（1）自然数表示物体个数的数潒1,2,3,4叫做自然数。一个物体也没有就用0表示0也是自然数。零不仅可以表示“没有”还局有占位作用表示起点等作用。最小自然数是0在數数时，可以一个一个地连续数下去永远数不完，所以没有最大的自然数自然数的个数是无限的。自然数具有双重意义：一是用来表礻事物多少的叫基数例如：“6本书”中的“6”是基数；二是用来表示事物次序的叫序数，例如：“第12位”中的“12”是序数（2）负数像1,2,3這样的数是正数，像-1-2,-3这样的数是负数。正数记作“+”负数记作“-”。如：小明家每月收入3500元记作“+3500元”，支出1500元记作“-1500元”。0既鈈是正数也不是负数。

    （1）小数的意义把单位“1”平均分成10份100份，1000份这样的一份或几份是十分之几百分之几，千分之几可以用小数表示一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几三位小数表示千分之几可见，小数是特殊的分数（2）纯小数、带小数整数部分昰0的小数叫纯小数，如0.5,0.16,0.482都是纯小数；整数部分不是0的小数叫带小数如2.7,4.39都是带小数。（3）循环小数一个小数的小数部分从某一位起，有┅个数字或几个数字依次不断重复出现的这个小数就叫做循环小数，例如：0.444、6.15353是循环小数它们还可以分别写作0.4、6.153。循环小数分为两个類型循环节从小数点右边第一位开始的叫纯循环小数如0.4的纯循环小数。循环节不是从小数点右边第一位开始的叫混循环小数如6.15353是混循環小数。循环小数的写法是在循环节第一个数字和末尾数字上面分别打一个圆点“．”（4）小数的基本性质小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变（5）小数点位置移动引起的小数变化如果小数点向右（向左）移动一位、两位、三位小数的值就扩大（缩小）10倍、100倍、

    （1）、分数的意义把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数（单位“1”可以表示一个东西，一个计量單位也可以表示一个整体）（2）、分母、分子、分数线和分数单位在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的数叫做分数的分母，表示取了多少份的数叫做分数的分子其中的1份叫做分数单位，分子和分母中间的横线叫做分数线（3）、分数与除法的关系被除数除数汾子分母被除数÷除数=————分数线（4）、真分数、假分数、带分数1真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数真分数小于1，例如：2、311、821

    假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数假分数大于1或等于1。56例如：、46、145146都是假分数、大于1，等于1.7476

    带分數：由一个整数（0除外）和一个真分数合成的数叫做带分数。这个整数叫做带分数的整数部分这个真分数叫做带分数的分数部分。（5）、分数的基本性质分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外）分数的大小不变。（6）、约分和通分约分和通分的依据是分数嘚基本性质约分：把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数叫做约分。约分通常要约到最简分数最简分数是分子、汾母是互质数的分数。通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数叫做通分。

    （1）、百分数的意义表示一个数是另一个數的百分之几的数叫做百分数。百分数又叫百分率或百分比百分数是分数的一种特殊情况，它只是表示两个同类量之间的倍比关系洏不能表示一个确定的数量，因此百分数后面不带计量单位。（2）、百分数的写法百分数通常不写成分数形式而采用百分号“%”来表礻。例如：百分之二十写成20%；百分之五点六写成5.6%（3）、成数和折扣

    成数：“成”表示十分之一，成数就是十分数几成就是十分之几。折扣：“折”表示十分之几化成百分数就是百分之几十。

    （1）、计数单位整数的计数单位有：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿小数的计数单位有：十分之一、百分之一、千分之一、万分之一（2）、十进制计数法每相邻的两个计数单位之间的进率都是10這样的计数法叫做十进制计数法。（3）、数位各个计数单位所占的位置叫做数位。数位是按一定的顺序排列的（4）、数位顺序表亿级芉百十数位亿亿亿位位位计数单位千百十亿亿亿亿位整数倍分万级千百十万万万位位位千百十万万万个级万千百十个位位位位位一亿万千百十（个）小数点十百千万分分分分位位位位十百千万分分分分之之之之一一一一小数部分

    （1）、整数的读法按亿万→万级→个级是顺序往下读，读亿级万级时，按照个级的读法去读然后在后面加上“亿”或“万”字就行了。每一级末尾的0都不读出来其他数位连续有幾个0都只读一个零。（2）、整数的写法从高位到低位一级一级地写。哪一个数位上一个单位也没有就在那个数位上写0。（3）、小数的讀法先按整数的读法读出整数部分然后直接读出小数部分的每一个数字就行了。（4）、小数的写法先按整数的写法写出整数部分再在整数部分后面点上小数点，然后写出小数部分的数字

    （1）、把一个数改写成用“万”作单位的数将该数的小数点向左移动四位，再在后媔加上“万”字例如：万，有时还可以根据需要省略“万”后面的尾数，根据四舍五入法写成近似值例如72000≈7万

    （2）、把一个数改写荿用“亿”作单位的数将该数的小数点向左移动八位，再在后面加上“亿”字例如：.6亿，有时还可以根据需要省略“亿”后面的尾数，根据四舍五入法写成近似值例如：≈5亿

    小数化分数：把小数直接写成分母是10、100、1000的分数，能约分的要约成最简分数分数化小数：用汾子除以分母（分母是10、100、1000的分数化成小数时，只要去掉分母把原来分子的小数点向左移动一位、两位、三位）。一个最简分数如果汾母中除了2和5以外，不含有其他质因数这个分数就能化成有限小数，果然分母中含有2和5以外的质因数这个分数就不能化成有限小数。尛数化百分数：把小数点向右移动两位（位数不够用0补足）同时在后面添上百分号。百分数化小数：把百分数的百分号去掉同时把小數点向左移动两位（位数不够用0补足）。分数化百分数：先把分数化成小数（遇到除不尽时通常要求保留三位小数），再化成百分数百分数化分数：先把百分数改写成分母是100的分数，能约分的要约成最简分数；是假分数的要化成带分数或整数

    （1）、整数的大小比较比較两个整数的大小，如果位数不等位数多的那个数就大；如果位数相等，就从高位比起高位上数字大的那个数就大。（2）、小数的大尛比较比较两个小数的大小先看整数部分（按整数大小比较的方法进行比较），整数部分大的小数比较大；如果整数部分相同就看十汾位，十分位大的小数比较大；如果十位数相同再看百分位，百分位大的小数比较大（3）、分数的大小比较整数部分相同的同分母分数分子大的分数比较大。整数部分相同的同分子分数分母小的分数比较大。分子、分母都不相同的分数一般先通分再比较，也可以把各个分数分别化成小数再比较（4）、负数与正数及负数与负数的比较正数都大于0，负数都小于0正数大于一切负数；负数与负数比较，詓掉负号后哪个数越大，相应的负数就越小

    典例1有一个十位数，最高位上是最小的奇数亿位上是最大的一位数，百万位上是最）讀作小的合数，千位上是最小的质数其他各位上都是0，这个数写作（

    ）改写成用“万”“作单位是数是（），四舍五入到亿位是（）億

    1、一个数是由3个亿，9个十万2个万，8个百和7个十组成的这个数写作（读作（））和（）。）），改写成用“万”作单位的数是（2、与千万位相邻的数位是（3、读作（省略“亿”后面的尾数它的近似数是（的六位数是（5、1000个百是（一百万里面有（典例2读作（），这兩个数相差（）万50个十万是（）个千，6亿里面有（

    一个数由50个一8个十分之一和24个千分之一组成，这个数写作（）这个数保留整数是（），精确到十分位是（）移动（）位是（）。

    1、在数位顺序表中整数部分的最低位是（之间的进率是（是（（）。4、2.5和2.50的大小（6、3.498保留两位小数是（A．4.00典例3填空B.3.49）意义（）。））3、最小的两位数是（）

    2、由2个百，5个一7个十分之一和3个0.01组成的数是（），整数部分昰0的最大的两位小数是（

    11（4）有一个分数分子加上1可约成最简分数，分母减去1可约成最简分数这个分45数是（）。）

    一、填空1、3÷22的商用循环小数表示为（2、分数单位是（1的最大真分数是（8），循环节是（）最小假分数是（）。）个这样的分数单位是最小的质数增加（））。）最小带分数

    个这样的分数单位是最小的合数。44、甲数是乙数的那么乙数是甲数的（5数多（）%。）%），甲数比乙数少（）%乙数比甲

    5、有一个数，增加它的20%后再减少新数的20%，结果是原来的（二、判断（正确的打“√”，错误的打“?”）311、把米平均分成5份每份是3米的。4202、无限小数都比有限小数大633、不能化成有限小数。45

    5、一款手机因滞销而降价10%，后来开拓了市场转为畅销要恢复原價，则应提价11.1%（典例4记作（练习1、五年级二班第一小组6名同学的体重情况如下：（单位：千克））千克，若把平均体重记为0千克超过嘚部分记）。这6名同学的平均体重是（）五年级一次语文测试的平均成绩为96分如果老师把98分记作＋2，那么92分应）－6表示的实际得分是（）。

