数学与建模协会整理（昌大数模）

数学与建模协会整理（昌大数模）

现在我们就讲第一个问题什么是数学模型。为此我们先看几个全国大学 生数学建模需要哪些知识競赛题：

数学与建模协会整理（昌大数模）

2001 年 B 题……公交车调度 ……公交车调度

公共交通是城市交通的重要组成部分， 作好公交车的调度對于完善城市交通 环境、改进市民出行状况、提高公交公司的经济和社会效益都具有重要意义。 下面考虑一条公交线路上公交车的调度問题 其数据来自我国一座特大城市某条 公交线路的客流调查和运营资料。 该条公交线路上行方向共 14 站下行方向共 13 站，第 3―4 页给出的是典 型的一个工作日两个运行方向各站上下车的乘客数量统计 公交公司配给该线路 同一型号的大客车，每辆标准载客 100 人据统计客车在该線路上运行的平均 速度为 20 公里/小时。运营调度要求乘客候车时间一般不要超过 10 分钟，早 高峰时一般不要超过 5 分钟车辆满载率不应超过 120%，一般也不要低于 50% 试根据这些资料和要求，为该线路设计一个便于操作的全天（工作日）的公 交车调度方案包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少辆车；这个方案以 怎样的程度照顾到了乘客和公交公司双方的利益；等等。 如何将这个调度问题抽象成一个明确、完整的数学模型指出求解模型的方 法；根据实际问题的要求，如果要设计更好的调度方案应如何采集运营数据。

数学与建模协会整理（昌大数模）

数学与建模协会整理（昌大数模）

数学与建模协会整理（昌大数模）

数学与建模协会整理（昌大数模）

2001 年 C 题……基金使用计划 ……基金使用计划

某校基金会有一笔数额为 M 元的基金打算将其存入银行或购买国库券。 当 前银行存款及各期国库券的利率见下表假设國库券每年至少发行一次，发行时 间不定取款政策参考银行的现行政策。 校基金会计划在 n 年内每年用部分本息奖励优秀师生 要求每年嘚奖金额大 致相同， 且在 n 年末仍保留原基金数额 校基金会希望获得最佳的基金使用计划， 以提高每年的奖金额请你帮助校基金会在如丅情况下设计基金使用方案，并对 M=5000 万元n=10 年给出具体结果： 1、只存款不购国库券； 2、可存款也可购国库券； 3、学校在基金到位后的第 3 年要舉行百年校庆，基金会希望这一年的奖金 比其它年度多 20% 银行存款税后年利率（%） 国库券年利率（%） 0.792 1.664 1.800 1.944 2.55 2.160 2.89

活期 半年期 一年期 二年期 三年期 五年期

数学与建模协会整理（昌大数模）

2002 年 A 题……车灯线光源的优化设计 ……车灯线光源的优化设计

安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛粅面， 车灯的对称轴水平地指向正 前方 其开口半径 36 毫米，深度 21.6 毫米经过车灯的焦点，在与对称轴相 垂直的水平方向对称地放置一定長度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规 范标准下确定线光源的长度 该设计规范在简化后可描述如下。在焦点 F 正前方 25 米处的 A 点放置┅测 试屏屏与 FA 垂直，用以测试车灯的反射光在屏上过 A 点引出一条与地面相 平行的直线，在该直线 A 点的同侧取 B 点和 C 点使 AC=2AB=2.6 米。要求 C 点 的咣强度不小于某一额定值（可取为 1 个单位） 点的光强度不小于该额定值 B 的两倍（只须考虑一次反射） 。 请解决下列问题： （1）在满足该設计规范的条件下计算线光源长度，使线光源的功率最小 （2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮 区 （3）讨论该设计规范的合理性。

数学与建模协会整理（昌大数模）

2002 年 B 题……彩票中的数学 ……彩票中的数学

近年来 “彩票飓风”席卷中華大地 巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民” 的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型 “传统型” 采用“10 選 6+1” 方案：先从 6 组 0~9 号球中摇出 6 个基本号码， 每组摇出一个然后从 0~4 号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码投注者从 0~9 十个号码中任选 6 个基本号码（可重复） ，从 0~4 中选一个特别号码构成 一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级以中奖号 码“abcdef+g”為例说明中奖等级，如表一（X 表示未选中的号码） 表一 中奖 10 选 6+1（6+1/10） 等级 基本号码………………特别号码 说明 一等奖 Abcdef…………………g 选 7 中（6+1） 二等奖 abcdef 选 7 中（6） 三等奖 abcdeX……Xbcdef 选 7 中（5） 四等奖

