,《高等数学》A,第三章 中值定理与導数的应用,中值定理,洛必达法则,泰勒公式,导数的应用,学习重点,理解罗尔定理证明过程高数,掌握拉格朗日中值定理及其推论,微分中值定理包括：罗尔( Rolle )定理、拉格朗日(Lagrange )中值定理和柯西(Cauchy )中值定理,微分中值定理的共同特点是：在一定的条件下可以断定在所给区间内至少有一点，使所研究的函数在该点具有某种微分性质,微分中值定理是微分学的理论基础。是利用导数研究函数性质的理论依据,一、费尔马 ( Fermat )引理,（1）極值(局部最值)的定义：,则称函数 (或极小值),,并称 为,,,,,,,,,,,,,,（2）费尔马(Fermat)引理(极值必要条件),证明:,称使 的点 为函数 的驻点,二、罗尔(Rolle)定理,怎样证明罗尔定理證明过程高数 ？,,,想到利用闭区间上连续函数的最大最小值定理！,,证明:,三、拉格朗日(Lagrange )定理,怎样证明拉格朗日定理 ,拉格朗日定理若添加条件:,則为罗尔定理证明过程高数；,罗尔定理证明过程高数若放弃条件:,则推广为拉格朗日定理。,知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的 新问題转化为已掌握的老问题,,,,,,,,,满足罗尔定理证明过程高数条件,弦线与f(x)在端点处相等,设,所以函数,证明：,构造辅助函数,拉格朗日公式各种形式,推論1：,[证],拉格朗日中值定理的推论,推论2：,推论3：,推论4：,四、柯西 (Cauchy )定理,证明：,构造辅助函数,,例1. 设函数 f (x) = (x?1)(x?2)(x?3), 试判断方程 f ?x??? 有几个实根,