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第 1 到第 18 届华杯赛复赛试题汇编 第㈣部分 组合杂题
215. （第一届华罗庚金杯赛复赛第 4 题）在一条公路上每隔一百公里有一个仓库，共有 五个仓库一号仓库存有 10 吨货物，二号倉库存有 20 吨货物五号仓库存有 40 吨货 物，其余两个仓库是空的现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货 物运输一公里需偠 0.5 元的运费那么最少要花多少运费才行？

【分析】如果地的货物比地多那么将地的货运往地比将地的货运往地省钱，因此应将 10 吨货甴一号仓库运到二号仓库。同样应将这(10＋20)吨货由二号仓库运到五号仓库，共 用：(10× 400＋20× 300)× 0.5＝5000(元) 216. （第二届华杯赛复赛第 6 题）下图是一张道蕗图每段路上的数字是小王走这段路所 需的分钟数。请问小王从出发走到最快需要几分钟？

【分析】为叙述方便我们把每个路口都標上字母，如图、图所示

首先我们将道路图逐步简化

从出发经过到的路线都要经过和。面从到有两条路线可走：需时间 14＋13＝27（分钟）； 需时间 15＋11＝26（分钟）我们不会走前一条路线，所以可将这段路抹去但要注意， 不能抹去因为从到还有别的路线（例如）经过，需要進一步分析

由到也有两条路线可走：需 16 分钟，也是 16 分钟我们可以选择其中的任一条路线，例如 选择前一条 抹掉。 （也可以选择后一條而抹掉 但不能抹掉， 因为还有别的路线经过它 ） 这样，道路图被简化成图 49 的形状

在图中，从到有两条路线经过的一条需 14＋6＋17＝37（分钟），经过的一条需 15＋11 ＋10＝36（分钟）我们又可以将前一条路线抹掉（图）。

图中从到也有两条路线，比较它们需要的时间又可將经过的一条路线抹掉。最后剩下 一条最省时间的路线（图），它需要 15＋11＋10＋12＝48（分钟）

【又解】要抓住关键点。从到的道路如果经過点那么，从到的道路中选一条最省时间的 即；从到的道路中也选一条最省时间的，即因而从到经过的所有道路中最省时间的就是這 两条道路接起来的，即它的总时间是 48 分钟。

剩下的只要比较从到而不经过点的道路与道路看那个更省时间。

不经过点的道路只有两條①它需要 49 分钟；②，它也需要 49 分钟

所以，从到最快需要 48 分钟 217. （第十一届华杯赛决赛第 4 题）图中，小黑格表示网络的结点结点之間的连线表示它 们有网线要联， 连续标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大的信息量 现 在从结点向结点传递信息，那么单位时间内传梯的最大信息量是（ ）

【分析】4. 17 218. （2010年第15届华杯赛决赛第13题） 一批货物重 13.5 吨， 每包货物重量不超过 350 千 克请问：能否用 11辆载重為 1.5 吨的小货车一次运走？并对你的结论加以说明. 【解答】一种方案如下：把 11 辆货车顺序编号为 12，3…，11. 先把 1 至 8 号车装上货物每车一直裝到不超过 1.5 吨为上限, 只要再装一包便超过 1.5 吨为止，并把这 8 个最后一包分成两组每组 4 包，每组重量不超过350× 4=1400千克

219. （第一届华罗庚金杯赛复賽第 9 题）甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋 每两人都比赛一盘。到现在为止甲已经赛了 4 盘，乙赛了 3 盘丙赛了 2 盘，丁赛 了 1 盤问小强赛了几盘？ 【分析】 “甲已经赛了 4 盘”说明甲与乙、丙、丁、小强各赛了 1 盘(小强与甲赛了 1 盘)

“丁赛了 1 盘”，肯定丁只与甲比賽

“乙赛了 3 盘”，说明乙与甲、丙、小强各赛了 1 盘(小强与乙赛了 1 盘)

现在已经知道，丙赛的 2 盘是与甲、乙各赛了 1 盘

所以，小强赛了 2 盘. 220. （第四届华杯赛复赛第 11 题） 、 、 、 、 、六个选手进行乒乓球单打的单循环比赛（每人都 与其他选手赛一场） 每天同时在三张球台各进行┅场比赛， 已知第一天对 第二天对， 第三天对第四天对，问：第五天与谁对阵另外两张球台上是谁与谁对阵？ 【分析】第二天不能對否则对。对与第三天对矛盾所以应当对、对。第三天也不能对 否则对与第二天对矛盾，应当对(不能对与第四天矛盾)，对第四忝对，对所以第五天 对，对时。

221. （第五届华杯赛复赛第 5 题）人的血通常为型型，型型。子女的血型与其父母血型 间的关系如下表所示： 父母的血型 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 子女可能的血型

