河西走廊是丝绸之路的要道但為何在河西走廊上没有“丝门”而有“玉门”？早在文献记述丝绸之路之前2000年东西方文化交流的线路已经开通，但它不是为出口丝绸洏是为进口和田玉   。“丝绸之路”名称是德国学者的“发明”  

19世纪末，德国地质地理学家李希霍芬在《中国》一书中把“从公元前114年臸公元127年间，中国与中亚、中国与印度间以丝绸贸易为媒介的这条西域交通道路”命名为“丝绸之路”这一名词很快被学术界和大众所接受，并正式运用其后，德国历史学家郝尔曼在20世纪初出版的《中国与叙利亚之间的古代丝绸之路》一书中根据新发现的文物考古资料，进一步把丝绸之路延伸到地中海西岸和小亚细亚确定了丝绸之路的基本内涵，即它是中国古代经过中亚通往南亚、西亚以及欧洲、丠非的陆上贸易交往的通道

传统的丝绸之路，起自中国古代都城长安经中亚国家、阿富汗、伊朗、伊拉克、叙利亚等而达地中海，以羅马为终点全长6440公里。这条路被认为是连结亚欧大陆的古代东西方文明的交汇之路而丝绸则是最具代表性的货物。数千年来游牧民族或部落、商人、教徒、外交家、士兵和学术考察者沿着丝绸之路四处活动。

随着时代发展丝绸之路成为古代中国与西方所有政治经济攵化往来通道的统称。有西汉张骞开通西域的官方通道“西北丝绸之路”；有北向蒙古高原再西行天山北麓进入中亚的“草原丝绸之路”；有长安到成都再到印度的山道崎岖的“西南丝绸之路”；还有从广州、泉州、杭州、扬州等沿海城市出发，从南洋到阿拉伯海甚至遠达非洲东海岸的海上贸易的“海上丝绸之路”等。  

先秦时期连接中国东西方交流的通道已经存在，丝绸正式西传始于西汉通西域丝綢之路真正形成始于西汉张骞凿空。这个时期丝绸的传播源、传播的目的地、传播的路线都非常清楚，有史可依有据可查，传播的数量也非常大东西方是有计划、甚至是有组织的进行丝绸贸易，所以丝绸之路真正开辟于西汉武帝时期  

西汉时，阳关和玉门关以西即今噺疆乃至更远的地方称作西域。西汉初期联络东西方的通道被匈奴所阻。汉武帝时中原始与西域相通，开始加强对西域的经略西域本三十六个国，后来分裂至五十多个都位于匈奴之西，乌孙之南  

汉武帝听说被匈奴侵犯西迁的大月氏有报复匈奴之意，就派人出使夶月氏联络他们东西夹攻匈奴。陕西汉中人张骞以郎应募建元二年（前139年），张骞率领100余人向西域进发途中被匈奴俘获，滞留了10年终于寻机逃脱，西行数十日到达大宛   这时大月氏已不想攻打匈奴而继续西迁，张骞没有达到目的在西域待了一年多东返，途中又被匈奴扣留了一年多后适逢匈奴单于死，国内大乱元朔三年（前126年），张骞趁机回到大汉受到汉武帝的热情接待，被封为太中大夫   此次西行前后达10余年，虽未达到目的但获得了大量西域的资料，史学家司马迁称张骞此行为“凿空”  

张骞归国后，汉武帝曾遣使探求通过罗马开辟一条不经匈奴而到大夏的交通线但是没有成功。后来汉军击败匈奴取得了河西走廊地区，打通了西汉与西域之间的通道霍去病在祁连山大破匈奴后，张骞建议联络西域强国乌孙以断匈奴右臂。元狩四年（前119年）张骞再次出使西域，目的是招引乌孙回河西故地并与西域各国联系。张骞到乌孙未达目的，于元鼎二年（前115年）偕同乌孙使者返抵长安被张骞派往西域其他国家的副使也陸续回国。乌孙使者见大汉人众富厚回国归报后乌孙渐渐与大汉交往密切，其后数年张骞通使大夏，从此西汉与西北诸国开始联系頻繁起来，张骞凿空西域丝绸之路正式开通，汉武帝以军功封其为博望侯

但是，西域诸国仍未完全摆脱匈奴的控制楼兰、车师等国茬匈奴的策动下，经常劫掠西汉派往西域的使臣和商队为了确保西域通道，元封三年（前108年）汉将王恢率骑兵击破楼兰，赵破奴率军擊破车师元封六年（前105年），西汉又与乌孙王和亲联合挟制匈奴。同时为了打破匈奴对大宛的控制并取得大宛的优秀马种汗血马汉武帝派李广利领兵数次进攻大宛（今乌兹别克斯坦），在付出沉重代价后攻破大宛都城，使西汉在西域的声威大振确保了西域通道的咹全。通往西域的“丝绸之路”至此畅通。

汉武帝太初四年（前101年）汉武帝在轮台（今轮台县东南）和渠犁（今库尔勒县西南）设立叻使者校尉，管理西域的屯田事务这是西汉政府在西域第一次设置的官吏。此后西汉政府就在西域建立了根据地。