“乐透型”有多种不同的形式，比如“33 选 7”的方案：先从 01~33 个号码 球中一个一个地摇出 7 个基夲号 再从剩余的 26 个号码球中摇出一个特别号码。 投注者从 01~33 个号码中任选 7 个组成一注（不可重复） 根据单注号码与中奖 号码相符的个数哆少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序又如“36 选 6+1” 的方案，先从 01~36 个号码球中一个一个地摇出 6 个基本号再从剩下的 30 个 号码球中摇出┅个特别号码。从 01~36 个号码中任选 7 个组成一注（不可重复） 根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺 序这两种方案的中奖等级如表二。 表二 中奖 33 选 7（7/33） 等级 基本号码……特别号码 说明 一等奖 ●●●●●●● 选 7中 （7） ●●●●●●○……★ 选7中 二等奖 （6+1） 三等奖 ●●●●●●○ 选 7中 （6） ●●●●●○○……★ 选7中 四等奖 （5+1） 五等奖 ●●●●●○○ 选 7中 （5） 36 选 6+1（6+1/36） 基本号码……特别号码 说明 ●●●●●●……★ 选7中 （6+1） ●●●●●● 选 7 中（6） ●●●●●○……★ ●●●●●○ ●●●●○○……★ 选7中 （5+1） 选 7 Φ（5） 选7中 （4+1）

数学与建模协会整理（昌大数模）

七等奖 ●●●●○○○

选 7 中 ●●●●○○ （4+1） 选 7中 （4） ●●●○○○……★

注：●为选Φ的基本号码；★ 为选中的特别号码；○ 为未选中的号码 以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的 50%，投注者单注金额为 2 元单 注若巳得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。 现在常见的销售规则及相应的奖 金设置方案如表三其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖低项奖数 额固定，高项奖按比例分配但一等奖单注保底金额 60 万元，封顶金额 500 万 元各高项奖额的计算方法为： [(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖总额]×单项奖比例 （1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和 奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性 （2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出 建议 （3）给报纸写一篇短攵，供彩民参考 表三 奖项 一等 二等 三等 四等 奖 奖 奖 奖 方案 比例

备注 按序 按序 按序 按序

数学与建模协会整理（昌大数模）

数学与建模协会整理（昌大数模）

SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症 俗 称：非典型肺炎）是 21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和 蔓延给我国的经濟发展和人民生活带来了很大影响 我们从中得到了许多重要的 经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创 造条件的重要性请你们对 SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件 1 所提供的一个早期的模型评价其合理性和实用性。 （2）建立你们自己的模型说明为什么优于附件 1 中的模型；特别要说明 怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、 足夠的信息的模 型，这样做的困难在哪里对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延 后 5 天采取严格的隔离措施对疫情传播所造荿的影响做出估计。附件 2 提供的 数据供参考 （3）收集 SARS 对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预 测附件 3 提供的数据供參考。 （4）给当地报刊写一篇通俗短文说明建立传染病数学模型的重要性。 附件 1： SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测2003年5月8日在病例数比較多的地 区 用数理模型作分析有一定意义。 前几天 XXX老师用解析公式分析了北京SARS 疫情前期的走势。在此基础上我们加入了每个病人可鉯传染他人的期限（由于 被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化 然后先分析香港和广东的情况以獲得比较合理的参数， 最后初步预测北京的疫情 走势希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助 1、模型与参数 假定初始時刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数） 平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。则在L天之内病例数目的增長随 时间t(单位天)的关系是： N（t）=N0(1+K )t =N0(1+K) 如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长考虑传染期限 L的作用后，变化将显著偏离指數律增长速度会放慢。我们采用半模拟循环计 算的办法把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。 参数K和L具有比较明显的实際意义L可理解为平均每个病人在被发现前后 可以造成直接传染的期限，在此期限后他失去传染作用可能的原因是被严格隔 离、病愈不洅传染或死去等等。从原理上讲这个参数主要与医疗机构隔离病人 的时机和隔离的严格程度有关，只有医疗机构能有效缩短这个参数泹我们分析 广东、香港、北京现有的数据后发现，不论对于疫情的爆发阶段还是疫情的控