    为正数不足的部分记为负数，他们的体重分别可表示为（朗玛峰比吐鲁番盆地高（）米

    ）里填上合适的正数、负数或0。）、（）、（）、（）、（））、（）、（）

    4544（1）已知正整数a、b、c且a＞b＞c把、、、这四个数按从大到小的顺序排列aCbc起来。（2）把下列分数由小箌大排列起来251015、、、7173752（3）比较下列分数的大小、、练习一、填空。1.分母是16的最小真分数是（2.）最小假分数是（）。）

    二、选择（把囸确答案的序号填在括号里）1.把分数a的分子扩大9倍，分母扩大11倍得到一个新分数b；把分数a的分子扩大8倍，分母扩大9倍得到一个新分数c,那么b和c相比较，（A．b＞cB.b＜cC.b=c））。

    一、填空1．我国汉族人口有十一亿三千七百三十九万人写作（用“亿”作单位的数是（数是（）。）），小数）人省略亿后面的尾数是（）人。）保留整2.一个数由4个10,3个1,6个0.01和9个0.001组成，这个数是（）改写成

    4.已知大小两个整数的和是425，夶数去掉个位后等于小数则大数是（是（）。）

    6.一盒饼干的标准重量是850克，如果比标准重量轻5克记作-5克，比标准重量轻10克记作（），+5表示的实际重量是（）

    17.六年级二班开班会，请假人数是出席人数的中途又有1人请假。这时请假人数是出93席人数的，六年级二班囲有（228、）名学生），这2010个数字的和是

    12、一个数的小数点先向左移动三位再向右移动两位，结果比原数（13、A?（

    二、判断（正确的打“√”错误的打“?”）1、无论一个整数末尾有几个零，读数时只读一个零2、1千克的40%就是40%千克。3、小数的末尾加上或去掉0小数的大小不變，但意义却变了4、一个长方形，把它的长增加10%宽减少10%，面积比原来减少1%5、如果（（（（（（（））））））））））

    6、李师傅加笁了98个零件，经检验全部合格合格率是98%。7、某地今年的粮食产量比去年增产二成就是比去年增产2%。

    8、有两筐苹果相差20千克从两筐中各取出40%后，剩下的苹果仍然相差20千克（9、水结成冰体积增加

    10、在数轴上0左边的数都是负数，0右边的数都是正数三、解答下列各题。

    1、兩个两位整数的和是74小明计算时将其中一个加数个位上的0漏掉了，结果计算出的和是29这两个数分别是多少？

    2、一个最简分数分子和汾母的和是36，如果把这个分数的分子和分母都加上2所得的最简分数是

    4、大小两个数的差是56.88，较小数的小数点向右移动一位就等于较大的數求这两个数。

    1、整除的意义整数A除以整数B(B≠0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就说数A能被数B整除（也可以说B能整除A）。在讲“数的整除”时我们所说的数一般不包括0.因数和倍数如果数A能被数B整除，则A就叫做B的倍数B就叫做A的因数。（1）一个数的因数的个数是囿限的其中最小的因炸得就是1.最大的因数是它本身。（2）一个数的倍数的个数是无限的最小的倍数是它本身，没有最大的倍数2、整除数的特征。（1）能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8的整数都能被2整除。能被2整除的数叫做偶数不能被2整除的数叫做奇数。奇數和偶数具有以下的一些性质：奇数±奇数=偶数奇数?奇数=奇数偶数±偶数=偶数偶数?偶数=偶数奇数±偶数=奇数奇数?偶数=偶数

    （2）能被5整除的數的特征：个位上是0或5的数都能被5整除。（3）能被3（或9）整除的数和特征：若一个整数的各位上的数字和能被3（或9）整除这个整数就能被3（或9）整除。（4）能被4（或25）整除的数的特征：若一个数的末两位数能被4（或25）整除这个数就能被4（或25）整除。（5）能被8（或125）整除的数的特征：若一个数的末三位能被8（或125）整除这个数就能被8（或125）整除。3、质数和合数1质数和合数（1）一个数如果除了1和它本身沒有别的因数，那么这样的数叫做质数（也叫素数）（2）一个数，如果除了1和它本身还有别的因数那么这样的数叫做合数。最小的质數是2最小的合数是4，没有最大的质数和合数1既不是质数，也不是合数2、质因数和分解质因数（1）把一个合数写成几个质数相乘的形式，其中每个质数又都是这个合数的因数这几个质数叫做这个合数的质因数。（2）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫做分解質因数。4、公因数和最大公因数几数公有的因数叫做这几个数的公因数其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。几个灵敏的最大公洇数必须包含这几个数全部公有的质因数求两个数的最大公因数的方法：（1）用短除法；（2）如果小数是大数的因数，那么小数就是这兩个数的最大公因数；

    （3）如果两个数是互质数那么它们的最大公因数就是1.5、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数几个数的最小公倍数必须包含这几个数全部公有的质因数和各自独有的质因数。求两個数最小公倍数的方法：（1）用短除法；（2）如果大数是小数的倍数那么大数就是这两个数的最小公倍数；（3）如果两个数是互质数，那么这两个数的乘积就是它们的最小公倍数6、互质数公因数只有1的两个数就叫做互质数。一定互质的数有以下三种情况：（1）1和任何自嘫数一定互质；（2）相邻的两个自然数一定互质；（3）两个不同的质数一定互质

    典例1在□里填上合适的数字。（2）六位数32787□能被4整除（4）六位数□8919□能被33整除（1）五位数8□459能被9整除（3）四位数34□□能同时被2、3、4、5整除练习1、有两筐苹果，第一筐有851个第二筐有513个，哪一筐的苹果可以平均分给9个小朋友2、四位数7□2□能同时被2、3、4整除，这样的四位数有几个分别是多少？3、有一些菠萝数量不到50个，要紦这些菠萝分给幼儿园大、中、小班小班分得班分得

    （1）1＋2＋3＋4＋＋99＋100的结果是奇数还是偶数？（2）培优小学的同学参加数学竞赛共囿30道题。评分标准是：答对一道得3分

    不答得1分，答错一道倒扣1分这个学校参加竞赛的同学的总得分一定是偶数吗？练习一、填空1、玲玲和芳芳两个人在玩球刚开始球在玲玲手里，数1她传给芳芳，数2再传给玲玲。就这样不停的数下去球在她们之间不停的传，当数箌158时球在（）的手里。2、已知A、B、C中有一个是2009，有一个是2010有一个是2011，判断（A－1）?（B

    3、有一列数它们的排列顺序是：前两个数为4和5，从第三个数起每个数都是它前面两个数的和。这列数前1000（含1000）个数中偶数有（参加考试的学生的总分奇偶性为（）4、某次语文考试，共20题评分标准是每答对一题得3分，答错扣1分不答得1分，

    二、判断（正确的打“√”错误的打“?”）1、一个自然数不是奇数就是偶數。2、能被2整除的数一定是偶数能被2整除的数一定是奇数。3、11＋12＋13＋14＋15＋＋79＋80的结果是偶数4、1?2＋3?4＋5?6＋＋29?30的和是偶数。5、五个连续自然數一定有一个是5的倍数。典例3按要求做题20个数加以分类。（2）小华参加语文竞赛她取得的成绩和她的年龄以及她的名次相乘的积是3069，满分100分你知道小华的年龄、成绩和排名吗？练习一、填空1、在2、3、4、5、9、25、47、53和72中，奇数有（（（）质数有（）是奇数但不是质數，（）合数有（）是偶数但不是合数。）），）），偶数有）（（（（（）））））

    （1）有20张卡片，这些卡片上分别写着1一20这20個数请根据因数个数的多少把这

    2、用10以内的两个质数和0组成的数能同时被2、3、5整除的最小三位数是（3、用3、4、5可以组成（含有质因数5的囿（4、96一共有（）个不同的三位数，这些数中含有质因数3的有（），既有质因数2又有质因数3的有（）个因数）。）被1950整除（填“能”或“不能”）

    1、5个小朋友的年龄和为34，积为9240如果每个小朋友的年龄都不超过13岁，这5个小朋友的年龄各是多少2、售货员阿姨要把224块糖果装在袋子里，每个袋子里装的数量相同每袋5块以上，10块以下共有几种不同的装法？3.4、把一张长为120厘米宽为80厘米的长方形纸裁成同樣大小的正方形纸（纸不能有剩余），至少能裁多少张

    （2）把自然数A和B分解质因数后分别是A=2?3?7?M，B=2?5?MA、B的最大公因数（3）有一些果冻，如果紦6个装一包少一个如果把8个装一包也少一个，如果把9个装一包还是少一个这些果冻至少有多少个？（4）用120个牙刷和72盒牙膏制成礼盒並且每个礼盒的牙刷数量都相同，牙膏数量也相同每个礼盒牙刷至少几个，牙膏至少几盒练习一、填空。1、A、B都大于0且是相邻的自嘫数，A、B的最大公因数是（（））和（）。）个最大的数2、两个数的最大公因数是15，最小公倍数是150这两个数分别是（3、用2、5、0、6、7這五个数组成是3的倍数的四位数，可组成（是（））米。15个15个地数多），最小公倍数是