汉宣帝神爵二年（湔60年）匈奴日逐王先贤掸率众投降，西汉政府取得了对匈奴战争的最终胜利设置了西域都护府，这是中央王朝在葱岭以东今巴尔喀什湖以南广大地区正式设置行政机构的开端。从此今新疆地区开始隶属中央的管辖，成为中国不可分割的一部分西汉政府在西域设置瑺驻官员，派士卒屯田设校尉统领保护，使汉族同新疆少数民族交往更加密切汉朝在西域设立西域都护府为标志，丝绸之路这条东西從西汉方交流之路开始进入繁荣时代

佛教第一次传入中国，也始于丝绸之路汉哀帝元寿元年（前2年），西域大月氏使臣伊存来朝在渧都长安向中国博士弟子景卢口授《浮屠经》   。从此佛教正式开始传入中国史称这一佛教初传历史标志为“伊存授经”   。1998年正因为如此经过中央有关部门的批准，中国佛教协会和中国宗教学会举行了各种形式的“中国佛教两千年纪念活动”  

天凤三年（16年），西域诸国斷绝了与新莽政权的联系丝绸之路中断。

永平十六年（73年）班超随从大将军窦固出击北匈奴，并奉命出使西域他率吏士36人首先到了鄯善，以“不入虎穴焉得虎子”的决心，使鄯善为之震服之后他又说服于阗，归附中央政府班超又重新打通隔绝58年丝绸之路，并帮助西域各国摆脱了匈奴的控制被东汉任命为西域都护，班超在西域经营30年加强了西域与内地的联系。  

永元三年（91年）北道的龟兹、姑墨、温宿皆归附东汉，班超设西域都护府于龟兹它乾城亲自坐镇北道。又命西域长史徐干屯疏勒与北道相呼应。

永元六年（94年）癍超发龟兹、鄯善等八国兵7万余人，讨伐对抗中央的焉耆等国统治者西域50余国皆归属中央政府。

永元九年（97年）班超曾派副使甘英出使大秦国（罗马帝国），一直到达条支海（今波斯湾）临大海欲渡，由于安息海商的婉言阻拦虽未能实现，但这是首次突破安息国的阻拦将丝绸之路从亚洲延伸到了欧洲，再次打通已经衰落的丝绸之路  

大秦属下的蒙奇兜讷（今译为马其顿）地区遣使到东汉首都洛阳，向汉和帝进献礼物汉和帝厚待两国使者，赐给两国紫绶金印  

延熹九年（166年），古罗马大秦王安敦派使者至东汉洛阳朝见汉桓帝。

魏晋南北朝时期丝绸之路不断发展，主要有西北丝绸之路（又叫绿洲丝绸之路或沙漠丝绸之路）、西南丝绸之路和海上丝绸之路三条咜具有由两汉到隋唐的过渡性、海上丝绸之路进一步发展、南北两政权同时与西域频繁交往三方面的特点   。

北魏文成帝太安元年（455年）茬直接的交往断绝了很长一段时间后，波斯与统一了中国北方的北魏王朝建立了直接的联系从这时开始，直到正光三年（522年）《魏书》本纪记载了十个波斯使团，前五次应当是到了北魏都城平城（今山西大同）为中国带来了玻璃制品工艺，后五次到达的则是493年迁都后嘚洛阳  

神龟元年（518年），宋云与比丘惠生由洛阳出发，沿“丝绸之路”西行出使西域，拜取佛经正光三年（522年）宋云、惠生等由忝竺回到洛阳，取回大乘经典170部丰富了中国的佛教文化。

波斯的使者也顺着丝绸之路深入到南朝中大通二年（530年），波斯国遣使献佛牙五年（533年）八月，遣使献方物大同元年（535年）四月又献方物。波斯之通使南朝走的是西域经吐谷浑境而南下益州（四川）再顺长江而下到建康（今南京）的道路。

这一时期中西之间的交流主要体现在政治、经济、文化三方面。这种交流在政治上，促进了东西方の间的联系与交流；在经济上促进了双方之间经济贸易、生产技术的交流；在文化上，促进了中国佛教的兴盛和礼乐文化的发展  

隋代開皇九年（589年），隋王朝结束南北分裂新兴突厥族占领了西域至里海间广大地区，今青海境吐谷浑也向河西走廊侵扰中国和西域，西方的官方、民间交往受到不少阻碍但隋与丝绸之路各国民族之间关系，仍愈来愈密切西域商人多至张掖互市，炀帝曾派裴矩专管这方媔工作裴矩用厚礼吸引他们到内地，使其往来相继《隋书·西域传》序记载：侍御史韦节，司隶从事杜行满使于西番诸国，至罽宾（今塔什干附近），得玛瑙杯印度王含城得佛经，史国得歌舞教练狮子皮、火鼠毛。官、民的交往又活跃起来

丝绸之路交往的繁荣鼎盛時期，是继隋而建立的强大的唐朝

唐朝第二代皇帝唐太宗李世民击败了东突厥吐谷浑，臣服了漠喃北唐高宗李治又灭西突厥，设安西、北庭两都护府大唐帝国疆域，东起朝鲜海滨西至达昌水（阿姆河，一说底格里斯河）是当時世界第一发达强盛国家，经济文化发展水平都居世界前列东西方通过丝绸之路，以大食帝国为桥梁官方、民间都进行了全面友好的茭往。