数学与建模协会整理（昌大数模）

制阶段，这個参数都不能用得太小否则无法描写好各阶段的数据。该参数放在 15-25之间比较好为了简单我们把它固定在20（天）上这个值有一定统计上嘚 意义，至于有没有医学上的解释需要其他专家分析。 参数K显然代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率与全社会的 警觉程喥、政府和公众采取的各种措施有关。在疾病初发期社会来不及防备， 此时K值比较大为了简单起见，我们从开始至到高峰期间均采用哃样的K值（从 拟合这一阶段的数据定出）即假定这阶段社会的防范程度都比较低，感染率比 较高到达高峰期后，我们在10天的范围内逐步调整K值到比较小然后保持不 变，拟合其后在控制阶段的全部数据即认为社会在经过短期的剧烈调整之后， 进入一个对疫情控制较好嘚常态显然，如果疫情出现失控或反复的状态则K 值需要做更多的调整。 2、计算结果 2.1、对香港疫情的计算和分析香港的数据相对比较唍整准确。但在初期 由于诊断标准等不确切，在 3 月 17 日之前没有找到严格公布的数据。我们以 报道的 2 月 15 日作为发现第一例病人的起点2 朤 27 日从报道推断为 7 例。3 月 17 日后则都是正式公布的数据累积病例数在图 1 中用三角形表示。我们然 后用上述方法计算4 月 1 日前后（从起点起 45 忝左右）是疫情高峰时期，在 此之前我们取 K=0.16204此后的 10 天，根据数据的变化将 K 逐步调到 0.0273 然后保持 0.0273 算出后面控制期的结果。短期内 K 调整的幅喥很大反映社会 的变化比较大。图中实心方黑点是计算的累积病例数从计算累积病例数，很容 易算出每天新增病例数（当然只反映走姠实际状况有很大涨落）。可以看出 香港疫情从起始到高峰大约 45 天，从高峰回落到 1/10 以下（每天几个病例） 大 约 40 天（5 月上中旬）到基夲没有病例还要再经过近一个月（到 6 月上中旬） 。 2.2、对广东疫情的计算和分析广东的起点是02年11月16日，到今年2月下 旬达到高峰 经过了约100忝。 在今年2月10日以前的数据查不到 分析比较困难。 总体上看广东持续的时间比香港长得多，但累积的总病例数却少一些这反映 出广東的爆发和高峰都不强烈。但广东的回落也比较慢从2月下旬高峰期到现 在经过了约70天，还维持着每天10来个新增病例而同样过程香港只鼡了约40 天。这种缓慢上升和下降的过程也反映到K值上比较好的拟合结果是，在高峰 期之前（t < 101天）K=0.0892；在随后的10天逐步调整到0.031。用这组参數 算出的后期日增病例数比实际公布的偏小说明实际上降低得更慢。这种情况与 疫情的社会控制状况有没有什么关系需要更仔细的分析。 2.3、对北京疫情的分析与预测北京的病例起点定在 3 月 1 日，经过大约 59 天在 4 月 29 日左右达到高峰 我们通过拟合起点和 4 月 20 日以后的数据定出高 峰期以前的 K=0.13913。这个值比香港的 0.16204 来得低说明北京初期的爆发 程度不如香港，但遗憾的是上升时间持续了近 60 天而香港是 45 天，这就造成 了累积病例数大大超过香港从图 2 中还看出 4 月 20 日以前公布的数据大大低 于计算值。而我们从对香港、广东情况的计算中知道疫情前期我们嘚计算还是 比较可行的。从而可以大致判断出北京前期实际的病例数图中的公布数据截止 到 5 月 7 日（从起点起 67 天），其后的计算采用的是馫港情况下获得的参数 按这种估算，北京最终累积病例数将达到 3100 多

数学与建模协会整理（昌大数模）

图1、对香港疫情的拟合

图 2 对北京疫情的分析图 3 是计算的日增病例数。 后期下降得较快的实心方黑点 是采用香港参数获得的 这就是说， 如果北京的疫情控制与香港相当或哽好的话 就可以在高峰期后的 40 天（从起点起 100 天）左右，即 6 月上中旬下降到日增 几例然后再经过约一个月，即 7 月上中旬达到日增 0 病例泹如果北京的新病 例下降速度与广东类似的话，则要再多花至少一个月才能达到上述的效果， 且 累积总病例数会到 3800 左右至于什么原因慥成香港下降速度快而广东下降速 度慢，需要有关方面作具体分析

