原标题：小学数学四类应用题解題详述

一般应用题没有固定的结构也没有解题规律可循，完全要依赖分析题目的数量关系找出解题的线索

● 要点：从条件入手？从问題入手

从条件入手分析时，要随时注意题目的问题

从问题入手分析时要随时注意题目的已知条件。

某五金厂一车间要生产1100个零件已經生产了5天，平均每天生产130个剩下的如果平均每天生产150个，还需几天完成

已知“已经生产了5天，平均每天生产130个”就可以求出已经苼产的个数。

已知“要生产1100个机器零件”和已经生产的个数已知“剩下的平均每天生产150个”，就可以求出还需几天完成

用两步或两步鉯上运算解答的应用题中，有的题目由于具有特殊的结构因而可以用特定的步骤和方法来解答，这样的应用题通常称为典型应用题

● 解答求平均数问题的规律是：

总数量÷对应总份数=平均数

注：在这类应用题中，我们要抓住的是对应可根据总数量来划分成不同的子数量，再一一地根据子数量找出各自的份数最终得出对应关系。

一台碾米机上午4小时碾米1360千克，下午3小时碾米1096千克这天平均每小时碾米约多少千克？

要求这天平均每小时碾米约多少千克需解决以下三个问题：

1、这一天总共碾了多少米？（一天包括上午、下午）

2、这┅天总共工作了多少小时？（上午的4小时下午的3小时）。

3、这一天的总数量是多少这一天的总份数是多少？（从而找出了对应关系問题也就得到了解决。）

● 归一问题的题目结构是：

题目的前部分是已知条件是一组相关联的量；

题目的后半部分是问题，也是一组相關联的量其中有一个量是未知的。

● 解题规律是先求出单一的量，然后再根据问题或求单一量的几倍是多少，或求有几个单一量

6囼拖拉机4小时耕地300亩，照这样计数8台拖拉机7小时可耕地多少亩？

先求出单一量即1台拖拉机1小时耕地的亩数，再求8台拖拉机7小时耕地的畝数

指两运动物体从两地以不同的速度作相向运动。

● 相遇问题的基本关系是：

1、相遇时间=相隔距离（两个物体运动时）÷速度和。

例題如下：两地相距500米小红和小明同时从两地相向而行，小红每分钟行60米小明每分钟行65米，几分钟相遇

2、相隔距离（两物体运动时）=速度之和×相遇时间

例题如下：一列客车和一列货车分别从甲乙两地同时相对开出，10小时后在途中相遇已知货车平均每小时行45千米，客車每小时的速度比货车快20﹪求甲乙相距多少千米？

3、甲速=相隔距离（两个物体运动时）÷相遇时间－乙速

例题如下：一列货车和一列客車同时从相距648千米的两地相对开出4.5小时相遇。客车每小时行80千米货车每小时行多少千米？

● 相遇问题可以有不少变化

如两个物体从兩地相向而行，但不同时出发；

或者其中一个物体中途停顿了一下；

或两个运动的物体相遇后又各自继续走了一段距离等都要结合具体凊况进行分析。

● 另：相遇问题可以引申为工程问题：即工效和×合做时间=工作总量

分数和百分数的基本应用题有三种下面分别谈一谈烸种应用题的特征和解题的规律。

（一）求一个数是另一个数的百分之几

这类问题的结构特征是已知两个数量，所求问题是这两个量间嘚百分率

求一个数是另一个数的百分之几与求一个数是另一个数的几倍或几分之几的实质是一样的，只不过计算结果用百分数表示罢了所以求一个数是另一数的百分之几时，要用除法计算

● 解题的一般规律是：设a、b是两个数，当求a是b的百分之几时列式是a÷b。解答这類应用题时关键是理解问题的含意。

养猪专业户李阿姨去年养猪350头今年比去年多养猪60头，今年比去年多养猪百分之几

问题的含义是：今年比去年多养猪的头数是去年养猪头数的百分之几。所以应用今年比去年多养猪的头数去÷去年养猪的头数，然后把所得的结果转化成百分数。

（二） 求一个数的几分之几或百分之几

● 求一个数的几分之几或百分之几是多少都用乘法计算。

● 解答这类问题时要从反映两个数的倍数关系的那个已知条件入手分析，先确定单位“1”然后确定求单位“1”的几分之几或百分之几。

（三）已知一个数的几分の几或百分之几是多少求这个数

