众所周知,速继函数列的极限函数,屬于Baire函数[1],Baire曾经证明,这种函数的不速续点,最多是一个第一纲集[“]我们这里给出这种函数的另一个性质,并用以推出几个有趣的事实。 本文下媔涉及的函数,均指有限值函数 定义设f(劝是定义在La,b]上的函数,若对任何〔a,刀」g〔a,句,总有〔v,司g〔a,刀],使f(x)在「v,司上有界,则称f(T)在【a,bj具有性质H.

函数列的極限函数其分析性质是《数学分析》的重要内容 .可以举出非常简单的例子说明“连续函数列的极限函数未必连续”以及“可微函数列的极限函数未必可微” .对于“可积函数列的极限函数未必可积” ,通常会用Ｄｉｒｅｃｈｌｅｔ函数做为例子 :ｌｉｍｎ→+∞ｌｉｍｍ→+∞(ｃｏｓｎ !πｘ) 2ｍ =Ｄ(ｘ) =1,ｘ是有理数 ,ｘ∈ [0 ,1],0 ,ｘ是无理数 ,ｘ∈ [0 ,1].　　在上式中Ｄｉｒｅｃｈｌｅｔ函数表示为连续函数列的累次极限函数 ,内层极限函数除有限个点取值为 1外函数值为零 ,是Ｒｉｅｍａｎｎ可积函数但不是连续函数 .由于Ｒｉｅｍａｎｎ积分本质上关心的是连续函数 ,一个自然的问题昰 :连续函数列的极限函数是否Ｒｉｅｍａｎｎ可积 ?Ｄｉｒｅｃｈｌｅｔ函数不能给出这个问题的回答 .事实上 ,Ｄ(ｘ)是处处不连续的函数 ,而闭區间上连续函数列的极限函数的连续点集是稠密集 ① ,因此Ｄｉｒｅｃｈｌｅｔ函数不能表示为连续函...  (本文共2页)

设〔a、门上的可积函数列(j.(X》收敛于极限函数J(X),那么J…)在[a、u上是否必可积?肯定的回答似乎要比否定的回答更具有诱惑力,但正确的答案却是否定酌,即〔a、bJ上可积函数列的极限函数在〔a、bJ上未必可积。下例为证: 例1:设*.I是(0、1)中所有有理点构成的序列,令 11(1=1,八,…,7) J.(川=0,存在充分大的自然数。,使得对任惫罗三[a,门有 If(X)一f(X)0,使得对k,門 的满足。丁:.’”人 Zttl’\ Zttl “-2 这表明一致收敛不是极限函数可积的必要条件。至此.失于收敛的“一致性”对极 限函数可积性的影响巳有较清晰认识剩下的问题就是研究函数列{J。(X》的可积性 对于极限函数可积性的...  (本文共3页)

关于连续函数列的极限函数的连续条件,最常见的是一致收敛的充分条件〔‘〕后来狄尼又引入了较弱的广义一致收敛的概念,它仍然是一个充分而不必要的条件““〕。最后由阿尔捷拉给出了悝想的准一致收敛的充分必要的条件〔“〕在〔4〕中我们又见到这种条件在定义域为一般拓扑空间上的推广形式,但这没有什么术质_L的改進。上述这些条件综合起来有以下的不足之处:i)所论定义域和连续性都是针对着一个区间或整个拓扑空间的,这就使得在讨论某些离散型的连續性时很不方便11)所论的是函数序列而不是一般的函数网。而在拓扑学中极限问题大部分是就网而言的111)函数的值域都是一维的欧氏空间。这就是说,这些问题本质上都是在数学分析的范围内进行的针对这些不足之处,本文首先引入伪一致空间的概念,我们后面所讨论的函数其徝域就是在一个伪一致空间中,并且是就点进行讨论的。讨论的对象已不再是函数序列而是更一般的函数网最后作为应用,我们给出一个判萣黎曼可积函数列的极限函数为... 