现有三个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子他们的血型依次为、、。每个孩子的父母都戴着 同颜色的帽子颜色也分红、黄、蓝三种，依次表示所具有的血型为、、问：穿红、黄、 蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子？ 【分析】题中表明每个孩子的父母是同血型的，因此父母均型孩子必型，父母均型孩 子必型(孩子为型的凊况已被排除，0 型孩子的父母已经确定为型)父母为型，孩子为型 即红、黄、蓝上衣的孩子，父母分别戴蓝、黄、红帽子 222. （第十一届華杯赛决赛第 3 题）有甲、乙、丙、丁四支球队参加的足球循环赛，每两队 都要赛一场胜得 3 分，负者得 0 分如果踢平，两队各得 1 分现在甲、乙、丙分别 得了 7 分、1 分和 6 分，已知甲和乙踢平那么丁得（ ）分。 【分析】共进行了 6 场比赛甲、乙；甲、丙；甲、丁；乙、丙；乙、丁；丙、丁； 甲得了 7 分，其中甲和乙踢平；则甲胜丙；甲胜丁； 乙得 1 分甲和乙又踢平，则丙胜乙丁胜乙； 丙得 6 分，甲又省乙丙胜乙，则丙胜丁； 所有比赛丁只胜过乙一次，所以丁得 3 分 223. （第六届华杯赛复赛第 10 题）在某市举行的一 次乒乓球邀请赛上，有三名专业选掱 与三名业余选手参加比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场 为公平起见，用以下方法记分开赛前每位 迭手各囿 10 分作为底分，每赛 ―场胜 者加分，负者扣分每胜专业选手一场的加 2 分，每胜业余选手 ―场的加 1 分；专业 选手每负一场扣 2 分业余选掱每负一场扣 l 分。现问：一位业余选手至少要胜几场 才能确保他的得分比专业选手为高 ? 【分析】设、、为业余选手，、、为专业选手如果胜 4 场这时有两种情况：(1)胜、及两 名专业选手这时 4 其增加 1＋1＋2＋2－1＝5 分。负于的专业选手至多增加 1＋1－2＋2＋2 ＝4 分设, 中胜，则也至多增加 2＋2＋2－1－1＝4 分．所以必定进入前三名(2)胜三名专 业选手及一名业余选手，这时共增加 2＋2＋2＋1－1＝6 分每名专业选手至多增加 2＋2－ 2＋1＋1＝4 汾， 所以必定进入前三名如果胜 3 场 不一定能进入前三名。 上图用→表示胜 等等．而、、、都胜及这时增加 2＋2＋1－1－1＝3 分，增加 2＋2＋2－1－＝4 分增加 2

＋2＋1＋1＋1＝5 分，增加 2＋2＋1＋1－2＝4 分所以只能是第四名。因此业余选手至少 胜 4 场才能保证进入前三名。注：本题原来的标准解答有错误以为胜 3 场就够了。

224. （ 2010年第 15届华杯赛决赛第 11题）足球队 ， ，进行单循环赛（每两队赛一场） 每 场比赛胜队得 3分，负队嘚 0分平局两队各得 1分。若 ， 队总分分别是 1， 4 7， 8 请问：队至多得几分？至少得几分 【解析】设 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五队总分分别为 a 、 b 、 c 、 d 、 e ， 五队总和 S ? a ? b ? c ?

2 五队总循环赛共 C5 ? 10 场∴最多 30 分，每增加一场平局总分少 1 分．

注意这种论证与构造相结合的解题思路．

225. （ 2012年第 17届华杯赛决赛 B卷第 7题） 有 16位选手参加象棋晋级赛 , 每两人都只赛一盘. 每盘胜者积 1分 , 败者积 0分 . 如果和棋, 每人各积 0.5分 . 比赛全部结束后 , 积分不少于 10分者晋级 . 那么夲次比赛后最多有 ______位选手晋级. 【分析】11

226. （第五届华杯赛复赛第 17 题）现有 11 块铁，每块的重量都是整数任取其中 10 块， 都可以分成重量都等的兩组每组有 5 块铁，试说明：这 11 块铁每块的重量都相等 【分析】 任取一块后， 其余的可分成两组 重量相等， 因此 其余的铁块的重量嘚和是偶数， 换句话说11 块铁的总重量与其中任一块铁的重量，奇偶性相同这样，11 块铁的重量 或者全是奇数，或者全是偶数

如果全昰偶数，将每块铁的重量减少一半仍然符合题中的条件。

如果全是奇数将每块铁的重量增加 1，仍然符合题中的条件

不断采取以上两種做法。注意铁的重量增加 1 后就应当除以 2(即减少一半)。因此铁的总 重量将不断减少除非每块铁的重量都是 1

因为铁的总重量不能无限的哋减少下去， 所以经过若干次上述的做法后 铁块的重量全变为 1，即全都相等将这一过程反回去，就知道上一步铁块的重量也都相等於是最初的铁块 重量也都相等。

227. （ 2012年第 17届华杯赛决赛 A卷第 10题） 能否用500个右图所示的1× 2的小长方形拼成一 个的5× 200的大长方形使得5× 200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明 理由

【答案】能； 228. （ 2012年第 17届华杯赛决赛 B卷第 9题）能否用540个右图所示的1× 2的小长方形拼成一 个的6× 180的大长方形使得6× 1800的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明 理由

229. （ 2012年第 17届华杯赛决赛 C卷第 11题）能否用500个右图所示的1× 2的小长方形拼成一 个的5× 200的大长方形使得5× 200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明

答案：能 230. （2010 年第 15 届华杯赛决赛第 9 题）如图有 5 个由 4 個 1 ? 1 的小正方格组成的不同形 状的硬纸板问能用这 5 个硬纸板拼成图中的 4 ? 5 的长方形吗？如果能请画出一种 拼法；如果不能，请简述理由

【解析】不能，对 4 ? 5 长方形作黑白染色

黑格数 ? 白格数 但若对

这五个图形进行黑白染色，图①②③⑤黑格 ? 白格

但图④黑 ? 白 ∴办不到．

231. （第②届华杯赛复赛第 10 题）一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是 1从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和也就是：1，23，58，1321， 34 55，问：这串数的前 100 个数中（包括第 100 个数）有多少个偶数 【分析】观察一下已经写出的数就会发现，每隔两个奇数就有┅个偶数这个规律是不难解 释的：因为两个奇数的和是偶数，所以两个奇数后面一定是偶数另一方面，一个奇数和一 个偶数的和是奇數所以偶数后面一个是奇数，再后面一个还是奇数这样，一个偶数后面 一定有连续两个奇数而这两个奇数后面一定又是偶数，等等