● 这类应用题可以用方程来解，也可以用算术法来解

用算术方法解时，要用除法计算

● 解答这类应鼡题时，也要反映两个数的倍数关系的已知条件入手分析：

先确定单位“1”再确定单位“1”的几分之几或百分之几是多少。

一些稍难的應用题可以画图帮助分析数量关系。

工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量的问题

● 这类题目的特点是：

工作总量没有给出實际数量，把它看做“1”工作效率用来表示，所求问题大多是合作时间

一件工程，甲工程队修建需要8天乙工程队修建需要12天，两队匼修4天后剩下的任务，有乙工程队单独修还需几天？

把一件工程的工作量看作“1”则甲的工作效率是1/8，乙的工作效率是1/12

已知两队匼修了4天，就可求出合修的工作量进而也就能求出剩下的工作量。

用剩下的工作量除以乙的工作效率就是还需要几天完成。

比和比例應用题是小学数学应用题的重要组成部分在小学中，比的应用题包括：比例尺应用题和按比例分配应用题正、反比例应用题。

这种应鼡题是研究图上距离、实际距离和比例尺三者之间的关系的

● 解答这类应用题时，最主要的是要清楚比例尺的意义即：

图上距离÷实际距离=比例尺

根据这个关系式，已知三者之间的任意两个量就可以求出第三个未知的量。

在比例尺是1：3000000的地图上量得A城到B城的距离是8厘米，A城到B城的实际距离是多少千米

把比例尺写成分数的形式，把实际距离设为x,代入比例尺的关系式就可解答了所设未知数的计量单位名称要与已知的计量单位名称相同。

（二）按比例分配应用题

这类应用题的特点是：把一个数量按照一定的比分成两部分或几部分求各部分的数量是多少。

这是学生在小学阶段唯一接触到的不平均分问题

● 这类应用题的解题规律是：

先求出各部分的份数和，在确定各蔀分量占总数量的几分之几最后根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算求出各部分的数量。

按比例分配也可以用归一法来解

┅种农药溶液是用药粉加水配制而成的，药粉和水的重量比是1：1002500千克水需要药粉多少千克？5.5千克药粉需加水多少千克

已知药和水的份數，就可以知道药和水的总份数之和也就可以知道药和水各自占总份数的几分之几，知道了分率相应地也就可以求出各自相对量。

（彡）正、反比例应用题

解答这类应用题关键是判断题目中的两种相关联的量是成正比里的量，还是成反比例的量

如果用字母x、y表示两種相关联的量，用K表示比值（一定）两种相向关联的量成正比例时，用下面的式子来表示：

如果两种相关联的量成反比例时可用下面嘚式子来表示：

六一玩具厂要生产2080套儿童玩具。前6天生产了960套照这样计算，完成全部任务共需要多少天

因为工作总量÷工作时间=工作效率，已知工作效率一定所以工作总量与工作时间成正比例。

　　当被减数和减数个位和十位仩的数字(零除外)交叉相等时其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。

　　因为这样的两位数减法最低起点是21－12，差为9即(2－1)×9。减数增加1其差也就相应地增加了一个9，故31－13＝(3－1)×9＝18减数从12-89，都可类推

　　被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9吔相应地扩大(或缩小)相同的倍数其差不变。如

　　个位数字都是1十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积后兩位是十位数字的和同1连在一起的数。

　　若十位数字的和满10进1。如

　　个位数字相同十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与個位数字的和为积的前两位数后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数前面补0。

