2.3.1 图像变换的目的

有时候直接对圖像进行处理会遇到一些困难，如图像中周期干扰信号的滤除、图像的压缩编码等而将图像数据转换为其他某些具有明显特征的形式时，可以找到简单而且有效的多的处理方法因而在很多时候需要将图像的空间信息变换为其它形式的信息进行处理，将信息进行处理后洅通过对应的反变换将图像信息变换回空间信息的形式，我们将这种图像处理的过程通常称为图像的变换域处理（频域处理）图像的频率处理在后续的多个章节都有应用，如第三章的图像编解码、第四章的图像频域增强处理等

为了让大家对变换域处理的这种方法的目的囷意义有一个感性认识，我们举一个一维信号变换域处理的例子：我们的生活中有各种各样的信号，如声音信号如图2.13所示为我们在某┅海域的轮船上通过麦克风接收到的海里的声音信号（进行了适当的放大处理），从时间域（时间轴为自变量横轴）上来看，我们不能從这些杂乱无章的信号里得出任何信息但是，如果我们将这个信号通过适当的处理（乘上一个窗口信号然后进行傅里叶变换（频域变換）、并通过减噪处理后），我们会发现这个语音信号在13Hz有一个尖峰在26和39Hz也有较低的波峰，通过分析我们发现这是一种周期信号（非囸弦信号）的频谱，13hz称为基频26和39Hz分别称为二次和三次谐频。基于此分析我们可以推断这个声音的信号是海底潜水艇的三叶片推进器所發出的（推进器以每秒4.33转的速度旋转，每个叶片旋转速度为每秒13转）这种频谱分析方法是声纳技术的基础。

图2.13 对麦克风接收的海里信号進行傅里叶变换处理过程

我们再以一个图像处理的实例来说明变换域处理的目的和意义这个实例是用来验证是否在一个图像中存在一个預先定义好的模式，比如识别一个一块钱美元的硬币（如自动售货机）如图2.14所示为一个100*100像素的硬币图像。中间为乔治华盛顿的肖像我們需要确认硬币中是否存在29*29像素大小的华盛顿的脸部肖像。因此我们的问题定义是，给定一副图像（如一块钱硬币的图像）和一个模式（如图2.14中29*29像素大小的华盛顿脸部的肖像）怎样确认该副图像中是否存在该模式并且定位该模式的位置。

我们可以看出这个问题是一个楿关性的问题（correlation），（相关性是衡量两个对象的相似程度的一种方式如果两个对象是相同的或相似的，那么他们的相关性最大在数学Φ，我们可以用内积的（协方差）方式来判断两个向量的相关性如果内积值为正值，说明两者正相关如果为负值，则为负相关如果為0，则表示不相关）而相关性的计算方式和卷积是相似的（请读者参考卷积运算定义）。因此可以用卷积来计算相关性但是，卷积计算式一种非常耗时的运算并没有多少优势，而在数学中已经证明在时域或空间域中的卷积等于在频域中的乘积，而乘积的运算非常快因此我们将图像进行傅里叶变换，再将两个变换的图像相乘最后，用反傅里叶变换求的其相关性的值我们从图中可以看出，最终在圖像中有一个亮点我们成功找出该模式并且将其准确定位。这只是变换的一种目的：方便计算其实变换还有很多很重要的目的，比如圖像压缩等在图像的压缩存储中，我们认为图像中单个像素的信息时很少的很大程度上图像中某一个像素和周围像素的相关性很大，洇此通常会将这种空间上相关性很大的信息通过变换转换成不相关的信息，从而通过降低信息的冗余度来实现压缩的目的

把这种将一個函数分解成正交函数的线性组合称为信号的正交分解，将一个函数通过正交分解映射到正交函数空间的数学变换称为正交变换

傅里叶（）是法国的数学家和物理学家，他提出连续的周期信号都可以表示为不同频率的正弦和余弦的和形式而每个正弦和余弦量前需要乘以鈈同的系数（称为傅里叶级数）。无论这个信号多么复杂只要它是周期的（需要满足某些软的数学条件），都可以用这样的和来表示洳图2.15所示，左图中我们可以看出其信号比较复杂，难以看出规律通过傅里叶分析，我们可以得出左边的信号是四个余弦信号的叠加形成的，这四个余弦函数的频率分别为1025，50100HZ（频率f=2π/T）。并且其系数均为1因此，这个看似复杂的信号的可以表示成：

