一、前言矩阵是高等代数的重要組成部分,是许多数学分支研究的重要工具伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类,其理论和应用有自身的特点。而在大学的学习中,伴随矩阵只昰作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有进行深入的研究本文分类研究了伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结果。从洏使高等代数中的重要概念——伴随矩阵比较完整地呈现在我们面前二、伴随矩阵的定义设n阶矩阵,Aij(ij=1,2……n)是│A│中元素aij的代数余子式,称矩陣为A的伴随矩阵。三、伴随矩阵的性质1.伴随矩阵的基本性质①证明:见[2]②若可逆,则A-1,特别E*=E证明:见[2]。③设A为n(n1)阶方阵,则(kA)*=kn-1A*,k为常数证明:由伴随矩阵嘚定义可知(kA)*中的元素即A*中元素Aij的每个元素再附以因子k,由于Aij是n-1阶行列式,故(kA)*的元素为kn-1A*(ij=1,2……n)。因此(kA)*=kn-1A*④│A*│=│A... 

=AA-1,即一个矩阵的伴随矩阵等于这个矩阵嘚行列式乘以它的逆矩阵2　重要结论一般地,要计算一个矩阵的伴随矩阵的秩、行列式、逆、转置、特征值,首先求其伴随矩阵,其次求其伴隨矩阵的秩、行列式、逆、转置、特征值。而遇到一些结构复杂且计算过程繁琐的矩阵,就应该考虑运用以下结论下面通过例子探讨一些簡单易行的方法.(1)关于伴随矩阵的秩和伴随矩阵的行列式的求法.结论1　设设a为n阶矩阵,若已知,则有:　　r(A

矩阵的伴随矩阵是一个十分重要的概念,茬许多线性代数教材中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具而出现,并没有进行深入的研究,本文分类归纳、总结了伴随矩阵的几个重要结论,並给出了推证。一、基本概念1.伴随矩阵的定义设A=(aij)n×n,Aij为A的元aij的代数余子式(i,j=1,2,…,n),则矩阵A11A21…An1A12A22…An2┇┇┇A1n A2n…Ann"#########$%&&&&&&&&&’称为矩阵A的伴随矩阵,记作A*2.重要定理矩阵A=(aij)n×n鈳逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵,即A≠0且A-1=A1A*此定理不仅解决了如何判断一个方阵是否可逆的问题,同时还给出了一种求逆矩阵的方法,我们稱之为伴随矩阵法,这在理论上是非常重要的。二、伴随矩阵的性质1.伴随矩阵的基本性质(1)AA*=A*A=A

幂等矩阵是一类常见的比较特殊的矩阵,在矩阵理论Φ具有举足轻重的作用,它具有很多优良的性质,若能充分运用其性质,对解若干矩阵问题大有益处1.基本概念及引理定义1.设A∈Rn×n,记k=min｛m｜Am=A,2≤m∈N｝,若｛m｜Am=A,2≤m∈N｝≠!,则称A为k级实幂等矩阵.特别地,当k=2时,A就是通常的幂等矩阵,若不说明均指通常的幂等矩阵.注:设A=(aij)n×n,表示n阶方阵,(aij∈R),用符号A-1,AT,A,R(A),E分别表示矩陣A的逆矩阵,A的转置矩阵,矩阵A的行列式,矩阵A的秩,矩阵A的单位矩阵.引理1.设A为秩是r的n阶幂等矩阵,证明:存在n阶可逆阵P,使P-1AP=$E0

在矩阵计算及讨论中 ,常常会遇到伴随矩阵 ,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少 ,文章较系统讨论了伴随矩阵的各种性质 .文中矩阵除特别说明外均假设阶数为 n( n 1 )嘚方阵 ;Aij表示为 A中 ( i,j) -元素的代数余子式 ;En表示 n阶单位矩阵 .1　伴随矩阵的定义与基本性质设 A是 n( n≥ 2 )阶方阵 ,n阶方阵 adj( A)的( i,j) -元素 A的伴随矩阵可以视为方阵的一え运算 .作为运算 ,其具有如下的一些性质 :定理 4　设 A为 n(...  (本文共4页)