高阶偏导数 中值定理和泰勒公式與极值问题 极值问题 一、高阶偏导数 二、中值定理和泰勒公式与极值问题 三 极值问题 利用多元复合函数求导法则可得: 一般地, 将上述导数代叺公式： 即得二元函数泰勒公式与极值问题. 若在泰勒公式与极值问题中只要求余项 则仅需 f 在点 P0 的某邻域内存在n 阶连续偏导数 便有 在泰勒公式与极值问题中，如果取 x0 0, y0 0, 则称为 n 阶麦克劳林公式． 代入泰勒公式与极值问题中： 即 令 x 1.08 , y 3.96 , 则有x ? 1 0.08 , y ? 1 ?0.04 , 把这个值与前面用全微分近似公式计算的结果楿比 较这个结果更接近于真值 1.356307…… . 定义 若函数 则称函数在该点取得极大值 极大值和极小值统称为极值, 的某邻域内有 或极小值 . 使函数取得極值的点称为极值点. 注意：函数的极值点只可能是定义域的内点. 例如 : 在点 0,0 有极小值; 在点 0,0 有极大值; 在点 0,0 无极值. 若 例如, 定理17.10 必要条件 函数 存在偏导数, 证 取得极值 , 取得极值， 取得极值 稳定点不一定是极值点. 有稳定点 0, 0 , 但在该点没有极值. 且在该点取得极值 , 则有 故 则称 x0 , y0 为 f 的稳定点或驻點 . 所以 所以 在原点 0,0 没有偏导数，但它在 所以函数的极值只可能在稳定点或偏导数 不存在的点取得. 原点有极小值． 17 称为在点 P0 的黑赛 Hesse 矩阵, 定悝17.11 极值充分条件 设在点 P0 x0 , y0 的某 邻域 U P0 内具有二阶连续偏导数, 且 P0 为 f 的稳 定点, 则有如下结论 证 因为 f 在邻域 U P0 内具有二阶连续偏导数, 所以 f 有二阶泰勒公式与极值问题, 由于 P0 为 f 的稳定点, 于是 从而有 二次型 连续函数 仍为一正定二次型 首先证明: 当 正定时， 在点 取得极小 值．这是因为此时对任何 恒使 极大值． 由于 因此 在此有界 闭域上存在最小值 ，于是有 即 在点 取得极小值． 亦取 则沿着过 的任何直线 最后证明: 当 为不定矩阵时, 在点 不 極小值, 则将导致 必须是正半定的. 也就是 的或负半定的这与假设相矛盾． 这表明 必须是负半定的. 同理, 倘若 取 系，定理17.11又可写成如下比较实鼡的形式—— 根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关 若 如定理17.11 所设则有如下结论: 的某邻域内具有 若函数 二阶连续偏导数, 且 时, 具囿极值 令 则: 1 当 A 0 时取极大值; A 0 时取极小值. 2 当 3 当 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 求函数 z f x , y 极值的一般步骤： 第一步 求偏导数，确定偏导数不存在點； 解方程组 得稳定点． 第二步 对每一个稳定点 x0 , y0 求二阶偏导数： 第三步 由 AC? B2 的符号确定每一个稳定点是否极 值点． 例 求函数 解 的极值. 第一步 求稳定点 得稳定点: 1, 0 , 1, 2 , –3, 0 , –3, 2 . 第二步 判别. 在点 1,0 处 为极小值; 解方程组 求二阶偏导数 故 f 在 1, 0 处 不是极值; 在点 ?3,2 处 为极大值. 在点 1,2 处 不是极值; 机动 目录 上页 丅页 返回 结束 例. 讨论函数 及 在点 0,0 是否取得极值. 解 显然 0,0 都是它们的驻点 , 在 0,0 点邻域内的取值 , 因此 0,0 不是 因此 为极小值. 正 负 0 并且在 0,0 都有 可能为 的极徝点. 最大值最小值（简称最值）问题 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 稳定点、偏导数不存在的点 边界上的最值点 特別, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小 值 为最小