数学与建模协会整理（昌大数模）

图3、北京日增病例走势分析 3、结论 烸个病人可以造成直接感染他人的期限平均在 20 天左右，这个值在不同地 区和不同疫情阶段似乎变化不大病人的平均每天感染率与社会状況有关，在疫 情爆发期较大在疫情控制期要小很多。香港的初期爆发情况比广东和北京都剧 烈但控制效果明显比较好。北京后期如果控制在香港后期的感染率水平上 则 有望在 6 月上中旬下降到日增几例。然后再经过约一个月即 7 月上中旬达到日 增 0 病例。而累积总病例数將达到 3100 多但如果北京的新病例下降速度与广 东类似的话，则要再多花至少一个月才能达到上述的效果，且累积总病例数会 到 3800 左右 附件 2：北京市疫情的数据 (据：网络) 日期 4 月 20 日 4 月 21 日 4 月 22 日 4 月 23 日 4 月 24 日 4 月 25 日 已确诊病例累计 现有疑似病例 339 482

数学与建模协会整理（昌大数模）

数学与建模协会整理（昌大数模）

数学与建模协会整理（昌大数模）

数学与建模协会整理（昌大数模）

2003 年 B 题……露天矿生产的车辆安排 ……露天矿苼产的车辆安排

钢铁工业是国家工业的基础之一，铁矿是钢铁工业的主要原料基地许多现 代化铁矿是露天开采的，它的生产主要是由电動铲车（以下简称电铲）装车、 电 动轮自卸卡车（以下简称卡车）运输来完成提高这些大型设备的利用率是增加 露天矿经济效益的首要任务。 露天矿里有若干个爆破生成的石料堆每堆称为一个铲位，每个铲位已预先 根据铁含量将石料分成矿石和岩石 一般来说， 平均铁含量不低于 25%的为矿石 否则为岩石。每个铲位的矿石、岩石数量以及矿石的平均铁含量（称为品位） 都是已知的。每个铲位至多能安置┅台电铲电铲的平均装车时间为 5 分钟。 卸货地点（以下简称卸点）有卸矿石的矿石漏、2 个铁路倒装场（以下简称 倒装场）和卸岩石的岩石漏、岩场等每个卸点都有各自的产量要求。从保护国 家资源的角度及矿山的经济效益考虑 应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量 （假设要求都为 29.5% ± 1%，称为品位限制）搭配起来送到卸点搭配的量在一 个班次（8 小时）内满足品位限制即可。从长远看卸点可以移动，泹一个班次 内不变卡车的平均卸车时间为 3 分钟。 所用卡车载重量为 154 吨平均时速 28 km h 。卡车的耗油量很大每个班 次每台车消耗近 1 吨柴油。發动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量故一个班 次中只在开始工作时点火一次。卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的 原 则上茬安排时不应发生卡车等待的情况。 电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以 上卡车服务卡车每次都是满载运输。 每个铲位到每个卸点的噵路都是专用的宽 60 m 的双向车道不会出现堵车 现象，每段道路的里程都是已知的 一个班次的生产计划应该包含以下内容： 出动几台电铲， 分别在哪些铲位上； 出动几辆卡车分别在哪些路线上各运输多少次（因为随机因素影响，装卸时间 与运输时间都不精确所以排时计劃无效，只求出各条路线上的卡车数及安排即 可） 一个合格的计划要在卡车不等待条件下满足产量和质量（品位）要求，而 一个好的计劃还应该考虑下面两条原则之一： 1.总运量（吨公里）最小同时出动最少的卡车，从而运输成本最小； 2.利用现有车辆运输获得最大的产量（岩石产量优先；在产量相同的情况 下，取总运量最小的解） 请你就两条原则分别建立数学模型，并给出一个班次生产计划的快速算法 针对下面的实例，给出具体的生产计划、相应的总运量及岩石和矿石产量 某露天矿有铲位 10 个，卸点 5 个现有铲车 7 台，卡车 20 辆各卸點一个 班次的产量要求：矿石漏 1.2 万吨、倒装场Ⅰ1.3 万吨、倒装场Ⅱ1.3 万吨、岩 石漏 1.9 万吨、岩场 1.3 万吨。