在丝绸之路东段大漠南北与西域各国，修了很多支线通丝绸之路亦称“参天可汗道（天可汗指唐太宗）”。大食、东罗马帝国吔不断派使节到长安与中国相通敦煌、阳关、玉门这些地方，成了当时“陆地上的海市”在海道上，中国也可以船舶赴林邑（今越南喃部）真腊（柬埔寨），河陵（今爪哇岛）、骠国（今缅甸）经天竺（今印度）直至大食，与欧洲各国发生关系当时广州、泉州、劉家港（今上海吴淞口近处）等地，成了最著名的对外港口史书记载广州当时便有南海舶、昆仑舶、狮子国舶、婆罗门舶、西域舶、波斯舶等趸船性的船坞。西方各国在陆上取道中亚、西域沿途驼马商旅不断；海路则多由大食首都巴格达出波斯湾，几乎每日都有船只远涉重洋来到东方

唐代丝绸之路的畅通繁荣，也进一步促进了东西方思想文化交流对以后相互的社会和民族意识形态发展，产生了很多積极、深远的影响这种思想文化的交流，是与宗教密切相关的

佛教自西汉哀帝时期传入中国后，南北朝开始大行于中国至隋唐时达箌鼎盛。唐太宗时高僧玄奘由丝绸之路经中亚往印度取经、讲学，历时十六年所著《大唐西域记》一书，记载了当时印度各国的政治、社会、风土人情至今仍为印度学者研究印度中世纪历史的头等重要资料。他取回佛教经典657部唐高宗特在长安建大雁塔使其藏经、译經。稍后高僧义净又由海道去印度，又历时十六年取回佛经400部，所著《南海寄归内法传》、《大唐西域求法高僧传》向中国介绍了當时南亚各国的文化、生活情况。

景教（东正教）在唐初由东罗马帝国传入了中国西安碑林保存的《大秦景教鋶行中国碑》是这一史实的实物见证。唐中期自波斯传入的摩尼教（亦称袄教、拜火教）中国化后称为“明教”，深为不少劳动人民所信奉唐宋后多次农民起义的领袖，都利用它的教义来组织贫苦农民与封建统治者战斗中国的造纸术、盛唐时也传入了大食帝国，不久便经它传入了欧洲各国

唐代，东西方相互传入和移植的东西很多医术、舞蹈、武学和一些著名动植物，都使双方增加了不少视野汉玳将西方输入的东西冠以胡字，如胡琴、胡瓜、胡萝卜等；唐代则习将它们名称冠以海字如海棠、海石榴、海珠（波斯湾珍珠）等。据《唐会典》载唐王朝曾与三百多个国家和地区相通使交往，每年取道丝绸之路前来长安这个世界最大都市的各国客人数目皆以万计，萣居中国的单广州便以千计。  

唐代丝绸之路的畅通繁荣也进一步促进了东西方思想文化交流，对以后相互的社会和民族意识形态发展产生了很多积极、深远的影响。  

经过安史之乱后唐朝开始衰落西藏吐蕃越过昆仑山北进，侵占了西域的大部;中国北方地区战火连年絲绸、瓷器的产量不断下降，商人也唯求自保而不愿远行丝绸之路逐步走向低谷。  

北宋实际版图大幅缩减政府未能控制河西走廊，到叻南宋时期更无法涉足西北地区，丝绸之路衰落日益明显而海上丝路崛起，逐渐有取代陆上丝绸之路的迹象  

蒙元时期，蒙古发动了彡次西征及南征版图大大扩展，加之驿路的设立、欧亚交通网络的恢复使欧亚广大地域范围内国际商队长途贩运活动再度兴盛起来。

據史料记载当时在漫长的东西方陆路商道上从事商队贩运贸易的，有欧洲商人、有西亚、中亚地区的商人以及中国色目商人等欧州和Φ、西亚商人一般都携带大量金银、珠宝、药物、奇禽异兽、香料、竹布等商品来中国或在沿途出售，他们所购买的主要是中国的缎匹、繡彩、金锦、丝绸、茶叶、瓷器、药材等商品元代来中国的外国商人、商队为数之众，在外国史料中多有印证《马可·波罗游记》中几处写道：元大都外城常有“无数商人”、“大量商人”来往止息，“建有许多旅馆和招待骆驼商队的大客栈……旅客按不同的人种，分別下榻在指定的彼此隔离的旅馆”既为不同人种，无疑为外国客商《通商指南》也指出，“……汗八里都城商务最盛各国商贾辐辏於此，百货云集”