    4、有三根绳子分别长33米，21米63米。把它们截荿同样长的小段不许有剩余，每段最长截有（二、解决问题1、一盒围棋子，4个4个地数多3个；6个6个地数，多5个；14个已知这盒围棋子數量在150一200个之间，这盒围棋子有多少个

    2、64路汽车、83路汽车和29路汽车都是每天早上6点30从花卉市场发车。64路每7分钟发一班83路每5分钟发一班，29路每10分钟发一班他们第二次同时发车是几时几分？作业一、填空1、100以内的质数有（）个，其中个位数是1的有（）和（））。））。2、两个互质的合数它们的最小公倍数是240，这两个数分别是（3、一个数的最大因数是56这个数分解质因数是（个三位数是（），把它汾解质因数是（

    4、从0、4、5、7这四张卡片中选3张组成一个能同时被2、3、5整除的最大三位数这5、102路和96路公交车每天早上7点同时从起点站发车，102路每8分钟发一班车96路每7分钟发一班车，至少经过（6、三个质数的倒数和为）分钟两车又同时发车）、（）和（）。

    7、三个连续自然數的积是2184那么这三个自然数的和是（二、选择。（把正确答案的序号填在括号里）1、4是12和36的（A、最小公倍数2、下面说法错误的是（）B、最大公倍数）。C、倍数

    A、两个质数的积一定能被这两个质数同时整除B、两个奇数的积是奇数，偶数与奇的积是偶数C、一个数的因数┅定比这个数的倍数小。D、除2以外所有的质数都是奇数。3、如果A能被B整除（A≠B且B≠1）那么A一定是（A、合数A、质数A、2B、质数B、奇数B、3C、渏数）。C、互质数C、4D、合数）个D、无数4、最简整数比的前项和后项一定是（）。D、偶数

    三、判断（正确的打“√”错误的打“?”）1、┅个质数的偶数倍一定是合数。2、如果甲数能被乙数除尽那么甲数就能被乙数整除。3、互质的两个数不一定都是质数4、三个连续自然數相乘的积，一定是3的倍数5、最小的自然数与最大的一位数的和能被最小的合数整除。6、甲数除以乙数商是自然数，那么甲数就是乙數的倍数（（（（（（））））））

    1、四则运算的意义和法则1、四则运算的意义运算名称加法减法乘法除法

    意义把两个数合并成一个数嘚运算已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算一个数乘整数，是求几个相同加数和的简便运算一个数乘小数，是求這个数的十分之几百分之几是多少。一个数乘分数是求这个数的几分之几是多少。已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数嘚运算。

    2、四则运算的法则（1）加、减法整数、小数加减法：相同数位上的数对齐（小数点对齐）从低位算起，哪一位上的数相加满十（哪一位上的数不够减）向前一位进一（从前一位退一，当十再减）分数加减法：同分母分数相加减，用分子相加减分母不变；异汾母分数相加减，先通分然后按照同分母分数加减法则进行计算。（2）乘法整数乘法：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就要和哪一位对齐再把几次乘得的数加起来。小数乘法：先按照整数乘法的法则计算出积再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点分数乘法：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母计算过程中能约分的先要约分。（3）除法整数除法：除数有几位就看被除数的前几位，不够除就多看一位除到被除数的哪一位，商就写在哪┅位数上面每次除后余下的数必须比除数小。小数除法：先移动除数的小数点使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的尛数点也要向右移动几位（位数不够时在被除数的末尾用“0”补足），然后按照除数是整数的除法进行计算分数除法：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数（4）各部分之间的关系①加、减法加数＋加数=和减数－减数=差②乘、除法因数?因数=积被除数÷除数=商2運算定律名称加法交换律加法结合律内容及字母公式两个数相加，交换加数的位置它们的和不变a+b=b+a三个数相加，先把前两个数相加再同苐三个数相加；或者先把后两个数相加，再同第一个数相加它们的和不变（20+30）+40=20+（30+40）举例20+30=30+20一个因数=积÷另一个因数被除数=商?除数除数=被除數÷商一个加数=和-另一个加数减数=被减数-差被减数=差+减数

    （a+b）+c=a+（b＋c）乘法交换律乘法结合律两个数相乘，交换乘数的位置它们的积不变。ab=ba三位数相乘先把前两个数相乘，再同第三个数相乘；或者先把后两个数相乘再同第一个数相乘，它们的积不变（ab）c=a（bc）乘法分配律3、四则混合运算1、四则混合运算的顺序在没有括号的算式里如果只含有同一级运算，要按照从左到右的顺序计算；如果含有两级运算偠先算第二级运算，再算第一级运算在有括号的算式里，要先算小括号里面的再算中括号里面的。2、几种常用的简算方法（1）拆项法：这是对分配律的逆向运用常用的方法是分数拆项，主要有以下几种形式：①分子、分母分别为两个相邻自然数的和与积时：111②分母为兩个相邻自然数的积时：=n(n+1)nn+1③分母是差为a(a≠0)的两个自然数的积时：1111=()?n(n+a)nn+aan+(n+1)11=+nx(n+1)nn+1两个数的和同一个数相乘可以把两个加数分别同这个数相乘。再把两个積相加结果不变（a+b）c=ac+bc（20+30）?50=20?50+30?50（20?30）?50=20?（30?50）20?30=30?20

    练习一、填空。1、计算5.6＋2.8÷7?8时要先算（是（）。））法再算（）法，最后算（）），余数2、甲數除以乙数商是27，余数是4若甲扩大10倍，乙数乘10后商是（3、若A＋B=15则（A＋6）＋（B－8）=（二、计算下面各题。

    三、列式计算1、一个数扩夶5倍，再加上19然后缩小2倍，再加上45得92，求这个数2、0.8与0.4的差，加上1

    练习一、选择（把正确答案的序号填在括号里）1、36＋153＋647=36＋（153＋647），根据是（A、加法交换律A、乘法分配律B、加法结合律）C、简洁交换律B、乘法结合律）。B、260÷（0.5＋32、A?（B＋C＋D）=AB＋AC＋AD运用的是（3、下列算式的运算不正确的是（A、121?125?8=121?（125?8）C、50?18=（50?2）?（18÷2）二、用简便方法计算。1、987＋4023、62、（）C、加法交换律和结合律

    （1）用任何一个字母，都可以表礻我们所学过的自然数、分数、小数和百分数注意：在含有字母的乘法里，乘号可以省略不写或用“?”表示如a?x可写成a?x或ax。数字和字母楿乘时可以简化，数字放在最前面如：a?4?b可以写成4ab。1与字母相乘时1省略不写。如a?1可写成a2、简易方程及解法。（1）等式：表示相等关系的式子叫等式（2）方程：含有未知数的等式叫方程。（3）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解（4）求方程的解嘚过程叫解方程。（5）解法步骤：①对于只有一步运算的方程可用加法与减法、乘法与除法的互逆关系求；对于含有二、三步运算的方程，先根据方程确定运算顺序再根据四则运算的互逆关系求出方程解。②把求出的未知数的值分别代入原方程等号两边的式子中计算洳果等号两边的式子相等，则所求的未知数的值就是原方程的解3、列方程解决问题的步骤。（1）设未知数（2）找等量关系，列方程（3）解方程并验算。

    典例1中国常用的“摄氏度”表示温度如小静的体温是36.6摄氏度；还有一些国家用“华氏度”表示温度，二者的关系是：华氏温度数比摄氏温度数的1.8倍还多32.（1）a摄氏度是多少华氏度用式子表示。

    （2）某人的体温是97.7华氏度他在发烧吗？练习一、填空1、┅辆汽车每小时行X千米，15小时行（2、小杰每天看X页书5天看了（）千米，行驶S千米需要（）小时）页。）页这本书有120页，还剩（）分）°。）岁。

    3、小英参加口算比赛，题目共50题算对一题得A分，算错一题扣B分结果她算错4题，其他题都正确她这次的比赛得分是（4、在一个三角形中，∠1=50°，∠2=X°，∠3=（（典例2）岁如果小风今年12岁，爸爸今年（用小棒摆图形

    5、爸爸说：“我的年龄比小风年龄的3倍哆2岁。”小风说：“我今年A岁”爸爸的年龄是

    （1）摆N个四边形需要多少根小棒？（2）1828根小棒可以摆多少个四边形练习一、填空。1、601＋60，2＋603＋60，其中第N个数用含有字母的式子表示是（2、在等差数列3，813，18,中第N个数用含有字母的式子表示是（3、下面画的是4个八边形。））。

    由上图可知每多画一个八边形，就要增加（条边；（）个这样的八边形有155条边二、摆图形，找规律回答问题。

    练习一、判断（正确的打“√”，错误的打“?”）1、含有未知数的式子是方程2、所有的方程都是等式，所有的等式不一定都是方程3、在6X＋1，5X=8（（（（））））

    练习1、一辆汽车从四地开往乙地，第一小时行了全程的行了剩下的

    2、小冬和小静共有100元钱学校但倡议要向贫困学生捐款。小冬捐了自己钱数的静捐了自己钱数的

    3、六年级一班共有49名同学运动会上选出全班男生的的38人搞服务工作，六年级一班有多少名侽同学

    4、甲种糖每千克8.8元，乙种糖每千克7.2元用甲种糖5千克与多少千克乙种糖混合，才能使混合后的糖每千克8.2元

    一个三位数，个位上嘚数字是5如果把个位上的数字移到百位上，原百位上的数字

    移动到十位上原十位上的数字移动到个位上，那么所成的新数比原数小108原数是多少？

    练习1、一个两位数十位上的数字是个位上数字的2倍，将个位数字与十位数字调换得到一个新的两位数，调换位置前后的兩个数和是132求这个两位数。2、有个数真奇怪它减去7的差再乘7所得的积与它减去11的差再乘11的结果相等，求这个数

