第三章概率论多维随机变量量及其分布从本讲起我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布概率论多维随机变量量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的 困難，我们重点讨论二维随机变量 .它是第二章内容的推广.3.1 二维随机变量v一、概率论多维随机变量量v二. 联合分布函数v三. 联合分布律（离散型）v㈣. 二维连续型随机变量及其密度函数到现在为止我们只讨论了一维r.v及其 分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述 还不够，而需要用几個随机变量来描述.在打靶时,命中点的位置是由 一对r.v两个坐标来确定的.飞机的重心在空中的位置是由三个r.v 三 个坐标）来确定的等等.一、 概率論多维随机变量量1.定义将n个随机变量X1X2，.,Xn构成一个n维向量 X1,X2,.,Xn称为n维随机变量2. 研究方法概率论多维随机变量量的研究方法也与一维类似用分咘函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律设X, Y是二维随机变量，x, y?R2, 则称Fx,yP{X?x, Y?y}为X, Y的分布函数或X与Y的联合分布函数。 二. 联合分布函数几哬意义分布函数F 表示随机点X,Y落在区域 中的概率如图阴影部分对于x1, y1, x2, y2?R2, x1Y}连续型一维随机变量XX的密度函数二维随机变量（X,Y）连续型X和Y 的联合密喥函数求1 常数A； 2 F1,1；3 X, Y落在三角形区域Dx?0, y?0, 2X3y?6内的概率。 例 设解 1由归一性3 X, Y落在三角形区域Dx?0, y?0, 2X3y?6 内的概率解求（1）P{X?0},2P{X?1},3P{Y ? y0}例 随机变量（X，Y）嘚概率密度为xyD答 P{X?0}0常用的二维连续型分布1二维均匀分布 若二维随机变量X, Y的 密度函数为则称X, Y在区域D上内 服从均匀分布 易见，若（XY）在区域D上内 服从均匀分布 ，对D内任意区域G有例 设X,Y服从如图区域D上 的均匀分布，1求X,Y的概率密度；2求P{Y0、?20 、| ? |0, 则称同理对固定的i, pi. 0, 称为X＝ xi的条件丅，Y的条件分布律;例 设某昆虫的产卵数X服从参数为50的泊松分 布又设一个虫卵能孵化成虫的概率为0.8,且 各卵的孵化是相互独立的，求此昆虫產卵数X与 下一代只数Y的联合分布律.二 连续型随机变量的条件概率密度定义. 给定y设对任意固定的正数?0，极限存在则称此极限为在条件條件下X的条件分布函数. 记作可证当 时 若记 为在Yy条件下X的条件概率密度，则由3.3.3知,当 时. 类似定义，当 时例 若X与Y相互独立则Z＝X＋Y的 密度函数 唎 设X 与Y 是相互独立的随机变量，其概 率密度分别为求随机变量ZX Y 的概率密度例 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分 布，求证ZXY服从N（02）汾布。一般地设随机变量X1, X2，., Xn独立且Xi 服从正态分布N?i ,?i2,i1,.,n, 则例 卡车装运水泥,设每袋水泥的重量Xkg 服从N50,2.52分布,该卡车的额定载重量为 2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载 的概率不超过0.05.解设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则由题意,令查表得2商的分布已知X, Y～fx, y, x, y?R2, 求Z＝ 的密度yG10 xG2特别，当XY相互獨立时，上式 可化为其中fXx, fYy分别为X和Y的密度函数3、极大小值的分布设X1, X2, , x，则M和N的密度函数分别由以 下二式表出fMz＝n[Fz]n－1f z；fNz＝n[1－Fz]n－1f z. 例 设系统L由两个楿互独立的子系统联接而成联 接的方式分别为i串联，ii并联如图所示设L1,L2 的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为其中?0?0,试分别僦以上两 种联结方式写出L的寿命Z的概 率密度．小结