已知射影直线在平面上的射影一条直线p以及不在p上的相异二点A,B.不允许连结AB,求作直线AB与p交点C

点击联系发帖人 时间：2018-09-24 14:28

直线在平面上的射影

设⊙O为不等边△ABC的外接圆，△ABC内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，P是△ABC所在平面内的一点，且满足

（P与A不重合）．Q为△ABC所在平面外一点，QA=QB=QC．有下列命题：

①若QA=QP，∠BAC=90°，则点Q在平面ABC上的射影恰在直线AP上；

④若QA＞QP，则P在△ABC内部的概率为

分别表示△ABC与⊙O的面积）．

（写出所有不正确命题的序号）．

，可得AP是∠BAC的平分线，利用QA=QB=QC，可得Q在平面ABC上的射影是△ABC的外心O，由QA=QP，可知P为

的中点，由QA＞QP，则P在圆内，再对选项判断，即可得出结论．

∴AP是∠BAC的平分线，

∴Q在平面ABC上的射影是△ABC的外心O，

∵∠BAC=90°，△ABC是不等边三角形，

∴点Q在平面ABC上的射影恰在直线AP上不正确；

的中点，∴OP⊥BC，

∵OP是QP在平面ABC上的射影，∴QP⊥BC，

③QA＞QP，则P在圆内，∠BAC=90°，则BC为直径，若

，则AP为∠BPC的平分线且AP经过点O，与△ABC是不等边三角形矛盾，故③不正确；

④若QA＞QP，∵AP是∠BAC的平分线，所以P在△ABC内部的概率应该以长度为测度，故④不正确．

点评：本题考查向量知识的运用，考查命题真假的判断，综合性强，难度大．

}

如图所示，在三棱锥PABC中，已知PC⊥平面ABC，点C在平面PBA内的射影D在直线PB上． (2)设AB＝BC，直线PA与平面ABC所成的角为45°，求异面直线AP与BC所成的角； (3)在(2)的条件下，求二面角C-PA-B的余弦值．

答案(1)由PC⊥平面ABC，得AB⊥PC.由点C在平面PBA内的射影D在直线PB上，
得到CD⊥平面PAB.进一步推出AB⊥平面PBC.
(3)所求二面角的余弦值为.

解析试题分析：(1)∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴AB⊥PC.∵点C在平面PBA内的射影D在直线PB上，
∴∠PAC为直线PA与平面ABC所成的角．
∵cos〈，〉＝＝，∴异面直线AP与BC所成的角为60°.
(3)取AC的中点E，连接BE，则＝（，，0），
∴BE⊥平面PAC.∴是平面PAC的法向量．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则由得取z＝1，得
于是cos〈n，〉＝＝＝－.
又∵二面角C-PA-B为锐角，∴所求二面角的余弦值为.
考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系、角的计算。
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。

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