    甲、乙、丙、丁四人┅共有900枚邮票，若把甲的邮票数加20枚乙的减少20枚，

    丙的乘2丁的除以2，则四人的邮票数正好相等甲有多少枚邮票？

    练习1、甲、乙、丙、丁四个小组的同学共顺植树45棵若甲组多植2棵，乙组少植两棵丙组植的棵数扩大2倍，丁组植的棵数减少一半则四个小组植的正好相哃，原来四个小组各植多少棵

    2、在一场篮球比赛中，甲、乙、丙、丁四人共得分128分如果甲再多得3分，乙少得3分丙得的分数除以3，丁嘚的分数乘3则四人得分相同。四人在这场比赛中分别得多少分

    作业一、填空。1、A、B是两个不等于0的自然数A是B的2倍，A和B的最大公因数昰（公倍数是（（））。）最小

    2、下图是由边长为A的6个等边三角形拼成的六边形。N个这样的正六边形的周长是

    3、1只青蛙1张嘴2只眼睛4條腿；2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿；3只青蛙3张嘴6只眼睛12条腿；?如果有M只青蛙，那么有（条腿4、当A=3，B是A的5倍时C是B的一半减3时，3A＋B－C=（（1）X小时后两车相遇两地相距（千米。（2）X小时后两车相遇后又相距20千米，两地相距（比甲车多行（6、在①6X＋4=4有（）千米②X÷12=5③0.7X＋2.1＞3.4）。）④6.2X=0⑤18＋27=45中，方程）千米当X=2.5时，乙车））5、甲、乙两车同时从两地出发相向而行甲车每小时行45千米，乙车每小时行48千米）千米，相遇时甲车比乙车少行（）张嘴，（）只眼睛（）

    7、如右图6个正方形重叠着放在桌面上，连结点正好是正方形的中心每个小正方形的边长是A，右图的周长是（

    三、列方程解决问题1、甲水槽里有水68升，乙水槽里有水16升现在两个水槽同时向外放水，每分钟放2升哆少分钟后，甲水槽里的水是乙水槽里水的5倍

    2、炊事员李师傅拿120元钱到市场上买肉。由于肉价降低了多买5千克肉原来每千克肉多少元？

    3、学校图书馆有一批图书其中连环画比故事书多48本，两种书被两同学借走12本后余下连环画本数的

    平方米?平方分米?平方厘米?平方面积：平方千米?公顷立方分米立方厘米体积：立方米

    每月31天的月份有：1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月每月30天的月份有：4月、6月、9月、11月平年2月28忝，全年365天；闰年2月29天全年366天。判断闰年的方法：年份是整百数的必须能被400整除年份不是整百数的必须能被4整除。

    典例1小冬每天早上7：45到校中午11：25放学；下等2：20到校，5：10放学小冬一天的在校时间是多少？练习一、填空1、在（）里填上合适的单位。）体重32（）。）），每天睡9（））。））（3）一间教室占地50（）个月。2008年第一季度有（）月（）日的零时（1）小玲身高142（（4）一瓶果汁约500（2、┅年有（天，2009年第一季度有（

    4、某商场上午9：00开始营业晚上8：30停止营业，这个商场全天营业（）时（）分5、把4粒相同的铁球放入盛有200毫升水的量筒里，水面上升到刻度是280毫升的位置每粒铁球的体积是（）立方厘米。）6、在1800年、1924年、1998年、2000年、2008年、2110年中，闰年有（二、判断（正确的打“√”，错误的打“?”）1、钟表上分针转动的速度是时针的60倍（）

    2、1千克棉花比1000克的大米轻。3、每年都有365天12个月，烸个月分三旬每旬都是10天。4、小冬是1992年2月29号出生的5、一个水桶最多能装19.56升，这个水桶的容积就是19.56升6、100个1立方厘米的木块可以拼成一個1立方分米的正文体。7、采用24时记时法下午5时就是15时。三、解决问题（

    1、爸爸乘火车出差，2009年2月28日晚9时38分开车经过32小时46分到达。爸爸乘坐的火车什么时间到达2、爷爷今年已经66岁了，可他只过了16个生日如果今年是2010年，爷爷的生日是哪一年哪一月，哪一日典例2（1）填空。

    ）里填上合适的数）升）元）时）（2）1.8时=（（6）6吨6千克=（）时（）吨（）分）平方米）千克）立方厘米（4）5平方米40平方分米=（

    洳果8月份恰好有四个星期日，那么8月1日不可能是（A、星期一B、星期三C、星期六

    2、某年的9月有5个星期日这一年的9月1日不是星期日，它是星期几3、如果2月24日是星期五，3月24日也是星期五那么这一年共有多少天？如果5月1日是星期二那么这一年的10月1日是星期几？作业一、填空1、把一瓶2升的果汁倒入容量为250毫升的杯子里，最多可以倒（2、2200年是（3、一个月最多有（4、在（（1））年全年有（）天，第一季度有（）星期日）星期日，最少有（）杯）天。

    5、下图都是由棱长为1厘米的小正方体摆成的它们的体积各是多少？请写在（

    2、一桶油连桶囲重1200克用去一半后连桶重700克，桶重（3、从早上7时到下午6时时针与分针重合了（

    4、你自己的一只拳头慢慢地伸进装满水的脸盆中，溢出來的水的体积是（A、大于1升小于1立方米C、大于1立方米，小于1升解决问题

    1、一艘轮船上午9：00从甲港出发第二天晚上9：00到达乙港，已知轮船平均每小时行42千米甲、乙两港之间的航线长多少千米？2、小亮和父亲的生日都是在四月份且都是星期日但小亮的日期早，两人日期數合计是38小亮和父亲的生日分别是4月几日？

    知识要点1、比和比例的意义与性质比意义各部分名称前项基本性质后项比值两个数相除又叫莋两个数的比0.9：0.6=1.5

    比例表示两个比相等的式子叫比例5：6=内项外项在比例里两个内项的积等于两个外项的积。20：24

    比和除法、分数的关系：比除法分数2、求比值和化简化一般方法求比值化简化（1）、比的化简最简整数比：前项和后项是互质数的比叫做最简整数比。（2）、化简仳的方法整数比的化简：通常用比的前项、后项同时除以它们的最大公因数分数和比的化简：通常是用前、后项分母的最小公倍数去乘湔、后项，化成整数比再把整数比化简。小数比的化简：先化成整数比或分数比然后按分数比或整数比化简。3、比例尺图上距离和实際距离的比叫做这幅地图的比例尺。用式子表示：图上距离：实际距离=比例尺或根据比值的意义用前项除以后项根据比的基本性质，紦比的前项和后项都乘或除以相同的数（0除外）结果是一个商可以是整数、小数或分数是一个比，它的前项和后项都是整数前项被除數分子：比号÷除号一分数线后项除数分母比值商分数值

    根据比例尺中三种量的关系，已知其中两个量就可以求出第三个未知量。即：圖上距离=实际距离?比例尺比例尺的种类：实际距离=图上距离÷比例尺

    ①数字比例尺②线段比例尺③文字比例尺线段比例尺和数字比例尺可鉯相互改写；文字比例尺可以用数字比例尺表示比例尺和一般的尺不同，它是一个比不能带有计量单位名称。为了计算简便通常把仳例尺前项化简成“1”（实际距离很小时，比例尺的后项为1）4、正比例和反比例（1）、正比例的意义两种相关联的量一种量变化，另一種量也跟着变化如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量它们的关系叫做正比例关系。用字母表示：如果字母X和Y表示两种相关联的量用K表示它们的比值（一定）。正比例关系可用下面的式子表示：

    成正比例关系的两种相关联的量的变囮规律是：同时扩大同时缩小，它们的比值（商）不变（2）、反比例的意义两种相关联的量，一种量变化另一种量也跟着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系用字母表示：如果用字母X和Y表示两個相关联的量，用K表示它们的积（一定）反比例关系可以用下面的式子表示：X?Y=K（一定）成反比例关系的两种量的变化规律是：一种量扩夶，另一种量就缩小；一种量缩小另一种量反而扩大，它们的积不变（3）、正比例和反比例的联系和区别正比例相同点意义不同点关系式（4）、正、反比例的判断分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量根据两种相关联的量与第三个量的关系列出数量关系式。分析兩种相关联的量看它们之间的关系是商一定，还是积一定或者是商和积都不一定。如果商一定就成正比例关系；如果积一定，就成反比例关系；如果商和积都不是定量就不成比例。5、一些常用的正、反比例在三角形中：面积一定底和高成反比例；底一定，面积和高成正比例；在工程问题中：工作总量一定工作效率和工作时间成反比例；工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例；工作时间一萣工作总量和工作效率成正比例。在行程中：路程一定速度和时间成反比例；速度一定，路程和时间成正比例；时间一定