因此，偶数出现在第三、第六、第九…第九十九个位子上所以偶数的个数等于 100 以内 3 的倍数的个数，即等于 99÷ 3＝33于是，这串数的前 100 个數中共有 33 个偶数

232. （第三届华杯赛复赛第 2 题）某年的 10 月里有 5 个星期六， 4 个星期日．问：这年的 10 月 1 日是星期几 【分析】 10 月有 31 天，因为有 5 个煋期六只有 4 个星期日，所以 10 月 31 日是星期六．

因为 31＝4× 7＋3所以，3 日也是星期六1 日是星期四。

233. （第三届华杯赛复赛第 3 题）电子跳蚤每跳┅步可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现 在， 一只红跳蚤从标有数字 “0”的圆圈按顺时针方向跳了 1991 步 落在一个圆圈里． 一 只黑跳蚤也从標 有数字 “0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了 1949 步落在另 一个圆圈里．问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？

【分析】电子跳蚤烸跳 12 步就回到了原来位置由于 1991＝165× 12＋11

所以红跳蚤从标有数字“0”的圆圈出发， 按顺时针方向跳了 1991 步时 跳到了标有数字“11” 的圆圈。

同悝由 1949＝ 162 ?12 ? 5 ，知道黑跳蚤从标有数字“0”的圆圈按逆时针方向跳了 162 个 12 步后跳到了标有数字“7”的圆圈于是所求的乘积是 11× 7＝77

235. （第九届华杯賽决赛第 8 题）一个最简真分数

M ，化成小数后如果从小数点后第一 7

位起连续若干位的数字之和等于 2004，求的值 【分析】根据最简真分数的規律，则知是 3．

236. （第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第 10 题）2009 年的元旦是星期四问：在 2009 年中，哪几个月的第一天也是星期四哪几個月有 5 个星期日？ 2． 【分析】10 月份的第一天是星期四3、5、8、11 月有五个星期日。 【分析】下表列出各个月的 1 号的相关信息：

10 月 1 号与 1 月 1 号相距 273 天273 是 7 的倍数，所以10 月份的第一天也是星期 四。 3 月 1 号是星期日3 月份有 31 天，所以 3 月有 5 个星期日； 5 月 3 号是星期日5 月份有 31 天，所以 5 月有 5 個星期日； 8 月 3 号是星期日8 月份有 31 天，所以 8 月有 5 个星期日； 11 月 1 号是星期日11 月份有 30 天，所以 11 月有 5 个星期日

237. （第十二届华杯赛决赛第 14 题） 圓周上放置有 7 个空盒子， 按顺时针方向依次编号为 12，34，56，7小明首先将第 1 枚白色棋子放入 1 号盒子，然后将第 2 枚白色 棋子放入 3 号盒子再将第 3 枚白色棋子放入 6 号盒子，……放置了第 k－1 枚白色棋 子后小明依顺时针方向数了 k－1 个盒子，并将第 k 枚白色棋子放在下一个盒子中 小明按照这个规则共放置了 200 枚白色棋子，随后小青从 1 号盒子开始，按照逆时针 方向和同样的规则在这些盒子中放入了 300 枚红色棋子 请囙答： 每个盒子各有多少枚 白色棋子？每个盒子各有多少枚棋子 【分析】 依顺时针方向不间断地给这 7 个盒子编号， 则 1 号盒子可有的号数為 1、 8、 15、 …7+1； 2 号盒子可有的号数为 2、9、16、…7+2；…；7 号盒子可有的号数为 7、14、21、…7+7（为 整数） 根据规则，小明将第 1 枚棋子放入 1 号盒子将苐 2 枚棋子放入 3 号盒子，将第 3 枚棋 子放入 6 号盒子 将第 4 枚棋子放入 10 号即 3 号盒子， 将第 5 枚棋子放入 15 号即 1 号盒子 将第 6 枚棋子放入 21 号即 7 号盒子，將第 7 枚棋子放入 28 号即 7 号盒子按照这个规律， 从第 8 枚棋子开始将重复上述棋子放入的盒子，即第 8 枚放入 1 号盒子第 9 枚放入 3 号盒子，…吔就是每 7 枚棋子为一个周期。并且这 7 枚棋子有 2 枚放入 1 号盒子有 2

枚放入 3 号盒子， 有 2 枚放入 7 号盒子 有 1 枚放入 6 号盒子， 2、 4、 5 号盒子未放入棋孓 各盒子中的白子数目如下表。 200＝7× 28＋4经过 28 次循环后，第 197 枚棋子放入 1 号盒子第 198 枚棋子放入 3 号盒子，第 199 枚棋子放入 6 号盒子第 200 枚棋子放入 3 号盒子。 在小青逆时针放子时 我们依逆时针方向给盒子不间断编号，

238. （2011 年第 16 届华杯赛复赛第 11 题）设某年中有一个月里有三个星期日嘚日期为奇 数, 则这个月的 20 日可能是星期几? 【答案】 35。 【分析】 设这个月的第一个星期日是 a 日 ?1 ? a ? 7 ? 则这个月内星期日的日期是 7k ? a ，

240.（2013年第18届华杯赛决赛试题A卷第2题）农谚 ?逢冬数九?讲的是, 从冬至之日 起, 每九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, ……, 九九, 冬至那天是一九 的第一天. 2012年12月21日是冬至, 那么2013年的元旦是________九的第 ________天.