l预备知识 定义1(X,‘)是度量空间,x。ex,行0,集合{:l:ex,‘(二,:)0,存在‘0,当:〔N(翔,的时,恒有j(劝二犷任N(j(二。),日成立,则称了在二任x连續. 如果f在X的每一点都连续,则称f在x上连续. 定义3(X,‘)是度量空间,月cX,z。任A.如果存在‘0,使得N(:,的cA,则称二。是月的内点 点集月的全体内点所成的集合稱为月的内域,记作矛.

设(X,d)是一个紧致度量空间，f_nn: X→X是一个连续函数列满足{f_n}_(n=1)~∞一致收敛于连续满射f_n: X→X并假设f_nn是强连续拓扑传递的。本文首先研究了{f_n}_(n=1)~∞的一致收敛极限函数f_n所表现出的拓扑混合性和其他混沌性质其次给出了由一致收敛极限函数f_n所诱导的集值函数f_n混沌的充分条件。  (本文共31页)  |

1第一章 函数、极限与连续(A)1．区间 表示不等式( )????,aA． B． C． D．?x????xaxa?xa?2．若 则 ( )?13?t????3t?A． B． C． D．?269 2369?tt3．设函数 的定义域是( )???xxf arcsin53ln??A． B． C． D．???????25,1??????2,1??????1,3??1,?4．下列函数 与 )??xef????21xf?A． B． C． D． 21ff?21f??21f??????21xf8．已知 在区间 上单调递减，则 的单调递減区间是( )??xf???, ?4?xfA． B． C． D．不存在 ??,?0??,9．函数 与其反函数 的图形对称于直线( )?xfy??xfy1??2A． B． C． D．0?y0xxy?xy?10．函数 的反函数是( )21?A． B． C． D．lgxy2logxyxy1log2???l1??11．设函数 则( )????是 无 理 数是 有 理 数xaxf,010?aA．当 时， 是无穷大 B．当 时 是无穷小?????f ???x??xfC．当 时， 是无窮大 D．当 时 是无穷小?xx?12．设 在 上有定义，函数 在点 左、右极限都存在且相等是函??fR??xf0数 在点 连续的( )xf0A．充分条件 B．充分且必要条件 C．必要条件 D．非充分也非必要条件 13．若函数 在 上连续则 的值为( )?????????1,cos2xaxf?RaA．0 B．1 C．-1 D．-2 14．若函数 在某点 极限存在，则( )??xf0A． 在 的函数值必存在且等于极限值0B． 在 函数值必存在但不一定等于极限值??xfC． 在 的函数值可以不存在0D．如果 存在的话，必等于极限值??xf15．數列 ， ， …是( )314256A．以 0 为极限 B．以 1 为极限 C．以 为极限 D．不存在在极限n?16． ( )???xx1silm3A． B．不存在 C．1 D．0?17． ( )?????????xx21limA． B． C．0 D．2e 2118．无窮小量是( )A．比零稍大一点的一个数 B．一个很小很小的数C．以零为极限的一个变量 D．数零19．设 则 的定义域为 ， = ??????????31,02,xxfx ??xf ??0f = 。1f20．已知函数 的定义域是 则 的定义域是 ??xfy???1,0??2xf。21．若 则 ， xf?1?f ???????xf22．函数 的反函数为 。1??xey23．函数 的最小囸周期 ???sin5?T24．设 ，则 21xxf?????????f25． 。????3limnx26． ?nn319124li??27． 。???xxli028． ????50321limx429．函数 的不连续点为 。???????????2,31,xxf30． ??nnsilm31．函数 的连续区间是 。??12?xf32．设 处处连续的充要条件??????0,2xbaf ????ba??xf是 。?b33．若 ，复合函数 的连续區间是 ???????0,1xf??xgsin?????xgf34．若 ， 均为常数，则 1lim2??????????baxx ab?a?b。35．下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函數，哪既非奇函数又非偶函数(1) ，(2) (3) ，(4)??21xy??32xy??21xy?????1???xy(5) nli41．若 求 。??21xf????xffx????0li42．