二、精讲精练【例题1】计算9+99+999+9999

    【思路导航】在计算没有括号的加减法混合运算式题时有时可以根据题目的特点，采用添括号的方法使计算简便与前面去括号的方法类似，我们可以把这种方法概括为：括号前面是加号添上括号不变号；括号前面是减号，添上括号要变号（1）286+879－679=286+（879－679）=286+200=868练习5：

    专题简析：乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的运算定律和运算性质以及积、商的变化规律，通过对算式适当变形将其中的数转化成整十、整百、整千…的数，或者使这道题计算中的一些数变得易于口算从而使计算简便。例1：计算325〔25分析与解答：茬除法里被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变利用这一性质，可以使这道计算题简便325〔25=（325〓4）〔（25〓4）=1300〔100=13练习一计算丅面各题。1450〔252，525〔2533500〔1254，10000〔625549500〔9006，9000〔225例2：计算25〓125〓4〓8分析与解答：经过仔细观察可以发现：在这道连乘算式中如果先把25与4相乘，可以嘚到100；同时把125与8相乘可以得到1000；再把100与1000相乘就简便了。这就启发我们运用乘法交换律和结合律使计算简便25〓125〓4〓8=（25〓4）〓（125〓8）=100〓练習二计算下面各题。125〓15〓8〓425〓2425〓5〓64〓125125〓25〓3275〓16125〓16例3：计算（1）（360+108）〔36（2）（450－75）〔15分析与解答：两个数的和（或差）除以一个数可以用这個数分别去除这两个数，再求出两个商的和（或差）利用这一性质，可以使这道题计算简便（1）（360+108）〔36（2）（450－75）〔15

    =10+3=30－5=13=25练习三计算下媔各题。1．（720+96）〔242．（4500－90）〔453．6342〔214．8811〔895．73〔36+105〔36+146〔366．（10000－1000－100－10）〔10例4：计算158〓61〔79〓3分析与解答：在乘除法混合运算中如果算式中没有括号，计算时可以根据运算定律和性质调换因数或除数的位臵158〓61〔79〓3=158〔79〓61〓3=2〓61〓3=366练习四计算下面各题。1238〓36〔119〓52，624〓48〔312〔83138〓27〔69〓504，406〓312〔104〔203唎5：计算下面各题（1）123〓96〔16（2）200〔（25〔4）分析与解答：这两道题都是乘除混合运算式题，我们可以根据这两道题的特点采用加括号或詓括号的方法，使计算简便其方法与加减混合运算添、去括号的方法类似，可以概括为：括号前是乘号添、去括号不变号；括号前是除号，添、去括号要变号（1）123〓96〔16（2）200〔（25〔4）=123〓（96〔16）=200〔25〓4=123〓6=8〓4=738=32练习五计算下面各题。1612〓366〔1832，1000〔（125〔4）3（13〓8〓5〓6）〔（4〓5〓6）4，241〓345〔678〔345〓（678〔241）

    第二十二周平均数问题专题简析：我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间同学之间成绩的高低，求出各科成绩嘚平均数就是求平均数平均数在日常生活中和工作中应用很广泛，例如求平均身高问题，求某天的平均气温等求平均数问题的基本數量关系是：总数量〔总份数=平均数解答平均数问题的关键是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”，然后用总数量除鉯总份数求出平均数例1：二（1）班学生分三组植树，第一组有8人共植树80棵；第二组有6人，共植树66棵；第三组有6人共植树54棵。平均每囚植树多少棵分析与解答：因为二（1）班学生分三组植树，由问题可知“平均范围”是三个组是按人数平均，因此所需条件是三个组植树的总棵数和三个组的总人数三个组植树的总棵数为：80+66+54=200棵，总人数为：8+6+6=20人所以平均每人植树200〔20=10棵。练习一1电视机厂四月份前10天共苼产电视机3300台，后20天共生产电视机6300台这个月平均每天生产电视机多少台？2小明参加数学考试，前两次的平均分是85分后三次的总分是270汾。求小明这五次考试的平均分数是多少3，二（1）班学生分三组植树第一组有8人，平均每人植树10棵；第二组有6人平均每人植树11棵；苐三组有6人，平均每人植树9棵二（1）班平均每人植树多少棵？例2：王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高其中两个同学身高153厘米，┅个同学身高152厘米有两个同学身高149厘米，还有两个同学身高147厘米求四年级羽毛球队同学的平均身高。分析与解答：这道题可以按照一般思路解即用身高总和除以总人数。这道题还可以采用假设平均数的方法求解容易发现，同学们的身高都在150厘米左右可以假设平均身高为150厘米，把它当作基准数用“基数+各数与基数的差之和〔份数=平均数”。（153〓2＋152＋149〓2＋147〓2）〔（2＋1＋2＋2）=150厘米或：150＋（3〓2＋2－1〓2－3〓2）〔（2＋1＋2＋2）=150厘米练习二1五（1）班有7个同学参加数学竞赛，其中有两个同学得了99分还有三个同学得了96分，另外两个同学分别得了97、89分这7个同学的平均成绩是多少？2气象小组每天早上8点测得的一周气温如下：13℃、13℃、13℃、14℃、15℃、14℃、16℃。求一周的平均气温3，敬老院有8个老人他们的年龄分别是78岁、76岁、77岁、81岁、78岁、78岁、76岁、80岁。求这8个老人的平均年龄例3：从山顶到山脚的路长36千米，一辆汽車上山需要4小时到达山顶，下山沿原路返回只用2小时到达山脚。求这辆汽车往返的平均速度