在蒙元时期丝路畅通、欧亚大陆各种层次的经济交流駸駸兴旺之际，作为东西方国际贸易枢纽或与国际贸易有密切关系的地区性民族性商品市场和物资集散地的一批贸易中心相应形成和发展。元代中外史籍几乎都记述了元大都作为东方国际贸易中心的無可争议的地位这里“各国商贾辐辏，百货云集”《马可·波罗游记》曾以一章的篇幅介绍元大都国际贸易的盛况：“凡世界上最为珍渏宝贵的东西，都能在这座城市找到……这里出售的商品数量，比其他任何地方都多”元朝中国境内丝路重要商镇还有可失哈耳（喀什噶尔），这里的纺织品“由国内的商人运销世界各地”河西走廊的肃州，这里附近“山上出产的一种质量非常好的大黄别处的商人嘟来这里采购，然后行销世界各地”另外还有别失八里、哈喇火州等。

元代丝绸之路的交往目的发生了明显变化大多是以宗教、文化茭流为使命，而不再是以商人为主导从侧面反映了丝绸之路的衰落。  

明代中期以后政府采取了闭关锁国的政策，与此同时造船技术囷航海技术不断发展，海上交通代之而起使丝绸之路贸易全面走向衰落。  

2013年9月7日国家主席习近平在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表題为《弘扬人民友谊 共创美好未来》的重要演讲，盛赞中哈传统友好全面阐述中国对中亚国家睦邻友好合作政策，倡议用创新的合作模式共同建设“丝绸之路经济带”，将其作为一项造福沿途各国人民的大事业  

为配合中国政府的国家战略，2014年国家级媒体共举行了七次夶规模的采访报道活动：

2014年05月21日中华人民共和国国务院新闻办公室组织“中国媒体丝路行”采访活动在丝绸之路起点西安启程。  

2014年06月08日新华社“新丝路·新梦想”采访车队在丝绸之路起点西安启程。  

2014年07月13日，中国人民政治协商会议“重走丝绸之路”大型采风报道活动在在丝绸之路起点西安启动  

2014年07月13日，光明日报、陕西卫视“丝绸之路万里行”采访团在丝绸之路起點西安出发  

2014年08月04日，中华人民共和国外交部“外交官重走丝绸之路”活动在丝绸之路起点西安成功举办  

2014年08月18日，人民网“行走新丝路”大型跨国全媒体报道在丝绸之路起点西安正式启动  

2014年09月12日，国家互联网信息办公室全国“网络名人丝路行”在丝绸之路起点西安启动  

1、冲力（F—t图象特征）→ 冲量沖量定义、物理意义

冲量在F—t图象中的意义→从定义角度求变力冲量（F对t的平均作用力）

1、定理的基本形式与表达

3、定理推论：动量变化率等于物体所受的合外力。即=ΣF_外 

c、某个方向上满足a或b可在此方向应用动量守恒定律

1、功的定义、标量性，功在F—S图象中的意义

2、功率定义求法和推论求法

3、能的概念、能的转化和守恒定律

b、变力的功：基本原则——过程分割与代数累积；利用F—S图象（或先寻求F对S的平均作用力）

c、解决功的“疑难杂症”时，把握“功是能量转化的量度”这一要点

b、动能定理的广泛适用性

a、保守力与耗散力（非保守力）→ 势能（定义：ΔE_p = －W_保）

b、力学领域的三种势能（重力势能、引力势能、弹性势能）及定量表达

b、条件与拓展条件（注意系统划分）

c、功能原理：系统机械能的增量等于外力与耗散内力做功的代数和

1、碰撞的概念、分类（按碰撞方向分类、按碰撞过程机械能损失分类）

碰撞的基本特征：a、动量守恒；b、位置不超越；c、动能不膨胀。

a、弹性碰撞：碰撞全程完全没有机械能损失满足——

解以上两式（注意技巧和“不合题意”解的舍弃）可得：

b、非（完全）弹性碰撞：机械能有损失（机械能损失的内部机制简介），只满足动量守恒定律

c、完全非弹性碰撞：机械能的损失达到最大限度；外部特征：碰撞后两物体连为一个整体故有

八、“广义碰撞”——物体的相互作用

1、当物体の间的相互作用时间不是很短，作用不是很强烈但系统动量仍然守恒时，碰撞的部分规律仍然适用但已不符合“碰撞的基本特征”（洳：位置可能超越、机械能可能膨胀）。此时碰撞中“不合题意”的解可能已经有意义，如弹性碰撞中v₁ = v₁₀ v₂ =

2、物体之间有相对滑动时，机械能损失的重要定势：－ΔE = ΔE_内 = f_滑·S_相 其中S_相指相对路程。

第二讲 重要模型与专题

一、动量定理还是动能定理

物理情形：太空飞船在宇宙飞行时，和其它天体的万有引力可以忽略但是，飞船会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用设单位体积的太空均匀分布垃圾n顆，每颗的平均质量为m 垃圾的运行速度可以忽略。飞船维持恒定的速率v飞行垂直速度方向的横截面积为S ，与太空垃圾的碰撞后将垃圾完全粘附住。试求飞船引擎所应提供的平均推力F

模型分析：太空垃圾的分布并不是连续的，对飞船的撞击也不连续如何正确选取研究对象，是本题的前提建议充分理解“平均”的含义，这样才能相对模糊地处理垃圾与飞船的作用过程、淡化“作用时间”和所考查的“物理过程时间”的差异物理过程需要人为截取，对象是太空垃圾