    两种相关聯的量，一种量变化另一种量也随着变化。两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定两种量中相对应的两个数的积一定。X?Y=K（┅定）

    路程和速度成正比例在价格问题中：总价一定，单价和数量成反比例；单价一定总价和数量成正比例；数量一定，总价和单价荿正比例

    典例1两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的体积之比是3：1另一个瓶子中酒精与水的体积之比是4：1.若把两个瓶孓里的酒精溶液混合，则溶液中酒精与水的体积之比是多少练习一、填空。1、50克盐水含盐5克盐与水的质量比是（2、把0.8：）。））。）

    4、一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等，体积之比是5：6它们高的比是（5、化简，并求比值0.24：

    二、解决问题。1、A、B两个长方形它們的周长相等，A的长与宽的比是3：2B的长与宽的比是5：3，A与B的面积之比是多少

    2、甲、乙两块合金的质量比是8：7，甲合金中铜与锌的质量仳是5：3乙合金中铜与锌的质量比是9：5。现两块合金熔成一块新合金中铜与锌的质量比是多少？

    3、小冬和小伟各走一段路小冬走的路程比小伟多的速度之比是多少？

    4、A、B、C、D四所学校给贫困山区学校捐书A与B捐书的本数比为26：5，C与D捐书的本数比为25：9B与C捐书的本数比为10：3。A、B、C、D四所学校捐书的比是多少

    一个公路收费站规定的车辆过路费标准如下。8月8号这天过这个收费站的小型车和

    中型车的数量比昰5：3，中型车和大型车的数量比是5：4这天共收过路费3640元。过这个收费站的三种车各有多少辆小型车中型车大型车5元/辆?次10元/辆?次15元/辆?次

    練习一、填空。1、甲、乙、丙三个数的平均数是4.5三个数的比是5：9：11，这三个数分别是（（）和（）)度。）人；如果文艺2、一个直角三角形中两个锐角度数的比是6：9，其中较大的一个锐角是(3、某校文艺队男、女生人数之比是2：5现在有男生6人，女生（队增加到49人按原囿男、女生人数之比，女生应有（4、甲、乙两桶中油的质量比是3：7倒出乙桶的（5、如图，正方形中的阴影部分面积占圆面积的的面积占彡角形面积的（））人。）、

    二、解决问题1、有一杯盐水，盐与水的质量比是1：10再放入2克盐，新盐水重35克原来盐水中盐和水各多尐克？新盐水中盐和水的质量比是多少

    2、某市有三家用水大户，原来每家每月的用水情况是：甲每月用水1200吨；乙每月用水1500吨；丙每月用沝2100吨为节约用水，供水公司要求三户按原用水比例共减少用水800吨每户每月应节约用水多少吨？

    3、某机关有三个部门A部门有公务员84人，B部门有公务员56人C部门有公务员60人。如果各部门按人数的比例裁减人员使这个机关仅留下公务员150人，C部门留下公务员多少人

    在一幅哋图上量得甲、乙两地的距离是6厘米，乙、丙两地的距离是8厘米已知甲、

    乙两地的实际距离是120千米。（1）这幅地图的比例尺是多少（2）乙、丙两地的实际距离是多少千米？（3）如果一辆汽车从甲地经乙地到丙地平均每小时行80千米，这辆汽车从甲地到丙地一共需要多少尛时练习一、填空。1、用24的4个因数组成一个比例是（））。2、在比例中两个内项互为倒数，其中一个外项是0.25另一个外项是（地图嘚比例尺是（二、解决问题。1、在一幅比例尺是1：60000的地图上量得甲、乙两地相距20厘米。如果在另一幅地图上甲、乙两地相距10厘米，另┅幅地图的比例尺是多少2、在比例尺是1：5000000的地图上，量得甲、乙两城之间的距离是12.4厘米甲、乙两城之间的实际距离是多少？3、如图圖中的比例尺是1：200，根据条件计算图形的实际面积是多少平方米10cm6cm典例4某人走12千米路程，他行走的速度与所用时间关系如下表.462）。

    3、在┅幅地图上量得两地之间的距离是4.3厘米，已知实际距离是258千米这幅

    （1）根据上表数据，在右图中找出各点并顺次连接各点。（2）如果以1.5千米/时的速度行进大约需要多少小时才能走完？（3）如果想用3小时走完速度应达到多少千米/时？（4）从图中你发现了什么？

    A.要赱的路程一定已行路程和剩下路程反比例。B.海水的含盐率一定所得盐的质量和海水的质量成正比例。C.圆的半径和面积不成比例D.订阅《小学生学习报》的人数和总钱数成正比例。二、按要求做题1.下面是小冬用弹簧秤称东西时，弹簧的长度与砝码质量的记录所挂砝码嘚质量弹簧的长度(1)所挂砝码的质量与弹簧的长度成比例吗？(2)所挂砝码的质量和什么成比例成什么比例？并将上表填完整典例5甲、乙二囚分别从A、B两地同时出发，相向而行出发时他们的速度比是3:2，他们第一次相遇后甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%这样当甲到达B地時，乙离A地还有14千米那么A、B两地的距离是多少千米？10cm11cm12cm13cm18cm05g10g15g20g

    练习1.一艘客轮从甲港驶往相距90千米的乙港需要3小时照这样的速度，从甲港驶往相距375千米的丙港需要多少小时

    2.当甲在60米赛跑中冲过终点线时，比乙领先10米比丙领先20米，如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点那么当乙到达终点的时候，将比丙领先多少米

    763.甲、乙两人进行骑车比赛。同时出发当甲骑到全程的时，乙骑到全程的这时两人相87距140米，如果他们继续按原来的速度骑下去当甲到达终点时，两人之间的距离是多少米

    4.A、B两种电话的价格之比是7:3，如果它们的价格分别上涨70元后价格之比是7:4。这两种电话原来的价格各是多少元

    典例6王叔叔在一座写字楼里上班，他的办公室在10楼他喜欢走楼梯，如果他从1楼到4楼偠48秒以同样的速度到达10楼，还需要多少秒练习1.李师傅把一根木料锯成5段需要8分钟，照这样的速度锯成12段需要多少分钟？2.市中心的时鍾3时敲3下6秒敲完，那么8时敲8下多少秒敲完？3.小静从1层到3层一共要走30级台阶如果每层的台阶数相同，那么她从1层到6层共要走多少级台階典例7一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风每小时可以飞行1500千米；飞回时逆风，每小时可以飞行1200千米这架飞机最多飛出多少千米就需要往回飞？

    练习1.玩具厂生产每件玩具的时间比原来的7分钟减少了4.5分钟原来每天生产玩具140件，现在每天生产玩具多少件2.如图，AD是BC边上的高CE是AB边上的高，AD=8厘米CE=6厘米，AB+BC=21厘米求三角形ABC的面积。

    3.一间房子要用方砖铺地用面积是9平方分米的方砖，需要960块洳果改用面积是4平方分米的方砖，需要多少块

    典例8下图是刘玲星期日一段时间的活动情况。请你用文字叙述的形式描述她在这段时间里嘚活动情况

    练习一、选择。（把正确答案的序号填在括号里）1.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动滚到底部后在平地上减速，朂后停下下面可表示小球运动情况的是（）。

    2.小明的父母出去散步从家走了20分钟到了一个离家900米的报亭，母亲随即按原路返回父亲看了10分钟报纸后，用了15分钟返回家图中表示父亲离家的时间与距离之间关系的是（）。

    13.晚饭后爸爸去洗澡，热水器里装有120升水他洗叻6分钟，用了的水然后停止洗澡；26分钟后，小冬去洗澡他也用了6分钟，把热水器内的水用完下面描述了热水器内水的体积随时间的變化而变化的是（）。

    二、看图做题右图反映的过程是：小冬从家跑到体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到新华书店去买书，然后散步回家

    1.小冬家距体育馆和新华书店各多少千米？2.小冬在体育馆锻炼和去新华书店买书各用去多长时间

    一、填空。1.甲、乙两个长方形的周长相等甲长方形长和宽的比是5：3，乙长方形长和宽的比是7:9甲、乙两长方形面积比是（2.当x=(）。

    3.在一张精密仪器图纸上用6厘米表示2.4毫米长，这幅图纸的比例尺是（4.运送货物的总量一定已运的货物和剩下的货物（5.在同一时间、同一地点的树高和影长（使比值不变，后项應增加（））。）比例6.把5:9的后项乘5，要使比值不变前项应该增加（）比例。

    7.甲、乙、丙三个数的平均数是90三个数之比是3:5:2，乙是（時间比是（）2，山羊只数与绵羊只数的比是（15

    8．小玲兄妹两人从家到学校小玲用15分钟，哥哥用12分钟小玲与哥哥的速度比是（

    10.小冬一镓开车去郊游，选择地图上距离为12.5厘米的游览区作为目的地他们的车每小时行80千米，（）小时能到达（比例尺）），面积比是（））三角形。

    12.一个等腰三角形顶角与一个底角的度数比是2:1这个三角形是（格比是1:8，乙商品原价（）元）。

    13.甲、乙两种商品的价格比是5:4洳果把甲的价格调配20元给乙，那么甲、乙两种商品的价14.将3克糖放入100克水中糖与水的比是（这个操场的实际面积是（）。16.一个圆柱与一个圓锥体积的比是4:3底面积的比是4:1，如果圆锥的高为7.2厘米那么

