概率论与数理统计期末复习重要知识点
1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。 2.常用离散型分布：
（1）两点分布（0-1分布）：
若一个随机变量X只有两个可能取值，且其分布为P{X?x1}?p,P{X?x2}?1?p
x1,x2处参数为p的两点分布。
两点分布的概率分布：两点分布的期望：（2）二项分布：
若一个随机变量X的概率分布由式
二项分布的期望：（3）泊松分布：
若一个随机变量X的概率分布为数为?的泊松分布，记为X~P (?)
泊松分布的概率分布：泊松分布的期望：

E(X)??；泊松分布的方差：D(X)??
f(x)，使得对于任意实数x，有
f(x)为X的概率密度函数，

如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数
，则称X为连续型随机变量，称
简称为概率密度函数。 5.常用的连续型分布：
若连续型随机变量X的概率密度为f(x)??b?a，则称X在区间（a,b）上服
,a?x?b 均匀分布的概率密度：f(x)???b?a?其它?0,
12 2均匀分布的期望：；均匀分布的方差：
?0若连续型随机变量X的概率密度为
?的指数分布，记为X~e (?)
?0指数分布的概率密度：
指数分布的期望：（3）正态分布：
?f(x)?若连续型随机变量X

?2?和的正态分布，记为X~N(,?)
(x??)22??f(x)?正态分布的概率密度：

正态分布的期望：E(X)??；正态分布的方差：D(X)??
1（4）标准正态分布：，
标准正态分布表的使用： （1）

6.随机变量的分布函数： 设X是一个随机变量，称分布函数的重要性质：
7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布 （1）由X的概率分布导出Y的概率分布步骤： ①根据X写出Y的所有可能取值； ②对Y的每一个可能取值

yi确定相应的概率取值；
③常用表格的形式把Y的概率分布写出
（2）由X的概率密度函数（分布函数）求Y的概率密度函数（分布函数）的步骤： ①由X的概率密度函数②由
FY(y)求导可得Y的概率密度函数
（3）对单调函数，计算Y=g(X)的概率密度简单方法： 定理1 设随机变量X具有概率密度
x?(??,??)，又设y=g(x)处处可导且恒
”g(x)?0g(x)?0）有（或恒有，则Y=g(X)是一个连续型随机变量，其概率密度为
1.离散型二维随机变量X与Y的联合概率分布表：
（1）要会由X与Y的联合概率分布，求出X与Y各自概率分布或反过来；类似 P63 例2 （2）要会在X与Y独立的情况下，根据联合概率分布表的部分数据，求解其余数据； 类似 P71 例3
（3）要会根据联合概率分布表求形如
（4）要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。
2. 二维连续型随机变量X与Y的联合概率密度:
设（X,Y）为二维随机变量，F(x,y)为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函数f(x,y),使对
????任意实数（x,y），有，则称（X,Y）为二维连续型随机变量。
(1) 要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限；
(2) 要会根据联合概率密度求出相应的分布函数F(x,y)，以及形如率值;P64 例3
(3) 要会根据联合概率密度求出
(4) 要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。
3.联合概率分布以及联合密度函数的一些性质：

要会根据这些性质解类似P68 第5，6题。

4.常用的连续型二维随机变量分布
二维均匀分布：设G是平面上的有界区域，其面积为A。若二维随机变量（X,Y）具有概率
，则称（X,Y）在G上服从均匀分布。
定义：设随机变量（X,Y）的联合分布函数为F(x,y),边缘分布函数为意实数x,y，有
（1）离散型随机变量的独立性：
①由独立性的定义进行判断； ②所有可能取值
（2）连续型随机变量的独立性： ①由独立性的定义进行判断； ②联合概率密度
(3)注意与第四章知识的结合

6．相互独立的两个重要定理
定理1 随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何事件独立，即，对任意实数集A，B，有
定理2 如果随机变量X与Y独立，则对任意函数（1）要求会使用这两个定理解决计算问题
设总体密度函数如下，x1,x2,…xn是样本，试求未知参数的矩估计值，最大似然估计值。

dt?2?2?2????2
?2，由此可推出???E(X)，
从而参数?，?的矩估计值为??s,??x?s （2）似然函数为：L(?)?()exp{?
其对数似然函数为：lnL(?,?)??nln??

由上式可以看出，lnL(?,?)是?的单调增函数，要使其最大，?的取值应该尽可能的大，由于限制x(1)??，这给出的最大似然估计值为??x(1) 将lnL(?,?)关于?求导并令其为0得到关于?的似然方程

?????0?05????1×1
（1）定理4（棣莫佛—拉普拉斯定理） 设随机变量
X1,X2,…Xn,…相互独立，并且都服从参数为p的两点分布，则对任意实数x，
（2）定理3（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量
X1,X2,…Xn,…相互独立，服从同一分布，且
确定或求证统计量所服从的分布 1.三大分布
（1）?分布：：设X1,X2,…Xn是取自总体N(0,1)的样本，称统计量?2?X12?X22?…?Xn2服从自由度为n的?2分布。
相互独立，则称t?n的t分布。
（3）F分布：设X~?(m),Y~?(n)，且X与Y相互独立，则称F?
为（m,n）的F分布。 2.三大抽样分布
（1）设总体X~N(?,?2),X1,X2,…,Xn是取自X的一个样本，X为该样本的样本均值，
（2）定理2设总体X~N(?,?),X1,X2,…,Xn，是取自X的一个样本，X与S为该样本的样本均值与样本方差，则有??
（3）定理3 设总体X~N(?,?2),X1,X2,…,Xn，是取自X的一个样本，X与S为该样本的样本均值与样本方差，则有??练习题：

3.求样本函数相关的概率问题
1.矩估计的求法： 设总体X的分布函数
F(x;?1,…,?k)中含有k个未知参数的函数?1,…,?k，则
（1）求总体X的k阶矩
是这k个未知参数的函数，记为（2）从（1）中解得（3）再用