参加本次课题研讨会，深刻体会到随着课题研究的进一步深入，对中学数学核心概念和思想方法结构体系的认识，会深深地影响教师的教学设计，进而影响教学过程。在本次研讨会上，分别有两位老师上了《数学归纳法》一课的课，从教学的课例反映出教师对问题的不同认知，就会产生不同的教学行为。这两节课给了我们很多的启示，针对数学归纳法这一课例，谈谈自己的一点反思考。

一、什么是思想？什么是方法？

所谓思想是客观存在反映在人的意识中，经过思维活动而产生的结果。所谓方法是解决问题的门路、程序等。那么数学归纳法究竟是一种思想还是一种方法？其实解决问题的门路、程序都需要一定的思想为基础，正确的思想有助于研究掌握正确的方法。因此数学归纳法应该是在数学思想指导下的数学论证推理的一种重要的证明方法，用这种方法可以对由归纳法作出的一些结论给予证明。由于数学归纳法具有一定的操作规范和程式，数学归纳法作为一种数学方法来认识应该是正确的。可以说数学归纳法是一种伟大的、数学独有的证明方法。它有别于物理、化学等实验学科，对于数学真理的探索，有时是不能靠实验的办法来实现的。例如我们要判断“n个正方形都可以剖开成有限块，再拼成一个正方形”这个命题是否正确，像物理学等一般实验学科的做法可会取2个、3个、4个、……，甚至100个正方形作试验。如果都正确，虽然可能不知道n等于101以后的结论是否正确，那么就会认为这个结论在目前是正确的，这就像牛顿经典力学那样，是在一定的范围内正确一样。不同的是，数学学科对真理的追求与实验学科是不一样的，数学追求的是纯粹的真理，像对于“n个正方形都可以剖开成有限块，再拼成一个正方形”是否正确，我们思考的不仅是具体的n=1，2，3，4……，我们思考的是对任意的自然数n命题是否正确，而数学的思维合理、符合逻辑而又独一无二。对于这个问题我们只要对n作数学归纳，n=1是命题当然成立。当n=2时，如图1，根据勾股定理，我们很容易知道，任意两个正方形都很容易剖开再拼成一个正方形。设n=k时命题成立，即k个正方形就可以切开再拼成一个正方形。再加上一个正方形时，我们就可以有“任意两个正方形都可以剖开再拼成一个正方形”的办法来拼。于是n=k+1时命题也成立了，这样我们就可是推知“n个正方形都可以剖开成有限块，再拼成一个正方形”的命题是正确的。从这个例子我们可以看到数学的力量，从这点上看，我们宁愿相信数学归纳法是一个数学思想。

二、数学归纳法的本质是什么？

在学习数学归纳法时，我们常常有这样的问题，数学归纳法是归纳法？还是演绎法？其本质是什么？由于思想是客观存在反映在人的意识中，经过思维活动而产生的结果。我们可以认为数学对现实世界的反映是能动的，数学思维能动的自由创造，是来自经验的初始概念和原理的有意识的合乎逻辑的发展。数学归纳法应该是在归纳基础上的演绎推理。在数学中归纳基础上的演绎推理是普遍存在的，并不仅仅局限于数学归纳法。如在初中数学，学习三角形内角和定理时，教师常常让学生用量角器测量三角形的三个角的角度，然后把三个角度加起来。测量过几个不现的三角形以后，都会得出共同的结论，即三角形的三个内角之各是180^o。这种认识事物的方法为归纳法，但归纳法得出的只是经验，不一定是真理，要使归纳出来的结论成为真理，必须要经过演绎证明。归纳与演绎是对立统一的，归纳有助于发现真理，演绎有助于揭示事物的内在联系，使我们认识事物的本质，归纳与演绎这两种认识世界的基本方法和谐地统一在了数学归纳法之中。

    那么什么是数学归纳法？人教A版数学实验教材选修2—2给出了准确的描述：

    一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n₀（n₀∈N*）时命题成立；

（2）（归纳递推）假设n=k（k≥n₀，k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n₀开始的所有正整数n都成立。

  三、如何设计数学归纳法的教学

   设计数学归纳法的教学，应该解决以下四个问题：

（1）为什么要使用数学归纳法？

（2）什么是数学归纳法？

（3） 什么时候使用数学归纳法？

（4）怎样正确使用数学归纳法？

数学归纳法的教学设计应该围绕这四个问题展开，李柏青老师上的课提出“数学归纳法”的学习的四个问题1.Where?(研究什么问题），2.Why?(为什么要引进这种方法)，3.What?(方法的思想和内涵是什么），4.How?(方法如何运用），笔者认为是符合数学归纳法教学的要求的，至于是否对学生提出，是值得商榷的。