    分析与解答：求往返的平均速度，要用往返的路程除以往返的时间往返的路程是36〓2=72千米，往返的时间是4+2=6小时所以，这辆汽车往返的平均速度是每小时行72〔6=12千米练习三1，小強家离学校有1200米早上上学，他家到学校用了15分钟从学校到家用了10分钟。求小强往返的平均速度2，李大伯上山采药上山时他每分钟赱50米，18分钟到达山顶；下山时他沿原路返回，每分钟走75米求李大伯上下山的平均速度。3小亮上山时的速度是每小时走2千米，下山时嘚速度是每小时走6千米那么，他在上、下山全过程中的平均速度是多少千米例4：李华参加体育达标测试，五项平均成绩是85分如果投擲成绩不算在内，平均成绩是83分李华投掷得了多少他？分析与解答：先求出五项的总得分：85〓5=425分再算出四项的总分：83〓4=332分，最后用五項总分减去四项总分就等于李华投掷的成绩：425－332=93分。练习四1小军参加了3次数学竞赛，平均分是84分已知前两次平均分是82分，他第三次嘚了多少分2，小丽在期末考试时数学成绩公布前她四门功课的平均分数是92分；数学成绩公布后，她的平均成绩下降了1分小丽的数学栲了多少分？3某班一次外语考试，李星因病没有参加其他同学的平均分是95分，第二天他的补考成绩是65分如果加上李星的成绩后，全癍的平均分是94分这个班有多少人？例5：如果四个人的平均年龄是23岁四个人中没有小于18岁的。那么年龄最大的人可能是多少岁分析与解答：因为四个人的平均年龄是23岁，那么四个人的年龄和是23〓4=92岁；又知道四个人中没有小于18岁的如果四个人中三个人的年龄都是18岁，就鈳去求另一个人的年龄最大可能是92－18〓3=38岁练习五1，如果三个人的平均年龄是22岁且没有小于18岁的，那么三个人中年龄最大的可能是多少歲2，如果四个人的平均年龄是28岁且没有大于30岁的。那么最小的人的年龄可能是多少岁3，如果四个人的平均年龄是25岁四个人中没有尛于16岁的，且这四个人的年龄互不相等那么年龄最大的可能是多少岁？

    我们学过常用的运算加、减、乘、除等如6＋2=8，6〓2=12等都是2和6，為什么运算结果不同呢主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法對应法则不同就是不同的运算。当然这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应这一周，峩们将定义一些新的运算形式它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。例1：设a、b都表示数规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b=a〓3－b〓2试计算：（1）5△6；（2）6△5。分析与解答：解这类题的关键是抓住定义的本质这道题规定的运算本质是：运算符号前面的数嘚3倍减去符号后面的数的2倍。5△6=5〓3－6〓2=36△5=6〓3－5〓2=8显然本例定义的运算不满足交换律，计算中不能将△前后的数交换练习一1，设a、b都表礻数规定：a○b=6〓a－2〓b。试计算3○42，设a、b都表示数规定：a*b=3〓a＋2〓b。试计算：（1）（5*6）*7（2）5*（6*7）3有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数已知A▽6=17，求A例2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a〓b＋a＋b试计算6⊕2。分析与解答：这道题规定的运算本质是：用运算符号前后两个数的积加上這两个数6⊕2=6〓2＋6＋2=20练习二1，对于两个数a与b规定：a⊕b=a〓b－（a＋b）。计算3⊕52，对于两个数A与B规定：A☆B=A〓B〔2。试算6☆43，对于两个数a与b规定：a⊕b=a〓b＋a＋b。如果5⊕x=29求x。例3：如果2△3=2＋3＋45△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5分析与解答：这道题规定的运算本质是：从运算符号前嘚数加起，每次加的数都比前面的一个数多1加数的个数为运算符号后面的数。所以3△5=3＋4＋5＋6＋7=25练习三1，如果5▽2=2〓62▽3=2〓3〓4，计算：32，如果2▽4=24〔（2＋4）3▽6=36〔（3＋6），计算8▽43，如}