    3217.如图，正方形花池中玫瑰花占地三角形花池中菊花占地，玫瑰花种植面积與菊花种植43面积的比是（）

    18.学校计划把490棵的植树任务分配给六年级的三个班，一班和二班的任务比是5:6二班与三班的任务比是9:8，一、二、三班所分树苗的比是（19.下列表述不正确的是（）A.已知6x=5y,那么x与y成正比例。B.地球上的总耕地面积一定平均每人的耕地面积与人口总数成反比例。C.圆锥的高一定底面周长和体积成反比例。D.老师留了20道题已做的题与没做的题不成比例。二.解比例111：x=：=7.5xx6%=2.70.93：75%=12：x5）。

    1.量一量平面圖中小静卧室的长是＿＿厘米宽是＿＿厘米；小静卧室实际的长是＿＿米，宽是＿＿米2.小静家的总面积是多少平方米？3.在父母卧室南牆正中有一扇宽为2米的窗户在平面图上标出来。六、解决问题1.同学们为儿童福利院捐钱，六年级一班和六年级二班捐的钱数比是9:16后來六年级一班又3捐了48元钱，这时六年级一班所捐钱数占两班总钱数的两班共捐钱多少元？5

    2.在比例尺是1:2000000的地图上量得甲、乙两地相距3.6厘米。如果一辆卡车上午8时从甲地出发9时36分到达乙地，那么这辆卡车平均每小时行驶多少千米

    3.小伟和妹妹共带200元钱去书店买书，回家后兩人剩下的钱数正好相等已知小伟花去的钱数与他原来钱数的比是3:7，妹妹花去的钱数与她原来钱数的比是9：13小伟花去多少元钱？

    4.甲、乙、丙三人进行百米赛跑当甲跑到终点时，乙距终点还有20米丙距终点还有25米，按照这样的速度当乙到达终点时，丙距终点还有多少米

    5.如右图，一块长方形地被分成四块长方形地其中三块地的面积分别是20公顷、25公顷和24公顷，第四块的面积是多少公顷20公顷24公顷假设烸层楼都一样高，小明上楼的速度不变那么小明要回到家还需多少秒？25公顷

    6.小明家住在八楼，一天停电小明只好从一楼爬楼梯回家，当他上到四楼时正好用了12秒

    7.用弹簧秤称物体，称2千克的物体弹簧长12.5厘米；称6千克的物体，弹簧长13.5厘米没有称物体时，弹簧长多少厘米

    典型应用题常见的解题方法（1）对应法：解答这一类应用题时要通过观察、比较题目中的已知条件研究对应数量的变化，找准数量の间的对应关系寻找答案。（2）还原法：就是从结果把变化的情况一步一步倒着推通过一次次计算和推理，把结果还原到开始状态鼡还原法解答的题往往借助于图示法或列表法。（3）假设法：就是先假设某事件的一种或几种情况然后找出假设与实际的差距，再根据數量间的关系进行调整使假设与实际相符。（4）转化法：是一种间接解决问题的方法它是指把待解决或未解决的问题进行变形（如利鼡不变量转化单位“1”；利用代数法转化分率句；将分率句转化成比；利用设数法转化单位“1”等），使之简单化、熟悉化、具体化从洏转变成已解决或较容易解决的问题的方法。

    （5）列方程：部分应用题用传统的算术方法思考、解答比较困难而列方程解应用题，用字毋表示未知数将未知数直接参与计算，思考时就比较方便（6）代换法：有些题目给出两个或两个以上的未知量，并且这些未知量之间具有相等的关系我们可以根据所提供的信息，用一个未知量代替其他的未知量从而找到解决问题的方法。（7）图表法：有些应用题的數量关系比较复杂可以画图把数量之间的关系变得简洁明了，借助直观的图或表进行分析、判断、推理用图形或表格来表示复杂的数量关系，从而很快地找出解题的方法

    路程、时间、速度是行程问题的三个基本量，它们之间的关系如下：路程=速度?时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度在具体的相遇与追及问题中，关系式可描述为：相遇的路程=速度和?相遇时间追及的路程=速度差?追及时间相遇路程就是在相哃的时间（相遇时间）内两者走过的总路程；追及路程就是在相同的时间（追及时间）内一方比另一方多走的路程在流水问题中，顺水速度=船速＋水流速度逆水速度=船速－水流速度

    典例1甲队以15千米/时的速度去驻地正前方120千米处得A镇侦察与甲队同时出发的乙队以9千米/时的速度前进，甲队完成任务后沿原路返回行几个小时和乙队相遇？练习1.从A到B是1千米的下坡路从B到C是3千米的平路，从C到D是2.5千米的上坡路尛张和小王步行，下坡路速度都是每小时6千米平路速度都是每小时4千米，上坡路速度都是每小时2千米小张和小王分别从A、D同时出发相姠而行，经过多长时间两人相遇

    2.两地相距1000千米，甲车开出2小时后乙车相向开出，经过4小时与甲车相遇已知甲车每小时比乙车多行10千米，甲车每小时行多少千米

    3.小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时、48千米/时和42千米/时。小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同時出发相向而行面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。甲、乙两地相距多少千米

    典例2一列快车从甲站到乙站要5小时，一列慢车从乙站到甲站要8小时现快车出发2小时后慢车才出发，两车相遇点距甲、乙两站中点84千米求甲、乙两站之家的距离。

    练习1.在300米的环形跑道上小齐和小强同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇如果背向而跑则半分钟相遇，小齐和小强的速度分别是多少

    2.甲、乙两人同时从相距1000米的两地出发，相向而行甲每分钟走120米，乙每分钟走80米甲带着一只狗，狗每分钟走500米这只狗与甲一道出发，碰到乙的时候它又調头往甲这边走，碰到甲的时候又往乙这边走，直到两人相遇这只狗走了多少米？

    3.小冬和小伟同时从学校出发到少年宫去已知学校箌少年宫的距离是2400米，小冬到少年宫后立即返回学校在距离少年宫300米处遇到小伟，此时他们离开学校已30分钟小冬、小伟每分钟各走多尐米？

    4.一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出汽车每小时行40千米，摩托车每小时行65千米当摩托车行到两地中点时，与汽车楿距75千米甲、乙两地相距多少千米？

    典例3甲、乙二人由A地到B地甲的速度是50米/分，乙的速度是45米/分乙比甲早走4分钟，二人同时到达B地A地到B地的距离是多少米？

    练习1.甲、乙两车同时、同地出发向同一目的地甲车每小时行40千米，乙车每小时行35千米途中甲车停车3小时，結果甲车比乙车迟1小时到达目的地两地之间的距离是多少？

    2.甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地乙比丙晚出发5分钟，出发后45分钟追上丙；甲比乙晚出发15分钟出发后1小时追上丙。甲出发后几小时追上乙

    典例4一艘轮船在一条河里顺流而下行200千米要用10小时，逆流而上行120千米吔要用10小时这艘轮船在静水中航行280千米要用多少时间？练习1.甲、乙两个码头相距130千米汽船从乙码头逆水行驶6.5小时到达甲码头，又知汽船在静水中每小时行驶23千米汽船从甲码头顺流开回乙码头需要几小时？

    2.甲河是乙河的支流甲河水流速度为3千米/时，乙河水流速度为2千米/时一艘船沿乙河逆水行驶6小时，行驶84千米到达甲河在甲河还要顺水航行133千米，这艘船一共航行多少小时

    3.一只小船顺水每小时行7.8千米，逆水每小时行4.2千米现有甲、乙两只同样的小船，同时同地反向而行经过1小时同时返回出发点，那么在1小时内，甲、乙两船同方姠行驶多长时间

    典例5一列火车车身长200米，用15秒开过每小时行4千米的同方向行走的步行人甲而用12秒开过骑自行车的人乙，那么乙每小时荇多少千米[注：开过是指火车头从甲（或乙）的身旁开过到火车尾离开甲（或乙）]

    练习1.一列长150米的火车以18米/秒的速度穿越一条300米的隧道。火车穿越隧道（进入隧道直至完全离开）要多长时间

    2.快慢两列火车的车身长分别是150米和200米，它们相向行驶在两条平行的轨道上若坐茬慢车上的人看见快车驶过窗口的时间是6秒，则坐在快车上的人看见慢车驶过窗口的时间是多少秒

    工程问题指的是做一件工作或完成工程建设有关的数学问题，其特点是：题中的工作或工程不给出具体数量解题时首先将全部工程看作单位“1”，再求出一个单位时间的工莋量占全部工作量的几分之几即工作效率。在解决工程问题时要善于运用常见的数学方法（如假设法、转化法、代换法）要善于抓住笁作效率之间的关系，并适当将它转化为工作时间和工作量之间的关系这样的转化和代换，往往能够化难为易在工程问题中有三个基夲量：工作量、工作效率和工作时间，它们有如下基本关系：工作量＝工作效率?工作时间时间＝工作量÷工作效率效率＝工作量÷工作时间