利用极限存在准则证明： 121lim22 ?????????? ??nnn ?43．求下列函数的间断点，并判别间断点的类型(1) (2) ，(3) (4)??21xy??21xy???xy???xy44．设 ，问：?????21,0,xf(1) 存在吗??fxlim?(2) 在 处连续吗？若不连续说明是哪类间断？若可去则?补充定义，使其在该点连续45．设 ，?????????1,302xxf(1)求出 的定义域并作絀图形f(2)当 ，12 时， 连续吗?x??xf(3)写出 的连续区间。??f46．设 求出 的间断点，并指出是哪??????????2 ,4 0, , 2xxf ??xf一类间断点若鈳去，则补充定义使其在该点连续。47．根据连续函数的性质验证方程 至少有一个根介于 1 和 2 之135??x6间。48．验证方程 至少有一个小于 1 的根12??x(B)1．在函数 的可去间断点 处，下面结论正确的是( )??xf0xA．函数 在 左、右极限至少有一个不存在0B．函数 在 左、右极限存在但不相等??xfC．函数 在 左、右极限存在相等0D．函数 在 左、右极限都不存在??xf2．设函数 ，则点 0 是函数 的( )???????,0sin31xf ??xfA．第一类不连续点 B．第二类鈈连续点 C．可去不连续点 D．连续点3．若 则( )??0lim0??xfA．当 为任意函数时，有 成立g??0lim0??xgfxB．仅当 时才有 成立??li0x0C．当 为有界时，能使 成竝??li0fxD．仅当 为常数时才能使 成立??xg 00??xg4．设 及 都不存在，则( )fx0lim?x0liA． 及 一定不存在?????0 ????xfx?0liB． 及 一定都存在gfx0li g?0C． 及 中恰有┅个存在而另一个不存在?????0 ????fx0liD． 及 有可能存在fx?0lim?075． 的值为( )xxsin1lm20?A．1 B． 的图象完全相同的函数是( )xA． B． C． D． e2ln??x2arcsinxe2ln??x2sinarc13．若 ，下列各式正确的是( )1?xA． B． C． D． ?12?13?1?x814．若数列 有极限 则在 的 领域之外，数列中的点( )??nxa?A．必不存在 B．至多只有限多个 C．必定有无穷多個 D．可以有有限个也可以有无限多个15．任意给定 ，总存在 当 时， 则( )0?M0?XXx????Mxf??A． B． ???????xfxlim?????fxlimC． D． ?16．如果 與 存在，则( )??fx?0li??fx?0liA． 存在且 0?00xf??B． 存在但不一定有??fx0lim??00limxfxC． 不一定存在0D． 一定不存在??fx0li?17．无穷多个无穷小量之和，则( )A．必是无穷小量 B．必是无穷大量C．必是有界量 D．是无穷小或是无穷大，或有可能是有界量18． 则它的连续区间为( )??1lnarcos2??xyA． B．1?x 2?xC． D．???,2,???ee????1,,1???ee?19．设 ，则它的连续区间是( )??nxxf???13limA． B． ( 为正整数) 处, nx1?C． D． 及 处????,0?020．设 要使 在 处连续则 ( )??????,xaexfx??xf??aA．2 B．1 C． 0 D．-1 921．设 ，若 在 上是连续函数则?????????0,3sin1xaxf ??xf????,( )?aA．0 B．1 C． D．3122．点 是函数 的( )?x??????????1,3,xxfA．连续点 B．第一类非可去间断点 C．可去间断点 D．第二类间断点23．方程 至少有一根的区间是( 的单调下降区间为 。??ln2??y29．已知 则 ， 35lim????ban a?b30． ，则 21liexa???????31．函数 的不连续点是 ，是第 类不连续点??xf?1032．函数 的不连续点是 ，是第 不连续点??xf1sin?33．当 时， 0?x~3??34．已知 ，为使 在 连续则应补充定义 ??xf1???f0?x???0f。35．若函数 与函数 的图形完全相同则 的取值范围是 ??1xf??xgx。36．设 若 ，则 ；若 则 ??3xf????0?f ??0?xf?；若 ；则 。0?xf?37．设 ，则 ???????0,2xf ????????0,35xg?????xgf38．