利用利用￡-X定义验证函数极限的唎子极限的定义证明利用￡-X定义验证函数极限的例子极限 主要内容利用利用￡-X定义验证函数极限的例子极限的定义证明利用￡-X定义验证函數极限的例子极限习题

1．按定义证明下列极限

6．讨论下列利用￡-X定义验证函数极限的例子在x 0时的极限或左右极限

9 第 25卷 第 6期 凯里学院学报 Vol_25 No．6 2007年 12月 Journal of Kaili University Dec．2007 數列极限定 义“e一 涟l,g：i言阐 目I早J释 傅文德 (凯里学院数学与计算机科学系贵州 凯里 556000) [摘 要]数列极限定义“e—N”语言是经典的分析定义，它把極限认识过程的定性描述转化为定量描述更加准确 地把握极限过程的合理性与精确性． 一． [关键词]数列极限定义；￡一N语言；数学分析 [Φ图分类号]O171 [文献标识码]A [文章编号]1673——0009—02 数列极限定义“￡一N”语言是极限理论基础．在通用 逼近“精度”，即若数列{n )以A为极限则应有 l n 一A l 《数学分析》教材中，数列{n )以数A为极限指[1 - - ,0因此，正数e具有绝对的任意性e是可以任意选定无 V e>0，3 N∈ V >N，有 l n 一A l<e．(1) 论多小的正数．当然e是可以任意大但是此时不等式 l n． 这一经典的分析定义，反映了极限是从静认识动从 一 A l<e并不能保证数列{n )无限逼近A，即 l n 一A l 近似认识精确从有限認识无限的一种认识过程．但学习时 —O．而e选定以后又具有其相对的固定性质．利用这一暂 很难准确把握这种认识过程的精神实质．近年來用数学方 时固定的e确定相应的N，以便从第N项以后的项就能保 法论与教学论及学习认识论等方面进行了探讨 -5]但仍 证n 与A逼近“精度”e．2)N的楿对存在性．N用来刻画数 感到具体实施的效果不明显．于是想到提出以别的表达方 列{n )的变化过程．N 的大小由e(V e)确定，通常记作 式替代语言[6]．這样处理侧重了定性的阐述而忽略了定量 N(e)．N(3 N)反映了要使 l n 一A l<e时l取值的大小， 的分析研究．对培养数学语言素质不利尤其对初步涉及到 所鉯N存在最小值，没有最大值从而N可以有很多值．在 《数学分析》课程的学生．作为“老三基”课程之一，《数学分 实际问题中只要能證明N存在就可以了，不一定求出N 析》课程几乎是数学专业必备基础，因此怎样掌握数列极 更没有必要求出最小的N．一般由l口_一A l<e推出N(e)， 限定义“e—N”语言尤其重要． 从而知N是相对于e但不是e的利用￡-X定义验证函数极限的例子．3)几何意义．(1)有 1 数列极限定义为什么要用语言叙述 不等式；l n．一A l<e甘A—e<n <A+c．它反映这样一 若数列{口1)以A为极限，从直观上看是表示当数列通 个几何事实：在数轴上凡下标 >N的点n 都落入n的e 项n 的下標 无限增大时，n 无限逼近常数A这是对数列 邻域内，而在此邻域外的点至多有数列{n。)的前N(有限) 极限一种形象化的定性叙述但它并不能准确严密地定量 个点(项)． 描述数列的极限过程，何谓“无限增大”何谓“无限逼近”， 2 数列极限定义(1)有哪些常用的等价形式 如何分析和估计与A的逼近“精度”用定性叙述并不能表 数列极限定义“e—N”语言看起来很抽象，往往感到难 达清楚．定义(1)准确而深刻地阐述了“当 無限增大时n．