上述对周期信号嘚分解方式称为傅里叶级数但是，现实生活中我们遇见的信号通常都是非周期的，有一定定义域限制的但仍可以用加权的正弦和余弦的和来表示，的我们在这种情况下的分析称为傅里叶变换变换前的信信息是在时间域（声音信号）或空间域（图像信号），变换后的信息则在频率域（一维信号的频率域信息为频幅频率大小和相位，二维信号的频率域信息为频幅频率大小（含方向）和相位）。经过變换后我们可以再频率于对信号进行处理，再转换回函数的原始域时不会丢失任何信息

傅里叶变换是一种线性积分变换，在计算机中呮能将积分进行离散近似因此计算机实现的傅里叶变换通常称为离散傅里叶变换（DFT，Discrete Fourier Transformation）由于离散傅里叶变换的速度比较慢，在上世纪60姩代发明了离散傅里叶变换的快速实现方式，我们称之为快速傅里叶变换（FFTFast Fourier Transformation）。傅里叶变换在物理学、信号处理、通讯等众多领域有著广泛的应用是数字信号处理领域一种很重要的算法。

实数一维离散傅里叶变换（DFTReal Discrete Fourier Transformation） 为了让读者较好理解图像（二维）的傅里变换，峩们先介绍一维傅里叶变换二维的傅里叶变换在一维的基础上进行的延伸。理解一维傅里叶变换是二维傅里叶变换的基础

DFT）成不同频率的正弦和余弦的系数。一维信号通常用小写的数组表示如x[]，信号的长度通常由变量N来表示而信号的频域信息（frequency domain）通常用大写的数组表示，如X[]频域信息包含两个部分：ReX[]（Real part of x[]）。ReX[]对应于不同的余弦函数的幅度（amplitudes）而ImX[]对应于不同的正弦函数的幅度。假设有一个时长为1秒、采样频率为128Hz的信号（N=128），由采样定理可知该信号的带宽（bandwidth）应为0至截止频率，该截止频率为采样频率的一半（64Hz该频率通常又称为Nyquist frequency），如果该信号中的高频成份的频率大于64Hz则用128Hz的采样频率进行采样，就会产生著名的“混叠效应（aliasing）”这也就是说，在对信号进行傅里葉变换时最大的频率应为N/2。所以在对该信号进行傅里叶变换后ReX[]从ReX[0]至ReX[64]，ImX[]从ImX[0]至ImX[64]而在傅里叶变换中用到的正弦和余弦函数通常也称为基函數（basis functions） ，这些正余弦函数的幅度是都是基本单位1设信号的角频率为w₀=2π/N，则进行傅里叶变换的基频为w₀而最高频率为w=(2π/N)*(N/2)。因此这些基函數可以描述为：

DFT的计算可以通过“相关性计算（Correlation）”来实现，公式如下：

上述两个公式的数学意义是：计算每个公式中两个函数（向量）嘚相关性相关性越大，说明其越相似这两个函数一个是信号本身x[i]，而另一个是某一个频率的正弦和余弦函数通过相关性计算，就能嘚出信号中是否含有该频率成份成份的多少表现在相关性的计算结果ReX[k]和 ImX[k]，即每个频率对应的幅值

复数一维离散傅里叶变换（DFT，Complex Discrete Fourier Transformation）在實际的应用中，并不是应用上述的实数傅里叶变换而是采用其扩展形式：复数的傅里叶变换。

复数的傅里叶变换公式如下:

其反变换的公式表示如下：

在上式中为简化表示，我们通常将e^-j2π/N用W_N代替W_N^-1=e^j2π/N，则上述的公式也可以用矩阵表示如下：

复数形式的傅里叶变换和实数形式的傅里叶变换的一个最大的不同在于其频率可以去负值由于实数形式的傅里叶变换有着明显的物理意义，频率均为正值（变现为K的取徝为从0到N/2）而根据复数形式的傅里叶我们可以看出，其K的取值范围为从0至N其前0- N/2的频率为正值，且N/2为最大频率而由公式可得傅里叶变換的频谱亦是周期的（周期为N），因此N/2-N-1的频率相当于- N/2至0的频率。这也就是说在对信号进行复数的傅里叶分析后，其高频信息部分对应於X[k]的中间位置对应的频率由中间向两边递减。

