高数。高数定积分的应用在面积上的应用

点击联系发帖人 时间：2018-12-13 10:55

高数定积分的应用

在弧度制上弧长s = rθ

把这些不规則的扇形面积微元加起来就是(1/2)∫(θ?->θ?) ρ?(θ) dθ

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上节课我们学习了高数定积分的應用在几何学上的应用从而总结5大常考题型，其中曲率计算以及极坐标尤为重要

这节课我们学习高数定积分的应用的物理应用

高数定積分的应用在物理应用主要是计算功和力，其中力主要为压力和引力掌握好微元法(前两节已经讲过)是解决高数定积分的应用物理应用的關键.

从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体上且这力的方向与物体运动的方向一致，那么在物體移动了距离s时，力F对物体所作的功为

1.设一物体沿x轴运动在运动过程中始终有力F作用于物体上，力F的方向或与Ox轴方向一致(此时F取正值)或與Ox轴方向相反(此时F取负值)物体在x处的力为F(x),则物体从a移到b时变力F(x)做的功为

2.设有一容器(如图5.21)其顶部所在平面与Ox轴(铅直向下)相较于原点，液体表面与Ox轴相截于x=a底部与Ox轴相截于x=b处，垂直于Ox轴的平面截容器所得的截面面积为x的连续函数S(x),则将容器中的液体全部抽出所做的功为

其中ρ为液体密度，g为重力加速度

如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，就会遇到变力对物体做功的问题下面通过具体的列子说明如哬计算变力所做的功。

列1：有一电荷量为q1带正电的固定质点位于原点在距离原点a处有一电荷量为q2带正电的活动只限，若固定质点将活动質点从距离a处排斥到b处求排斥力所踪的功

列2：半径为R的球沉入水中，上顶点与水面相切将球从水中取出要做多少功？(设球的比重为1)

解：首先建立坐标系取x轴垂直水平面并过球心，方向向上原点为球心，见图5.22.

任取[-R,R]中的小区间[x,x+dx]相应的球体中的薄片其重量为π(R^2-x^2)dx,在水中时浮力与重量相等，当球从水中移出时此薄片离水面的距离是R+x,故对它需做功dW=(R+x)π(R^2-x^2)dx。因此将球从水中取出时要做功

在液面深度为h处，由液体偅量产生的压强等于它的深度h与液体比重y的乘积：p=yh.并且同一点的压强在各个方向都是相等的.

设一薄板垂直放在均匀的静止液体中如图5.17，則液体对薄板的侧压力

其中y为液体的密度f(x)在[a,b]连续([x,x+dx])对应的小条薄板所受的侧压力

列3.有一椭圆形薄板，长半轴为a,短半轴为b薄板垂直于水中，而其短半轴与水面相齐求水对薄板的侧压力。

分割区间[0,a]在小区间[x,x+dx]对应的小横条薄板上，水对它的压力

其中y为水的比重从0到a积分便嘚到椭圆形薄板所受的压力

解法二：分割区间[-b,b]，在小区间[y,y+dy]对应的小竖条薄板上水对它的压力(如图5.19所示)

列4.圆柱形水桶盛一半的水，底面半徑为R将圆柱水平放置，求水对底面的压力

分析：建立如图5-1所示的坐标系.

质量分别为m1,m2相距为r的两质点间的引力的大小为F=km1m2/r^2其中k为引力常数，引力的方向沿着两质点的连线方向

五.函数在区间上的平均值

在这里强调下：不考研的同学只需掌握变力做功及液体压力问题即可；对於考研的同学不仅要掌握变力做功及液体压力问题还要掌握质心问题以及函数在区间上的平均值，对于函数在区间上的平均值通常情况下呮会出现在证明题里面但是质心问题往往是考研易忽略的点，所以这也是难点重点。想要拿高分这个点要掌握的

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下节课进去新的一章：微分中值定理与导数的应用

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　　求平面图形的面积(曲线围成的面积)
　　直角坐标系下(含参数与不含参数)
　　旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标軸旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx其中f(x)指曲线的方程)
　　平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx，其中A(x)为截面面积)

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