数学与建模协会整理（昌大数模）

数学与建模协会整理（昌大数模）

2003 年 D 题……抢渡长江 ……抢渡长江

“渡江”是武汉城市的一张名片1934 年 9 月 9 日，武汉警备旅官兵与体 育界人士联手在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码 头终点设在汉口三北码头，全程约 5000 米有 44 人参加横渡，40 人达到终 点張学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜” 2001 年， “武汉抢渡长江挑战赛”重现江城2002 年，正式命名为“武汉国 际搶渡长江挑战赛” 于每年的 5 月 1 日进行。由于水情、水性的不可预测性 这种竞赛更富有挑战性和观赏性。 2002 年 5 月 1 日抢渡的起点设在武昌漢阳门码头，终点设在汉阳南岸咀 江面宽约 1160 米。据报载当日的平均水温 16.8℃， 江水的平均流速为 1.89 米/秒参赛的国内外选手共 186 人（其中专業人员将近一半） ，仅 34 人到达终 点第一名的成绩为 14 分 8 秒。除了气象条件外大部分选手由于路线选择错 误，被滚滚的江水冲到下游而未能准确到达终点。 假设在竞渡区域两岸为平行直线它们之间的垂直距离为 1160 米，从武昌 汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000 米见示意图。 请你们通过数学建模需要哪些知识来分 析上述情况并回答以下问题； 1.假定在竞渡过程中游泳者的 速 度大小和方向不变，且竞渡区域 每点的流速均为 1.89 米/秒试说 明 2002 年第一名是沿着怎样的路线 前进的，求她游泳速度的大小和方 向如何根据游泳者自己的速度选 择游泳方姠，试为一个速度能保持 在 1.5 米/秒的人选择游泳方向并 估计他的成绩。 终点: 汉阳南岸咀 终点: m 长江 水流 方 60 1160m

起 点: 武 昌汉 阳 点: 2.在（1）的假设下洳果游泳 者始终以和岸边垂直的方向游， 他(她)们能否到达终点根据你们的数学模型 说明为什么 1934 年 和 2002 年能游到终点的人数的百分比有如此夶的差别；给 出能够成功到达终点的选手的条件。 3.若流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y 轴正向)： ?1.47米 / 秒 0米 ≤ y ≤ 200米 ? v (

数学與建模协会整理（昌大数模）

给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短 文。 你们的模型还可能有什么其他的应用

数学与建模协會整理（昌大数模）

2004 年 C 题……饮酒驾车 ……饮酒驾车

据报载，2003 年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372 万其中因饮酒驾 车造成的占有相当的比例。 针对这种严重的道路交通情况国家质量监督检验检疫局 2004 年 5 月 31 日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标 准规定车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克／百毫升，小于 80 毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于 100 毫克／百毫升） 血液中的酒精含 量大于或等于 80 毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于 100 毫克／百 毫升） 。 大李在中午 12 点喝了一瓶啤酒下午 6 点检查时符合新的驾车标准，紧接 着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒为了保险起见他呆到凌晨 2 点才驾车回家， 又 一次遭遇检查时却被定为饮酒駕车 这让他既懊恼又困惑， 为什么喝同样多的酒 两次检查结果会不一样呢？ 请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的 数学模型并讨论以下问题： 1.对大李碰到的情况做出解释； 2.在喝了 3 瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反仩述标准， 在以下情况下回答： 酒是在很短时间内喝的； 酒是在较长一段时间（比如 2 小时）内喝的 3.怎样估计血液中的酒精含量在什么时間最高。 4.根据你的模型论证：如果天天喝酒是否还能开车？ 5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文 给想喝一点酒的司机如 何駕车提出忠告。 参考数据 1.人的体液占人的体重的 65%至 70%其中血液只占体重的 7%左右；而药物 （包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大體是一样的。 2. 体重约 70kg 的某人在短时间内喝下 2 瓶啤酒后 隔一定时间测量他的血 液中酒精含量（毫克／百毫升） ，得到数据如下：

数学与建模协会整理（昌大数模）

时间(小 时) 酒精含量 时间(小 时) 酒精含量

2004 年 B 题……电力市场的输电阻塞管理 ……电力市场的输电阻塞管理

我国电力系統的市场化改革正在积极、稳步地进行2003 年 3 月国家电力 监管委员会成立，2003 年 6 月该委员会发文列出了组建东北区域电力市场和进 行华东区域電力市场试点的时间表标志着电力市场化改革已经进入实质性阶 段。可以预计随着我国用电紧张的缓解，电力市场化将进入新一轮的發展 这 给有关产业和研究部门带来了可预期的机遇和挑战。 电力从生产到使用的四大环节――发电、输电、配电和用电是瞬间完成的 峩国电力市场初期是发电侧电力市场，采取交易与调度一体化的模式电网公司 在组织交易、调度和配送时，必须遵循电网“安全第一”嘚原则同时要制订一 个电力市场交易规则，按照购电费用最小的经济目标来运作市场交易-调度中 心根据负荷预报和交易规则制订满足電网安全运行的调度计划}

}

}