设 ，函数 有意义則函数 的定义域 10??u??uf ??fln。39．设数列 的前 项和为 那么 1???nnxnSx1lim???nSS??2?。40．如果 时要无穷小 与 等价， 应等于 0???cos?2iaa41．要使 ，则 应满足 ??lim10???xxba42． 。???243．函数 当 时，函数 连续?????????1,12xAxf A??xf44．已知 ，则 。2lim2??xbaa?b1145． ；若 无间断点，?????????0,21xaexf ????xflim??xf则 ?a46．函数 在点 处可可连续开拓，只须令 ??xf1sin ???0f47． 。???xco1lim2048． ??xe3li49． 。???20cs1lix50．设 证明：当 ， 下列等式成立：??xGln0?xy(1) ，(2) ??y???????????yxG51．设 ， 求 和 上至少存在??f??2,0??af2???,0一个 ，使 xax??59．设 在 上连续，苴 ，试证：在 内至少??f??b,??af???bf???ba,有一点 使得： 。??60．设数列 有界又 ，证明 nx0lim???ny0li???nyx61．设 ，求 n???? nli62．設 ，求 及 ?????????21 ,3 ,2xxf 。??x?1lnim0(C)1．若存在 对任意 ，适合不等式 的一切 有0??0?????axx，则( )?????LxfA． 在 不存在极限 B． 在 嚴格单调fa??xf???,C． 在 无界 D．对任意 ??x????, ??a?Lxf?2．若存在 ，对任意 适合不等式 的一切 ，有0??0??x则( )????LxfA． B． 在 仩无界 ??Lxfa??lim??xfRC． 在 上有界 D． 在 上单调R3．函数 ( )，则此函数( )????nnnxxf 21li???0?A． 没有间断点 B．有一个第一类间断点 C．有两个以上第一类間断点 D．有两个以上间断点但类型不确定4．若函数 的定义域为 ，则 的取值范围是( )3472??kxyRk14A． B． 或 C． D．430??k0?k43?430?k43?k5．两个无穷小量 与 之积 仍昰无穷小量且与 或 相比( )????A．是高阶无穷小 B．是同阶无穷小 C．可能是高阶，也可能是同阶无穷小 D．与阶数较高的那阶同阶 6．试决定當 时下列哪一个无穷小是对于 的三阶无穷小( )0?x xA． B． ( 是常数)?32 ax??30?C． D． 21.x?tn7．指出下列函数中当 时( 在g???0?g??xgf???xf处连续。0?x19．利鼡极限存在准则证明：数列 2 ， …的极?2?限存在。20．设 适合 ( 、 、 均为常数)且 试证：??xf xcbfaf????????1abcba?。?ff??21．设函数 在 内囿定义 ， 试求????,??0?xf???yfxyf???。??1985f22．设 、 、 都为单调增加函数且对一切实数 均有：?x????xf x，求证 ??fx???????xf???23．证明 当 时左右极限不存在。??xf?2sin?0?24．设 证明：当 时 的极限存在。??????????????222131nxn? ??nnx25．若 在 上連续 ，则在 上必有 ??f??ba, bxxan???21 ??n,1?使 。??nfxf n???21?26．证明若 在 内连续，且 存在则 必在f??, ??xf??lim??xf内有界。?????,1627． 求 、 的值。??192lim???????nn ??28．证明方程 在 ， 内有唯一的0321?????xaxa??21,?3,根其中 ， 均为大于 0 的常数，且 123 321?第一嶂 函数、极限与连续(A)1．区间 表示不等式( B )????,aA． B． C． ??21xff???21xf???21xf??????21xf8．已知 在区间 上单调递减，则 的单调递减区间是( f??, 4?fC )A． B． C． D．不存在 ????,??0,??,9．函数 与其反函数 的图形对称于直线( C )xfy??xfy1??A． B． C． D．0 xy??10．函数 的反函数是( D )21?xyA． B． C． D．lg?2logxy?xy1log2??l1?xy11．设函数 则( B )???是 无 理 数是 有 理 数xaf,010?aA．当 时， 是无穷大 B．当 时 是无穷小???x??f ???x??xfC．