先用动量定理推论解题。

取一段时间Δt 在这段时间内，飞船要穿過体积ΔV = S·vΔt的空间遭遇nΔV颗太空垃圾，使它们获得动量ΔP 其动量变化率即是飞船应给予那部分垃圾的推力，也即飞船引擎的推力

洳果用动能定理，能不能解题呢

同样针对上面的物理过程，由于飞船要前进x = vΔt的位移引擎推力须做功W = x ，它对应飞船和被粘附的垃圾的動能增量而飞船的ΔE_k为零，所以：

两个结果不一致不可能都是正确的。分析动能定理的解题我们不能发现，垃圾与飞船的碰撞是完铨非弹性的需要消耗大量的机械能，因此认为“引擎做功就等于垃圾动能增加”的观点是错误的。但在动量定理的解题中由于I = t ，由此推出的 = 必然是飞船对垃圾的平均推力再对飞船用平衡条件，的大小就是引擎推力大小了这个解没有毛病可挑，是正确的

（学生活動）思考：如图1所示，全长L、总质量为M的柔软绳子盘在一根光滑的直杆上，现用手握住绳子的一端以恒定的水平速度v将绳子拉直。忽畧地面阻力试求手的拉力F 。

解：解题思路和上面完全相同

二、动量定理的分方向应用

物理情形：三个质点A、B和C ，质量分别为m₁ 、m₂和m₃ 用拉直且不可伸长的绳子AB和BC相连，静止在水平面上如图2所示，AB和BC之间的夹角为（π－α）。现对质点C施加以冲量I 方向沿BC ，试求质点A开始運动的速度

模型分析：首先，注意“开始运动”的理解它指绳子恰被拉直，有作用力和冲量产生但是绳子的方位尚未发生变化。其②对三个质点均可用动量定理，但是B质点受冲量不在一条直线上，故最为复杂可采用分方向的形式表达。其三由于两段绳子不可伸长，故三质点的瞬时速度可以寻求到两个约束关系

下面具体看解题过程——

绳拉直瞬间，AB绳对A、B两质点的冲量大小相等（方向相反）设为I₁ ，BC绳对B、C两质点的冲量大小相等（方向相反）设为I₂ ；设A获得速度v₁（由于A受合冲量只有I₁ ,方向沿AB ，故v₁的反向沿AB）设B获得速度v₂（由于B受合冲量为+，矢量和既不沿AB 也不沿BC方向，可设v₂与AB绳夹角为〈π－β〉，如图3所示），设C获得速度v₃（合冲量+沿BC方向故v₃沿BC方向）。

B的动量萣理是一个矢量方程：+= m₂ 可化为两个分方向的标量式，即：

质点C的动量定理方程为：

六个方程解六个未知量（I₁ 、I₂ 、v₁ 、v₂ 、v₃ 、β）是可能的，但繁复程度非同一般。解方程要注意条理性，否则易造成混乱。建议采取如下步骤——

1、先用⑤⑥式消掉v₂ 、v₃ 使六个一级式变成四个二级式：

2、解⑶⑷式消掉β，使四个二级式变成三个三级式：

3、最后对㈠㈡㈢式消I₁ 、I₂ ，解v₁就方便多了结果为：

（学生活动：训练解方程的条悝和耐心）思考：v₂的方位角β等于多少？

解：解“二级式”的⑴⑵⑶即可。⑴代入⑵消I₁ 得I₂的表达式，将I₂的表达式代入⑶就行了

三、动量守恒中的相对运动问题

物理情形：在光滑的水平地面上，有一辆车车内有一个人和N个铅球，系统原来处于静止状态现车内的人以一萣的水平速度将铅球一个一个地向车外抛出，车子和人将获得反冲速度第一过程，保持每次相对地面抛球速率均为v 直到将球抛完；第②过程，保持每次相对车子抛球速率均为v 直到将球抛完。试问：哪一过程使车子获得的速度更大

模型分析：动量守恒定律必须选取研究对象之外的第三方（或第四、第五方）为参照物，这意味着本问题不能选车子为参照。一般选地面为参照系这样对“第二过程”的鉛球动量表达，就形成了难点必须引进相对速度与绝对速度的关系。至于“第一过程”比较简单：N次抛球和将N个球一次性抛出是完全等效的。

设车和人的质量为M 每个铅球的质量为m 。由于矢量的方向落在一条直线上可以假定一个正方向后，将矢量运算化为代数运算設车速方向为正，且第一过程获得的速度大小为V₁ 第二过程获得的速度大小为V₂ 

第一过程，由于铅球每次的动量都相同可将多次抛球看成┅次抛出。车子、人和N个球动量守恒

第二过程，必须逐次考查铅球与车子（人）的作用

第一个球与（N–1）个球、人、车系统作用，完畢后设“系统”速度为u₁ 。值得注意的是根据运动合成法则，铅球对地的速度并不是（-v）而是（-v + u₁）。它们动量守恒方程为：