    根据数学归纳法教学要解决的四个问题，笔者设计了教学过程的几个片段。

1．课的第一阶段，主要解决为什么要使用数学归纳法的问题。

教师：同学们，数学的魅力在于不断地发现解决问题的方法，下面我们来解决这样一个问题1：2个正方形是否可以剖开成有限块，再拼成一个正方形？请同学们尝试。

  [设计意图]通过具体的问题引入课题，将一个看似简单的问题与数学归纳法关联起来，激发学生的学习兴趣。学生可能会想出很多种分割的方法，如：

教师：好，我们已经能够把任意的两个正方形分割成有限块以后，再拼成一个正方形，并且我们还具体地给出了拼法。现在，一个具有挑战性的问题将要被提出。

问题2：3个正方形能否剖开成有限块，再拼成一个正方形？请你回答能与不能，并说出你的理由。

[设计意图]对于两个正方形，学生通过操作也许可以了解能否将2个正方形剖开再拼成一个正方形，但对于3个正方形这样的做法可能不行了。设计这个问题的目的是在于引导学生的归纳思维，即能否将3个正方形转化为2个正方形来考虑。

问题3：如果我们对3个正方形也能做到这一点，那么对于4个、5个、6个，…，n个正方形是否都能做到这一点呢？

[设计意图]引导学生发现，4个可能转化为3个，5个可以转化为4个，k+1个可能转化为k个，因此只要k个正方形能做到，那么k+1个正方形必能做到。初步奠定学生归纳法的基本概念。

2．课的第二阶段，主要解决什么是数学归纳法。

教师：同学们刚才看到，我们通过将问题进行有效的转化，就能将一个看似复杂，看似无穷的问题，用一种简单的递推的形式就能判断其真假。其实这在数学上是非常常见的。

问题4：例如：对于数列{a_n}，已知a₁=1，（n=1，2，3，…），求其通项公式a_n。

[设计意图]这个是一个过渡性问题，为学习什么是数学归纳提供一个范例。让学生通过a₂=，a₃=，a₄=，…，猜想a_n=，这个例子在教材“合情推理与演绎推理”中出现过，通过这个例子，要说明如果a_k=，那么我们一定能够知道a_k+1==，并说明与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当要证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的，需要寻找一种新的方法。类似于问题1，通过命题的转化，经过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立。

   教师：同学们我们都知道，人的认识往往来自于实践，上面的两个例子所用到的方法在现在生活中都可以找到影子。例如：

（1）    一列行进中的队伍，将口令从第一个人正确地按顺序传达到最后一个；

 问题5：要使（1）（2）两种活动进行下去，需要满足怎样的条件？

[设计意图]多米诺骨牌游戏是很好的数学归纳法的现实影子，可以帮助归纳出数学归纳法的两个步骤。由于数学归纳法的学术形态与教学形态不同，我们不能对学生讲命题A与命题B是等价的，也不能讲两个命题是等价的证明。数学归纳法的教学形态应该是让学生理解归纳奠基与归纳递推两个步骤是保证命题对所有自然数（n＞n0）的充分条件。在这个过程中归纳递推P(k)P(k+1)

3．课的第三阶段，主要解决什么时候使用数学归纳法。

 教师：当我们研究与自然数有关且具有前后递推关联的命题时，我们可以用数学归纳法证明命题的正确性。

问题6：你能用数学归纳法证明问题3和问题4的正确性吗？

问题7：从下列等式中，你能归纳出一般的规律并用数学归纳法证明吗？

[设计意图]通过具体问题的证明，让学生进一步感知数学归纳法的思想和证明步骤。至于第4个问题“怎样正确使用数学归纳法”可以在第二节课内解决以突出主要矛盾。

【摘要】：正在与自然数有关的数学命题的论证中,数学归纳法是一种重要的方法.它的依据是自然数的基本性质,即自然数有最小的数,无最大的数,且每个自然数后面都有一个后继数.用数学归纳法证明的步骤如下:(1)证明当n取第一个自然数n_0命题是正确的;(2)假设n取某一个自然数K(K≥n_0)命题正确,证明n=k+1时,命题也是正确的.由(1)与(2)可以断定,这个数学命题,对于任何n≥n_0的自然数,都是正确的.