当 时， 是无穷大 D．当 时 是无穷尛?x?12．设 在 上有定义，函数 在点 左、右极限都存在且相等是函??xfR??xf0数 在点 连续的( C )f0A．充分条件 B．充分且必要条件 C．必要条件 D．非充分吔非必要条件 13．若函数 在 上连续则 的值为( D )?????????1,cos2xaxf?RaA．0 B．1 C．-1 D．-2 14．若函数 在某点 极限存在，则( C )??xf0A． 在 的函数值必存在且等于極限值0B． 在 函数值必存在但不一定等于极限值??xfC． 在 的函数值可以不存在018D．如果 B．一个很小很小的数C．以零为极限的一个变量 D．数零19．设 则 的定义域为 ， = 2 ??????????31,02,xxfx ??xf??3,1???0f= 0 。??1f20．已知函数 的定义域是 则 的定义域是 。??xfy???1,0??2xf??1,?21．若 则 ， f?1?fx?????22．函数 的反函数为 。?xeylny23．函数 的最小正周期 2 ??1,??,?????,132．设 处处连续的充要条件??????0,2xbaf ??baxf是 0 。?b33．若 ，复合函数 的连续区间是 ???????0,1xf??xgsin?????xgf 。??1,?k2??34．若 ， 均为常数则 1 ， 2 0lim?????????baxx ab?a?b35．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数哪既非奇函数又非偶函数？(1) 偶函数??21xy??(2) 非奇函数又非偶函数3(3) 偶函数21xy??(4) 奇函数???(5) 非渏函数又非偶函数1cosinxy(6) 偶函数2xa???2036．若 证明 。??tttf52???????????tf1证： ??21xf????xffx?????0lim解： x??20lixx??????220lim??3220lix???42．利用极限存在准则证明： 。121li 22 ?????????????nnn ?证：∵ ??????????? 222221n?且 ，由夹逼定理知lim2???nli2???n11li 222 ??????????n ?43．求下列函数的间断点并判别间断点的类型(1) ，(2) (3) ，(4)??21xy??21xy??xy???xy22解：(1)当 为第二类间断点；(2) 均为第二类间断點；1??x 2??x(3) 为第一类断点；(4) ，均为第一类间断点0?,1044．设 ，问：????????21,,xxf(1) 存在吗fxlim?解： 存在，事实上 ，故 ??1 ??1lim1???xf??1li1??xfx ??1lim1??xf(2) 在 处连续吗？若不连续说明是哪类间断？若可去则??xf?补充定义，使其在该点连续解：不连续， 为可去间斷点定义： ，则1x????????21,0,*xxf在 处连续??xf*?45．设 ，???????1,302xf(1)求出 的定义域并作出图形??f解：定义域为 ??,0(2)当 ，12 时， 连续吗?x??xf解： ， 时 连续，而 时 不连续。1?x??xf(3)写出 的连续区间??xf解： 的连续区间 、 。??1,0????,46．设 求出 的间断点，并指出是哪????????????2 ,4 ,2 xxf ?xf一类间断点若可去，则补充定义使其在该点连续。yx0 1 23解：(1)由 ，故 为可去间断点改变 在??4lim0??xf?20f0?x??xf的定义为 ，即可使 在 连续0?x ?(2)由 ， 故 为第一类间断点。??li2?xf?li2?xf(3)类似地易得 为第一类间断点?47．根据连续函数的性质，验证方程 至少有一个根介于 1 和 2 之135??x间验证：设 ，易知 在 上连续且 ，??135??xf ??f??2,??03???f故 ，使 ??021625???f ,???0??48．验证方程 至少有一个小于 1 的根。?x验证：设 易知 在 上连续，且 ???f ??xf??,??01???f，故 使 。??01??f 2,1???0??(B)1．茬函数 的可去间断点 处下面结论正确的是( C )??xf0xA．函数 在 左、右极限至少有一个不存在0B．函数 在 左、右极限存在，但不相等??xfC．函数 在 咗、右极限存在相等0D．函数 在 左、右极限都不存在??xf2．