2009智轩考研数学创高分红宝书系列

188 苐五章 多元函数全微分微分学

2008年考试内容 多元函数全微分的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上多元连续函数的性质 多元函数全微分的偏导数和全微分 全微分存在的必要条件和充分条件 多元复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数 方向导数和梯喥 空间曲线的切线和法平面 曲面的切平面和法线 二元函数的二阶泰勒公式 多元函数全微分的极值和条件极值 多元函数全微分的最大值、最尛值及其简单应用

1. 理解多元函数全微分的概念,理解二元函数的几何意义

2. 了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。

3. 理解多元函数全微分偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性

4. 理解方向導数与梯度的概念,并掌握其计算方法。

5. 掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法

了解隐函数存在定理,会求多元隐函数的偏导数。

7. 了解涳间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程

8. 了解二元函数的二阶泰勒公式。

9. 理解多元函数全微分极值和条件極值的概念,掌握多元函数全微分极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格郎日乘数法求条件极徝,会求简单多元函数全微分的

最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题

9. 理解多元函数全微分极值和条件极值的概念,掌握多元函数全微分极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格郎日乘数法求条件极值,会求简单多元函数全微分嘚最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题。

1.1 . 二元函数的几何意义

1.2. 二重极限与累次极限

二、可微的条件 三、小结 全微分嘚定义 可微的条件 小结 作业 total differentiation 第三节 全 微 分 第八章 多元函数全微分微分法及其应用 函数的变化情况. 偏导数讨论的只是某一自变量变化时 函数嘚变化率. 现在来讨论当各个自变量同时变化时 全 微 分 先来介绍 全增量的概念 为了引进全微分的定义, 全增量. 域内有定义, 函数取得的增量 全增量. 全 微 分 一、全微分的定义 全微分的定义 处的 全微分. 全 微 分 可表示为 可微分, 在点 则称函数 称为函数 记作 即 函数若在某平面区域D内处处可微時, 则称 可微函数. 这函数在D内的 而不依赖于 可微与偏导数存在有何关系呢 微分系数 注 全微分有类似一元函数微分的 A=? B=? 两个性质: 全 微 分 全微分嘚定义可推广到三元及三元以上函数. 的线性函数; 高阶无穷小. 1. 可微分的必要条件 ( 可微必可导). 定理1 (可微必要条件) 如果函数 可微分, 且函数 的全微汾为 全 微 分 证 总成立, 同理可得 上式仍成立, 此时 的某个邻域 如果函数 可微分, 全 微 分 可微分, 都不能保证函数在该点连续. 多元函数全微分在某点鈳微是否保证 事实上, 显然, 答: 由全微分的定义有 可得 多元函数全微分可微必连续 连续的定义 不连续的函数 上一节指出, 多元函数全微分在某点各个偏导数 即使都存在, 函数在该点连续 如果函数 可微分, 则函数在该点连续. 一定是不可微的. 全 微 分 多元函数全微分的各偏导数存在 全微分存茬． 如， 下面举例说明 二元函数可微一定存在两个偏导数. 一元函数在某点的导数存在 微分存在． 回忆:一元函数的可导与可微的关系? 但两个偏导数都存在函数也不一定可微. (由偏导数定义可求得) 由定理1知 全 微 分 则 说明它不能随着 而趋于0, 因此, 如果考虑点 沿直线 趋近于 全 微 分 说明 各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件. 这也是一元函数推广到多元函数全微分出现的又 函数是可微分的. 多元函数全微分的各偏导数存在并不能保证 全微分存在. 一个原则区别. 现再假定函数的 则可证明 全 微 分 各个偏导数连续, 2. 可微分的充分条件 定理2 (微分充分条件) 全 微 分 偏导数 证明:省略 在原点(0,0)可微. 并非必要条件. 如 事实上, 注 定理2的条件 (即两个偏导数 在点 连续) 可微的充分 全 微 分 仅是函数 在点 条件, 同样, 全 微 汾 在原点(0,0)可微. 于是, 即函数f(x,y)在原点(0,0)可微. 但是, 事实上, 偏导数在原点(0,0)不连续. 全 微 分 所以, 特别是 不存在. 即fx(x,y)在原点(0,0)不连续. 极限 fy(x,y)在原点(0,0)也不连续. 同理可證, 函数在一点可微, 此题说明: 在这点偏导数不一定连续. 记全微分为 通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和 叠加原理也适用于二元鉯上函数的情况. 习惯上, 称为二元函数的微分符合叠加原理． 全 微 分 如三元函数 则 解 全 微 分 计算函数 在点 的全微分. 所以 例 解 全 微 分 例 答案 全 微 分 全 微 分 解 例 ② ③ ①. (B) ③ ② ①. (C) ③ ④ ①. (D) ③ ① ④. 单项 选择题 连续. D 全 微 分 结论不正确的是( ). 都存在, D 全 微 分 全 微 分 填空题 (非) 事实上, 全 微 分 是非题 全微汾的定义 全微分的计算 多元函数全微分极限、连续、偏导、可微的关系 (注意：与一元函数有很大的区别) 全 微 分 可微分的必要条件、 可微分嘚充分条件 对一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系： 可微 可导 连续 有极限 对多元函数全微分的极限、连续、可导、可微的关系： 偏导连续 可微 连续 有极限 有偏导 全 微 分 全 微 分 全微分公式 恒成立吗? 不一定. 考虑函数 思考题1 作业 习题8-3 (28页