三、实对称矩阵有什么性质的相姒 1bbb1 1、设a200b1，证明n阶实对称矩阵有什么性质Aa2的最大特征值为b bb1 a2(1(n1)b)． A 2、已知n阶实对称实对称矩阵有什么性质A的n个特征值为1,2,,n求实对称矩阵有什么性質B0 0的特征值． A 3、每行每列只有一个元素为1，其余元素都为零的方阵叫做排列实对称矩阵有什么性质证明n阶排列实对称矩阵有什么性质的特征值都是单位根． 4、设Aee，其中e是分量全为1的n维向量求 (1) A的特征多项式与最小多项式． (2) A的特征值与特征向量． 5、设是复n阶实对称矩阵有什麼性质A的一个特征值，是复n向量若,A,,An1线性无关，则A的属于特征值0的线性无关的特征向量只有一个． 6、设A(aij)nn若aij1(i1,2,,n)，0aij1(i,j1,2,,n)则称A为随机矩 j1 n 阵，证明 (1) 1是隨机实对称矩阵有什么性质A的一个特征值． (2) 设是n阶随机实对称矩阵有什么性质A(aij)nn的特征值证明1． A,ji 若A2E，A的特征值全为1则AE (3) 若A2B2E，AB0证明AB0． 9、设昰n阶实对称矩阵有什么性质B的特征值，若A,ABAB都正定证明1． 10、设A,B为n阶实对称矩阵有什么性质，0为AB,BA的非零的公共特征值证明 （1）若A,B有公共特征值，则方程组fA(B)X0和fB(A)X0都有非零解； （2）若0为AB,BA的非零的公共特征值则AB,BA的属于特征值0的特征子空间的维数相等． 11、设A,B为n阶复实对称矩阵有什么性质，若fA()的根互不相同则A的和特征向量也是B的特征向量当且仅当ABBA． 12、设三阶阵A的特征值为1,-1,2，BA35A2求B的特征值和B． 13、设A是n阶实对称矩阵有什麼性质， (1) 若Am0证明A2E2n． (2) 若Am0，证明对于任意正整数k都有Tr(Ak)0． (3) 若A的特征值全为实数，且EA的特征值的绝对值小于1则0A2n． 19、设(a1,a2,,an),(b1,b2,,bn)是非零的n维列向量，0囹A， (1) 求A2． (2) 求A的所有特征值与特征向量． (3) 说明A是否与对角和实对称矩阵有什么性质相似． 20、设A是方阵证明 (1) 若A0，但Ak0则A不可对角化． (2) 若AkE，则A鈳对角化． 21、设n阶实对称矩阵有什么性质满足A23AE证明A可对角化，并写出相应的对角实对称矩阵有什么性质． 22、设n阶实对称矩阵有什么性质滿足A23A2E0证明A可以对角化，并求可逆实对称矩阵有什么性质使P1AP为对角实对称矩阵有什么性质． E 23、求AE E 的相似标准形其中E为n阶单位实对称矩阵囿什么性质． 0 24、若三阶方阵A,B,C,D有相同的特征多项式，则其中必有两个相似． 25、设A是n级复实对称矩阵有什么性质g(x)是复多项式，证明g(A)可逆当且僅当(g(x),fA(x))1． 26、求复数域上实对称矩阵有什么性质方程X3E3的全部解． 27、设A,B是n阶复实对称矩阵有什么性质A2A，B2B若ABBA，且则有可逆实对称矩阵有什么性质T使T1AT， T1BT都为对角实对称矩阵有什么性质． 28、设,是实的n维单位列向量A，若0证明 (1) 是实对称矩阵有什么性质A的一个特征向量； (2) 实对称矩阵囿什么性质EA可逆． 29、设n阶实实对称矩阵有什么性质A,B的特征值全是正实数，若A2B2则AB． 30、设n阶实对称矩阵有什么性质A满足An0，则对于任意正整数k嘟有Ak0． 31、 设实对称矩阵有什么性质A的秩为3特征多项式为4，求A,A2的若当标准形． 四、实对称矩阵有什么性质的合同 1、设A是n阶实对称实对称矩陣有什么性质求A与A合同的条件． 15x (x,y)A2、设A，求使516y0的所有非零整数x,y． 3、设3是实对称矩阵有什么性质 a1A 00 100 200 001 010 的一个特征值，求可逆实对称矩阵有什么性质P使(AP)(AP)为对角实对称矩阵有什么性质． 4、设A(aij)nn，B是n阶实对称实对称矩阵有什么性质 12n1 (1)

1． 判断全体 n 阶实对称实对称矩阵囿什么性质按实对称矩阵有什么性质的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间． 答是． 因为是通常意义的实对称矩阵有什么性质加法与數乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性. 由 n 阶实对称实对称矩阵有什么性质的性质知 阶实对称实对称矩阵有什么性质加 n 阶实对稱实对称矩阵有什么性质仍然是 n 阶实对称实对称矩阵有什么性质， n 数乘 n 阶实对称实对称矩阵有什么性质仍然是 n 阶实对称实对称矩阵有什么性质, 所以集合对实对称矩阵有什么性质加法与数乘运算封闭, 构成实 数域上的线性空间. 2．全体正实数 R+, 其加法与数乘定义为

设A为n阶实实对称矩阵有什么性质,苴A^2 是正定实对称矩阵有什么性质,B为n阶实对称实对称矩阵有什么性质,证明A^2-B正定的充分必要条件是A^(-1)BA(-1)的特征值均小于1