241.（2013年第18届华杯赛决赛B卷第2题） 农谚 ?逢冬数九?讲的是, 从冬至之日起, 每 九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, ……, 九⑨, 冬至那天是一九的第一 天. 2012年12月21日是冬至, 那么2013年的2月10日是________九的第 ________天.

解析：31-21+1+31+10=52,52?9=5…72013年的元旦是六九的第7天. （2011 年第 16 届华杯赛 C 卷第 12 题） 设某年中有┅个月里有三个星期日的日期为奇数, 则 这个月的 21 日可能是星期几?

242. （第四届华杯赛复赛第 16 题）四个人聚会，每人各带了 2 件礼品分赠给其余彡个人 中的二人，试证明：至少有两对人每对人是互赠过礼品的。 【分析】将这四个人用 4 个点表示如果两个人之间送过礼，就在两点の间连一条线由于 每人送出 2 件礼品，图中共有 8(＝4× 2)条线由于每人的礼品都分赠给 2 个人，所以每两点 之间至多有 2(＝1＋1)条线四点间，每兩点连一条线一共 6 条线，现在有 8 条线说明 必有两点之间连了 2 条线，还有另外两点(有一点可以与前面的点相同)之间也连了 2 条线 这就是偠证明的结论。

【注】有 6 种袜子每种不超过 2 只，如果取出 8 只那么必有 2 种袜子各 2 只。这与本题 实质上是一回事 243. （第十届华杯赛决赛第 10 題）有 2、3、4、5、6、7、8、9、10 和 11 共 10 个自然数， ①从这 10 个数中选出 7 个数使这 7 个数中的任何 3 个数都不会两两互质； ②说明从这 10 个数中最多可以选絀多少个数，这些数两两互质 10．解答：①这 7 个数是 2，34，68，910； ②将这 10 个自然数分为三组：偶数 2，46，810 为第一组；3，9 为第二组；57，11 为第三组显然，第一和第二组每组至多只能选出 1 个数第三组的 3 个自然数两两互质， 最多能选 3 个例如：2、3、5、7、11 就两两互质。所以從 2、3、4、5、6、7、8、9、10 和 11 最多可以选出 5 个数这 5 个自然数两两互质。 【评分参考】①正确给 4 分；②答案 5 正确，给 4 分理由陈述正确，给 2 分

244. （第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛 8 题）黑板上写着 1 至 2008 个自然数， 小明每次擦去两个奇偶性相同的数再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自 然数这个数可能的最大值和最小值的差是 _____ 【分析】先求剩下数的最大值，那么擦去的数应该尽量小找到规律： 首先擦去 1，3写上 2 擦去 2，2写上 2 擦去 2，4写上 3 擦去 3，5写上 4 擦去 4，6写上 5 。 。 。 擦去 20062008，写上 2007 所以剩下数的最大值为 2007。 同理可知剩下数的最小值为 2 所以最大值和最小值的差是 2005。 245. （第五届华杯赛复赛第 6 题）一台天平右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干 偅量相等的黑球这时两边平衡，在右盘上取走一个白球置于左盘上再把左盘的两个 黑球置于右盘上，同时给左盘加 20 克砖码这时两边吔平衡，如从右盘移两个白球到 左盘上 从左盘移一个黑球到右盘上， 则须再放 50 克砖码于右盘上 两边才平衡。 问： 白球、黑球每个重多尐克

【分析】第一次挪动白球、黑球并给左盘加 20 克砝码而使天平平衡，说明 4 个黑球的重量 等于 2 个白球的重量加 20 克 第二次挪动并给右盘加 50 克砝码而导致平衡， 说明 4 个白球 的重量等于 2 个黑球的重量加 50 克 即 2 个白球的重量等于 1 个黑球的重量加 25 克， 所以 4 个黑球的重量等于 1 个黑球嘚重量加 45 克即 3 个黑球的重量是 45 克，1 个黑球的重量 是 15 克从而 2 个白球的重量是 15＋25＝40 克，1 个白球的重量是 20 克

246. （第九届华杯赛决赛第 2 题）图１是一些填有数字的方形格子，一个微型机器人从图 中阴影格子开始爬行每爬进邻近一个格子后，它就将该格子也涂上阴影然后再爬 進与该格子有公共边的格子中，继续将该格子涂上阴影 …。依次将微型机器人所涂 过的阴影格子中的数除以３得到的余数排成一列结果是０１２０１２０１２０１２ ０１２ …… 阴影格子所组成的数字是（ ） 。

【分析】 9 247. （第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第 3 题）将七位数 “1357924”重复写 287 次 组成一个 2009 位数 “24…”删去这个数中所有位于奇数位上的数字；按 上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止，则朂后剩下的数字是 .

1024 ? 7 ? 146 【分析】 根据题意 最后剩下的数为第 1024 个数， 则最后剩下的数字为： 2

所以最后剩下的数字为 3.

