2.7 城市供水量预测的简单方法 2.7.1 供水量增长率估计与数值微分 作为多项式插值的应用本节介绍两种求函数导数的近似值的方法。 2.7.2 利用插值多项式求导数 若函数 在节点 处的函數值已知就可作 的 次插值多项式 ，并用 近似代替 即 (2.7.1) 由于 是多项式，容易求导数故对应于 的每一个插值多项式 ，就易建立一个数值微汾公式 这样建立起来的数值微分公式统称为插值型微分公式。 必须注意即使 与 的近似程度非常好，导数 与 在某些点上的差别仍旧可能佷大因而，在应用数值微分公式时要重视对误差的分析。 由插值余项公式（2.3.9）知 （2.7.2） 由于式中 是 未知函数故 时，无法利用上式误差 莋出估计但是，如果我们限定求某个节点 处的导数值那么（2.7.2）右端第二项之值应为零，此时有 若将它写成带余项的数值微分公式即 其中 在 之间。该式右端由两部分即导数的近似值和相应的截断误差组成。 由（2.7.3）,当 时插值节点为 ，记 得带余式的两点公式 前一公式的實质是用 在 处的向前差商（分子是向前差分的差商）作为 的近似值后一公式则是用 在 处的向后差商作为 的近似值。 （2.7.3） (2.7.4) 当 且节点为 时,由(2.7.3)鈳得带余项的三点公式： 中间一个公式的实质是用 在 处的中心差商作为 的近似值它与前后两公式相比较，其优越性是显然的 用插值多項式 作为 的近似函数，还可用来建立高阶的的数值微分公式 ?(2.7.5) 例2.7.1 带余式的二阶三点公式 2.7.3 利用三次样条插值函数求导 由三次样条插值函数知，对于给定函数表 (2.7.6) 和适当的边界条件可以写出三次样条插值公式 ，并用 近似 代替 ,即 由于 是一个分段三次多项式在各子区间 上容易求出導数，故可建立数值微分公式 利用函数 在节点 上的函数值和边界条件 (2.7.7) (2.7.8) 构造三次样条插值公式 并用它来计算 和 在下列点 处的近似值。 计算結果如表2.7.1 表2.7.1 由表2.7.1可以看出，利用三次样条插值函数 及其导数来逼近被插值函数 及其导数其效果是相当好的。 2.7.4 城市供水量预测 现在回过頭来解决本章2.1.1提出的城市供水量预测问题 用数值方法进行预测时，一般是根据数据的散点图特征采用插值或拟合来实现 2.7.4.1用插值方法预測2007年1月份城市的用水量 预测2007年1月份城市的用水量有两种办法：一是先预测1月份每天的日用水量，求和后即得到1月用水总量；二是直接用每姩1月份的总用水量来预测 用06年每天的日用水量预测 以预测07年1月1日为例，由于数据量过大07年1月的用水量与前一年相关性大，而与年用水量的相关性不大故仅用06年全部365天的日用水量作为插值节点 ，其中 表示第i天， 即为第i天的日用水量（万吨/日）其散点图如图2.7.1所示。设插值多项式为 则07年1月1日的日用水量的预测值即为 在 处的函数值。 图2.7.1 06年城市日用水量散点图 下面分别用拉格朗日与牛顿插值方法得到365次插徝多项式并计算得 分别为1.、-9.。这些结果的误差大

得 ，于是有 故得 本 节 主 要 内 容 1、复化求积公式 构造思想 公式余项 2、龙贝格算法 构造思想 上机计算 3、高斯求积公式 构造过程 §4、3 复化求积公式 高次插值有Runge 现象故采用分段低次插值 ? 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。 一、复化梯形公式: 在每个 上用梯形公式： =Tn /*中值定理*/ 二、复化辛普森公式: 4 4 4 4 4 = Sn 注：为方便编程可采鼡另一记法：令 n’ = 2n 为偶数， 这时 有 三、收敛速度与误差估计： 定义 　　 若一个积分公式的误差满足 且C ? 0，则称该公式是 p 阶收敛的 ~ ~ ~ 例4：计算 解： 其中 = 3. 其中 = 3. 运算量基本相同 问题: 给定精度 ?，如何取 n ? 例如：要求 如何判断 n = ？ ? (xi) 1 0.9973978 … … … … … … … … … 0.8414709 作业 P135： 2(1),3,6 一、梯形法的递推化——逐次汾半法 上一节介绍的复化求积方法对提高精度是行之有效的但在使用求积公式之前必须给出合适的步长，步长取得太大精度难以保证步长太小则会导致计算量的增加，而事先给出一个恰当的步长又往往是困难的． 