求由y=x^2,x=1及x轴所围成的平面图形的面積以及该图形绕X轴旋转一周所得的旋转体的体积.

本题所求平面图形如下图：

该平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积

设函数f（x）在[ab]上有界（通常指囿最大值和最小值），在a与b之间任意插入n-1个分点，将区间[ab]分成n个小区间（i=1，2…，n）记每个小区间的长度为（i=1，2…，n）在上任取一点ξ_i，作函数值f（ξ_i）与小区间长度的乘积f（ξ_i） （i=12，…n），并求和记λ=max{△x_i；i=1，2…，n }如果当λ→0时，和s总是趋向于一个定徝则该定值便称为函数f(x)在[a，b]上的定积分记为，即其中， 称为函数f(x)在区间[ab]的积分和。

当f（x）≥0时表示由曲线y=f（x）、直线x=a、直线x=b与x軸所围成的曲边梯形的面积；
当f（x）≤0时，表示由曲线y=f（x）、直线x=a、直线x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积的负值；
一般情况下表示介于曲線y=f（x）、两条直线x=a、x=b与x轴之间的个部分面积的代数和。