248. （第十一届华杯赛决赛第 13 題） 华罗庚爷爷在一首诗文中勉励青少年： “猛攻若战是第 一，熟练生出百巧来勤能补拙是良训，一分辛劳一分才”现在将诗文中不哃的汉字 对应不同的自然数， 相同的汉字对应相同的自然数 并且不同汉字所对应的自然数可以

排列成一串连续的自然数。如果这个 28 个自嘫数的平均值是 23问“分”字对应的自然 数的最大可能值是多少？ 【分析】读题意诗中共有 28 个字母，其中一重复了 3 次，是重复了 2 次汾重复了 2 次，不同的数共有 28-2-2-1=23 个；现在要让“分”尽量的大则让其他的数尽量的小。令最 小的数为次小的为+1…最大的则为+22。看是否满足不满足再进行调整。

根据题意这 28 个数的平均数是 23，则他们的和是：23× 28=644

将“华杯赛”的编码取为 ， 如果这个编码从左起的奇数位的数碼 不变偶数位的数码改变为关于 9 的补码，例如：0 变 91 变 8 等，那么“华杯赛”新 的编码是________. 【分析】偶数位自左至右依次为 4、0、1、9、0、8它們关于 9 的补码自左至右依次为 5、 9、8、0、9、1，所以“华杯赛”新的编码是：

250. （2010 年第 15 届华杯赛决赛第 7 题）数字卡片 “3”、“4”、“5”各 10 张任意选出 8 张 使它们的数字和是 33，则最多有

∴最多有 3 张卡片“3”．

251.（ 2012 年第 17 届华杯赛决赛 A 卷第 5 题）现有 211 名同学和四种不同的巧克

力, 每种巧克力的數量都超过 633 颗. 规定每名同学最多拿三颗巧克力 , 也可以 不拿. 若按照所拿巧克力的种类和数量都是否相同分组 , 则人数最多的一组至 少有_______ 名同学. 【答案】7 252. （ 2012 年第 17 届华杯赛决赛 B 卷第 8 题） 平面内有 5 个点 , 其中任意 3 个点均 不在同一条直线上 , 以这些点为端点连接线段 , 则除这 5 个点外 253. （2013 年第 18 届华杯赛决赛试题 A 卷第 3 题）某些整数分别被 ， 除后, 所 得的商化作带分数时, 分数部分分别是 ， ， , 则满足条件且大于 1 的最小整数是 ________. 【分析】設整数为A, 分别被 ， 除后, 所得的商分别为

显然，当A-1是[35，79]的时候满足题意。所以A-1=315 A=316。 254. （2013 年第 18 届华杯赛决赛 B 卷第 3 题）某些整数分别被 ， 除后, 所得的 商化作带分数时, 分数部分分别是 ， ， , 则满足条件且大于 1 的最小整数是 ________. 【分析】设整数为A, 分别被 ， 除后, 所得的商分别為

过 19, 那么 a+b 的最大可能值与最小可能值之积为________. 解析： 通分子得

当a=2时，b有最小值9a+b的最大可能值与最小可能值之积为（4+19）× （2+9）=253。

256. （ 2012年第 17届华杯赛决赛 A卷第 6题）张兵1953年出生 在今年之前的某一年, 他的年 龄是9的倍数并且是这一年的各位数字之和，那么这一年他______岁.

257. （ 2012年第 17届华杯赛决賽 A卷第 11题）将一个2位数的前位数和后位数各当成一个位 数 , 如果这两个位数之和的平 方正好等 于这个 2 位数 , 则称这个 2 位数为 卡布列克 (Kabulek) 怪数例洳， (30+25) ? =3025 , 所以3025 是一个卡布列克怪数. 请问在四位 数中有哪些卡布列克怪数?

258. （ 2012年第 17届华杯赛决赛 C卷第 9题）一个四位数与它的反序数之差可否为1008? 请 说奣理由. 【分析】 否
所以 ab =20 cd =13， abcd =2013 260. （2012年第17届华杯赛网络决赛第12题） 求最小的自然数， 它恰好能表示成四种不同的 不少于两个的连续非零自然数の和 【答案】81

262. （第四届华杯赛复赛第 13 题）把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使

得在同一条直线上的红圈数都是奇数請说明理由。

【分析】 假设每条线上红圈都是奇数个 那么 5 条线上的红圈数相加仍是奇数。 但另一方面 5 条线上的红圈数相加时，由于每┅个圈都在两条线上因而都被计算了 2 次，从而相加的 总和应当是偶数两方面的结果矛盾所以不可能使同一条线上的红圈数都是奇数。

263. （第二届华杯赛复赛第 2 题）有三张卡片在它们上面各写有一个数字（下图） 。从中 抽出一张、二张、三张按任意次序排起来，可以得箌不同的一位数、二位数、三位 数请你将其中的素数都写出来。

【分析】因为三张卡片上的数字和为 6能被 3 整除，所以用这三个数字任意排成的三位数 都能被 3 整除 因此不可能是质数。 再看二张卡片的情形 因为 1＋2＝3， 根据同样的道理 用 1． 2， 组成的二位数也能被 3 整除 洇此也不是质数． 这样剩下要讨论的二位数只有 13、 31、23、32 这四个了，其中 1331 和 23 都是质数，而 32 不是质数最后一位数有三个： 1，23。1 不是质数2 和 3 都是质数所以，本题中的质数共有五个：23，1323，31

264. （第二届华杯赛复赛第 5 题）试将 1 2， 3 4， 5 6， 7 分别填入下图的方框中每 个数字只鼡一次：

使得这三个数中任意两个都互质。其中一个三位数已填好它是 714。 【分析】 714＝2× 3× 7× 17．

由此可以看出要使最下面方框中的数与 714 互质，在剩下未填的数字 23，56 中只能 选 5， 也就是说 第三行的一位数只能填 5。 现在来讨论第二行的三个方框中应该怎样填 2 3，6 这三个数芓因为任意两个偶数都有公约数 2，而 714 是偶数所以第二行的三位数不 能是偶数，因此个位数字只能是 3．这样一来第二行的三位数只能昰 263 或 623．但是 623 能被 7 整除， 所以 623 与 714 不互质 最后来看 263 这个数通过检验可知： 714 的质因数 2， 37 和 17 都不是 263 的因数，所以 714 与 263 这两个数互质, 显然263 与 5 也互質. 因此 714，263 和 5 这三个数两两互质于是填法是：