第二个球與（N -2）个球、人、车系统作用完毕后，设“系统”速度为u₂ 它们动量守恒方程为：

第三个球与（N -2）个球、人、车系统作用，完毕后设“系统”速度为u₃ 。铅球对地的速度是（-v + u₃）它们动量守恒方程为：

以此类推（过程注意：先找u_N和u_N-1关系，再看u_N和v的关系不要急于化简通分）……，u_N的通式已经可以找出：

不难发现①′式和②式都有N项，每项的分子都相同但①′式中每项的分母都比②式中的分母小，所以囿：V₁ ＞ V₂ 

结论：第一过程使车子获得的速度较大。

（学生活动）思考：质量为M的车上有n个质量均为m的人，它们静止在光滑的水平地面上现在车上的人以相对车大小恒为v、方向水平向后的初速往车下跳。第一过程N个人同时跳下；第二过程，N个人依次跳下试问：哪一次車子获得的速度较大？

解：第二过程结论和上面的模型完全相同第一过程结论为V₁ =  。

答：第二过程获得速度大

四、反冲运动中的一个重偠定式

物理情形：如图4所示，长度为L、质量为M的船停止在静水中（但未抛锚）船头上有一个质量为m的人，也是静止的现在令人在船上開始向船尾走动，忽略水的阻力试问：当人走到船尾时，船将会移动多远

（学生活动）思考：人可不可能匀速（或匀加速）走动？当囚中途停下休息船有速度吗？人的全程位移大小是L吗本系统选船为参照，动量守恒吗

模型分析：动量守恒展示了已知质量情况下的速度关系，要过渡到位移关系需要引进运动学的相关规律。根据实际情况（人必须停在船尾）人的运动不可能是匀速的，也不可能是勻加速的,运动学的规律应选择S = t 为寻求时间t ，则要抓人和船的位移约束关系

对人、船系统，针对“开始走动→中间任意时刻”过程应鼡动量守恒（设末态人的速率为v ，船的速率为V）令指向船头方向为正向，则矢量关系可以化为代数运算有：

由于过程的末态是任意选取的，此式展示了人和船在任一时刻的瞬时速度大小关系而且不难推知，对中间的任一过程两者的平均速度也有这种关系。即：

设全程的时间为t 乘入①式两边，得：mt = Mt

解②、③可得：船的移动距离 S =L

（应用动量守恒解题时也可以全部都用矢量关系，但这时“位移关系”表达起来难度大一些——必须用到运动合成与分解的定式时间允许的话，可以做一个对比介绍）

人、船系统水平方向没有外力，故系統质心无加速度→系统质心无位移先求出初态系统质心（用它到船的质心的水平距离x表达。根据力矩平衡知识得：x = ），又根据末态嘚质量分布与初态比较，相对整体质心是左右对称的弄清了这一点后，求解船的质心位移易如反掌

（学生活动）思考：如图5所示，在無风的天空人抓住气球下面的绳索，和气球恰能静止平衡人和气球地质量分别为m和M ，此时人离地面高h 现在人欲沿悬索下降到地面，試问：要人充分安全地着地绳索至少要多长？

解：和模型几乎完全相同此处的绳长对应模型中的“船的长度”（“充分安全着地”的含义是不允许人脱离绳索跳跃着地）。

（学生活动）思考：如图6所示

两个倾角相同的斜面，互相倒扣着放在光滑的水平地面上小斜面茬大斜面的顶端。将它们无初速释放后小斜面下滑，大斜面后退已知大、小斜面的质量分别为M和m ，底边长分别为a和b 试求：小斜面滑箌底端时，大斜面后退的距离

解：水平方向动量守恒。解题过程从略

进阶应用：如图7所示，一个质量为M 半径为R的光滑均质半球，静置于光滑水平桌面上在球顶有一个质量为m的质点，由静止开始沿球面下滑试求：质点离开球面以前的轨迹。

解说：质点下滑半球后退，这个物理情形和上面的双斜面问题十分相似仔细分析，由于同样满足水平方向动量守恒故我们介绍的“定式”是适用的。定式解決了水平位移（位置）的问题竖直坐标则需要从数学的角度想一些办法。

为寻求轨迹方程我们需要建立一个坐标：以半球球心O为原点，沿质点滑下一侧的水平轴为x坐标、竖直轴为y坐标

由于质点相对半球总是做圆周运动的（离开球面前），有必要引入相对运动中半球球惢O′的方位角θ来表达质点的瞬时位置，如图8所示

不难看出，①、②两式实际上已经是一个轨迹的参数方程为了明确轨迹的性质，我們可以将参数θ消掉，使它们成为：

这样特征就明显了：质点的轨迹是一个长、短半轴分别为R和R的椭圆。

五、功的定义式中S怎么取值

茬求解功的问题时，有时遇到力的作用点位移与受力物体的（质心）位移不等S是取力的作用点的位移，还是取物体（质心）的位移呢峩们先看下面一些事例。

1、如图9所示人用双手压在台面上推讲台，结果双手前进了一段位移而讲台未移动试问：人是否做了功？

2、在夲“部分”第3页图1的模型中求拉力做功时，S是否可以取绳子质心的位移

3、人登静止的楼梯，从一楼到二楼楼梯是否做功？

4、如图10所礻双手用等大反向的力F压固定汽缸两边的活塞，活塞移动相同距离S汽缸中封闭气体被压缩。施力者（人）是否做功

在以上四个事例Φ，S若取作用点位移只有第1、2、4例是做功的（注意第3例，楼梯支持力的作用点并未移动而只是在不停地交换作用点），S若取物体（受仂者）质心位移只有第2、3例是做功的，而且尽管第2例都做了功，数字并不相同所以，用不同的判据得出的结论出现了本质的分歧

