1.Ax=b的可解性及解的结构
前面提及Ax=时我们把Ax=通过消元法转化为Rx=来求解。整个解空间存在于矩阵A的零空间中N(A),关注的是在空间Rn中的事儿这儿考虑Ax=b,我们关注的是列空间Rm中的事儿。

2) 如果A的行的线性组合得,则对b进行相同的线性操作时也可得；

现求解Ax=b时在消元过程中不得不考虑对b进行相同的操作。其解的结构由特解（Particular）及零空间（nullspace）的解组成

???bbb????>???bb?bb?b????>???bb?bb?b?b???

Xp=?????/??????

2）令x=0，x=1；令x=1x=0，得基础解系（零空间解）

Xn=???????????,???????????

Xcomplete=C???????????+C???????????+?????/??????

用图形的方式理解解时过

理解矩阵的秩与行、列的关系
(2) 行满秩：r=m,这时的有n?r个自由变量。解存在多个

2.向量间的线性无关性
定义：洳果Ax= 的解只有x=，那么说明列向量间是线性无关的（linear independent）.

对三个向量描述其位于R:
1） 如果三个向量都不在一个平面内，那么各向量间相互独立；
2） 如果三个向量在一个平面内则其相互不独立，因为任一个向量可以由其余的线性组合而得；

A列向量的相关性与矩阵A的零空间相联系：如果向量间均无关性则零空间中只含零向量，自由变量为0此时方程组的解只能是1或0个；如果向量间存在相关性，则零空间中存在除零向量以外的向量此时的解时无数个。

向量生成空间的定义 Vectors that span a subspace: 如果一系列的向量间的线性组合可将此空间填满就说向量span一个空间。

经验哋两个向量可以span*空间R或一条直线，三个向量可以**span空间R或仅仅一个平面或一条直线*。退化的情况是由向量间线性相关导致的

more).【向量个數足够多，但又不会太多】

定义 :向量空间的基的基是特殊的向量必须满足两个条件: （1）基之间相互独立（线性无关）； （2）生成空间；
已知向量空间的基的基=>其满足子空间中向量的一切性质（向量span生成空间的定义）=>通过线性组合向整个空间延展

对于n?n矩阵给出Rn的基：

A=??????可逆矩阵，列之间相互独立列空间是R

,列之间相互独立，他们生成（span）了整个空间

都可由列向量组合而成.

B=??????奇异矩阵列之间相关，列空间不是R

列向量的基为[2,3]因为

列空间是不同的，他们的基也是不同的！

的行空间使相同的是[2,4]或[1,2]！

对矩阵的一系列消元處理都是对整行而言，所以不管怎么变换basis for row space都是相同的但在变换时，不断地破坏了矩阵的列改变了列空间，所以basis for column space 也在不断在变化

1.Ax=b的可解性及解的结构
前面提及Ax=时我们把Ax=通过消元法转化为Rx=来求解。整个解空间存在于矩阵A的零空间中N(A),关注的是在空间Rn中的事儿这儿考虑Ax=b,我们关注的是列空间Rm中的事儿。

2) 如果A的行的线性组合得,则对b进行相同的线性操作时也可得；

现求解Ax=b时在消元过程中不得不考虑对b进行相同的操作。其解的结构由特解（Particular）及零空间（nullspace）的解组成

???bbb????>???bb?bb?b????>???bb?bb?b?b???

Xp=?????/??????

2）令x=0，x=1；令x=1x=0，得基础解系（零空间解）

Xn=???????????,???????????

Xcomplete=C???????????+C???????????+?????/??????

用图形的方式理解解时过

理解矩阵的秩与行、列的关系
(2) 行满秩：r=m,这时的有n?r个自由变量。解存在多个

2.向量间的线性无关性
定义：洳果Ax= 的解只有x=，那么说明列向量间是线性无关的（linear independent）.

对三个向量描述其位于R:
1） 如果三个向量都不在一个平面内，那么各向量间相互独立；
2） 如果三个向量在一个平面内则其相互不独立，因为任一个向量可以由其余的线性组合而得；

A列向量的相关性与矩阵A的零空间相联系：如果向量间均无关性则零空间中只含零向量，自由变量为0此时方程组的解只能是1或0个；如果向量间存在相关性，则零空间中存在除零向量以外的向量此时的解时无数个。

向量生成空间的定义 Vectors that span a subspace: 如果一系列的向量间的线性组合可将此空间填满就说向量span一个空间。

经验哋两个向量可以span*空间R或一条直线，三个向量可以**span空间R或仅仅一个平面或一条直线*。退化的情况是由向量间线性相关导致的

more).【向量个數足够多，但又不会太多】

定义 :向量空间的基的基是特殊的向量必须满足两个条件: （1）基之间相互独立（线性无关）； （2）生成空间；
已知向量空间的基的基=>其满足子空间中向量的一切性质（向量span生成空间的定义）=>通过线性组合向整个空间延展

对于n?n矩阵给出Rn的基：

A=??????可逆矩阵，列之间相互独立列空间是R

,列之间相互独立，他们生成（span）了整个空间

都可由列向量组合而成.

B=??????奇异矩阵列之间相关，列空间不是R

列向量的基为[2,3]因为

列空间是不同的，他们的基也是不同的！

的行空间使相同的是[2,4]或[1,2]！

对矩阵的一系列消元處理都是对整行而言，所以不管怎么变换basis for row space都是相同的但在变换时，不断地破坏了矩阵的列改变了列空间，所以basis for column space 也在不断在变化