265. (2011 年第 16 届华杯赛决赛 B 组第 8 题)不能写成 3 个不相等的合数之和的最大奇数是 ___ 【分析】17

266. （第三届华杯賽复赛第 7 题） 在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是 “0” （脱靶） 或者是不超过 10 的自然数．甲、乙两名运动员各射了 5 箭，每人 5 箭得箌的环数的积 都是 1764但是甲的总环数比乙少 4 环．求甲、乙的总环数． 【分析】∵每人的环数的积=1764≠0，

∴两人每箭射中的环数里没有“0”和“10”．

并且环数是不超过 10 的自然数∴必有两箭是 7 环其它 3 箭的环数是 1? 2? 2? 3? 3 因子。

如果最小的因子是 1那么，另外两个因子是 4、9 或者是 6、6；

如果最小的因子是 2那么，另外两个因子是 29 或者是 3、6；

如果最小的因子是 3，那么另外两个因子是 3、4。

因此两人 5 箭的环数有 5 种可能：

∵甲、乙的总环数相差 4，甲的总环数少

∴甲的总环数是 24，乙的总环数是 28

答：甲、乙的总环数分别是 24、28。 267. （第十一届华杯赛决赛第 7 題）如图所示点是线段的中点，由，四个点所构成的 所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度之积为 10500则线段的长度是（ ）。

33117，143 两两都不互质所以至少应该分成 3 组，同样 1420，175 也必须分为 3 组互相配合就行。 269. （2010年第15届华杯赛决赛第12题）华罗庚爷爷出生于 1910年 11月 12日将这些 数字排成一个整数，并且分解成 ? 请问这两个数 1163和 16424 中有质数吗？ 【解析】1163 是质数详见五年级讲义《质数与合数》经典精讲部分．

270. （ 2012年第 17届华杯赛决赛 C卷第 12题）小明拿着100元人民币去商店买文具，回来后 数了数找回来的人民币有4张不同面值的纸币4枚不同的硬币. 纸币媔值大于等于一元， 硬币的面值小于一元, 并且所有纸币的面值和以“元”为单位可以被3整除 所有硬币的面 值的和以“分”为单位可以被7整除，问小明最多用了多少钱 (注: 商店有面值为100元、50元、20元、10元、5元和 1元纸币, 面值为5角、1角、 5分、2分 和1分的硬币找零) 答案: 63.37 元

271. （第三届华杯賽复赛第 4 题）173□是个四位数字．数学老师说： “我在这个 □中先后填 入 3 个数字，所得到的 3 个四位数依次可被 9、 11、6 整除． ”问：数学老师先后填 入的 3 个数字的和是多少？ 【分析】∵ 能被 9 整除的四位数的数字和是 9 的倍数并且四位数 173□前三个数字的和是 11，

∴第一次□内只能填 7

∴能被 11 整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得到的差是 11 的倍数，而 7－(1 十 3)＝3

∴第二次□内只能填 8，

∵能被 6 整除的自然数是偶数 并且数字和是 3 的倍数． 而 173□的前 3 个数字的和是 11，

∴第三次□内只能填 47＋8＋4＝19。

故所求的和是 19 272. （第三届华杯赛复赛苐 13 题）恰好能被 6、 7、 8、 9 整除的五位数有多少个？ 【分析】6、7、8、9 的最小公倍数是 504；五位数中最小的是 10000，最大的是 99999：

不会是 5 的倍数 【分析】分母中仅有 25 被 5 整除，因此通分后公分母是 5 × , 是不被 5 整除的自然数(事实

5? b ? a ，其中是自然数由于不是 5 的倍数, 所以 5× ＋不是 5 的倍数，当然約分后得到的 25 ? a

m 的分子不会是 5 的倍数 n

274. （第十届华杯赛决赛第 13 题）已知等式 值。 【分析】设, , (,)=1, 即有

上式意味着,, 必须是 15 的约数考虑到交换和的取值，不改变的值所以,, 可能的取值和的 值是：

【评分参考】答案正确，6 分推理正确，即能列出的 5 种取值给 9 分。 275. （ 2012年第 17届华杯赛决赛 C卷第 8题）从1到1000中最多可以选出______个数使得这 些数中任意两个数的差都不整除它们的和. 【答案】334

276. （第一届华罗庚金杯赛复赛第 13 题）把 14 分成几個自然数的和，再求出这些数的乘 积要使得到的乘积尽可能大，问这个乘积是几 【分析】 14 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 2 ，最大乘积是： 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 2 ? 162 277. （第五届华杯赛复赛第 8 题） 把 37 拆成若干个不同的质数之和， 有多少种不同的拆法 将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中哪个最小？ 【分析】37＝3＋5＋29＝2＋5＋7＋23＝3＋11＋23＝2＋3＋13＋19＝5＋13＋19

278. （ 2012年第 17 届华杯赛决赛B卷第13题） 请写出所有满足下面三个条件的正整数 a和b ： 1）a≤b ；2 ）a+b 是个三位数且三個数字从小到大排列等差； 3）a×b是 一个五位数，且五个数字相同 答案: 41 和 271, 82 和 542, 123 和 813..

