内容提示：3.3 实对称矩阵a的特征值嘟是实数的特征值和特征向量

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设A是n阶实对称矩阵a的特征值都是實数,证明：（1）A的特征值全是实数；（2）若A为正定矩阵,则A^2也是正定矩阵

(1) 设λ是A在复数域内的一个特征值,X是属于λ的特征向量(未必是实向量),即有AX = λX.
用B*表示B的复共轭的转置,由A是实对称矩阵a的特征值都是实数,有A* = A.
且由X ≠ 0,有X*X ≠ 0.λ与非零实数相乘得实数,即λ为实数.
(2) 首先由A是实对称矩阵a的特征值都是实数,易知A?也是实对称矩阵a的特征值都是实数.
其中||AX||表示向量AX的模长(各元素的平方和的算术平方根).
而A是正定矩阵,所以也是可逆的,即AX = 0只有零解.
即得X'A?X ≥ 0对任意实向量X成立,且等号成立当且仅当X = 0.