这个求反函数的9种方法怎么求

点击联系发帖人 时间：2018-09-27 09:59

反函数怎么求

反函数基础练习含_数学_高中教育_教育专区。反函数基础练习 (一)选择题 /// 中学数学研究 2OO 3年第 6期有关反函数的解题技巧天津市南开职专( 高中部 ) (300110) 肖泰来反函数......

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通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，

点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。

点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。

点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）

A．（－∞，＋∞） B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞） D．[－5，＋∞）

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。

点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象

求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。

点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。

练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位

由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共

∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。

点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。

函数的值域为｛z|z≥1｝.

点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。

十一．利用多项式的除法

点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。

∴函数y的值域为y≠3的一切实数。

点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。

点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。

由对数函数的定义知 x/(1-x)＞0

∴函数的值域（0，1）。

点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。

以下供练习选用：求下列函数的值域