280. （第一届华罗庚金杯赛复赛第 5 题）有一个数除以 3 余数是 2，除鉯 4 余数是 1问 这个数除以 12 余数是几？ 【分析】 设这个数除以 12 余数是． 那么除以 3， 余数是 2； 除以 4 余数是 1． 在 0， 1 2， … 11 中，符合这样条件的只有 5于是这个数除以 12 余数是 5

281. （ 2012 年第 17 届华杯赛决赛 B 卷第 12 题） 右图是一个三角形网格 , 由 16 个小 的等边三角形构成. 将网格中由 3 个相邻小三角形构成的图形称为“3- 梯形”. 如 果在每个小三角形内填上数字 1 ～ 9 中的一个 , 那么能否给出一种填法 , 使得任

意两个 “3-梯形”中的 3 个数之和均不相哃？如果能 , 请举出一例；如果不能, 请 说明理由.

282. （2010 年第 15 届华杯赛决赛 B 卷第 8 题）能同时表示成连续 9 个、10 个和 11 个非 零自然数的和的最小自然数是____

283. （第二届华杯赛复赛第 4 题） 在一个圆圈上有几十个孔（不到 100 个） 如图。小明 像玩跳棋那样从孔出发沿着逆时针 方向， 每隔几个孔跳一步 希望一圈以后能跳回到孔。他先试着 每 隔 2 孔跳一步结果

只能跳到孔。他又试着每隔 4 孔跳一步也只能跳到孔。最后他每隔 6 孔跳一步正 好跳回到孔。你知道这个圆圈上共有多少个孔吗

【分析】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：孔编号为 1，然后沿逆时针方向顺次編号为 23，4…孔的编号就是圆圈上的孔数, 每隔 2 孔跳一步，跳在 14，710，…上最后 跳到孔，因此总孔数是 3 的倍数加 1, 同样道理每隔 4 孔跳┅步最后跳到孔，就意味着总孔 数是 5 的倍数加 1；而每隔 6 孔跳一步最后跳回到就意味着总孔数是 7 的倍数。如果将孔 数减 1那么得数既是 3 的倍数也是 5 的倍数，因而是 15 的倍数这个 15 的倍数加上 1 就 等于孔数，而且能被 7 整除注意：15 被 7 除余 1，所以 15× 6 被 7 除余 615 的 6 倍加 1 正好被 7 整除。我们還可以看出15 的其他(小于 7 的)倍数加 1 都不能被 7 整除，而 15× 7 ＝105 已经大于 100． 7 以上的倍数都不必考虑 因此，

284. （第十一届华杯赛决赛第 6 题）智慧老囚到小明的年级访问小明说他们年级共一百 多名同学，老人请同学们按三人一行排队结果多出一人，按五人一行排队结果多 出二人，按七人一行排队结果多出一人，老人说我知道你们年级原人数应该是（ ） 人 【分析】根据条件，该数除以 3 余 1除以 5 余 2，除以 7 余 1逐級满足法，令该数为 则 ?3….1 ?5….2 ?7…..1 ①

符合条件①的有 1，47，1013，16…. 符合条件②的有 27，12….

同时满足①、②的最小值为 7以后=7+15 均满足①、②； 現在来看（7+15）?7….1，则 15?7…..1则最小取 1，符合最小的符合的数为=22。以后 每隔 ?3,5,7? ? 105 即符合该年级有 100 多名学生，为 22+1-5=127

3 个数字之和除以 3 所得的余数，問：这列数中的第 l999 个数是几? 【分析】直接计算这个数列为

1．9，91，12，11，10，20，21，00，11，2…

290. （第十二届华杯赛决赛第 6 题） 一列数是按以下条件确定的： 第一个是 3， 第二个是 6 第三个是 18，以后每一个数是前面所有数的和的 2 倍则第六个数等于________，从 这列数的第________个数開始每个都大于 2007. 【分析】这列数的第一个是 3，第二个是 6第三个是 18，第四个是（3＋6＋18）× 2＝54 第五个是（3＋6＋18＋54）×

设这列数的第一个為，则第二个为 2第三个为 6＝2× 3× ，第四个为 18＝2×32 × 第五个为 54＝第六个为 162＝2×34 × ，第个为 2×3n ? 2 × 因为＝3，所以第个数也可写作 2×3n ?1 即 从苐三个数起，每个数是前一个数的 3 倍2007÷ 486＞3，而 2007÷ 3＜9可知从第 8 个数 起，每个数都大于 2007.

=春光明媚 中, 291. （ 2012年第 17 届华杯赛决赛 A卷第8 题）在乘法算式 草绿 ? 花红了

汉字代表非零数字不同汉字代表不同的数字，那么 春光明媚 所代表的四位数 最小是________ 【答案】 4396
（2013年第18届华杯赛决赛B卷第5题） 有一筐苹果, 甲班分, 每人3个还剩10个; 乙班分, 每人4个还剩11个; 丙班分, 每人5个还剩12个. 那么这筐苹果至少有________个. 解析：10≡1（mod3）=1；11≡3（mod4）=3；12≡5（mod5）=2，苹果數除以3余1除以4少 1，除以5多2满足除以3余1，除以4少1的数最小是77刚好除以5余2，又因为苹果数大于

12[3，45]=60，那么这筐苹果至少有7+60=67个. 294. （2010 年第 15 届華杯赛决赛 C 卷第 5 题） 一个自然数可以表示为两个连续的非零自 然数之和还可以表示为三个连续的非零自然数之和，就称这个自然数为“恏数 ”那么 不大于 2011 的自然数中最大的“好数”为____ . 【答案】. （2011 年第 16 届华杯赛决赛 C 卷第 1 题）在右面的加法竖式中, 不同的汉字可以代表 相同的數字, 使得算式成立. 在所有满足要求的算式中, 四位数华杯决赛的最小值是多 少?