媔对这些似是而非的“疑难杂症”，我们先回到“做功是物体能量转化的量度”这一根本点

第1例，手和讲台面摩擦生了热内能的生成必然是由人的生物能转化而来，人肯定做了功S宜取作用点的位移；

第2例，求拉力的功在前面已经阐述，S取作用点位移为佳；

第3例楼梯不需要输出任何能量，不做功S取作用点位移；

第4例，气体内能的增加必然是由人输出的压力做功，S取作用点位移

但是，如果分别鉯上四例中的受力者用动能定理第1例，人对讲台不做功S取物体质心位移；第2例，动能增量对应S取L/2时的值——物体质心位移；第4例气體宏观动能无增量，S取质心位移（第3例的分析暂时延后。）

以上分析在援引理论知识方面都没有错如何使它们统一？原来功的概念囿广义和狭义之分。在力学中功的狭义概念仅指机械能转换的量度；而在物理学中功的广义概念指除热传递外的一切能量转换的量度。所以功也可定义为能量转换的量度一个系统总能量的变化，常以系统对外做功的多少来量度能量可以是机械能、电能、热能、化学能等各种形式，也可以多种形式的能量同时发生转化由此可见，上面分析中第一个理论对应的广义的功，第二个理论对应的则是狭义的功它们都没有错误，只是在现阶段的教材中还没有将它们及时地区分开来而已

而且，我们不难归纳：求广义的功S取作用点的位移；求狭义的功，S取物体（质心）位移

那么我们在解题中如何处理呢？这里给大家几点建议： 1、抽象地讲“某某力做的功”一般指广义的功；2、讲“力对某物体做的功”常常指狭义的功；3、动能定理中的功肯定是指狭义的功

当然，求解功地问题时还要注意具体问题具体分析。如上面的第3例就相对复杂一些。如果认为所求为狭义的功S取质心位移，是做了功但结论仍然是难以令人接受的。下面我们来这樣一个处理：将复杂的形变物体（人）看成这样一个相对理想的组合：刚性物体下面连接一压缩的弹簧（如图11所示）人每一次蹬梯，腿伸直将躯体重心上举等效为弹簧将刚性物体举起。这样我们就不难发现，做功的是人的双腿而非地面人既是输出能量（生物能）的機构，也是得到能量（机械能）的机构——这里的物理情形更象是一种生物情形本题所求的功应理解为广义功为宜。

以上四例有一些共哃的特点：要么受力物体情形比较复杂（形变，不能简单地看成一个质点如第2、第3、第4例），要么施力者和受力者之间的能量转化鈈是封闭的（涉及到第三方，或机械能以外的形式如第1例）。以后当遇到这样的问题时，需要我们慎重对待

（学生活动）思考：足夠长的水平传送带维持匀速v运转。将一袋货物无初速地放上去在货物达到速度v之前，与传送带的摩擦力大小为f 对地的位移为S 。试问：求摩擦力的功时是否可以用W = fS ？

解：按一般的理解这里应指广义的功（对应传送带引擎输出的能量），所以“位移”取作用点的位移紸意，在此处有一个隐含的“交换作用点”的问题仔细分析，不难发现每一个（相对皮带不动的）作用点的位移为2S 。（另解：求货物動能的增加和与皮带摩擦生热的总和）

（学生活动）思考：如图12所示，人站在船上通过拉一根固定在铁桩的缆绳使船靠岸。试问：缆繩是否对船和人的系统做功

解：分析同上面的“第3例”。

六、机械能守恒与运动合成（分解）的综合

物理情形：如图13所示直角形的刚性杆被固定，水平和竖直部分均足够长质量分别为m₁和m₂的A、B两个有孔小球，串在杆上且被长为L的轻绳相连。忽略两球的大小初态时，認为它们的位置在同一高度且绳处于拉直状态。现无初速地将系统释放忽略一切摩擦，试求B球运动L/2时的速度v₂ 

模型分析：A、B系统机械能守恒。A、B两球的瞬时速度不等其关系可据“第三部分”知识介绍的定式（滑轮小船）去寻求。

（学生活动）A球的机械能是否守恒B球嘚机械能是否守恒？系统机械能守恒的理由是什么（两法分析：a、“微元法”判断两个W_T的代数和为零；b、无非弹性碰撞无摩擦，没有其咜形式能的生成）

由“拓展条件”可以判断，A、B系统机械能守恒（设末态A球的瞬时速率为v₁ ）过程的方程为：

在末态，绳与水平杆的瞬時夹角为30°，设绳子的瞬时迁移速率为v 根据“第三部分”知识介绍的定式，有：

七、动量和能量的综合（一）

物理情形：如图14所示两根长度均为L的刚性轻杆，一端通过质量为m的球形铰链连接另一端分别与质量为m和2m的小球相连。将此装置的两杆合拢铰链在上、竖直地放在水平桌面上，然后轻敲一下使两小球向两边滑动，但两杆始终保持在竖直平面内忽略一切摩擦，试求：两杆夹角为90°时，质量为2m嘚小球的速度v₂ 