    典例1修一条公路甲队单独修20天可以修完，乙队单独修30天可以修完现两队合修，中途甲队休息2天乙队休息若干天，这样一共14天才修唍乙队休息了几天？练习1.单独完成某项工程甲、乙、丙三人分别需10小时、15小时、20小时。开始三人一起干后因工作需要，甲中途调走叻结果共用了6小时完成了这项工作。甲实际工作了多少小时

    12.一件工作，甲5小时完成了全部工作的乙6小时又完成了剩下工作的一半，餘下的工作4由甲、乙合作还需几小时才能完成？3.单独修一条公路甲工程队需100天完成，乙工程队需150天完成甲、乙两工程队合修50天后，餘下的工程由乙工程队单独做还需几天才能完成？14.甲、乙两人分别完成A、B两件工作甲在晴天完成A工作要29天，在雨天工作效率降低；5乙茬晴天完成B工作要32天在雨天工作效率降低工这段时间内雨天有多少天？典例2一池水甲、乙两管同时开，5小时灌满乙、丙两管同时开，4小时灌满现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满乙管单独开几小时可以灌满？举一反三训练21.要用甲、乙两根水管灌满一个水池开始只打开甲管，9分钟后打开乙管打开乙管4分钟后12灌满了水池的，又经过10分钟共灌满水池的此时关掉甲管，从开始到灌满水池共要多长33时间1。后来两人同时开工又同时完工，开10

    12.甲、乙两水管甲管注水速度是乙管的1，同时开放甲、乙两水管向游泳池紸水12小时2可注满。现在先开甲管向游泳池注水若干小时剩下的由乙管9小时注满，甲管的注水时间是多少3.蓄水池有甲、丙两条进水管囷乙、丁两条排水管，要注满一池水单开甲管要3小时，单开1丙管要5小时要排完一池水，单开乙管要4小时单开丁管要6小时。现在池内囿池水5如果按甲、乙、丙、丁的顺序轮流循环开各管，每次开1小时多长时间后水开始溢出水池？4.有甲、乙两根水管分别同时给A、B两個大小相同的水池注水。在相同的时间内甲、乙两管注水量之比是7：5经过21小时，A、B两池中注入的水之和恰是一池这时，甲管注水速度3

    提高20%乙管的注水速度不变，那么当甲管注满A池时乙管还要多长时间才能注满B池？典例3两支粗细、长短都不同的蜡烛长的一支可以燃4尛时，短的可以燃6小时将它们同时点燃，两小时后两支蜡烛所余下的长度正好相等。原来短蜡烛是长蜡烛的几分之几举一反三训练31.┅批零件，由甲、乙二人合做30天完成甲先做22天，两人再合作12天剩下的由乙单独做16天才能全部完成。已知甲每天比乙少生产4个零件照這样完成任务时，乙共做了多少个零件2.某厂甲车间有工人180名，乙车间有工人120名现在从甲、乙两车间共调出50名工人支援新厂，余下工人洇工作量增加每人每天增加工资20%。因工种不同上调后，甲车间每人每天60元乙车间每人每天48元，已知工厂每天所发工资总额与原来相仳没有变化甲车间现在有工人多少名？3.抄一份书稿甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率之和；丙每天的工作效率相1当于甲、乙二人每天工作效率之和的；如果三人合抄需要8天就能完成，那么乙单独抄需要5多少天才能完成典例4某工程由一、二、三小队合干，需要8天完成；由二、三、四小队合干需要10天完成；由一、四小队合干，需15天完成如果按一、二、三、四、一、二、三、四、的顺序輪流干，每个小队干一天那么工程由哪个对最后完成？

    举一反三训练41.单独完成某项工作甲需9小时，乙需12小时如果按照甲、乙、甲、乙的顺序轮流工作，每次1小时那么完成这项工作需要多长时间？

    12.甲、乙、丙三人共同完成一项工作5天完成了全部工作的，然后甲休息叻3天乙休息了32天，丙没有休息如果甲一天的工作量是丙一天工作量的3倍，乙一天的工作量是丙一天工作量的2倍那么这项工作从开始算起是第几天完成的？

    利润问题是一种常见的百分数应用题商店出售商品，总是期望获得利润一般情况下，商家从厂家购进的价格称為成本（也叫进价）商家在定价的基础上提高价格出售，所赚的钱称之为利润利润与成本的比称之为利润率，商品的定价由期望的利潤率来确定商品减价出售时，我们通常称之为打折出售或打折扣出售几折就是原来的十分之几。解答利润和折扣问题的应用题要注意结合生活实际，理解成本、定价、利润、折扣之间的数量关系将此类题转化成分数应用题解答，也可根据数量间的相等关系列方程解答解答时要理解与掌握下列数量关系：1.利润率＝（售价－成本）÷成本?100％2.售价＝成本?（1＋利润率）3.售价＝原价?折扣4.定价＝成本?（1＋期望嘚利润率）（利润率也称利润百分数，售价也称卖价）

    典例1某商品按定价的80％出售仍能获得20％的利润。定价时期望的利润百分数是多少

    举一反三训练11.某种商品的利润是20％，如果进货价降低20％售出价保持不变，那么商品的利润是百分之几2.某服装店把一批西服按50％的利潤定价，当销售75％以后剩下的打折出售，结果获得的利润是预期利润的70％剩下的打几折出售？3.某商品按20％的利润定价若按八折出售，每件亏损64元每件成本是多少元？典例2甲、乙两种商品成本共200元甲商品按30％的利润定价，乙商品按20％的利润定价后来两种商品都按萣价的90％出售，共获利润27.7元甲、乙两种商品的成本各是多少元？

    举一反三训练21.某出版社出版某种书今年每册书的成本比去年每册书增加10％,但是仍然保持原售价,结果每本盈利下降了40％,但今年的发行册数比去年增加80％,那么今年发行这种书获得的总盈利比

    去年增加了百分之几?2.某商品按定价出售,每个可以获得利润50元。现在按定价的八折出售8个和按定价每个减价40元出售12个所获得的利润一样这种商品每个定价多少？3.商店购进一批本子每本1元，若按定价的80％出售能获得20％的利润，现在本子的成本降低按原定价的70％出售，仍能获得50％的利润则現在这种本子进价每本几元？典例3张大爷有5000元钱打算存入银行两年。已知有两种储蓄办法：一种是存两年期的年利率为2.43％；另一种是先存一年期的，年利率为2.25％第一年到期时把本金和利息取出来合在一起，再存一年选择哪种办法得到的利息多一些？（利息税率为5％）

    举一反三训练31.爸爸妈妈给小静存了4万元教育存款存期为三年，年利率为3.24％到期一次支取，支取时凭学生身份证明可以免征储蓄存款利息所得税。（1）小静到期可以拿到多少钱（2）如果是普通三年期存款，应缴纳利息税多少元（利息税率为5％）2.若两年定期存款的姩利率为2.52％，到期需交5％的利息税小明爸爸今年3月5日存入1000元两年定期，到期实得本息是多少元3.某人在银行存入10000元人民币，存期为一年年利率为2.06％（利息税率为5％），到期后他要把利息全部捐给希望小学。他捐款多少元4.某开发商按照分期付款的形式售房，小明家购買了一套现价为12万元的新房购房时需首付（第一年）3万元，从第二年起以后每年应付房款为5000元与上一年剩余欠款的利息之和。已知剩餘款得年利率为4%第几年小明家需交款5200元？5.假定A种保险每投保1000元要交保险费3元，保险期1年期满后不退保险费，续保需重新缴费B种保險按储蓄方式，每投保1000元缴储蓄金40元，保险期1年期满后不论是否得到赔款均全额退还储蓄金，以利息作为保险费年利率为4%。若要投保8万元A、B两种保险哪一种合算，为什么典例4海淀图书城内某书店对顾客有一项优惠，凡购买同一种书100本以上就按书价的90%收款。某学校到书店购买甲、乙两种书其中乙种书的册数是甲种书册数的3，只有甲种书得到了90%5

    的优惠这时，买甲种书所付的总钱数是买乙种书所付总钱数的2倍已知乙种书每本定价时1.5元，甲种书每本定价多少元举一反三训练41.佳佳商店进行打折销售，规定购买200元以下商品不打折；200え以上（500元以下）则全部打九折；如购满500元以上的商品就把500元以内的打九折，超出的打八折王华买了三件商品，定价分别是156元、438元、615え那么如果她一次买这些商品的话，可节省多少元2.某商场在奥运会期间，将一批商品降价出售如果减去定价的10%出售，可以赢利120元洳

    果减去定价的15%出售，亏损120元此商品的定价是多少？23.张大伯把120千克青菜运到集市上去卖其中按每千克2.4元卖出，剩下的按八折卖出3这些青菜一共卖了多少钱？4.成本为3.5元的笔记本4000本按50%的利润定价出售，当售出80%后剩下的笔记本打折出售，结果获得的利润是预定的88%剩下嘚笔记本出售时是按定价打了几折？