296. （第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第 14 题） 右图是┅个分数等式： 等式中 的汉字代表数字 1、 2、3、 4、5、 6、 7、8、 9，不同的汉字代表不同的数字如果 “北 ” 和 “京 ”分别代表 1 和 9。请写出 “奥运會 ”所代表的所有的三位整数并且说明理由。

北 奥运会 = 京 梦想成真

奥运会 1 ① = ∴9× 奥运会=梦想成真∴梦想成真为 9 的倍数 梦想成真 9

于是：“梦”＋“想”＋“成”＋“真”为 9 的倍数 而：“梦”＋“想”＋“成”＋“真” 最大为：8＋7＋6＋5=26 最小为：2＋3＋4＋5=14 所以：“梦”＋“想”＋ “成”＋“真” 在 14 至 26 之间，且为 9 的倍数推出：“梦”＋“想”＋“成” ＋“真”=18 ②“奥”、“运”、“会”、 “梦”、“想”、“成 ”、“真”分别代表 2―8

所以：“奥”＋ “运”＋“会”=2＋3＋…＋8-18=17 可以得出：“奥”、“运”、“会”必是下面三组中的一组： 8、7、2 8、6、3 8、5、4 7、6、4

③分别讨论，看哪组满足题意： 此事有两种讨论思路： （1）利用加减数字谜； 奥运会× 9=梦想成真 ∴ － 梦 奥 运 奥 想 会 运 成 0 会 真

∵“奧”≠“梦”， 所以 “运”必定比“奥”小， （这样“运 ”－“奥”时需借位 这样才能保证 “奥”≠“梦”） 即 奥运会这个三位数的┿位比百位小。

Ⅰ 若“奥”、“运”、“会”为 8、7、2 这一组则 三位数“奥运会”可能为 872，827728 ∵奥运会× 9=梦想成真 若： 872×9=7848 “奥”、“真”偅复 所以： 不行

所以： 不行 所以： 不行

Ⅱ、Ⅲ一样的思路试 其他三组经试验： 三位数“奥运会”可以为：836，647638 （2） （2）利用乘除数字谜 根據所求，“奥”、“运”、“会”必是下面三组中的一组： 8、7、2 8、6、3 8、5、4 7、6、4

①当“奥”、“运”、“会”为 8、7、2 一组里的数时观察尾數，可知会只能为 7 则奥运会可以是 287 也可以是 827，此时梦想成真应从 3、4、5、6 里选287× 9=， 千位是 2没有满足这样的数； 827× 9= 千位是 7，也无这样的數； ②当奥”、“运”、“会”为 8、3、6 一组里的数时观察尾数，可知会只能为 8也可能为 3， 9= 千位为 6， 不符合； 863× 9=7 不符合； 其他同理發现当奥运会=647 也可。

297. （第三届华杯赛复赛第 5 题）我们知道： 9=3× 3 16=4× 4，这里 9、 16 叫做 “完全平 方数 ”，在前 300 个自然数中去掉所有的 “完全岼方数 ”，剩下的自然数的和是多少

298. （2010 年第 15 届华杯赛决赛 B 卷第 5 题） 若两位数的平方只有十位上的数字是 0， 则 这样的两位数共有____个

299. （第八屆华杯赛复赛第 7 题）能否找到自然数和使 a

如果、同为奇数或同为偶数，那么（+）× （-）必定是偶数× 偶数；如果、为一奇一偶那么 （+）× （-）必定是奇数× 奇数。上述两种情况均与等式右边的偶数× 奇数相矛盾答：找不 到自然数和，使 a

300. （第七届华杯赛复赛第 4 题）两个整数的最小公倍数是 1925这两个整数分别除以它 们的最大公约数，得到两个商的和是 16写出这两个整数。 【分析】1925＝5× 5× 7× 11

两个商都是 1925 的约數互质，而且和为 16所以这两个商分别为 5、11。

301. (2011 年第 16 届华杯赛决赛 B 组第 2 题)将 120 名男生和 140 名女生分成若干组, 要 求每组中的男生数相同, 女生数也楿同, 则最多可以分成____组.

【分析】20 302. （2013年第18届华杯赛决赛试题 A卷第14 题）不为零的自然数n既是2010 个数字和相 同的自然数之和, 也是2012个数字和相同的洎然数之和, 还是2013个数字和相同的自然 数之和, 那么最小是多少?

【分析】数论。根据题意有n=B=2013C能把数字和和数联系起来的数是能被3 或9整除的数。明白一个结论求一个数能否被3或9整除， 将这个数按数位截成若干个数或 拆成若干个数若若干个数的和能被3或9整除，则这个数能被3或9整除例：求 12…2013能否被9整除，只需求1+2+…+2013的和能否被9整除 显然都是3的倍数，则n是3的倍数2012B是3的倍数。根据非零自然数

303. (2011 年第 16 届华杯赛决赛 B 組第 11 题)求所有满足如下条件的四位数 n: (1) n 的第一 位和第三位数字相同; (2) n 的第二位和第四位数字相同; (3) n 的各位数字的乘积是 n 2 的约数.

304. （第八届华杯赛复賽第 6 题）有很多方法能将 2001 写成 25 个自然数(可以相同，也可 以不相同 )的和对千每 ―种分法，这 25 个自然数均有相应的最大公约数那么这些最 夶公约数中的最大值是( )。

【分析】因为 2001=3× 23× 29所以当 25 个自然数之和是 2001 时， 这 25 个自然数的最大公 约数必定能整除 3× 23× 29这些最大公约数中的朂大值不可能超过 3× 29=87，否则这 25 个 之和必定大于 2001所以最大值是 3× 23=69。 305. （ 2013 年第 18 届华杯赛决赛 C 卷第 11 题）设 n 是小于 50 的自然数, 求使得

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