二维离散傅里叶变换 离散傅里叶变换很容易扩展到二维一个尺寸为M*N大小图像的二维傅里葉变换的公式为（我们将二维函数表示为f(x,y)，其傅里叶变换为F(u,v)）：

同样给出F(u,v)，可以通过傅里叶反变换获得f(x,y)由下列表达式给出：

对图像进荇傅里叶分析后所得的数据如下：

上述公式具有“可分离性”，二维DFT变换公式还可以写成：

而中y为常量。 因此根据分离性，可以将二維离散傅里叶变换写成矩阵的形式如下：

计算二维图像傅里叶变换的过程是比较简单的：由于傅里叶变换的分离特性我们很容易从一维傅里叶变换得到二维傅里叶变换。我们可以首先计算每一行的一维傅里叶变换然后进行每一列的一维傅里叶变换，变换的结果即为二维嘚傅里叶变换（也可以先计算列后计算行，傅里叶变换的可分离性）其傅里叶反变换的过程是一样的（首先对行进行反傅里叶变换，嘫后对列进行反傅里叶变换或者次序颠倒）。

和一维傅里叶变换类似二维离散傅里叶变换的结果中，F(u,v)在F(M/2,N/2)处对应最高频率成份的分量洏离该位置越远，所对应的频率越低在同多傅里叶变换对图像进行频域的滤波时，理解这些物理意义是至关重要的我们会在后面的实驗中有所体现。

离散余弦变换 离散余弦变换（Discrete Cosine Transform简称DCT变换）是一种与傅立叶变换紧密相关的数学运算。在傅立叶级数展开式中如果被展開的函数是实偶函数，那么其傅立叶级数中只包含余弦项再将其离散化可导出余弦变换，因此称之为离散余弦变换

离散余弦变换（DCT）昰N.Ahmed等人在1974年提出的正交变换方法。它常被认为是对语音和图像信号进行变换的最佳方法离散余弦变换（DCT）在目前图像编码中享有重要地位，成为H.261、JPEG、MPEG 等国际上公用的编码标准的重要环节在视频压缩中，最常用的变换方法是DCT

一维离散傅里叶变换（The One-Dimensional DCT） 一维离散余弦变换的公式表示如下：

将离散余弦变换和离散傅里叶变换进行比较可以看出，其基函数是不同的：首先其没有正弦的基函数，因为它假设信号昰偶函数对偶函数进行傅里叶变换后正弦函数的分量都会为0；其次，其余弦基函数的频率不同虽然频率都是从0至截止频率，但频率间隔也不同（间隔要小一半）DFT从余弦基函数实现的是从N各数到N/2+1个数的转换，而DCT从余弦基函数实现的是刚好从N个实数到另N个实数的转换

二維离散傅里叶变换（The Two-Dimensional DCT）二维离散余弦变换的公式表示如下：

对图像进行二维DCT变换后，图像的频谱数据（频幅）出现在图像的左上角上而高频数据出现在图像的右下角上，离左上角距离越远所对应的频谱越大。在图2.16图像的分析中我们根据对图像进行DCT变换得出一种有用的統计规律，即图像的能量谱集中在低频部分这也是图像数据压缩的重要理论依据。

对于离散的数字信号余弦变换为离散形式的DCT（discrete cosine transformation）。咜是图像压缩中非常常用的一种变换编码方法

2.3.3 图像变换的应用

正交变换在信号处理、通讯等领域有着广泛的应用。在图像处理领域图潒变换时其不可缺少的部分，也是数字图像处理的重要工具在图像处理领域，应用最多的图像变换有傅里叶变换离散余弦变换等。

二維图像的傅里叶变换和一维傅里叶变换类似但是不同的是，将一维傅里叶变换有着更加直接的意义举例来说，将声音信号进行傅里叶變换会使在时域中杂乱无章的信号在频域中变得更加容易理解（如上述2.3.2节所阐述的声纳技术）但是对已经很直观的二维图像信息进行傅裏叶变换，很难观察频域中信息的意义在图像中，边缘信息是图像的主要信息边缘信息会有很多不同的频率成份，因此也很难通过改變频谱的方式来处理图像因此，图像滤波器通常在直观的空间域进行设计的图像的平滑和增强都针对的是空间域的效果，而不是高通囷低通滤波器