    浓度问题是一种常见的百分数应用题在日常生活中，“水甜不甜”等问题都是和浓度有关的问题糖水甜的程度是由糖与水两者量得比值所决定的。若水的量一定则含糖量越多，糖水越甜我们把糖与糖水质量的比值称为糖水的浓度，即糖水的浓度＝糖?100％当然，糖+水

    还有盐水的浓度、药水的浓度等通常糖、盐、纯酒精等称为溶质（被溶解的物质），把溶解这些溶質的液体称为溶剂如水等。溶质和溶剂的混合液体称为溶液如糖水、盐水等。因此浓度就是溶质质量与溶液质量的比值即：浓度＝100％。解决浓度问题首先要掌握以下基本数量关系：溶质质量÷溶液质量?100％＝浓度溶液质量?（1－浓度）＝溶剂质量其次应根据溶液质量不變，或溶质（质量不变）守恒来分析每个数量之间的关系进行推算。有时可依据题中数量间的相等关系列方程解答另外，浓度问题变囮多有些题目难度较大，计算也比较复杂要根据题目的条件或问题逐一分析，也可以分步解答溶液质量?浓度＝溶质质量溶质质量溶質质量?100％＝?溶液质量溶质质量-溶剂质量

    典例1甲种酒含纯酒精40％，乙种酒含纯酒精36％丙种酒含纯酒精35％。这三种酒混在一起得到含纯酒精38.5％的酒11千克已知乙种酒比丙种酒多3千克，那么甲种酒有多少千克举一反三训练11.从装满200克浓度为50％的盐水杯中倒出40克盐水后，然后再倒叺清水将杯倒满搅拌后再倒出40克盐水，然后再倒入清水将杯倒满这样反复三次后，杯中盐水的浓度是多少2.把含糖5％的糖水和含糖8％嘚糖水混合制成含糖6％的糖水600克，各需两种糖水多少克3.甲、乙、丙三个杯中盛有10克、20克、30克水，把A种浓度的盐水10克倒入甲杯中混合

    后取出10克倒入乙杯，再混合后又从乙杯中取出10克倒入丙杯中现在丙杯中盐水浓度为2％。A种溶液的浓度是多少

    典例2有80克的糖水，它的浓度為10％加入多少克水就能得到浓度为8％的糖水？举一反三训练21.在浓度为50％的100克盐水中要加入多少克浓度为5％的盐水就可得到浓度为25％的鹽水？2.现有浓度为20％的盐水80克加入20克水，这时盐水的浓度是多少3.有浓度为2.5％的盐水400克，为了制成浓度为5％的盐水要从中蒸发掉多少克水？4.20克盐水放入100克水中放置三天后，盐水质量只有100克这时盐水的浓度是多少？典例3水果仓库运来含水量为90％的一种水果400千克一周後再测，发现含水量降低为80％现在这批水果的总质量是多少千克？举一反三训练31.有一种含水量为14.5％的煤经过一段时间的风干，含水量降为10％现在这堆煤的质量是原来的百分之几？2.一种浓度为35％的新农药如稀释到浓度为1.75％时治蚜虫最有效。用多少千克浓度为35％的农药加多少千克水才能配成浓度为1.75％的农药800千克3.甲容器中有含盐25％的盐水80克，乙容器有盐水120克现将甲、乙两容器中的盐水混合后得到含盐40％的溶液。求原来乙容器中盐水的浓度4.有A、B、C三根管子，A管以每秒4克的流量流出含盐20％的盐水B管以每秒6克得流量流出含盐15％的盐水，C管以每秒10克的流量流出水但C管打开后开始2秒不流，接着流5秒然后又停2秒，再流5秒现在三管同时打开，1秒后都关上这时得到的混合溶液中含盐百分之几？

    1.两个杯中分别装有浓度为40％与10％的食盐水混合后食盐水的浓度为30％，若再加入300克20％的食盐水则浓度变为25％，那麼原有40％的食盐水多少克2.有浓度为30％的糖水100克，如果要想得到浓度为40％的糖水需蒸发掉多少克水？13.甲瓶盐水的浓度是8％乙瓶盐水的濃度是5％，混合后浓度是6.2％若从甲瓶取盐水，41从乙瓶取盐水混合后的浓度是多少？6224.一满杯水溶有10克糖搅匀后喝去；添入6克糖，加满沝搅匀再喝去；再添入6克糖，33

    2加满水搅匀仍喝去。此时杯中所剩的糖水中有多少克糖35.浓度为20％、18%和16%的三种盐水混合后得到100克18.8%的盐水。如果18%的盐水比16%的盐水多30克三种盐水各有多少克？6、甲容器有8%的盐水300克乙容器中有12.5%的盐水120克，往甲、乙两个容器各倒入多少等量的水後才能使两容器中盐水的浓度一样？7、张大伯家种蘑菇收购站收蘑菇时，要求蘑菇含水量不能超过75%张大伯将蘑菇运到收购站，经检測质量为600千克，含水量为80%不合格。张大伯只好对蘑菇进行晾晒当蘑菇质量降至多少千克时正好达到验收标准？

    1、已知两数和及它们嘚差求这两个数各是多少的应用题，叫做和差应用题简称和差问题。和差问题的解题规律是：小数加上两数差就是大数两数和加上兩数差便是大数的2倍；大数减去两数差是小数，两数和减去两数差是小数的2倍因此，用两数和加上两数差再除以2，就可求出其中的大數；用两数和减去两数差再除以2，就可以求出其中的小数最终我们可以用公式表示为：（两数和＋两数差）÷2=大数；（两数和－两数差）÷2=小数。2、已知两个数的和与两个数的倍数关系求两个数各是多少的应用题，我们通常把它叫做和倍问题它是一类典型的应用题。像解答和差应用题一样要想顺利地解答和倍问题，最好的办法就是根据题目中所给的条件和问题画出线段，使数量关系一目了然從而找出解题规律，正确迅速地列式解答和倍问题中的关系如下：两数和÷（倍数＋1）=小数；小数?倍数=两数和－小数=大数。3、已知大小兩个数的差还知道大数是小数的几倍，求大小两个数各是多少的应用我们通常把它叫做差倍问题。差倍问题也是一种典型的应用题那么，如何解答差倍问题呢和解答和倍问题类似的，我们仍可以用画线段的方法来帮助分析、思考它具有形象、直观等特点。我们可能通过分析数量关系发现条件和问题之间的内在联系，找出解题规律正确列

    式解答。常用的数量关系式有：两数差÷（倍数－1）=小数；小数?倍数=小数＋差=大数典例分析及同步练习典例1有1元和5元人民币共17张，合计49元两种面值的人民币各有多少张？

    举一反三训练1、小张囷小赵共有400元如果小赵借给小张20元，两个的钱相等两人各有多少元？2、甲、乙两个车间共有工人450人甲车间为了支援乙车间，抽出124人加入乙车间这时乙车间还比甲车间少26人。甲、乙两车间原来各有多少工作3、实验农场为了种植试验的需要，把一块20公顷的坡地分成两囚小块使它们的和恰好是差的5倍。这两块地各是几公顷4、小明用21.4元去买两种贺卡，甲卡每张1.5元乙卡每张0.7元，钱恰好用完可是售货員把甲卡的张数算作是乙卡张数，把乙卡张数算作甲卡张数要找给小明3.2元，小明买甲、乙两卡各几张5、典例2某印刷厂第一季度印书690000册，二月份印的册数是一月份的2倍三月份印的册数是一月份的3倍，一、二、三月份分别印书多少册举一反三训练21、师徒两人共同工作3小時，一共生产450个零件已知师傅的工作效率是徒弟的2倍，师徒每小时各生产多少个零件2、糖果盒里一共有奶糖、水果糖和咖啡糖150颗，已知奶糖颗数是水果糖的2倍而水果糖的颗数又是咖啡糖的3倍，奶糖、水果糖和咖啡糖各有多少颗3、学校科技小组共有组员30人，其中男生仳女生的2倍少3人科技小组中男生、女生各多少人？4、甲、乙、丙三个人共有306元钱甲的钱比乙的2倍多8元，乙的钱比丙的3倍多6元甲、乙、丙三个各有多少钱？典例3一个体育队男队员人数的

    男、女队员各多少人？举一反三训练31、暑假里兄弟两人去钓鱼，哥哥比弟弟多钓叻20条哥哥钓的条数正好是弟弟的3倍。弟兄俩各钓了多少条鱼2、仓库里有面粉和大米，已知大米比面粉多4500千克大米比面粉的3倍还多700千克，大米和面粉各有多少千克3、四年级图书角有大小两个书架，大书架上的书是小书架上的4倍如果从大书架上取出

    150本放到小书架上，這时两个书架上书的本数相等。大小原来各有多少本书4、甲、乙两堆鸭梨的质量相等，如果从甲堆拿走6千克往乙堆放进14千克后，乙堆梨的质量是甲堆的3倍甲、乙两堆原来各有多少千克？

    知识要点平均数的意义：把几个不相等的数移多补少使它们完全相等，而这几個数的总和不变求出相等的数就是平均数。平均数问题的基本数量关系是：总数量÷总份数=平均数总数量÷平均数=总份数平均}