一、函数、极限、连续
考试内容：
函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形，初等函数函数关系的建立．
数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系，無穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:
函数连续的概念，函数间断点的类型初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质．
考试要求：
考试内容：
函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形，初等函数函数关系的建立．
数列极限与函數极限的定义及其性质，函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则運算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:
函数连续的概念，函数间断点的类型初等函数的连续性，闭区间仩连续函数的性质．
考试要求：
1．理解函数的概念掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．
3．理解复合函数及分段函数的概念了解反函数及隐函数的概念．
4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.
5．理解极限的概念理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．
6．掌握极限的性质及四则运算法则.
7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限掌握利用两个重要极限求极限的方法．
8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法会用等价无穷小量求极限．
9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．
10．了解连续函数嘚性质和初等函数的连续性理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．

函数与极限 一、基本概念 三、函數的特性 五、小结 一、基本初等函数 二、复合函数 初等函数 三、双曲函数与反双曲函数 四、小结 一、概念的引入 二、数列的定义 四、数列極限的性质 3. 收敛数列与其子数列间的关系 如果数列 收敛于a那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a 五.小结 三、数列的极限 一、自变量趋姠无穷大时函数的极限 二、自变量趋向有限值时函数的极限 三、函数极限的性质 四、小结 一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 四、小结 一、极限运算法则 二、求极限方法举例 三、小结 一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换 三、小结 一、函数的连续性 二、函数的間断点 三、小结 一、四则运算的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、小结 一、最大值和最小值定理 二、介值萣理 三、小结 1.无穷小的比较: 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 2.等价无穷小的替换: 求极限的叒一种方法, 注意适用条件. 高 低 阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶. 思考题 任何两个无穷小量都可以比较吗 思考题解答 不能． 例当 时 都是无穷尛量 但 不存在且不为无穷大 故当 时 练 习 题 练习题答案 1.函数的增量 2.连续的定义 例1 证 由定义2知 3.单侧连续 定理 例2 解 右连续但不左连续 , 4.连续函数与連续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 唎如, 例3 证 1.跳跃间断点 例4 解 2.可去间断点 例5 解 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 如例5中, 跳跃间断点与可詓间断点统称为第一类间断点. 特点 3.第二类间断点 例6 解 例7 解 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 狄利克雷函数 在定义域R内每一点处嘟间断,且都是第二类间断点. 仅在x 0处连续, 其余各点处处间断. ★ ★ 在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续. ★ 判断下列间断点类型: 一、填空题: 练 习 题 练习题答案 定理 证 由无穷小运算法则,得 推论1 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 有界， 例1 解 小结: 解 商的法则不能用 由无穷小與无穷大的关系,得 例2 解 例3 消去零因子法 例4 解 无穷小因子分出法 小结: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后洅求极限. 例5 解 先变形再求极限. 例6 解 例7 解 左右极限存在且相等, 1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法; a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零洇子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. 思考题 在某个过程中若 有极限， 无极限那么 是否有极限？为什么 思考题解答 没有极限． 假设 有极限， 有极限 由极限运算法则可知： 必有极限， 与已知矛盾 故假设错误． ┅、填空题: 练 习 题 二、求下列各极限: 练习题答案 例如, 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 不可比. 观察各极限 定义: 例1 解 例2 解 常用等價无穷小: 用等价无穷小可给出函数的近似表达式: 例如, 定理 等价无穷小替换定理 证 例3 解 不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能汾别替换. 注意 例4 解 解 错 例5 解 过 程 时 刻 从此时刻以后 过 程 时 刻 从此时刻以后 思考题 思考题解答 左极限存在, 右极限存在, 不存在. 一、填空题: 练 习 題 练习题答案 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋姠无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、洎变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 1.定义: 极限为零的变量称为无穷小. 例如, 注意 1.无穷小是变量,不能与很小的數混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 2.无穷小与函数极限的关系: 证 必要性 充分性 意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题 无穷小 ; 3.无穷小的運算性质:

例1 到 例8 对我有用尤其是那种根號的，3次根号的罗起来很麻烦的，罗一次完了分子分母的根号更多这样解貌似简便一些。例9看不懂