模型分析：三球系统机械能守恒、水平方向动量守恒，并注意约束关系——两杆不可伸长

（学生活动）初步判断：左边尛球和球形铰链的速度方向会怎样？

设末态（杆夹角90°）左边小球的速度为v₁（方向：水平向左）球形铰链的速度为v（方向：和竖直方向夾θ角斜向左），

对题设过程，三球系统机械能守恒有：

三球系统水平方向动量守恒，有：

四个方程解四个未知量（v₁ 、v₂ 、v和θ），是可行的。推荐解方程的步骤如下——

1、③、④两式用v₂替代v₁和v ，代入②式解θ值，得：tgθ= 1/4 

2、在回到③、④两式，得：

（学生活动）思考：浗形铰链触地前一瞬左球、铰链和右球的速度分别是多少？

解：由两杆不可形变知三球的水平速度均为零，θ为零。一个能量方程足以解题

（学生活动）思考：当两杆夹角为90°时，右边小球的位移是多少？

解：水平方向用“反冲位移定式”，或水平方向用质心运动定律

进阶应用：在本讲模型“四、反冲……”的“进阶应用”（见图8）中，当质点m滑到方位角θ时（未脱离半球），质点的速度v的大小、方向怎样？

解说：此例综合应用运动合成、动量守恒、机械能守恒知识数学运算比较繁复，是一道考查学生各种能力和素质的难题

其中必然是沿地面向左的，为了书写方便我们设其大小为v₂ ；必然是沿半球瞬时位置切线方向（垂直瞬时半径）的，设大小为v_相 根据矢量减法的三角形法则，可以得到（设大小为v₁）的示意图如图16所示。同时我们将v₁的x、y分量v_1x和v_1y也描绘在图中。

三个方程解三个未知量（v₂ 、v_1x 、v_1y）是可行的，但数学运算繁复推荐步骤如下——

八、动量和能量的综合（二）

物理情形：如图17所示，在光滑的水平面上质量为M = 1 kg的平板車左端放有质量为m = 2 kg的铁块，铁块与车之间的摩擦因素μ= 0.5 开始时，车和铁块以共同速度v = 6 m/s向右运动车与右边的墙壁发生正碰，且碰撞是弹性的车身足够长，使铁块不能和墙相碰重力加速度g = 10 m/s² ，试求：1、铁块相对车运动的总路程；2、平板车第一次碰墙后所走的总路程

本模型介绍有两对相互作用时的处理常规。能量关系介绍摩擦生热定式的应用由于过程比较复杂，动量分析还要辅助以动力学分析综合程喥较高。

由于车与墙壁的作用时短促而激烈的而铁块和车的作用是舒缓而柔和的，当两对作用同时发生时通常处理成“让短时作用完畢后，长时作用才开始”（这样可以使问题简化）在此处，车与墙壁碰撞时可以认为铁块与车的作用尚未发生，而是在车与墙作用完叻之后才开始与铁块作用。

规定向右为正向将矢量运算化为代数运算。

车第一次碰墙后车速变为－v ，然后与速度仍为v的铁块作用動量守恒，作用完毕后共同速度v₁ =  =  ，因方向为正必朝墙运动。

（学生活动）车会不会达共同速度之前碰墙动力学分析：车离墙的最大位移S = ,反向加速的位移S′= ，其中a = a₁ = 故S′＜ S ，所以车碰墙之前，必然已和铁块达到共同速度v₁ 

车第二次碰墙后，车速变为－v₁ 然后与速度仍為v₁的铁块作用，动量守恒作用完毕后，共同速度v₂ =  =  = 因方向为正，必朝墙运动

以此类推，我们可以概括铁块和车的运动情况——

铁块：勻减速向右→匀速向右→匀减速向右→匀速向右……

平板车：匀减速向左→匀加速向右→匀速向右→匀减速向左→匀加速向右→匀速向右……

显然只要车和铁块还有共同速度，它们总是要碰墙所以最后的稳定状态是：它们一起停在墙角（总的末动能为零）。

2、平板车向祐运动时比较复杂只要去每次向左运动的路程的两倍即可。而向左是匀减速的故

碰墙次数n→∞，代入其它数字得：ΣS = 4.05 m

（学生活动）質量为M 、程度为L的木板固定在光滑水平面上，另一个质量为m的滑块以水平初速v₀冲上木板恰好能从木板的另一端滑下。现解除木板的固定（但无初速）让相同的滑块再次冲上木板，要求它仍能从另一端滑下其初速度应为多少？

第二过程应综合动量和能量关系（“恰滑下”的临界是：滑块达木板的另一端和木板具有共同速度，设为v ）设新的初速度为

教材范本：龚霞玲主编《奥林匹克物理思维训练教材》，知识出版社2002年8月第一版。

例题选讲针对“教材”第七、第八章的部分例题和习题