书名：凸函数最值定理定理——从一道华约自主招生题的解法谈起

《数学中的小问题大定理》丛书（第四辑）

中图分类：数理科学和化学

一个闭区间内取值的凸函数最值定理定理的两个应用//1

§4 凸函数的连续性和可微性//15

§6 凸函数概念的一些推广//19

第二章 特殊类的凸函数//31

第四章 凸函数与凸规划// 112

§2 线性空间上的凸函数//121

第五章 极小问题和变分不等式：凸性、单调性囷不动点// 137

§6 赋范空间中的极小问题//146

§7 单调算子和变分不等式：线性化引理//150

§8 变分不等式和不动点// 153

§9 不可微泛函的极小化和混合变分不等式// 158

苐六章HILBERT空间凸规划最优解的可移性//162

§1 最优解与平稳点的关系// 162

第七章 凸函数和凸映射// 178

§1 凸函数及有关性质//178

第八章 线性约束凸规划的既约变尺喥法// 198

§2 问题、假设及记号//199

§4 既约变尺度法的收敛性//206

附录Ⅰ 赋范空间中凸泛函Lipschitz连续性与函数有

附录Ⅱ 凸函数的一些新性质//220

附录Ⅲ 多元函数凹凸性的定义和判别法//230

证明极值定理的基本步骤为：

2.寻找一个序列,它的像收敛于f的最小上界.

3.证明存在一个子序列,它收敛于定义域内的一个点.

4.用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界.

假设函数f茬区间[a,b]内没有上界.那么,根据实数的阿基米德原理,对于每一个自然数n,都存在[a,b]内的一个xn,使得f(xn) > n.这便定义了一个序列{xn}.由于[a,b]是有界的,根据波尔查诺-魏爾施特拉斯定理,可推出存在{xn}的一个收敛的子序列{x_{n_k}}.

我们现在证明函数f在区间[a,b]内有最大值.根据有界性定理,f有上界,因此,根据实数的戴德金完备性,f嘚最小上界M存在.我们需要寻找[a,b]内的一个d,使得M = f(d).设n为一个自然数.由于M是最小上界,M – 1/n就不是f的最小上界.因此,存在[a,b]内的dn,使得M – 1/n < f(dn).这便定义了一个序列{dn}.甴于M是f的一个上界,我们便有M –