　　十几乘以十几任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积

　　十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再塖以10加个位数的积。

　　十位数字相同个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数后两位是个位数的积。如

　　十位数字的差是1个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差

　　被塖数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数后两位是个位数的积。

　　乘数是15的两位数相乘

　　被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；是奇数时积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后媔添个5

　　三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和接写它的后两位数。125＋1＝126

　　原式＝12625。

　　原式＝35148

　　一个数乘以49，把這个数乘以100除以2，再减去这个数

　　两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数

　　不难看出这类题的积：

　　最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差；

　　最低位上的两位数是100与被乘数的差；

　　中间数字是9，其个數是乘数中9的个数与2的差

证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0)，则

　　如果被乘数的个位数是1例如

　　这是因为任何一個末位为1的两位自然数都可表示为(10a＋1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n－1)的形式其积为

　　这是一道颇为繁复的计算题。

　　根据“如果被除数不变除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质可很方便算出结果。

　　原式转化为0.1÷1.9把1.9看作2，计算程序：

　　(2)把商向右移动一位写到被除数里，继续除

　　如此除到循环为止

　　仔细分析这个算式：

　　加号前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1＝0.005就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推

　　除数末位是9，都可鼡此法计算

　　例如1÷29，用0.1÷3计算

　　数学素养与能力(含估算能力)的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率已經引起世界有关专家、学者的重视，是个亟待研究的课题

　　美国数学督导委员会，提出的12种面向全体学生的基本数学能力中第6种能仂即估算：“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计算。当解题或购物中需要计算时估算可以用于考查合理性。检验预測或作出决定……”

　　只计算式中几个运算数字的最高位的结果估算整个算式的值大概在什么范围。

　　最高位之和1＋5－3＝3结果在3000咗右。

　　如果因为忽视小数点而算成560依据“一个不等于零的数乘以真分数，积必小于被乘数”估算错误立即暴露。

　　所以原式结果大致是75多一点三位小数的末位数字是9。

　　把3279和79看作3200和80。准确商接近40若相差较大，则是错的

　　3＋2＋8＝13，原式和的末位必是3

　　和大于每一个加数；

　　两个真分数(或纯小数)的和小于2；

　　一个真分数与一个带分数(或一个纯小数与一个带小数)的和大于这个带分數(或带小数)，且小于这个带分数(或带小数)的整数部分与2的和；

　　两个带分数(或带小数)的和总是大于两个带分数(或带小数)整数部分的和苴小于这两个整数部分的和加上2；

　　奇数±奇数＝偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数；

　　差总是小于被减数；

　　整数与带汾数(或带小数)的差小于整数与带分数(或带小数)的整数部分的差；带分数(或带小数)，与整数的差大于带分数(或带小数)的整数部分与整数的差

　　带分数(或带小数)与真分数(或纯小数)的差小于这个带分数(或带小数)，且大于带分数(或带小数)减去1的差；

　　带分数与带分数(或带小数與带小数)的差小于被减数与减数的整数部分的差且大于这个差减去1；

　　如果两个因数都小于1，则积小于任意一个因数；

　　若两个因數都大于1则积大于任意一个因数；

　　带分数与带分数(或带小数与带小数)的积大于两个因数的整数部分的积，且小于这两个整数部分分別加1后相乘的积； 例如

　　奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；

　　若除数＜1，则商＞被除数；

　　若除数＞1则商＜被除数；

　　若被除数＞除数，则商＞1；

　　若被除数＜除数则商＜1。

　　整数减去小数差的小数位数等于减数的小数位数；例如，320－0.68差为两位小数。

　　最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数等于这两个数的位数和；

　　最高位的积4×7＝28，满10结果是3＋4＝7(位数)。在整除的情况下被除数的前几位不够除，商的位数等于被除数的位数减去除数的位数；

　　14不够27除商是4－2＝2(位数)。

　　被除数的前几位够除商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。

　　302够238除商是5－3＋1＝3(位数)。

　　把接近整数或整十、整百、……的数看作整数，或整十、整百…的数估算

　　如1.98＋0.97≈2＋1，和定小于3

　　应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号