这个齐次线性方程组组怎么做

点击联系发帖人 时间：2018-11-18 13:59

齐次线性方程组

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0311齐次齐次线性方程组组求通解

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这是一个齐次齐次线性方程组组（一般的非齐次齐次线性方程组组AX=b其实也都可以化为齐次方程组的形式所以比较普遍）

先要说明在非齐次方程组中，A到底有没有解析解可以由增广矩阵来判断：

r(A)>r(A | b) 不可能，因为增广矩阵的秩大于等于系数矩阵的秩（在矩阵中加入一列其秩只可能增大，不可能变小）

2.r(A)<未知数个数n（约束不够） 这里A是不是方阵已经无所谓了，也没有什么法则可以用就只分成一种情况。

由齐次齐次线性方程组组解空间维数 = n - r(A) >0所以该齐次齐次线性方程组组有非零解，而且不唯一（自由度为 n - r(A))

(多谢wereineky指出错误) 在我们做一些实际问题的时候，经常在 1.2(当然严格来说1.1也囿可能啦)会卡住这时实际上是没有真正的非零解析解的，因为约束太多了没法都满足(零向量除外)。但是可以折中一下每一个方程都滿足个大概，这就要求最小二乘解求取最小二乘解的方法一般使用SVD，即奇异值分解

解空间维数与r(A)的关系的感性认识： r(A)可以理解为一种約束条件的强弱的表现（约束的强弱不只是表面上的方程个数）。比如有一个方程组每个方程都是一样的，那么其秩为1,方程的个数对约束毫无贡献

SVD与最小二乘解： SVD：奇异值分解，是在A不为方阵时的对特征值分解的一种拓展奇异值和特征值的重要意义相似，都是为了提取出矩阵的主要特征

对于齐次齐次线性方程组 A*X =0;当A的秩大于列数时，就需要求解最小二乘解在||X||=1的约束下，其最小二乘解为矩阵A'A最小特征徝所对应的特征向量

假设x为A'A的特征向量的情况下，为什么是最小的特征值对应的x能够是目标函数最小证明(多谢hukexin0000指出错误这个约束太强，只能提供一点点感性认识具体的证明请查阅相关教科书)：

可见M*M的特征向量就是V的列向量。

求解： 求解方法有两种（matlab）：

[V D] =eig(A'*A);D为A'*A的特征值对角矩阵V为对应的特征向量。找到最小特征值对应的V中的特征向量即为最小二乘解
使用SVD分解矩阵A，[U S V] = svd(A); U 由 A*A'的特征向量组成V 由 A'*A的特征向量组荿，因此奇异值矩阵S中最小的奇异值对应的V中的奇异向量即为最小二乘解。
对于超定方程（非齐次齐次线性方程组的一种）的最小二乘解的情况A*X =b ; 当A的行数大于列数时，方程组无解就需要求解最小二乘解。在matlab中使用一个左除命令就可以得到最小二乘意义下的解这个解沒有模制的限制，就是实际的解matlab：A\b

两种方法其实是一个意思。

推荐资料： 这篇资料还是很不错的讲述了SVD与PCA的关系，其中的推荐资料也佷不错

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