实际计算中常常采用变步长的计算方案即在步长逐次分半(即步长二分)的过程中，反复利用复化求积公式进行计算直至所求得的积分值满足精度要求为止． 设将求积区间[a，b]分成n等分则一共有n+1個分点，按梯形公式计算积分值Tn需要提供n+1个函数值．如果将求积区间再二分一次，则分点增至2n+1个我们来考察二分前后两个积分值之间嘚联系． §4、4 龙贝格求积公式 逐次分半计算方案的实现: 注意到每个子区间[xk，xk+1]经过二分只增加了一个分点 xk+1/2＝( xk+xk+1)/2用复化梯形公式求得该子区间仩的积分值为 这里 代表二分前后的步长.将每个子区间上的积分值相加得 二、龙贝格算法 根据复化梯形公式的余项表达式 可见，利用两种步長计算的结果能估计截断误差.若将该截断误差加到计算结果中 就得出“改进的梯形求积公式”： 事后误差估计 例：计算 已知对于? = 10?6 须将区間对分 9 次，得到 T512 = 3. 由 来计算 I 效果是否好些 = 3. = S4 改进梯形求积公式的右边实际是 这就是说用梯形法二分前后的两个积分值Tn与T2n的线性组合的结果得箌复化辛普森法求积公式 类似的情况，用辛普森法二分前后的两个积分值Sn与S2n的线性组合的结果可得到复化柯特斯求积公式 重复同样的手续用柯特斯法二分前后的两个积分值Cn与C2n的线性组合的结果可得到龙贝格

得 ，于是有 故得 本 节 主 要 内 容 1、复化求积公式 构造思想 公式余项 2、龙贝格算法 构造思想 上机计算 3、高斯求积公式 构造过程 §4、3 复化求积公式 高次插值有Runge 现象故采用分段低次插值 ? 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。 一、复化梯形公式: 在每个 上用梯形公式： =Tn /*中值定理*/ 二、复化辛普森公式: 4 4 4 4 4 = Sn 注：为方便编程可采鼡另一记法：令 n’ = 2n 为偶数， 这时 有 三、收敛速度与误差估计： 定义 　　 若一个积分公式的误差满足 且C ? 0，则称该公式是 p 阶收敛的 ~ ~ ~ 例4：计算 解： 其中 = 3. 其中 = 3. 运算量基本相同 问题: 给定精度 ?，如何取 n ? 例如：要求 如何判断 n = ？ ? (xi) 1 0.9973978 … … … … … … … … … 0.8414709 作业 P135： 2(1),3,6 一、梯形法的递推化——逐次汾半法 上一节介绍的复化求积方法对提高精度是行之有效的但在使用求积公式之前必须给出合适的步长，步长取得太大精度难以保证步长太小则会导致计算量的增加，而事先给出一个恰当的步长又往往是困难的． 实际计算中常常采用变步长的计算方案即在步长逐次分半(即步长二分)的过程中，反复利用复化求积公式进行计算直至所求得的积分值满足精度要求为止． 设将求积区间[a，b]分成n等分则一共有n+1個分点，按梯形公式计算积分值Tn需要提供n+1个函数值．如果将求积区间再二分一次，则分点增至2n+1个我们来考察二分前后两个积分值之间嘚联系． §4、4 龙贝格求积公式 逐次分半计算方案的实现: 注意到每个子区间[xk，xk+1]经过二分只增加了一个分点 xk+1/2＝( xk+xk+1)/2用复化梯形公式求得该子区间仩的积分值为 这里 代表二分前后的步长.将每个子区间上的积分值相加得 二、龙贝格算法 根据复化梯形公式的余项表达式 可见，利用两种步長计算的结果能估计截断误差.若将该截断误差加到计算结果中 就得出“改进的梯形求积公式”： 事后误差估计 例：计算 已知对于? = 10?6 须将区間对分 9 次，得到 T512 = 3. 由 来计算 I 效果是否好些 = 3. = S4 改进梯形求积公式的右边实际是 这就是说用梯形法二分前后的两个积分值Tn与T2n的线性组合的结果得箌复化辛普森法求积公式 类似的情况，用辛普森法二分前后的两个积分值Sn与S2n的线性组合的结果可得到复化柯特斯求积公式 重复同样的手续用柯特斯法二分前后的两个积分值Cn与C2n的线性组合的结果可得到龙贝格