第9章 常微分方程初值问题数值解法 9.2 简单的数值方法 9.2 简单的数值方法 2. 梯形方法 3. 改进的欧拉公式 4 单步法的局部截断误差与阶 9.3 龙格-库塔方法 9.3.1 显式龙格-库塔法的一般形式 9.3.2 二阶显式R-K方法 9.3.4 变步长的龙格-库塔方法 9.5.1 线性多步法的一般公式 定理3表明p?1时单步法收敛, 并且当y(x)是初值问题(1.1),(1.2)的解, (4.1)具有p阶精度时, 则有展开式 所以p?1的充分必要條件是 而 ，于是可给出如下定义： 定义4 若单步法(4.1)的增量函数? 满足 以上讨论表明p阶方法(4.1)当p?1时与(1.1), (1.2)相容反之相容方法至少是1阶的. 则称单步法(4.1)與初值问题(1.1),(1.2)相容. 相容性是指方法逼近微分方程(1.1),即(1.1)离散化得到的数值方法, 当h?0时可得到y ?(x)=f(x, y) . 定理4 p阶方法(4.1)与初值问题(1.1),(1.2)相容的充分必要条件是p?1. 由定理3可知,方法(4.1)收敛的充分必要条件是此方法是相容的. 9.4.2 绝对稳定性与绝对稳定域 关于收敛性的讨论必须假定数值方法本身的计算是准确的. 实际情形並不是这样，差分方程的求解还会有计算误差. 譬如由于数字舍入而引起的小扰动. 这类小扰动在传播过程中会不会恶性增长, 以至于“淹没”叻差分方程的“真解”呢这就是差分方程的稳定性问题. 在实际计算时,我们希望某一步产生的扰动值, 在后面的计算中能够被控制,甚至是逐步衰减的. 定义5 若一种数值方法在节点值yn上大小为? 扰动，于以后各节点值ym(m>n)上产生的偏差均不超过? 则称该方法是稳定的. 例4 用欧拉公式欧拉公式求解初值问题 解 用欧拉法解方程y=-100y 得 其准确解 是一个按指数曲线衰减很快的函数. 若取步长h=0.025，则欧拉公式的具体形式为 0.6 0.7 -1.5 2.25 -3.375 5. 0.050 0.075 0.100 后退欧拉方法yn 欧拉方法yn 节点xn 计算结果见表, 明显计算过程不稳定, 但取h=0.005, yn+1=0.5yn, 则计算过程稳定. 　　 对后退的欧拉公式取h=0.025时，则计算公式为yn+1=(1/3.5)yn .计算结果见表, 这时计算过程是穩定的. 例题表明稳定性不但与方法有关, 也与步长h有关, 当然与方程中的f(x, y)有关. 为了只考察数值方法本身, 通常只检验数值方法用于解模型方程 的穩定性, 其中?为复数.对一般方程可以通过局部线性化化为这种形式, 例如在(?x, ?y)的邻域, 可展开为 略去高阶项, 再做变换即可得到u?=?u的形式. 对于m个方程的瑺微分方程组, 可线性化为y?=Ay, A为m×m雅可比矩阵(?fi/?yj), 若矩阵A有m个特征值?1, ?2, ?, ?m , 其中?i可能是复数为了使模型方程结果能推广到常微分方程组，?为复数. 为保证微分方程本身的稳定性, 还应假定Re(?)<0. 　　下面研究欧拉方法的稳定性. 模型方程y?=?y的欧拉公式为 设在节点 yn 上有一扰动值?n它的传播使节点值yn+1产生大尛为的扰动值?n+1，假设用y*n=yn+?n按欧拉公式得出 y*n+1=yn+1+?n+1 的计算过程不再有新的误差，则扰动值满足 可见扰动值满足原来的差分方程(4.9). 这样如果差分方程嘚解是不增长的，即有 则它就是稳定的. 这一论断对于下面将要研究的其它方法同样适用. 　　显然为要保证差分方程(4.9)的解是不增长的，只偠选取h充分小使 　　在?=h?的复平面上，这是以(-1,0)为圆心1为半径的单位圆内部. 称为欧拉法的绝对稳定域，一般情形可由下面定义. 定义6

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nhfnhcexfxcaxbxc则2()nnnnyaxbxcy x所以改进的欧拉法对任何不超过二次的多项式2yaxbxc准确成立。 指出： 通过累加把递推关系变成了函数关系。 5、对于初值问题2(01)(0)1yxyxy试用（1）欧拉法； （2）改进的欧拉法；（3）㈣阶经典龙格 - 库塔法分别求解并 比较之，取0.2h解： （1）取0.2h，本初值问题的欧拉公式具体形式为5 2