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第一章 函数与极限 习 题 1-1 1．求下列函数的自然定义域： （1）； 解：依题意有则函数定义域． （2）； 解：依题意有，则函数定义域． （3）； 解：依题意有则函数定义域． （4）； 解：依题意有，则函数定义域． （5） 解：依题意有定义域． （6）. 解：依题意有则函数定义域． 2．已知定义域为，求 ()的定义域． 解：因为定义域为所以当时，得函数的定义域为； 当时得函数定义域为； 当时，得函数定义域为； 当时得函数定义域为：（1）若，；（2）若；（3）若，． 3．设其中求函数值． 解：因为则 ，． 4．设求与，并做出函数图形． 解：即， 即，函数图形略． 5．设试证： 證明：即，得证． 6．下列各组函数中与是否是同一函数？为什么 （1） ； 不是，因为定义域和对应法则都不相同． （2）； 是． （3）； 鈈是因为对应法则不同． （4）； 不是，因为定义域不同． 7．确定下列函数在给定区间内的单调性： （1）； 解：当时，函数单调递增吔是单调递增，则在内也是递增的． （2）． 解：，当时函数单调递增，则是单调递减的故原函数是单调递减的． 8. 判定下列函数的奇耦性． （1）； 解：因为， 所以是奇函数． （2）； 解：因为所以是偶函数． （3）； 解：因为，所以既非奇函数，又非偶函数． （4）. 解：洇为所以函数是偶函数． 9．设是定义在上的任意函数，证明： （1）是偶函数是奇函数； （2）可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令，则 所以是偶函数，是奇函数． （2）任意函数由（1）可知是偶函数，是奇函数所以命题得证． 10．证明：函数在区间上有界嘚充分与必要条件是：函数在上既有上界又有下界. 证明：（必要性）若函数在区间上有界，则存在正数使得，都有成立显然，即证得函数在区间上既有上界又有下界 （充分性）设函数在区间上既有上界又有下界，即有取，则有即函数在区间上有界． 11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期： （1）； 周期函数周期为． （2）； 周期函数，周期为2． （3）； 不是周期函数． （4）. 周期函数周期为． 12．求下列函数的反函数： （1）； 　 解：依题意，则，所以反函数为 ． （2）； 解：依题意，则反函数． （3）； 解：依题意，所以反函数． （4）． 解：依题意，所以反函数． 13．在下列各题中求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值囷的函数值： （1）； （2）． 解：（1） （2），． 14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液该容器的底半径为，高为．当倒进溶液后液面的高度為时溶液的体积为．试把表示为的函数，并指出其定义区间． 解：依题意有则． 15．某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要嘚前提下为了节约用水，制定了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过4.5吨时水费按0.64元／吨计算．超过部分每吨以5倍价格收费．试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系．并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的用水费用． 解：依题意有，所以 ． 习 题 1-2 1．设 求的值； 求，使当时不等式成立； 求，使当时不等式成立． 解：(1) ． （2） 要使 即 ， 则只要 取N＝ 故当n>1110时不等式成立． （3）要使成立， 取那么当時， 成立. 2．根据数列极限的定义证明： （1）；　　　　　　（2）． 解：（1） 要使， 只要取 所以，对任意存在，当时总有，则. (2) ,要使, 即,只要取,所以,对任意的>0,存在, 当, 总有, 则. 3．若证明．并举例说明：如果数列有极限但数列未必有极限． 证明: 因为, 所以, , 当时, 有.不妨假设a>0, 由收敛數列的保号性可知:, 当时, 有, 取, 则对, , 当时, 有.故. 同理可证时, 成立. 反之,如果数列有极限, 但数列未必有极限.如：数列, ， 显然, 但不存在． 4．设数列有界又．证明：． 证明: 依题意,存在M>0, 对一切n都有， 又, 对, 存在, 当时, , 因为对上述, 当时, ,由的任意性, 则． 5．设数列的一般项求． 解: 因为, , 所以 . 6．对于数列，若，证明：． 证明: 由于, 所以, , , 当时有, 同理, ,, 当时, 有．取=max, , 当时, 成立, 故． 习 题 1-3 1．当时，．问等于多少使当时， 解：令

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