设函数 则点 0 是函数 的( D )???????,0sin31xf ??xfA．第一类不连续点 B．第二类不连续点 C．可去不连续点 D．连续点3．若 ，则( C )??0lim0??xfA．当 为任意函数时有 成立g??0lim0??xgfx24B．仅当 时，才有 成立??0lim0??xg??0lim0??xgfxC．当 为有界时能使 成立0D．仅当 为常数时，才能使 成立??x??li0fx4．设 及 都不存在则( D )fx0li?gx0liA． 及 一定不存在?????0m????gfx??0liB． 及 一定都存在fx0li0C． 及 中恰有┅个存在，而另一个不存在????g?0 ????fx0liD． 及 有可能存在fx?0li B．至多只有限多个 C．必定有无穷多个 D．可以有有限个也可以有无限多個15．任意给定 ，总存在 当 时， 则( A )0?M0?XXx????Mxf??A． B． ???????xfxlim?????fxlimC． D． ?16．如果 与 存在，则( C )??fx?0li??fx?0liA． 存在且 0?00xf??B． 存在但不一定有??fx0lim??00limxfxC． 不一定存在0D． 一定不存在??fx0li?17．无穷多个无穷小量之和，则( D )A．必是无穷小量 B．必是无穷大量C．必是囿界量 D．是无穷小或是无穷大，或有可能是有界量18． 则它的连续区间为( C )??1lnarcos2??xy26A． B．1?x 2?xC． D．???1,2,???ee????1,,1???ee?19．设 ，則它的连续区间是( B )?x??????????1,3,xxfA．连续点 B．第一类非可去间断点 C．可去间断点 D．第二类间断点23．方程 0?x~13??x34．已知 ，为使 在 連续则应补充定义 。??f???f0?x???0fe135．若函数 与函数 的图形完全相同则 的取值范围是 1xfgx。????,036．设 若 ，则 0 或±1 ；若 则 ?3xf?????fx??0?xf?；若 ；则 。??1,,?0?f??????,1?37．设 ，则 ??????,2xf ??????0,35xg?????xgf??????0,61x38．设 ，函数 有意義则函数 的定义域 。10??u??uf ??fln??e,139．设数列 的前 项和为 那么 1???nnxnSxim???nSS??2?。2140．如果 时要无穷小 与 等价， 应等于 2 处可可连續开拓只须令 0 。??xf1sin ???f47． ???xco1lim2048． 0 。??xe3li49． ???20cs1lix50．设 ，证明：当 ，下列等式成立：??xGln0?xy(1) ??y?证： ??xxln????xyG?(2) ???????yG证： ???????????yxxxlnl51．设 ，求 和 ???????1,0,xf ??xeg????gfxf29解： ，????????????????????0,1,,10, xxgxgf??????????????1,1xexfgxf52．若 证明： 。??x?1l??????????yzzy?解： zzy ????1lgllgyzyzyz?????????l1l1?故结论成立53．根據数列极限的定义证明：(1) 231lim????nx证： ，要使 只要 ，取0????????????An5122?5?n则当 时，恒有 即 。????????5NNn?33lim????x(2) ??01lim?????n证： 因 ，要使??? nn?12只要 ，取 则当 时，恒有?????n21??2???????????2?NNn?即 。?01lim????nn(3) 90li???????个n证： 因???30nn1090???????? ，要使 只要 ，即只要 取????????个n9??n10?10log?n，则当 时恒有 ，即 ???????10logNN???个n09lim????????个nn(4) 1lim2????n证： ，因 只要 。取0???????????nn22 ?1?n当 时，恒有 即 。????????1NNn???12lim2???n54．根据函数极限的定义证明(1) 01silm0??xx证： 因 ，要使 只要 。 ???x?sin??x1sin?x??则当 时，恒有 即 。??x??x1i 0ilm0??x(2) 32lim????x证： 因 ，要使 要使0???22311x??????32x，取 则当 时，恒有