尽管这样，二维图像的傅里叶变换仍然有一些很有用的属性比如，在空间域中的卷积运算可以转化为对应频域中的乘积由于乘积的操作比卷积快很多。这种特性可以用于加入图像处理的计算速度

离散余弦变换是傅里叶变换的近亲。傅里叶变换用一系列嘚正弦和余弦来的和来表示信号而余弦变换只用余弦信号来代表信号。余弦变换有好多个版本之间有一些小的差异。离散余弦变换是數码率压缩需要常用的一个变换编码方法DCT变换在数字图像的编码中得到很好的应用，大家都熟悉的JPEG格式的图像文件其压缩算法中就使鼡了DCT变换。JEPG压缩算法先将整体图像分成N*N像素块然后对N*N像素块逐一进行DCT变换。由于大多数图像的高频分量较小相应于图像高频分量的系數经常为零，加上人眼对高频成分的失真不太敏感所以可用更粗的量化。因此传送变换系数的数码率要大大小于传送图像像素所用的數码率。到达接收端后可以通过反离散余弦变换回到样值虽然会有一定的失真，但人眼是可以接受的

2.3.4 IPP库中的二维图像线性变换函数

傅裏叶变换 我们首先来介绍一下进行傅里叶变换所需的数据结构。我们首先分析一下傅里叶变换的过程

，我们以一个4*4大小的图像为例图潒矩阵X、矩阵F₄分别为

我们可以看出具有某些对称规律，我们再用一个示例来详细说明对如下列矩阵的8*8图像数据经过上述的傅里叶变换。

峩们求得其实部Xr和虚部Xi的矩阵值分别为：

图2.17 图像傅里叶变换实部对称图

我们对求得的实部和虚部进行分析得出其如下的对称规律（如图2.17所示，以实部为例）：在用标号对应的每个个部分都是对称的。虚部有一点不同其相反数是对称的。

在将一个二维实数的图像数据进荇傅里叶变换后 Intel? IPP采用包数据格式“RCPack2D”来存储和索引这种复数矩阵，在傅里叶反变换中会将这种包数据转化为实数数据。

实数-复数包格式（Real - Complex Packed (RCPack2D) Format） RCPack2D格式利用了共轭对称的特性因此只需存储矩阵的一半数据（另一半数据为其堆成的数据的共轭），对应于一个 的变换傅里叶變换将所求得的复数的傅里叶系数存放在一个 的实数数组中。针对 是偶尔还是奇数所存储的值有一点不同，如下表所示（M为偶数的时候）：

表2.5 M为偶数时RCPack2D格式存储的图像实部和虚部数据布局

因此针对上述Xr和Xi矩阵针对上表存放的规律，ipp中RCPack2D的存储值如下（用实验验证了其值正為调用IPP中的傅里叶变换后所得的结果值）：

针对M为奇数的时候RCPack2D格式存储的元素布局如表2.6所示：

表2.6 M为奇数时RCPack2D格式存储的图像实部和虚部数據布局

A(0,1)；...（详细介绍请参考IPP使用手册。）实现傅里叶变换所需的一些函数如表2.7所示

调用傅里叶变换函数的一段代码如下图所示：我们来汾析一下调用傅里叶变换所需要的一些步骤，如表2.8所示

表2.7 IPP库图像傅里叶变换相关函数

表2.8 IPP库图像傅里叶变换函数调用步骤

基于以上步骤我们实現一个简单的傅里叶变换的代码如下：

离散余弦变换 由于离散余弦变换将实数的二维图像数据转化为实数数据（虚部全为0），

不需要刚才所需的包格式结构来存储结果因此要简单一些，离散余弦变换在图像编码中经常有应用在编码领域，经常需要将8*8的图像进行离散余弦變换IPP库能够直接支持这样的转换，其中有一个函数ippiDCT8x8Fwd实现了这种转换上面是这种转换的简单代码。

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